专题07等腰三角形复习讲义(14大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年鲁教版五四制七年级数学下册

专题07等腰三角形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记等腰（等边）三角形定义，能准确识别各元素 2.掌握 “等边对等角、等角对等边、三线合一” 核心定理及几何语言 3.结合轴对称，理解等腰三角形的轴对称本质 1.会用性质 / 判定解决角度、边长、周长计算，掌握分类讨论思想 2.能巧用 “三线合一” 证相等、垂直，规范添加辅助线和证明步骤 3.识别等腰三角形经典模型，实现与全等三角形的综合运用 1.吃透基础题型，确保轴对称、角平分线结合类基础题不丢分 2.掌握综合题解题策略，快速突破计算、证明压轴题 3.规避漏解、逻辑跳跃、定理误用等常见易错点，提升解题速度与正确率 题型01.反证法:假设与命题证明 题型02.等边三角形的判定与性质 题型03.等边对等角 题型04.三线合一 题型05.等腰三角形的绘制与识别 题型06.由等角对等边证明边相等 题型07.由等角对等边求边长 题型08.直线上构成等腰三角形的点 题型09.求图形中两点构等腰三角形的点 题型10.等腰三角形的性质和判定 题型11.等边三角形的性质 题型12.等边三角形的判定 题型13.大(小)边对大(小)角 题型14.等腰三角形存在性问题 解答题7题 知识点01:基础定义：认清代号，不踩坑 有两条边相等的三角形就是等腰三角形，认准这几个 “专属名称”： ✅相等的两边→腰；另一边→底边 ✅两腰的夹角→顶角；腰与底边的夹角→底角小提醒：底角只有 2 个，顶角只有 1 个，别搞混啦！ 知识点02:核心性质：两大法宝，解遍题型 性质 内容 几何语言 图示 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 知识点03:判定定理：反向推导，秒判等腰 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 知识点04:特殊延伸：等边三角形（等腰的 “顶配版”） 定义：三条边都相等的三角形（特殊的等腰三角形） 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 避坑秘籍：3 个高频易错点 1.“三线合一” 仅针对顶角平分线、底边上的中线 / 高，腰上的线不适用； 2.等腰三角形的对称轴是直线（顶角平分线所在直线），不是线段； 3.分类讨论后，一定要验证结果是否符合三角形的基本性质（角大于 0°，边满足和大于第三边）。 题型01.反证法:假设与命题证明 【典例】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 【答案】A 【分析】反证法的步骤中，假设时准确找出原命题结论的反面即可． 【详解】解：由题意得 需假设两锐角都大于． 【跟踪专练1】已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法的步骤，首先需假设原命题的反面成立即第一步为③；进而得到，进而得到，这与“三角形内角和等于”相矛盾，则假设不成立，据此可得答案． 【详解】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②， 故选D． 【跟踪专练2】用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设__________，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“__________”矛盾，故假设不成立．所以． 【答案】与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可． 【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，，过点的两条直线、都与直线垂直． 这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾， 故假设不成立． 所以． 故答案为：与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【跟踪专练3】用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设______． 【答案】 【分析】本题考查的是反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题关键． 根据反证法的步骤，即第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解． 【详解】解：反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设， 故答案为：． 【跟踪专练4】用反证法证明“同弧所对的圆心角相等”时，首先应假设（   ） A．同弧所对的圆周角不相等 B．同弧所对的圆心角互余 C．同弧所对的圆心角互补 D．同弧所对的圆心角不相等 【答案】D 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的第一步是假设原命题的结论不成立是解题的关键． 根据反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即可求解． 【详解】解：反证法的第一步是假设原命题的结论不成立， 用反证法证明“同弧所对的圆心角相等”时，首先应假设“同弧所对的圆心角不相等”． 故选：D． 题型02.等边三角形的判定与性质 【典例】在中，若，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先判断为等边三角形，然后等边三角形的性质得到． 【详解】解：， ， 为等边三角形， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个内角都相等，且都等于． 【跟踪专练1】如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是______米． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，解题关键是通过角度计算和梯子长度不变，判定为等边三角形． 连接，先计算出，结合梯子长度不变得到，判定是等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质，得出米，从而求出、两点间距离． 【详解】解：连接， ∵，， ∵． ∵梯子长度不变， ∴米， ∴是等边三角形， ∴米． 故答案为． 【跟踪专练2】如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为________ ． 【答案】/95度 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． 先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接，证明点G是点D关于的对称点，当F与H重合时，取得最小值，此时，解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，将军饮马河原理的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接， ∵等边， ∴， 点D，E分别是边的中点，的中点H， ∴， ∴都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点G是点D关于的对称点， ∴当F与H重合时，取得最小值，此时， 故选：C． 题型03.等边对等角 【典例】已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于______． 【答案】 80 【分析】根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形内角和为即可求解. 【详解】解： 等腰三角形的底角等于，等腰三角形的两个底角相等， 顶角的度数为. 【跟踪专练1】如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【跟踪专练2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 【答案】 或 【分析】需要对等腰三角形分类讨论，分为锐角等腰三角形与钝角等腰三角形两种情况，结合图形即可求解． 【详解】解: ①当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部， 由题意得，， ∴； ②当等腰三角形是钝角三角形时,腰上的高在三角形外部， 此时， ∴， 所以它的顶角为或． 【跟踪专练3】如图，的和 的外角角平分线交于点，若，，则 的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，延长至，使，连接，， 由“” 可证. 可得，设，由等腰三角形的性质可得，根据角平分线定义求出，，根据平角定义求出，再根据三角形外角的性质可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【详解】如图， 延长至，使，连接，，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵的和的外角角平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：． 题型04.三线合一 【典例】如图，在等腰中，，，于点D，则_____． 【答案】3 【分析】根据等腰三角形三线合一可得． 本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 中，，，于点D， ∴（等腰三角形三线合一）． 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图，在中，是边上的中线，点在边上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形内角和定理，关键是利用等腰三角形“三线合一”的性质确定，再结合等腰三角形的内角计算求出角度． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴，，且． ∵， ∴． 又∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，点在边上，，为的中点．若，则的度数为____________．    【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质的综合运用，解题的关键是掌握：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 先利用三线合一得到，进而求出，最后用等腰三角形的外角的性质即可得出结论． 【详解】解：，点是中点， ， ， ，， ， ， ， ，∴， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在等腰中，，为延长线上一点，且，垂足为，连接，若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：过A作于H，过E作于F，   ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：B． 题型05.等腰三角形的绘制与识别 【典例】如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰的等腰三角形得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，A，B两点在小正方格的顶点上，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形为轴对称图形，则这样的点C有________个． 【答案】8 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，根据两边相等的三角形是等腰三角形进行画图即可． 【详解】解：如图所示： ， 这样的点C有8个， 故答案为：8． 【跟踪专练3】如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 题型06.由等角对等边证明边相等 【典例】如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于_____． 【答案】10 【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF和△CEF是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC，从而得出答案． 【详解】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠CBF， ∵DE∥BC， ∴∠CBF＝∠DFB， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴BD＝DF， 同理FE＝EC， ∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+DF+AE+EF＝（AD+BD）+（AE+CE）＝AB+AC＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．正确地进行线段的等量代换是解决问题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，和分别平分和，过点D作分别交于点E，F，若则 _____． 【答案】7 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边， 先根据“两直线平行内错角相等”得，再根据角平分线的定义得即可得，然后根据“等角对等边”得，同理得，最后根据得出答案． 【详解】解：因为， 所以， 因为平分， 所以 所以， 所以， 同理， 所以， 即． 故答案为：7． 【跟踪专练2】如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由中，与的平分线交于点，，易证得和都是等腰三角形，继而可得，又由的周长为：；即可得的周长等于与的和． 【详解】解：， ，， 中，与的平分线交于点， ，， ，， ，，故①正确； 与不一定相等，故②错误； ∵在中，和的平分线相交于点， ∴，， ， ，故③正确； 的周长为： ，故④正确； 综上，正确的有①③④． 题型07.由等角对等边求边长 【典例】如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E，若，则线段的长为________． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线以及平行线性质,等角对等边，掌握以上知识是解题关键． 题干要求线段的长，根据和的平分线相交于点，且得到，从而进行分析即可求解． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】在中，的平分线相交于，过点且，若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，利用平行线的性质和角平分线的定义可得，即得，同理可得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（    ）    A． B． C．5 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质及等腰三角形的判定，核心是利用“角平分线+平行线”推出等腰三角形，从而将的周长转化为与的长度之和． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得． 的周长为． ∵，， ∴周长为； 故选：A． 题型08.直线上构成等腰三角形的点 【典例】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标（0，1），点B的坐标（1，0），点C也在坐标轴上，如果是等腰三角形，那么满足条件的点C有______个． 【答案】7 【分析】根据题意可求出AB的长，即可分类讨论①当、②当时和③当时，画出图形即得出满足条件的点C的个数 ． 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴． ①当时，如图，，，； ②当时，如图，，，； ③当时，如图，． 综上，满足条件的点C有7个． 故答案为：7． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的定义．利用数形结合的思想是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有________个． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点，即可得解． 【详解】解：要使为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线的交点为，此时有个； ②当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ③当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ∴这样的点有（个）， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 根据题意三种情况：，，，作图解答即可． 【详解】解：由题意可分三种情况：，，， 作图可得： 由图可得点一共有个， 故选：A． 题型09.求图形中两点构等腰三角形的点 【典例】已知是等腰直角三角形，若在平面直角坐标系内，、两点的坐标分别是，，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，利用平面直角坐标系画图是解题的关键．利用图形结合等腰直角三角形的判定即可得出点A对应的坐标． 【详解】如图所示， 由图可知，点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有_______个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解题关键． 分类讨论为腰和为底的情况，结合网格特征逐一寻找符合条件的格点． 【详解】解： 等腰三角形的情况，可分类讨论： 当为腰时：如图，分别以、为圆心，长为半径画弧，可与个格点相交，则图中点可作为点； 当为底边时：如图，作的垂直平分线，可与个格点相交，则图中点可作为点． 综上，满足条件的点有个． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 题型10.等腰三角形的性质和判定 【典例】如图，在中，，，过点D作，垂足为E，恰好是的平分线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出，再根据等腰三角形的判定得出，推出，进而得出，根据，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正确理解题意是解决问题的关键． 【跟踪专练1】在如图所示的正方形网格中，______． 【答案】/135度 【分析】本题考查了全等三角形的证明及性质，以及等腰三角形的性质，能够证得三角形全等是解题关键； 先证得，进而得到，然后再根据等腰三角形的性质得到，进而可求解． 【详解】解：如图，可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，已知中，点D是中点，连接，过点B作交延长线于E，若，的面积为20，则的面积为_________． 【答案】24 【分析】过点C作于点F，可证明，得到，则；证明是等腰直角三角形，得到，则，，根据三角形的面积公式得到，则可求出，则． 【详解】解：如图所示，过点C作于点F， ∴； ∵点D是中点， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵的面积为20， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可判定结论，过点作于点，证明，得，可判定结论，根据题意可证，得到，从而判断结论，结合上述证明可得，则有，进而得到可判定结论，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，故正确，符合题意； 如图，过点作于点，则， 由的证明可得，， ， ， 点是中点， ， ， ， ，， ， ， ，故正确，符合题意； ， ， 由可知，，， ， ，故正确，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故错误，不符合题意； 正确的有共3个， 故选：． 题型11.等边三角形的性质 【典例】如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是（   ） A．10° B．20° C．15° D．5° 【答案】A 【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理求出，最后根据等边三角形的性质即可求解． 本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【跟踪专练2】一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若，则________． 【答案】 【分析】设围成的小三角形为，分别用表示出的三个内角，再利用三角形的内角和等于列式整理即可得解． 【详解】解：如图， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，已知是等边三角形，点是内的一点，，，以为边作等边，连接．当是等腰三角形时，的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键；先求出，，，分三种情况讨论：①，则，②，则，③，则，分别求出α的角度即可． 【详解】解：和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，，， 当时， ， ； 当时， ， ， ， 当时， ， ， ． 故答案为：或或． 题型12.等边三角形的判定 【典例】小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：添加，理由如下： 为等腰三角形， ， 为等边三角形， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握等边三角形的判定定理． 【跟踪专练1】若的三边长满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查非负数的性质和等边三角形的判定． 根据平方和绝对值的非负性，得出，从而判断形状． 【详解】解：∵，，， ∴且， ∴且， ∴且， ∴， ∴是等边三角形． 故选：B． 【跟踪专练2】在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 题型13.大(小)边对大(小)角 【典例】对于以下两个命题，判断正确的是（   ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的分类和边角的大小关系，熟练掌握三角形的相关知识是解题的关键．根据三角形中大边对大角进行解答即可． 【详解】命题①正确，因为边长顺序决定对应角的大小顺序． 命题②正确，因为最大角为锐角且其他角必然更小，三角形为锐角三角形． 故选：C 【跟踪专练1】等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______． 【答案】8，8 【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案． 【详解】解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x， 则有x+4×2=20， 解得：x=12， 此时，三角形的三边长为4，4，12， ∵4+4＜12， ∴不可以组成三角形； 若等腰三角形的底边为4，设腰长为x， 则有2x+4=20， 解得：x=8， ∵4+8＞8， ∴可以组成三角形； ∴三角形的另两边的长分别为8，8． 故答案为：8，8． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键． 【跟踪专练2】如图，在方格纸上的图形中，以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．证出，根据全等三角形的性质可得，则可判断选项A正确；先根据平行线的性质可得，再根据，则可得，由此即可判断选项B错误；根据可得，由此即可判断选项C错误；根据，即可判断选项D错误． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴，则选项A正确； 由图可知，， ∴， 在中，， ∴， ∴，则选项B错误； 由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，则选项C错误； ∵，， ∴，则选项D错误； 故选：A． 题型14.等腰三角形存在性问题 【典例】如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【分析】本题需要分类讨论，注意当时，点与点C重合，不符合题意，需舍去．分，，三种情况，分别计算即可． 【详解】分三种情况讨论， 当时， ， 此时点与点C重合，不符合题意，故舍去； 当时， ； 当时， ， 综上，的度数为或． 【跟踪专练1】.在中，，，点D在边上，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接． （1）的度数为______； （2）设，当θ为__________________时，为等腰三角形． 【答案】 或或 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，根据轴对称的性质可知，．结合已知条件，容易证出，则，从而求出； （2）由三角形内角和定理可得，，进而得到，由轴对称的性质可得，，从而计算得，若为等腰三角形，有三种可能，即、、，计算每种情况下的值，进一步算出θ的值． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 根据轴对称的性质可知，，， ∴ ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由轴对称的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得； 综上，当或或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，运用分类讨论思想是解题关键． 【跟踪专练2】如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，，，然后证明出，即可得到； （2）首先求出，然后根据等腰三角形的定义分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∵是等腰三角形 ∴①如图，当时， ∴ ∴ ∴； ②如图，当时， ∴ ∴ ∴ ∴点O在上，即点O和点D重合，不存在，不符合题意； ③如图，当时， ∵ ∴垂直平分 ∴ 综上，的度数为或． 解答题 1．已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行公理的应用，同位角相等两直线平行，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 假设 ．过点 G作直线 ，使 ，推得，得出与平行公理矛盾，从而假设 不成立，得出结论成立． 【详解】证明：假设 ． 过点 G作直线 ， 使 ． 因为， 由平行线判定定理（同位角相等，两直线平行）， 可知 ． 又已知 ，则过 G有两条直线和都平行于， 这与平行公理（过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）矛盾． 因此假设 不成立， 所以 ． 2．如图，已知：和都是等边三角形，点在边上，点是边上一点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．根据等边三角形的性质，可得，，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，根据等边三角形的性质，三角形的外角，可得 ，等量代换，得到，根据平行线的判定，即可． 【详解】解：证明如下： ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据角的和差运算得到，结合已知条件即可利用证得结论； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，可知为等腰三角形，然后根据等边对等角、三线合一以及三角形内角和定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵O点为中点， ∴． 4．数学课上，老师出示了如图中的题目． 如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： 【特殊情况，归纳猜想】 （）如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，并说明理由； 【特例启发，推理证明】 （）如图，当不是的中点时，小优和小秀认为（）中的结论仍然成立，请你帮助小优和小秀完成证明过程； 【拓展延伸，问题解决】 （）当点在的延长线上时，点在边上，且，请自己画图，并探究（）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】（），理由见解析；（）见解析；（）不发生变化，证明见解析 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）过点作交于点，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求证； （）过点作交的延长线于点，同理（）证明即可求证； 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）解：，理由如下： ∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （）证明：如图，过点作交于点， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （）不发生变化，证明如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在中，点为边上一点，连接，延长至点，使得，连接． (1)如图1，若，，，求的度数； (2)如图2，的角平分线交于点，若，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得，根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得，即可求解； （2）在上截取，使得，连接，根据各边的关系得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，，确定，得出，利用等角对等边得，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． （2）解：在上截取，使得，连接． ∵ ，即 在和中， ， ∴ ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ， ， 又∵， ， ， ∴． 6．如图，已知和都是等边三角形，且点D在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，，推导出，根据全等三角形的性质得到，即可解答； （2）先推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ∴， ， 在与中， ， ， ； （2）解：∵≌， ， ∵是等边三角形， ∴， 7．如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）由得是直角三角形，结合，利用直角三角形两锐角互余，求出，依据是等腰三角形，由等腰三角形中若有一个内角为，则该三角形为等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）∵于点D， ∴， 在中，， ∴， 由（1）得为等腰三角形； ∴为等边三角形 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07等腰三角形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.熟记等腰（等边）三角形定义，能准确识别各元素 2.掌握 “等边对等角、等角对等边、三线合一” 核心定理及几何语言 3.结合轴对称，理解等腰三角形的轴对称本质 1.会用性质 / 判定解决角度、边长、周长计算，掌握分类讨论思想 2.能巧用 “三线合一” 证相等、垂直，规范添加辅助线和证明步骤 3.识别等腰三角形经典模型，实现与全等三角形的综合运用 1.吃透基础题型，确保轴对称、角平分线结合类基础题不丢分 2.掌握综合题解题策略，快速突破计算、证明压轴题 3.规避漏解、逻辑跳跃、定理误用等常见易错点，提升解题速度与正确率 题型01.反证法:假设与命题证明 题型02.等边三角形的判定与性质 题型03.等边对等角 题型04.三线合一 题型05.等腰三角形的绘制与识别 题型06.由等角对等边证明边相等 题型07.由等角对等边求边长 题型08.直线上构成等腰三角形的点 题型09.求图形中两点构等腰三角形的点 题型10.等腰三角形的性质和判定 题型11.等边三角形的性质 题型12.等边三角形的判定 题型13.大(小)边对大(小)角 题型14.等腰三角形存在性问题 解答题7题 知识点01:基础定义：认清代号，不踩坑 有两条边相等的三角形就是等腰三角形，认准这几个 “专属名称”： ✅相等的两边→腰；另一边→底边 ✅两腰的夹角→顶角；腰与底边的夹角→底角小提醒：底角只有 2 个，顶角只有 1 个，别搞混啦！ 知识点02:核心性质：两大法宝，解遍题型 性质 内容 几何语言 图示 等边对等角 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”） 在△ABC 中，若 AB=AC，则∠B=∠C 三线合一 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 在△ABC 中，AB=AC，若 AD⊥BC，则 AD 平分∠BAC 且 BD=DC 知识点03:判定定理：反向推导，秒判等腰 判定方法 内容 几何语言 定义判定 有两条边相等的三角形是等腰三角形 若 AB=AC，则△ABC 为等腰三角形 等角对等边 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “等角对等边”） 在△ABC 中，若∠B=∠C，则 AB=AC 知识点04:特殊延伸：等边三角形（等腰的 “顶配版”） 定义：三条边都相等的三角形（特殊的等腰三角形） 等边三角形性质 三边相等，三个内角都等于 60°，具有等腰三角形的所有性质 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一 等边三角形判定 ①三边相等；②三个角相等；③有一个角是 60° 的等腰三角形 满足其一即可判定为 避坑秘籍：3 个高频易错点 1.“三线合一” 仅针对顶角平分线、底边上的中线 / 高，腰上的线不适用； 2.等腰三角形的对称轴是直线（顶角平分线所在直线），不是线段； 3.分类讨论后，一定要验证结果是否符合三角形的基本性质（角大于 0°，边满足和大于第三边）。 题型01.反证法:假设与命题证明 【典例】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 【跟踪专练1】已知：如图，． 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【跟踪专练2】用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设__________，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“__________”矛盾，故假设不成立．所以． 【跟踪专练3】用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设______． 【跟踪专练4】用反证法证明“同弧所对的圆心角相等”时，首先应假设（   ） A．同弧所对的圆周角不相等 B．同弧所对的圆心角互余 C．同弧所对的圆心角互补 D．同弧所对的圆心角不相等 题型02.等边三角形的判定与性质 【典例】在中，若，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练1】如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是______米． 【跟踪专练2】如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为________ ． 【跟踪专练3】如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 题型03.等边对等角 【典例】已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于______． 【跟踪专练1】如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为_____． 【跟踪专练3】如图，的和 的外角角平分线交于点，若，，则 的度数是（     ） A． B． C． D． 题型04.三线合一 【典例】如图，在等腰中，，，于点D，则_____． 【跟踪专练1】如图，在中，是边上的中线，点在边上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，点在边上，，为的中点．若，则的度数为____________．    【跟踪专练3】如图，在等腰中，，为延长线上一点，且，垂足为，连接，若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 题型05.等腰三角形的绘制与识别 【典例】如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪专练1】如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，A，B两点在小正方格的顶点上，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形为轴对称图形，则这样的点C有________个． 【跟踪专练3】如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 题型06.由等角对等边证明边相等 【典例】如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于_____． 【跟踪专练1】如图，在中，和分别平分和，过点D作分别交于点E，F，若则 _____． 【跟踪专练2】如图，，的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，下列结论中：①；②；③；④周长，正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 题型07.由等角对等边求边长 【典例】如图，在中，已知和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E，若，则线段的长为________． 【跟踪专练1】在中，的平分线相交于，过点且，若，，则______． 【跟踪专练2】如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（    ）    A． B． C．5 D．不能确定 题型08.直线上构成等腰三角形的点 【典例】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标（0，1），点B的坐标（1，0），点C也在坐标轴上，如果是等腰三角形，那么满足条件的点C有______个． 【跟踪专练1】如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有________个． 【跟踪专练2】如图，在中，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 题型09.求图形中两点构等腰三角形的点 【典例】已知是等腰直角三角形，若在平面直角坐标系内，、两点的坐标分别是，，则点的坐标是______． 【跟踪专练1】如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有_______个． 【跟踪专练2】如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型10.等腰三角形的性质和判定 【典例】如图，在中，，，过点D作，垂足为E，恰好是的平分线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】在如图所示的正方形网格中，______． 【跟踪专练2】如图，已知中，点D是中点，连接，过点B作交延长线于E，若，的面积为20，则的面积为_________． 【跟踪专练3】如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型11.等边三角形的性质 【典例】如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是（   ） A．10° B．20° C．15° D．5° 【跟踪专练1】如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 【跟踪专练2】一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若，则________． 【跟踪专练3】如图，已知是等边三角形，点是内的一点，，，以为边作等边，连接．当是等腰三角形时，的度数为___________． 题型12.等边三角形的判定 【典例】小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ___________． 【跟踪专练1】若的三边长满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【跟踪专练2】在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是___________．（只需写出一个） 题型13.大(小)边对大(小)角 【典例】对于以下两个命题，判断正确的是（   ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【跟踪专练1】等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______． 【跟踪专练2】如图，在方格纸上的图形中，以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型14.等腰三角形存在性问题 【典例】如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 【跟踪专练1】.在中，，，点D在边上，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接． （1）的度数为______； （2）设，当θ为__________________时，为等腰三角形． 【跟踪专练2】如图，，是等边三角形，点在射线上，连接，以为边作等边三角形，边与边相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，当是等腰三角形时，求的度数． 解答题 1．已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 2．如图，已知：和都是等边三角形，点在边上，点是边上一点，且．求证：． 3．如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 4．数学课上，老师出示了如图中的题目． 如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： 【特殊情况，归纳猜想】 （）如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，并说明理由； 【特例启发，推理证明】 （）如图，当不是的中点时，小优和小秀认为（）中的结论仍然成立，请你帮助小优和小秀完成证明过程； 【拓展延伸，问题解决】 （）当点在的延长线上时，点在边上，且，请自己画图，并探究（）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 5．如图，在中，点为边上一点，连接，延长至点，使得，连接． (1)如图1，若，，，求的度数； (2)如图2，的角平分线交于点，若，，求证：． 6．如图，已知和都是等边三角形，且点D在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 7．如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $