专题05不等式与不等式组复习讲义(19大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年鲁教版五四制七年级数学下册

专题05不等式与不等式组复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.明晰不等式、解集、一元一次不等式（组）定义，区分方程解与不等式解集本质差异； 2.熟用不等式 3 条基本性质，乘除负数必变号为核心考点，杜绝基础变形错误； 3.牢记不等式组解集判定口诀，数轴表示解集精准区分空心 / 实心、左右方向，数形对应无偏差。 1.运算提速：快速精准解一元一次不等式（组），熟练求整数解、正整数解等特殊解； 2.建模应用：从 “至少、最多、不超过、不低于” 等关键词中提取不等关系，构建模型解决实际问题； 3.数形结合：借助数轴分析含参不等式（组），准确推导参数取值范围，提升推理分析能力。 1.基础题零失误：概念辨析、简单求解、数轴表示等基础题型确保满分，筑牢提分根基； 2.中档题稳得分：含参问题、特殊解求解、实际应用题掌握解题模板，解题步骤规范； 3.易错点全清零：突破去分母漏乘、变号遗忘、数轴标错、解集公共部分找错四大高频丢分点； 4.综合题敢突破：轻松应对不等式与方程的简单综合题型，冲刺期中高分 题型01.不等式定义及解集 题型02.不等式的性质 题型03.一元一次不等式的定义 题型04.求不等式解集 题型05.求不等式整数解 题型06.不等式解集的数轴表示 题型07.求不等式解的最值 题型08.列一元一次不等式 题型09.用一元一次不等式解决实际问题 题型10.用一元一次不等式解集几何问题 题型11.由直线与坐标轴交点求不等式解集 题型12.由两直线交点求不等式解集 题型13.求不等式组的解集 题型14.求不等式组整数解 题型15.由不等式组的解集求参数 题型16.由不等式组解集的情况求参数 题型17.不等式组和方程组结合的问题 题型18.列一元一次不等式组 题型19.不等式组的应用 解答题10题 知识点01:核心概念速辨（记准不混淆） ✅不等式：用＞、＜、≥、≤、≠连接的式子 ✅不等式的解：使不等式成立的单个数值 ✅不等式的解集：使不等式成立的所有数值的范围（数轴表示是关键！） ✅一元一次不等式：只含1个未知数、未知数次数为 1、两边都是整式的不等式 ✅一元一次不等式组：几个一元一次不等式合在一起，求公共解集 知识点02:不等式 3 条性质（重中之重，避坑核心） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 对比：等式性质无 “变号”，这是不等式独有的核心差异！ 知识点03:解题步骤 + 核心技巧（一步不差，解题超快） 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax；右边：常数 与解方程一致 5.系数化为 1 两边同除以未知数系数 a a＜0 时，不等号变号 ⚠系数化为 1 时，看系数正负，负数必变号！ 数轴表示解集（标对才得分，一眼辨对错） ＞、＜：空心圆圈（不包含这个点） ≥、≤：实心圆点（包含这个点） 大于向右画，小于向左画（左小右大，永不乱！） 一元一次不等式组解法（先解后找，口诀秒杀） 1 分别解出每个不等式的解集② 数轴上找公共部分= 不等式组的解集 ③ 口诀速记（万能公式，直接套用）：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找（无解） 知识点04高频题型 + 解题关键（直击考点，提分必备） 1.特殊解问题（整数解、正整数解、非负整数解）：先求解集，再在范围内找对应数（数轴标范围，不易漏！） 2.含参不等式（组）：先解出含参数的解集，结合已知解集 / 整数解个数，反向推参数范围（数轴定边界，虚实要辨清！） 3.实际应用题：① 找关键词（至少、最多、不超过、不低于、不少于）→ 定不等号；② 设未知数，列不等式（组）；③ 求解 + 结合实际意义验证（如人数、物品数为正整数） 避坑指南（清零失误，稳拿满分） ❌ 去分母漏乘常数项（每一项都要乘，一个都不能少！） ❌ 乘除负数忘变号（性质 3 刻在脑子里，步步检查！） ❌ 数轴表示虚实、方向标反（画完再对照解集检查一遍！） ❌ 找不等式组公共部分出错（口诀 + 数轴双保险，双重验证！） ❌ 实际应用题忽略实际意义（解完必看，答案要符合生活常识！） .核心一句话：概念辨清、性质用准、步骤规范、数轴辅助、避坑到底，不等式这章直接满分拿下！ 题型01.不等式定义及解集 【典例】下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【跟踪专练2】下列选项中，不能用不等式表示的是（    ） A．小于0 B．是正数 C．等于零 D．a比b大 【跟踪专练3】下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 题型02.不等式的性质 【典例】若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪专练3】是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 题型03.一元一次不等式的定义 【典例】下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列不等式中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 题型04.求不等式解集 【典例】若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】解不等式时，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数（a，b，c依次是这个数的百位、十位、个位上的数），并请这个人算出5个数，，，与的和N，把N告诉魔术师．于是魔术师就可以说出这个人所想的数．现在设，则魔术师求出的数为（   ） A．902 B．680 C．458 D．236 题型05.求不等式整数解 【典例】不等式的最小整数解是（   ） A． B． C． D．0 【跟踪专练1】不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】下列说法中错误的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的一个解 C．不等式的解集是 D．不等式的整数解有无数个 题型06.不等式解集的数轴表示 【典例】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在数轴上表示不等式的解集正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 题型07.求不等式解的最值 【典例】已知的最小值为，的最大值为，则_______． 【跟踪专练1】如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 【跟踪专练2】已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型08.列一元一次不等式 【典例】2025年3月12日是我国的第47个植树节，为划定常德市生态保护的边界，《常德市国土空间总体规划年》明确生态保护红线面积不低于平方千米．若用平方千米表示生态保护红线面积，则x满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】用适当的符号表示“两数的平方和不小于这两数积的2倍”，下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为_________． 题型09.用一元一次不等式解决实际问题 【典例】一辆匀速行驶的汽车在距离甲地50千米，要在之前驶过甲地，则车速（单位：千米/小时）应满足的条件是______． 【跟踪专练1】把一些奖品分给若干名学生，如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一个学生分到的奖品就少于3个，问学生至少有多少名？设有x名学生，依题意可列不等式____． 【跟踪专练2】有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型10.用一元一次不等式解集几何问题 【典例】已知的三个内角互不相等，如果为最小的内角，那么下列四个度数中，最大可取 （    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为________． 【跟踪专练2】如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次沿ED翻折，第三次沿CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型11.由直线与坐标轴交点求不等式解集 【典例】如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为_________． 【跟踪专练2】一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型12.由两直线交点求不等式解集 【典例】如图，已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b＜ax的解集是___． 【跟踪专练1】直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对于三个数a、b、c，表示a、b、c这三个数中最小的数，如：，若，则y的最大值是_______． 题型13.求不等式组的解集 【典例】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 题型14.求不等式组整数解 【典例】已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 【跟踪专练1】不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练2】若关于的不等式组的解集中，整数解仅有1，2，3，则满足题意的整数对的组数是_____． 【跟踪专练3】已知关于的不等式组的最小整数解是3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型15.由不等式组的解集求参数 【典例】不等式组的解集是，请写出一个符合条件的的值_________． 【跟踪专练1】已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】明明在解一元一次不等式组时，发现“”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为，若用字母表示“”里的常数，则的取值范围是______． 题型16.由不等式组解集的情况求参数 【典例】若关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围为__________． 【跟踪专练1】关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 【跟踪专练2】若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型17.不等式组和方程组结合的问题 【典例】不等式组的解集是0＜x＜2，那么a+b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【跟踪专练1】已知满足，则的取值范围为______． 【跟踪专练2】设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 题型18.列一元一次不等式组 【典例】某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示，每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）.王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组______． 【跟踪专练2】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 题型19.不等式组的应用. 【典例】某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【跟踪专练2】三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【跟踪专练3】大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【跟踪专练4】在读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们，如果每人分5本，那么剩余12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，勤奋小组一共有______人． 解答题 1．用不等式表示下列数量之间的关系： (1)一罐饮料净重为，其中，蛋白质含量为，且不低于净重的； (2)某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多． 2．按要求完成以下问题 (1)一个长方形纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长比正方形纸片周长的倍少，求这个长方形纸片的长，宽各是多少？ (2)小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 3．解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 4．已知关于的方程的解为非负数，求出的取值范围．并直接写出的最小整数值． 5．解方程组与不等式组： (1)解方程组：； (2)解不等式组． 6．解不等式组，并求不等式组的整数解． 7．已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 8．年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表： 型借阅机 型借阅机 单日最大借阅量（册天） 单台采购成本（元台） 如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案． 9．随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 10．某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05不等式与不等式组复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.明晰不等式、解集、一元一次不等式（组）定义，区分方程解与不等式解集本质差异； 2.熟用不等式 3 条基本性质，乘除负数必变号为核心考点，杜绝基础变形错误； 3.牢记不等式组解集判定口诀，数轴表示解集精准区分空心 / 实心、左右方向，数形对应无偏差。 1.运算提速：快速精准解一元一次不等式（组），熟练求整数解、正整数解等特殊解； 2.建模应用：从 “至少、最多、不超过、不低于” 等关键词中提取不等关系，构建模型解决实际问题； 3.数形结合：借助数轴分析含参不等式（组），准确推导参数取值范围，提升推理分析能力。 1.基础题零失误：概念辨析、简单求解、数轴表示等基础题型确保满分，筑牢提分根基； 2.中档题稳得分：含参问题、特殊解求解、实际应用题掌握解题模板，解题步骤规范； 3.易错点全清零：突破去分母漏乘、变号遗忘、数轴标错、解集公共部分找错四大高频丢分点； 4.综合题敢突破：轻松应对不等式与方程的简单综合题型，冲刺期中高分 题型01.不等式定义及解集 题型02.不等式的性质 题型03.一元一次不等式的定义 题型04.求不等式解集 题型05.求不等式整数解 题型06.不等式解集的数轴表示 题型07.求不等式解的最值 题型08.列一元一次不等式 题型09.用一元一次不等式解决实际问题 题型10.用一元一次不等式解集几何问题 题型11.由直线与坐标轴交点求不等式解集 题型12.由两直线交点求不等式解集 题型13.求不等式组的解集 题型14.求不等式组整数解 题型15.由不等式组的解集求参数 题型16.由不等式组解集的情况求参数 题型17.不等式组和方程组结合的问题 题型18.列一元一次不等式组 题型19.不等式组的应用 解答题10题 知识点01:核心概念速辨（记准不混淆） ✅不等式：用＞、＜、≥、≤、≠连接的式子 ✅不等式的解：使不等式成立的单个数值 ✅不等式的解集：使不等式成立的所有数值的范围（数轴表示是关键！） ✅一元一次不等式：只含1个未知数、未知数次数为 1、两边都是整式的不等式 ✅一元一次不等式组：几个一元一次不等式合在一起，求公共解集 知识点02:不等式 3 条性质（重中之重，避坑核心） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 对比：等式性质无 “变号”，这是不等式独有的核心差异！ 知识点03:解题步骤 + 核心技巧（一步不差，解题超快） 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax；右边：常数 与解方程一致 5.系数化为 1 两边同除以未知数系数 a a＜0 时，不等号变号 ⚠系数化为 1 时，看系数正负，负数必变号！ 数轴表示解集（标对才得分，一眼辨对错） ＞、＜：空心圆圈（不包含这个点） ≥、≤：实心圆点（包含这个点） 大于向右画，小于向左画（左小右大，永不乱！） 一元一次不等式组解法（先解后找，口诀秒杀） 1 分别解出每个不等式的解集② 数轴上找公共部分= 不等式组的解集 ③ 口诀速记（万能公式，直接套用）：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找（无解） 知识点04高频题型 + 解题关键（直击考点，提分必备） 1.特殊解问题（整数解、正整数解、非负整数解）：先求解集，再在范围内找对应数（数轴标范围，不易漏！） 2.含参不等式（组）：先解出含参数的解集，结合已知解集 / 整数解个数，反向推参数范围（数轴定边界，虚实要辨清！） 3.实际应用题：① 找关键词（至少、最多、不超过、不低于、不少于）→ 定不等号；② 设未知数，列不等式（组）；③ 求解 + 结合实际意义验证（如人数、物品数为正整数） 避坑指南（清零失误，稳拿满分） ❌ 去分母漏乘常数项（每一项都要乘，一个都不能少！） ❌ 乘除负数忘变号（性质 3 刻在脑子里，步步检查！） ❌ 数轴表示虚实、方向标反（画完再对照解集检查一遍！） ❌ 找不等式组公共部分出错（口诀 + 数轴双保险，双重验证！） ❌ 实际应用题忽略实际意义（解完必看，答案要符合生活常识！） .核心一句话：概念辨清、性质用准、步骤规范、数轴辅助、避坑到底，不等式这章直接满分拿下！ 题型01.不等式定义及解集 【典例】下列表达式中是不等式的有（   ）个 ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，解题思路是根据不等式的定义逐个判断式子，统计符合要求的个数即可，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 【详解】解：根据不等式的定义逐个判断： ∵ ① 用不等号连接，是不等式； ② 用不等号连接，是不等式； ③ 用等号连接，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤ 用等号连接，是等式，不是不等式； ⑥ 用不等号连接，是不等式； ∴ 符合不等式定义的共有3个. 【跟踪专练1】下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 【跟踪专练2】下列选项中，不能用不等式表示的是（    ） A．小于0 B．是正数 C．等于零 D．a比b大 【答案】C 【分析】根据选项语句描述概括出数量关系即可得出结论． 【详解】解：A.小于0，用不等式表示为：，故选项A不符合题意； B. 是正数，用不等式表示为：，故选项B不符合题意； C. 等于零，即，是相等关系，故选项C符合题意； D. a比b大，用不等式表示为：，故选项D不符合题意； 故选：C 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 【跟踪专练3】下列实数中，满足不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、平方根、不等式的定义，属于基础题．先根据有理数的乘方、立方根的定义计算选项A、D，然后让每个选项与3比较即可作出判断． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型02.不等式的性质 【典例】若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴、，该选项错误． 、，该选项正确． 、，该选项错误． 、，该选项错误． 【跟踪专练1】若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐项判定即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，，，， 观察四个选项，正确结论是B． 【跟踪专练2】若，且，则的最小整数值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将代入化简得，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小整数值为2． 【跟踪专练3】是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴表示数的意义和方法、绝对值、有理数加减运算、不等式的性质等知识点，理解绝对值、不等式的性质是解题的关键． 根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出，且，再根据绝对值、相反数的意义、有理数加减运算、不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，，且， A．，因此A选项正确； B．由，则，因此B选项错误； C．由，则，因此C选项错误； D．由，则，因此D选项错误． 故选：A． 题型03.一元一次不等式的定义 【典例】下列不等式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式进行分析． 【详解】解：A．是分式，故不是一元一次不等式； B．的次数为二次，故不是一元一次不等式； C．含有、两个未知数，故不是一元一次不等式； D．是一元一次不等式，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】下列不等式中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、化简得，是一元一次不等式，故A正确； B、含有二次项，不是一元一次不等式，故B错误； C、不含未知数，不是一元一次不等式，故C错误； D、化简后为，不含未知数，不是一元一次不等式，故D错误； 故选：A． 【跟踪专练2】下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中一元一次不等式有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【详解】解：①，属于不等式，但不是一元一次不等式，不合题意； ②，属于一元一次不等式，符合题意； ③，属于一元一次不等式，符合题意； ④，属于一元二次不等式，不合题意； ⑤属于方程，不合题意； ⑥，属于一元一次不等式，符合题意． 综上所述，一元一次不等式有3个． 故本题选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的判别，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键． 题型04.求不等式解集 【典例】若有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零指数幂的底数不能为，求解即可. 【详解】解：∵有意义， ∴ ，解得 【跟踪专练1】解不等式时，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次不等式去分母时需要给不等式每一项都乘以所有分母的最小公倍数，去括号时要注意符号变化，据此计算判断即可． 【详解】解：∵分母6和3的最小公倍数为6， ∴不等式两边每一项同时乘以6，得：． 【跟踪专练2】在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数（a，b，c依次是这个数的百位、十位、个位上的数），并请这个人算出5个数，，，与的和N，把N告诉魔术师．于是魔术师就可以说出这个人所想的数．现在设，则魔术师求出的数为（   ） A．902 B．680 C．458 D．236 【答案】D 【分析】设原三位数，其中，，为整数，令，根据，得到，再通过确定的可能取值，逐一验证得到结果． 【详解】解：设原三位数，其中，，为整数，令， ，这六个数的和中，在百位、十位、个位上各出现次， 这六个数的和为， 即，可得， ， ，即， 解得， 为整数， ， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，舍去； 当时，，此时，舍去； 当时，，此时，舍去； ． 题型05.求不等式整数解 【典例】不等式的最小整数解是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集中的最小整数即可． 【详解】解： ， ∵ 大于等于的整数中，最小的整数是， ∴ 该不等式的最小整数解是． 【跟踪专练1】不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集范围内的负整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：不等式两边同乘2去分母，得， 移项并合并同类项，得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得， ∴范围内的负整数为，共2个． 【跟踪专练2】下列说法中错误的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的一个解 C．不等式的解集是 D．不等式的整数解有无数个 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解与解集的概念，通过代入验证或解不等式即可判断各选项正误． 【详解】解：∵将代入不等式，得，成立， ∴是不等式的解， A说法正确，不符合题意； ∵将代入不等式，得，成立， ∴是不等式的一个解， B说法正确，不符合题意； ∵解不等式，解得，不是， ∴C说法错误，符合题意； ∵不等式的整数解包括所有小于10的整数，有无数个， ∴D说法正确，不符合题意. 题型06.不等式解集的数轴表示 【典例】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”可得，不等式的解集在数轴上表示如D选项所示． 【跟踪专练1】在数轴上表示不等式的解集正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示出来． 【详解】解：， 得 表示在数轴上如图所示 【跟踪专练2】关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】先解不等式可得，再根据题意可得不等式的解集为，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得，， 由题意得：不等式的解集为， ∴， 解得． 题型07.求不等式解的最值 【典例】已知的最小值为，的最大值为，则_______． 【答案】 【详解】求一元一次不等式解的最值、已知字母的值 ，求代数式的值 略 【跟踪专练1】如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 【详解】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 【跟踪专练2】已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 题型08.列一元一次不等式 【典例】2025年3月12日是我国的第47个植树节，为划定常德市生态保护的边界，《常德市国土空间总体规划年》明确生态保护红线面积不低于平方千米．若用平方千米表示生态保护红线面积，则x满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的应用，根据题意，生态保护红线面积不低于平方千米，即大于等于平方千米，即可得出，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意，生态保护红线面积不低于平方千米，即大于等于平方千米， ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】用适当的符号表示“两数的平方和不小于这两数积的2倍”，下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的定义，代数式表示不等式，根据“平方和不小于积的2倍”即，“不小于”表示大于或等于，表示为，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得到，， 故选：B． 【跟踪专练2】某校组织开展国家安全知识竞赛活动，共25道题，选对一题得4分，不选或选错扣2分，如果得分不低于60分即可获奖，那么要获奖至少应选对多少道题？设要获奖应选对道题，根据题意，可列不等式为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：设要获奖应选对道题，则不选或错选的有道， 根据题意得，， 故答案为：． 题型09.用一元一次不等式解决实际问题 【典例】一辆匀速行驶的汽车在距离甲地50千米，要在之前驶过甲地，则车速（单位：千米/小时）应满足的条件是______． 【答案】 【分析】先计算汽车可行驶的时间． 再结合路程公式，根据题意列出一元一次不等式． 求解得到车速满足的条件． 【详解】解：由题意得，从到，可行驶的时间为分钟小时． 要在之前驶过甲地，说明行驶路程大于千米， 则 解得千米/小时． 【跟踪专练1】把一些奖品分给若干名学生，如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一个学生分到的奖品就少于3个，问学生至少有多少名？设有x名学生，依题意可列不等式____． 【答案】 【分析】先根据第一个分配条件表示出奖品的总数量，再根据第二个分配条件确定最后一名学生分得奖品数的范围，据此列出不等式． 【详解】解：∵有名学生， ∴根据“每人分3个，多出7个奖品”，可得奖品总数为， 若每人分5个，有一个学生分到的奖品少于3个，则名学生每人分得5个奖品，最后一名学生分得的奖品数为， ∵最后一名同学的奖品少于3个， ∴可得不等式：． 【跟踪专练2】有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 可以设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水为a，每台抽水机每分钟抽水为b，根据题意可列出两个方程，可以得到x与b、a与b之间的关系，最后即可得时间为12分钟时需要的抽水机台数． 【详解】解：设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水的为a，每台抽水机每分钟抽水为b， 根据题意得：， 解得：，， 如果要在12分钟内抽完水，设至少需要抽水机n台，即，代入a、x的值解得：      故如果要在12分钟内抽完水，那么至少需要抽水机8台． 故选：C． 题型10.用一元一次不等式解集几何问题 【典例】已知的三个内角互不相等，如果为最小的内角，那么下列四个度数中，最大可取 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为最小的内角得，，利用三角形的内角和定理转化为不等式，求解即可． 【详解】是最小的内角，且三个内角互不相等， ， 即最大可取 故选：B 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，不等式及其求解，解题的关键是利用三角形内角和定理转化为不等式． 【跟踪专练1】若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）． ①；    ②． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为直接写出x的整数值为________． 【答案】 ① 9 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，10为最长边、10不为最长也不为最短边、10为最短边进行讨论即可求解． 本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【详解】解：（1）①， 能组成“不均衡三角形”； ②， 不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当10为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， 故不合题意，舍去； ③当为最长边，10为最短边时， 解得：， ， 解得：， ， 为整数， ，可以构成三角形； 综上所述，x的整数值为9； 故答案为：9． 【跟踪专练2】如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次沿ED翻折，第三次沿CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝内部（不包含边界），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可； 【详解】解：第一次翻折后2a+∠BDE=180°， 第二次翻折后3a+∠BDC=180°， 第三次翻折后4a+∠BDE=180°， 第四次翻折后5a+∠BDC=180°， 若能进行第五次翻折，则∠BDC≥0，即180°-5a≥0，a≤36°， 若不能进行第六次翻折，则∠BDC≤a，即180°-5a≤a，a≥30°， 当a=36°时，点B落在CD上，当a=30°时，点B落在ED上， ∴30°＜a＜36°， 故选：D； 【点睛】本题考查了图形的规律，折叠的性质，一元一次不等式的应用；掌握折叠前后角度的变化规律是解题关键． 题型11.由直线与坐标轴交点求不等式解集 【典例】如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，即， ∴由图象可知，关于x的不等式的解集是． 故选：A． 【跟踪专练1】已知一次函数的图像如图所示，则不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点，数形结合求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，直线与y轴的交点的纵坐标为1， 当时，函数值， ∴不等式的解集为． 【跟踪专练2】一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据一次函数与不等式的关系分别判断各选项即可． 【详解】选项①： 从图象可得，一次函数与轴的交点在的左侧，当小于该交点横坐标时，，因此不是所有都满足，结论①错误； 选项②： 一次函数与轴的交点在原点右侧（横坐标大于0），随增大而减小，因此对所有小于交点横坐标，都有， 因为，0小于交点横坐标， 所以时，，结论②正确； 选项③： 两个函数的交点横坐标为，当时，的图象在的图象上方， 因此，结论③正确； 综上，正确的结论有2个． 题型12.由两直线交点求不等式解集 【典例】如图，已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b＜ax的解集是___． 【答案】x＞2 【分析】观察函数图象得到当x＞2时，直线y＝kx+b不在直线y＝ax的上方，于是可得到不等式kx+b＜ax的解集． 【详解】解：当x＞2时，kx+b＜ax， 所以不等式kx+b＜ax的解集为x＞2． 故答案是：x＞2． 【点睛】本题考查利用一次函数图形解不等式，数形结合思想的应用是解决问题的关键． 【跟踪专练1】直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与直线交点的横坐标为，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】解：由图象可得，关于的不等式的解集为． 【跟踪专练2】对于三个数a、b、c，表示a、b、c这三个数中最小的数，如：，若，则y的最大值是_______． 【答案】2 【分析】此题考查了一次函数的交点问题，一次函数的图象和性质，设，，，首先分别联立求出三个函数的交点，然后结合图象求解即可． 【详解】解：如图所示， 设，，， 当时，， 解得，此时 ∴， 当时，， 解得，此时 ∴， 当时，， 解得，此时 ∴， ∴由图象可得，当时，，且； 当时，，且， ∴y的最大值为2． 故答案为：2． 题型13.求不等式组的解集 【典例】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解，并不解集表示在数轴上，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是关键． 根据不等式的性质求解不等式的解集，再把解集表示在数轴上，由此得到解集即可． 【详解】解：， 解①得，， ∴不等式的解集为， ∴解集表示在数轴上如图所示， 故选：A ． 【跟踪专练1】不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 【跟踪专练2】将一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出两个不等式的解集，然后根据确定不等式组解集的方法：“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小是无解”，确定公共部分，再在数轴上表示出来，注意在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，含等号取实心点，不含等号取空心圆圈． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示其解集为： 题型14.求不等式组整数解 【典例】已知有理数，且，则使始终成立的有理数的取值范围是（    ） A．小于或等于的有理数 B．小于的有理数 C．小于或等于的有理数 D．小于的有理数 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义先求出的取值范围，再根据始终成立，求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵始终成立， ∴的取值范围是小于或等于的有理数． 故选：． 【点睛】本题结合绝对值考查了解不等式，掌握绝对值不等式的解法是解题的关键． 【跟踪专练1】不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，找出解集内的所有整数，计算整数解的和即可得到结果． 【详解】解：， 解不等式得：； 解不等式得：； 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为， 整数解之和为． 【跟踪专练2】若关于的不等式组的解集中，整数解仅有1，2，3，则满足题意的整数对的组数是_____． 【答案】 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，首先解不等式组，得到解集为 . 由整数解仅为1，2，3，即可确定a，b的范围，即可确定a，b的整数解，即可求解． 【详解】解：解不等式 得 ， 解不等式 得 ， 所以不等式组的解集为 ； ∵不等式组的整数解仅为 1，2，3， ∴， ∴，， ∵、为整数， ∴可取1，2，3，可取7，8． 所以，整数对共有 组． 故答案为：6． 【跟踪专练3】已知关于的不等式组的最小整数解是3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集为，根据最小整数解是，可知不是解而是解，从而得出关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式： ∵ ∴ ． 解第二个不等式： ∵ 两边乘： 展开： 移项： ∴ ． 即 ． ∴ 不等式组的解集为 ． ∵ 最小整数解是 ∴ 不是解，故 ． 又 ∵ 是解，故 ∵ ∴ ． 即 ． ∵ 且 ∴ ． 即 ． ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点一元一次不等式组的整数解，解题关键是根据最小整数解的条件，建立关于的不等式，从而确定 的取值范围． 题型15.由不等式组的解集求参数 【典例】不等式组的解集是，请写出一个符合条件的的值_________． 【答案】3 （答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式组以及不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式组的解集． 根据不等式组的解集即可求出答案． 【详解】解：不等式组， 由①得：， ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：3 （答案不唯一）． 【跟踪专练1】已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的解集， 熟练掌握找不等式组的解集的口诀是解题的关键．根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，再结合不等式组的解集即可得出a的范围． 【详解】解：原不等式组为：， 由可得， ∵不等式组的解集是， ∴． 故选：C 【跟踪专练2】明明在解一元一次不等式组时，发现“”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为，若用字母表示“”里的常数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先解，再根据不等式组的解集为，即可求出的取值范围． 【详解】解：用字母表示“”里的常数， ∴， 解不等式得：， ∵不等式组的解集为， ∴． 题型16.由不等式组解集的情况求参数 【典例】若关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法．首先利用不等式的基本性质解不等式组，再从不等式的解集中找出适合条件的整数解，再确定字母的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵此不等式组只有4个整数解， ∴此不等式组的解集为， ∴它的4个整数解为20、19、18、17； ∴， 解得a的取值范围是：． 故答案为：． 【跟踪专练1】关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解，即两个解集之间存在公共部分，确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②： 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 关于的不等式组有解 解得． 【跟踪专练2】若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组无解的问题，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤以及不等式组解的情况． 先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； ∵解不等式， 移项得， 即， ∴； ∵不等式组无解； ∴两个解集无公共部分，即， ∴解得， 故选：D． 题型17.不等式组和方程组结合的问题 【典例】不等式组的解集是0＜x＜2，那么a+b＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】首先解不等式组得到解集为4﹣2a ＜x，得到方程组，求出a和b的值． 【详解】，由①得，x＞4﹣2a，由②得，x， ∵不等式组的解集是0＜x＜2， ∴，解得， ∴a+b＝2﹣1＝1． 故选：C． 【点睛】本题考查解不等式组，方法是首先接触不等式组中各个不等式的解集，其公共部分就是不等式组的解集． 【跟踪专练1】已知满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】用第②个方程减第①个得，即得，再解不等式组即可求解． 【详解】解：， ②①，得， ∵ ∴， 即， 解得， ∴的取值范围为． 【跟踪专练2】设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，方程组的定义，不等式组的解法，理解题意，通过不等式组分析确定和的可能值，是解题的关键． 设，，则a、b为整数，由方程组得到，，然后根据新定义可知，，从而得到，，进而得到关于b的一元一次不等式组，解得b的可能值，从而确定x和y的值，即可解答． 【详解】解：设，，则a、b为整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵a、b为整数， ∴， ∵， ∴，则， 又∵， ∴，即， 将代入得， 即 解得， ∴或2， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴， ∴的值为3或． 故选：C． 题型18.列一元一次不等式组 【典例】某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示，每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）.王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义．由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：B． 【跟踪专练1】小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． 【跟踪专练2】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 题型19.不等式组的应用. 【典例】某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式组的应用，某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压，“至少得赚回利润1100元”指的是最终销售额需要覆盖最初积压的全部资金(元)，并在此基础上盈利1100元，因此对最终销售额的最低要求为元；设商店应该将这批新进货高出买进价的卖出，则实际出售商品的收入为；商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货，则以零售价出售的收入为；且满足：最少收入实际出售商品的收入以零售价出售的收入，代入求解即可． 【详解】解：设新进货应高出进价的， 由题意得，则， 解得：， 故选：D． 【跟踪专练1】春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 【跟踪专练3】大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练4】在读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们，如果每人分5本，那么剩余12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，勤奋小组一共有______人． 【答案】或 【分析】设勤奋小组一共有x人，根据“如果每人分5本，那么剩余12本”可得这些图书的总数为：，根据“如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本”，即可列出不等式组，进一步可得解. 【详解】解：设勤奋小组一共有x人， ∵如果每人分5本，那么剩余 12本， ∴这些图书的总数为：， ∵如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本， ∴，即, 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵为正整数， ∴或， ∴勤奋小组一共有人或人． 解答题 1．用不等式表示下列数量之间的关系： (1)一罐饮料净重为，其中，蛋白质含量为，且不低于净重的； (2)某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列不等式． （1）根据蛋白质含量不低于净重的列出不等式即可． （2）根据七年级学生人数比八年级的2倍还要多列出不等式即可 【详解】（1）解：根据题意可知蛋白质含量 （2）解：根据题意可知： 2．按要求完成以下问题 (1)一个长方形纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长比正方形纸片周长的倍少，求这个长方形纸片的长，宽各是多少？ (2)小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 【答案】(1)长方形的长为，宽为 (2)小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由见解析 【分析】（1）设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为，根据“长方形纸片周长比正方形纸片周长的倍少”，列一元一次方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长，宽分别为、根据长方形的面积列方程，求出长方形的长，大于正方形的边长，即可得解． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为， 依题意，得， 解得， ，， 则长方形的长为，宽为． （2）解：设裁出的长方形的长，宽分别为、 长方形面积为， ， ， 又， ， 长方形的长， ， ，即， 长方形的长正方形的边长， 即小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 3．解不等式，并将它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【详解】解：， ， ， 解得：， 在数轴上表示如下： 4．已知关于的方程的解为非负数，求出的取值范围．并直接写出的最小整数值． 【答案】；1 【分析】先解关于的方程，用m表示x，再根据方程解为非负数列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得， 由于方程的解为非负数， 则， 解得， 则最小值可取1， 答：的取值范围为，的最小整数值为1． 5．解方程组与不等式组： (1)解方程组：； (2)解不等式组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法进行求解； （2）利用解一元一次不等式组的步骤进行求解． 【详解】（1）解： ，得，即， ， 把代入①，得， 解得， ， 所以方程组的解是； （2）解： 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解集为． 6．解不等式组，并求不等式组的整数解． 【答案】，不等式组的整数解为：，，，0 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解为， 故此不等式组的整数解为：，，，0． 7．已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两式相减得到关于的表达式，再结合求解的值； （2）先解方程组，根据方程的解满足为非正数，为负数，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， ， ， ， ； （2）解：， 得，， ， 将代入得，， ， 为非正数，为负数， ， 解得． 8．年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表： 型借阅机 型借阅机 单日最大借阅量（册天） 单台采购成本（元台） 如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案． 【答案】共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台． 【分析】设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台，根据题意得，然后解不等式组即可． 【详解】解：万元元，设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台， 根据题意得， 解第一个不等式得； 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， 因为为正整数， 所以的取值为或， 当时，； 当时，， 答：共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台． 9．随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． (1)求，两种型号的机器人的进价各是多少？ (2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】(1)型机器人的进价为4500元；型机器人的进价为3000元； (2)商场应购买型机器人3台，型机器人2台，总费用为19500元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式即可． 【详解】（1）解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元． 10．某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 【答案】(1)可以生产甲款服装100件，乙款服装200件 (2)共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件 【分析】（1）设甲款服装x件，则乙款服装件，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）设甲款服装m件，则乙款服装件，由题意可列出不等式组，进而求解即可． 【详解】（1）解：设甲款服装x件，则乙款服装件，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：可以生产甲款服装100件，乙款服装200件． （2）解：设甲款服装m件，则乙款服装件，由题意得： ， 解得：， ∵m是正整数， ∴m的取值为334或335； 答：共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $