专题08直角三角形复习讲义(16大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年鲁教版五四制七年级数学下册

专题08直角三角形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记直角三角形定义、性质（两锐角互余、斜边中线 / 30° 角相关结论） 2.掌握勾股定理 + 逆定理、常见勾股数，会用角 / 边两种方法判定直角三角形 3.吃透 HL 定理，能结合普通全等判定证直角三角形全等 4.分清互逆命题、互逆定理概念，不混淆 1.能区分勾股定理与逆定理用法，精准计算边长、判定三角形形状 2.会从复杂图形中找 / 构造直角三角形，把非直角问题转化为直角问题 3.能将测量、距离等实际问题，转化为直角三角形模型求解 4.规范几何书写，推理有依据、步骤不跳步，运算零失误 1.攻克核心考点：勾股定理综合应用、HL 定理证明、特殊直角三角形计算 2.快速识别基础 / 中档 / 稍难题型，掌握对应解题技巧，提升解题速度 3.规避典型易错点：HL 定理漏注直角、边长计算漏分类讨论、定理误用等 4.本板块基础题不失分、中档题稳拿分、稍难题尽量拿分 题型01.写出命题的逆命题 题型02.定理.证明与互逆定理 题型03.用HL证全等 题型04.全等性质和HL综合 题型05.含30角的直角三角形 题型06.倍长中线模型 题型07.旋转模型 题型08.垂线模型 题型09.全等三角形综合问题 题型10.勾股定理的证明方法 题型11.直角三角形的三边判定 题型12.在网格中判断直角三角形 题型13.利用勾股定理的逆定理求解 题型14.勾股定理逆定理的实际应用 题型15.直角三角形的两锐角互余 题型16.锐角互余的三角形是直角三角形 解答题10题 知识点01:定义与符号 定义：有一个角是 90°（直角）的三角形叫做直角三角形。 表示：Rt△ABC（∠C=90°）。 边的名称： 直角边：夹直角的两边（a、b） 斜边：直角所对的边（c，最长边） 知识点02:直角三角形的性质（必背） 1. 角的性质：两锐角互余 在 Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ ∠A + ∠B = 90°。 2. 边的性质：勾股定理（核心） 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号：Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ a² + b² = c²。 变形： 求斜边：c=​ 求直角边：​；b=​； 3. 特殊线段性质 斜边上的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。. 符号：CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线 ⇒ CD = AB。 30° 角性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 符号：Rt△ABC 中，∠C=30° ⇒ AB= BC。 4. 面积与斜边上的高 面积：S=AC=ABCD（CD为斜边上的高），即AC=ABCD。 知识点03:直角三角形的判定（必考） 1. 按角判定 有一个角是 90° 的三角形是直角三角形。 有两个角互余的三角形是直角三角形（∠A+∠B=90° ⇒ ∠C=90°）。 2. 按边判定（勾股定理逆定理） 内容：若三角形三边长 a、b、c 满足a² + b² = c²，则这个三角形是直角三角形，且 c 为斜边。 注意：先找最长边，再验证平方和。 3. 中线判定 若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形（中线= 边长 ⇒ 直角三角形）。 在△ABC 中，若 D 为 AB 的中点，且 CD=AB，则∠ACB = 90°，△ABC 为直角三角形。 知识点04:直角三角形全等的判定（HL 定理） 一般判定：SSS、SAS、ASA、AAS（均适用）。 特殊判定（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 符号语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C' ⇒ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。 注意：HL 仅适用于直角三角形，书写必须注明 “Rt△”。. 知识点05:互逆命题与互逆定理（概念理解） 互逆命题：两个命题中，若一个命题的条件与结论互换，则互为逆命题。 例：原命题 “直角三角形两锐角互余”；逆命题 “两锐角互余的三角形是直角三角形”。 互逆定理：若一个定理的逆命题是真命题，则它也是定理，两定理互为逆定理。 例：勾股定理与勾股定理逆定理互为逆定理。 关键：原命题真，逆命题不一定真（如 “对顶角相等” 逆命题假）。 常见结论与易错点 1. 常见勾股数（熟记） 3, 4, 5； 5, 12, 13； 6, 8, 10； 7, 24, 25； 8, 15, 17。 2. 易错警示 (1)勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形不可用。 (2)用逆定理时，必须先确定最长边，再验证平方和。 (3)HL 定理只能用于直角三角形全等，不可用于一般三角形。 题型01.写出命题的逆命题 【典例】已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，把原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么， 故选：B． 【跟踪专练1】命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“等腰三角形的两底角相等”中， 题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“它有两个角相等”， 交换题设和结论，得到逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【跟踪专练2】以下命题的逆命题中，属于真命题的是（   ） A．如果，，则 B．直角都相等 C．两直线平行，同位角相等 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，逆命题的真假识别，掌握逆命题把原命题的题设变为结论，把结论变为题设，逆命题的真假识别方法是解题关键． 首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论得出答案． 【详解】解：A．逆命题为：如果，则，，反例，，，故该选项的逆命题是假命题，不符合题意； B．逆命题为：相等角是直角，反例，但不是直角，故该选项的逆命题是假命题，不符合题意； C．逆命题为：同位角相等，两直线平行，根据平行线判定定理知其是真命题，故该选项的逆命题是真命题，符合题意； D．逆命题为：，则，反例，故该选项的逆命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 题型02.定理.证明与互逆定理 【典例】命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 【跟踪专练1】下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【答案】D 【分析】分别写出个命题逆命题，即可求解． 【详解】解：A、逆定理为：两直线平行，同旁内角互补，故本选项不符合题意； B、逆定理为：两直线平行，内错角相等，故本选项不符合题意； C、逆定理为：两直线平行，同位角相等，故本选项不符合题意； D、逆命题为：绝对值相等的两个数互为相反数，是假命题，即该定理没有逆定理，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了逆定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理. 【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意； B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都相等，但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意； C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意； D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符合题意. 故选：D. 【跟踪专练3】下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 题型03.用HL证全等 【典例】如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定． 利用“”判定即可． 【详解】解：根据题意，当，时，，故选项A符合题意． 故选：A． 【跟踪专练1】在中，，，，线段，，两点分别在和的垂线上移动，则当_____时，才能使和全等． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定(定理)，关键是分两种情况讨论直角边的对应关系，结合斜边相等的条件确定的长度． 【详解】解：∵，， ∴，即与均为直角三角形，且斜边． 若，则与为对应边， ∵， ∴； 若，则与为对应边， ∵， ∴． 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图，，可以判定的依据是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟悉直角三角形全等证明方法． 根据直角三角形全等的判定定理求解即可．． 【详解】解：在和中， 故选：D． 题型04.全等性质和HL综合 【典例】如图，在ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论，一定成立的是（    ） A．BD＝AD B．∠B＝∠C C．AD＝CD D．∠BAD＝∠ACD 【答案】B 【分析】根据直角三角形全等的特殊判定方法（直角边斜边）得出，再由全等三角形的性质依次判断各选项即可得． 【详解】解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， 故选：B． 【点睛】题目主要考查直角三角形全等的判定定理和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，，于点，于点．若，则的度数为______． 【答案】/15度 【分析】证明，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，在中，，点在上，满足，过点作交于点，若的周长为，的周长为，则___________． 【答案】 【分析】连接，根据可证，利用全等三角形的性质可知，再根据的周长和的周长，可得，即可得到的长度． 【详解】解：如下图所示，连接， 在和中， ， ， ， 的周长为， ， ， ， ， 的周长为， ， ， ， ． 题型05.含30角的直角三角形 【典例】如图，有一棵高为15米的松树（垂直于地面）在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，则松树断裂处离地面的距离的长为___________米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，根据题意可得，再由树高为15米得到米，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，在中，，， ∴， ∵树高为15米， ∴米， ∴， ∴米， 故答案为：5． 【跟踪专练1】如图，等边中，是的中点，于点，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及线段中点的定义，熟练掌握在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 利用等边三角形的性质，得到，由，在中，求得，从而得到因为是中点，且，所以，进而推出．结合，列方程求出的长度． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【跟踪专练2】如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．根据等腰三角形性质得，进而得，根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：C． 题型06.倍长中线模型 【典例】课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 _______________； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ______________； ．        B．         C．         D． 【答案】 D C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，倍长中线法证明三角形全等是解题的关键； （1）如图中，延长到点，使，连接，利用证明； （2）根据全等三角形的性质推出，再根据，可得结论； 【详解】（1）解：延长到点，使，连接． 是的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：D； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：C； 【跟踪专练1】如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．延长至，使，连接．根据证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 在与中， ， ， ． 在中，， 即， ． 故选：A． 题型07.旋转模型 【典例】如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A．64° B．52° C．62° D．56° 【答案】D 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠CAB＝∠C'CA＝62°，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解． 【详解】解：∵CC'∥AB， ∴∠CAB＝∠C'CA＝62°， ∵将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置， ∴AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'， ∴∠AC'C＝∠ACC'＝62°， ∴∠CAC'＝180°-2×62°=56°＝∠BAB'， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和，求得的度数是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，，是斜边上的两点，且．将绕点顺时针旋转后，得到，连接．有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是__________．（请填写序号） . 【答案】①③④ 【分析】根据等腰直角三角形求出，根据旋转得出，，，，即可判断①，证，即可判断③，求出，根据勾股定理即可判断④，根据与不一定相等判断②即可． 【详解】解：在中，， ， 将绕点顺时针旋转后，得到， ， ，，， ，， ， ，故①正确； 即， 在和中， ， ， ， 即平分，故③正确． ， 将绕点顺时针旋转后，得到， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ，故④正确； 与不一定相等， 与不一定全等，不能推出，故②错误． 【跟踪专练2】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 题型08.垂线模型 【典例】如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________   【答案】 【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC． ∵CD⊥BD，BO⊥AO， ∴∠CDB＝∠BOA＝90°． ∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠ABO＝∠BCD． 在△ABO和△BCD中， ， ∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴BD＝AO，CD＝BO， ∵A（4，0），B（0，6）， ∴BD＝4，CD＝6， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键． 【跟踪专练1】如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为________． 【答案】8 【分析】由线段CD的长求的面积，故过B作CD的垂线，则由三角形面积公式可知：，再由题中的和等腰直角三角形ABC，即可求证，最后由即可求解． 【详解】解：过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点E 故答案是：8． 【点睛】本题主要考查全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中档难度的几何证明题．解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线． 【跟踪专练2】勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 题型09.全等三角形综合问题 【典例】根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定条件逐一分析各选项，判断是否能唯一确定. 【详解】解：A. 已知，但在非直角或钝角时无法唯一确定三角形，可能存在两种不同形状，故排除； B. 已知（直角三角形斜边），但未给出另一条边或角，无法确定直角边长度，条件不足，排除； C. 已知（），符合边角边全等判定定理，能唯一确定三角形，符合条件； D. ，因，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，排除； 故选C 【跟踪专练1】如图，在中，，于点，点、在边上，点在点的左侧，且，则图中全等三角形的对数共有__________对． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力．根据等腰三角形性质得出，，推出，根据推出，根据推出，最后根据推出． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， 即有4对全等三角形， 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿返回点A，设点P的运动时间为t秒． （1）若，则t的值为_______秒； （2）当t的值为________秒时，与全等． 【答案】 7 或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，注意进行分类讨论，是解题的关键． （1）根据长方形的性质得出，，根据得出，，说明此时点P在点C处，即可得出点P移动的距离为，最后求出结果即可； （2）分两种情况：当点P在上时，若；当点P在上时，若，结合全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：（1）∵四边形为长方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴此时点P在点C处， ∴此时点P移动的距离为， ∴； 故答案为：7； （2）在长方形中，，， ∴， 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 综上所述，当t的值为或秒时，和全等． 故答案为：或． 题型10.勾股定理的证明方法 【典例】我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式、勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 【跟踪专练1】下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：A、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； B、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； C、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； D、，不能用面积验证勾股定理，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读㯵图象信息．根据勾股定理，直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①，②，③，④正确， 故选：D． 题型11.直角三角形的三边判定 【典例】小明测量4个直角三角形的边长，你认为正确无误的一组数据是（   ） A．5，3，4 B．8，8，10 C．5，11，12 D．10，15，20 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可． 【详解】对选项A：最长边为5，，可以构成直角三角形； 对选项B：最长边为10，，不满足； 对选项C：最长边为12，，不满足； 对选项D：最长边为20，，不满足． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，已知D是的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理， 首先求出，然后证明出，利用勾股定理求解即可． 【详解】∵，D是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】若的三边a，b，c满足，则的面积为________． 【答案】54 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理及绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性求得，，，然后根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 的面积为． 故答案为：54． 题型12.在网格中判断直角三角形 【典例】如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、三角形的面积，利用勾股定理求线段长度是解题的关键．根据勾股定理求出、、，利用勾股定理的逆定理推出，再利用割补法求出，结合选项即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 结合选项可得，A、B、C选项结论正确，D选项结论不正确． 故选：D． 【跟踪专练1】已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全面是解题的关键． 分别以中A，B，C三个点为直角三角形的直角顶点，分三种情况分别讨论即可． 【详解】解：如下图， 当为斜边即点C为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且A点为直角顶点，则第三个点C所在的位置有：，两个； 当为直角边且B点为直角顶点，则第三个点C所在位置有：，，三个． ∴能作7个为边的直角三角形． 故答案为：7． 【跟踪专练2】在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键． 先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故A，B选项的结论正确，不符合题意； ，故C选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 故选：C． 题型13.利用勾股定理的逆定理求解 【典例】在中，如果三边满足关系，则的直角是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理可判断是直角三角形．再根据最长边所对的角为直角，即可判断是的直角． 【详解】， 是直角三角形，且是斜边， ∴，即是的直角． 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理．掌握如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，且最长边所对的角为直角是解题关键． 【跟踪专练1】已知一个三角形三边之比为，周长为，则最长边上的高为___________ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别算出每条边的长度，又因为，得出这个三角形是直角三角形，结合等面积法进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个三角形三边之比为，周长为， ∴，，， ∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积， 则最长边上的高， ∴这个三角形的最长边上的高为， 故答案为： 【跟踪专练2】已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 【详解】解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 题型14.勾股定理逆定理的实际应用 【典例】小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（   ） A．勾股定理 B．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，如果，则可判断是直角三角形，由此可推断是否为直角． 【详解】解：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足，则可判断是直角三角形，即为直角；若，则不是直角． 故选：B． 【跟踪专练1】木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板_______（填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的应用，根据“”可判断三角形木板为直角三角形，故可得结论． 【详解】解：∵木板的三边长分别为，，， ∴， 而， ∴， ∴三角形木板为直角三角形， 故答案为：合格． 【跟踪专练2】某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是______． 【答案】114 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理求出为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴绿地的面积； 故答案为：114． 题型15.直角三角形的两锐角互余 【典例】中，，，则_____°． 【答案】 【分析】本题考查角度的减法运算，直角三角形的性质；根据直角三角形的性质，两锐角互余，可得即可求解. 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴. 故答案为：. 【跟踪专练1】如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据直角三角形两锐角互余求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 【跟踪专练2】如图，已知和是的两条高，，，则_____． 【答案】/116度 【分析】由三角形的高得出，由直角三角形两锐角互余得出，，再根据三角形内角和得出，最后根据对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵和是的两条高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 题型16.锐角互余的三角形是直角三角形 【典例】满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． B、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． C、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． D、∵， ∴是直角三角形． 【跟踪专练1】如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【跟踪专练2】下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各条件进行分析判断即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 解答题 1．判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果，那么； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果，那么，． 【答案】(1)原命题是真命题．逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题． (2)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是假命题． (3)原命题是真命题．逆命题：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题． (4)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是真命题． 【分析】本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． （1）（2）（3）（4）先判断原命题的真假，再写出逆命题，再判断命题的真假； 【详解】（1）解：∵如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题； （2）解：∵，，满足，但不满足； ∴如果，那么，这是假命题，故原命题是假命题； 其逆命题为：如果，那么，这是假命题， 例如：，，满足，但不满足； （3）解：∵相反数的和为零， ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题； （4）解：∵当时，或． ∴原命题是假命题； 逆命题为：如果，那么．逆命题是真命题． 2．如图，已知，在中，，是上一点，且，为上的一点，交于． (1)求证：≌； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：， 在与中， ∴≌； （2）证明：∵≌； ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 3．已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． (1)若在的同侧（如图①）求证：． (2)若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论； （2）与（1）同理结论仍成立，即根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论． 【详解】（1）证明：于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即； （2）解：， 于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即． 4．如图，已知在锐角中，分别是和边上的高，它们交于点． (1)若和的度数之比为． ①则___________°，___________°； ②___________°． (2)若，则___________； (3)与之间满足怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)①40,60 ②140 (2)130 (3) 【分析】（1）①先设，再根据三角形内角和定理得出方程，求出解即可； ②根据高线的定义得，再根据直角三角形两个锐角互余得，进而得出，最后根据补角定义得出答案； （2）根据直角三角形的两个锐角互余得，即可得出，然后根据补角定义得出答案； （3）仿照解答即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴设， 则， 解得， ∴； ②∵是边上的高，是边上的高，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴ ． 5．如图，平分．求证：是直角三角形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关键； 先通过三角形内角和定理求出，再通过角平分线求出，进而可求出，从而可得到，进而得证． 【详解】证明：， ． 平分， ． ， ， ， 是直角三角形． 6．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)24 (3)1.2 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 7．已知：四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理可知的长度； （2）根据勾股定理的逆定理可知，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）在中，，，， 根据勾股定理得，； （2）在中，，，， ， ∴为直角三角形，且， ． 8．（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【答案】(1)①，；②，；③； (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键． （1）①通过观察图②，确定大、小正方形的边长；②分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积；③根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理． （2）计算图③中图形的面积，从不同角度表示后，根据面积相等验证勾股定理． 【详解】（1）解：①大正方形的边长为，小正方形的边长为． ②大正方形的面积可以表示为，也可以表示为． ③由面积相等可得， 展开得， 整理得． （2）解：梯形的面积为，又梯形的面积为， ∴， ∴， 两边同乘得， 整理得，验证了勾股定理． 9．【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 10．如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．证明，得出，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：∵在与中， ∴ ． （2）证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即， ，即， ∴． ∵在与中， ． （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08直角三角形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记直角三角形定义、性质（两锐角互余、斜边中线 / 30° 角相关结论） 2.掌握勾股定理 + 逆定理、常见勾股数，会用角 / 边两种方法判定直角三角形 3.吃透 HL 定理，能结合普通全等判定证直角三角形全等 4.分清互逆命题、互逆定理概念，不混淆 1.能区分勾股定理与逆定理用法，精准计算边长、判定三角形形状 2.会从复杂图形中找 / 构造直角三角形，把非直角问题转化为直角问题 3.能将测量、距离等实际问题，转化为直角三角形模型求解 4.规范几何书写，推理有依据、步骤不跳步，运算零失误 1.攻克核心考点：勾股定理综合应用、HL 定理证明、特殊直角三角形计算 2.快速识别基础 / 中档 / 稍难题型，掌握对应解题技巧，提升解题速度 3.规避典型易错点：HL 定理漏注直角、边长计算漏分类讨论、定理误用等 4.本板块基础题不失分、中档题稳拿分、稍难题尽量拿分 题型01.写出命题的逆命题 题型02.定理.证明与互逆定理 题型03.用HL证全等 题型04.全等性质和HL综合 题型05.含30角的直角三角形 题型06.倍长中线模型 题型07.旋转模型 题型08.垂线模型 题型09.全等三角形综合问题 题型10.勾股定理的证明方法 题型11.直角三角形的三边判定 题型12.在网格中判断直角三角形 题型13.利用勾股定理的逆定理求解 题型14.勾股定理逆定理的实际应用 题型15.直角三角形的两锐角互余 题型16.锐角互余的三角形是直角三角形 解答题10题 知识点01:定义与符号 定义：有一个角是 90°（直角）的三角形叫做直角三角形。 表示：Rt△ABC（∠C=90°）。 边的名称： 直角边：夹直角的两边（a、b） 斜边：直角所对的边（c，最长边） 知识点02:直角三角形的性质（必背） 1. 角的性质：两锐角互余 在 Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ ∠A + ∠B = 90°。 2. 边的性质：勾股定理（核心） 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号：Rt△ABC 中，∠C=90° ⇒ a² + b² = c²。 变形： 求斜边：c=​ 求直角边：​；b=​； 3. 特殊线段性质 斜边上的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。. 符号：CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线 ⇒ CD = AB。 30° 角性质：在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 符号：Rt△ABC 中，∠C=30° ⇒ AB= BC。 4. 面积与斜边上的高 面积：S=AC=ABCD（CD为斜边上的高），即AC=ABCD。 知识点03:直角三角形的判定（必考） 1. 按角判定 有一个角是 90° 的三角形是直角三角形。 有两个角互余的三角形是直角三角形（∠A+∠B=90° ⇒ ∠C=90°）。 2. 按边判定（勾股定理逆定理） 内容：若三角形三边长 a、b、c 满足a² + b² = c²，则这个三角形是直角三角形，且 c 为斜边。 注意：先找最长边，再验证平方和。 3. 中线判定 若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形（中线= 边长 ⇒ 直角三角形）。 在△ABC 中，若 D 为 AB 的中点，且 CD=AB，则∠ACB = 90°，△ABC 为直角三角形。 知识点04:直角三角形全等的判定（HL 定理） 一般判定：SSS、SAS、ASA、AAS（均适用）。 特殊判定（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 符号语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C' ⇒ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。 注意：HL 仅适用于直角三角形，书写必须注明 “Rt△”。. 知识点05:互逆命题与互逆定理（概念理解） 互逆命题：两个命题中，若一个命题的条件与结论互换，则互为逆命题。 例：原命题 “直角三角形两锐角互余”；逆命题 “两锐角互余的三角形是直角三角形”。 互逆定理：若一个定理的逆命题是真命题，则它也是定理，两定理互为逆定理。 例：勾股定理与勾股定理逆定理互为逆定理。 关键：原命题真，逆命题不一定真（如 “对顶角相等” 逆命题假）。 常见结论与易错点 1. 常见勾股数（熟记） 3, 4, 5； 5, 12, 13； 6, 8, 10； 7, 24, 25； 8, 15, 17。 2. 易错警示 (1)勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形不可用。 (2)用逆定理时，必须先确定最长边，再验证平方和。 (3)HL 定理只能用于直角三角形全等，不可用于一般三角形。 题型01.写出命题的逆命题 【典例】已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【跟踪专练1】命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是________． 【跟踪专练2】以下命题的逆命题中，属于真命题的是（   ） A．如果，，则 B．直角都相等 C．两直线平行，同位角相等 D．若，则 题型02.定理.证明与互逆定理 【典例】命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【跟踪专练2】下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【跟踪专练3】下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 题型03.用HL证全等 【典例】如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】在中，，，，线段，，两点分别在和的垂线上移动，则当_____时，才能使和全等． 【跟踪专练2】如图，，可以判定的依据是（   ）    A． B． C． D． 题型04.全等性质和HL综合 【典例】如图，在ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论，一定成立的是（    ） A．BD＝AD B．∠B＝∠C C．AD＝CD D．∠BAD＝∠ACD 【跟踪专练1】如图，在中，，，于点，于点．若，则的度数为______． 【跟踪专练2】如图，在中，，点在上，满足，过点作交于点，若的周长为，的周长为，则___________． 题型05.含30角的直角三角形 【典例】如图，有一棵高为15米的松树（垂直于地面）在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，则松树断裂处离地面的距离的长为___________米． 【跟踪专练1】如图，等边中，是的中点，于点，，则___________． 【跟踪专练2】如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型06.倍长中线模型 【典例】课外兴趣小组活动时，老师提出了下面问题：如图，是的中线，若，，求的取值范围．善思小组通过探究发现，延长至点，使，连接，可以证出，利用全等三角形的性质，可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． 请你利用“善思小组”的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 _______________； ． ． C． D． （2）求得的取值范围是 ______________； ．        B．         C．         D． 【跟踪专练1】如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是___________ 【跟踪专练2】如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型07.旋转模型 【典例】如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　） A．64° B．52° C．62° D．56° 【跟踪专练1】如图，在中，，，是斜边上的两点，且．将绕点顺时针旋转后，得到，连接．有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是__________．（请填写序号） . 【跟踪专练2】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 题型08.垂线模型 【典例】如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为_________   【跟踪专练1】如图，在等腰中，，D为内一点，且，若，则的面积为________． 【跟踪专练2】勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 题型09.全等三角形综合问题 【典例】根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，于点，点、在边上，点在点的左侧，且，则图中全等三角形的对数共有__________对． 【跟踪专练2】如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿返回点A，设点P的运动时间为t秒． （1）若，则t的值为_______秒； （2）当t的值为________秒时，与全等． 题型10.勾股定理的证明方法 【典例】我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（   ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．类比思想 【跟踪专练1】下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11.直角三角形的三边判定 【典例】小明测量4个直角三角形的边长，你认为正确无误的一组数据是（   ） A．5，3，4 B．8，8，10 C．5，11，12 D．10，15，20 【跟踪专练1】如图，在中，，，，已知D是的中点，连接，则的长为______． 【跟踪专练2】若的三边a，b，c满足，则的面积为________． 题型12.在网格中判断直角三角形 【典例】如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知在的网格中，每个小正方形的边长为点均在格点上．以为边作直角三角形（点在格点上），能作___________个． 【跟踪专练2】在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 题型13.利用勾股定理的逆定理求解 【典例】在中，如果三边满足关系，则的直角是（    ） A． B． C． D．不能确定 【跟踪专练1】已知一个三角形三边之比为，周长为，则最长边上的高为___________ 【跟踪专练2】已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 题型14.勾股定理逆定理的实际应用 【典例】小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（   ） A．勾股定理 B．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 【跟踪专练1】木工要切割一块直角三角形木板，量得木板的三边长分别为，，，则这块木板_______（填“合格”或“不合格”）． 【跟踪专练2】某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．则这片绿地的面积是______． 题型15.直角三角形的两锐角互余 【典例】中，，，则_____°． 【跟踪专练1】如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知和是的两条高，，，则_____． 【跟踪专练3】如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型16.锐角互余的三角形是直角三角形 【典例】满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，平分，，，，则是____三角形． 【跟踪专练2】下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 解答题 1．判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果，那么； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果，那么，． 2．如图，已知，在中，，是上一点，且，为上的一点，交于． (1)求证：≌； (2)求证：． 3．已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． (1)若在的同侧（如图①）求证：． (2)若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 4．如图，已知在锐角中，分别是和边上的高，它们交于点． (1)若和的度数之比为． ①则___________°，___________°； ②___________°． (2)若，则___________； (3)与之间满足怎样的数量关系？请说明理由． 5．如图，平分．求证：是直角三角形． 6．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 7．已知：四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 8．（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 9．【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 10．如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $