专题04概率初步复习讲义(16大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年鲁教版五四制七年级数学下册

专题04概率初步复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.区分必然 / 不可能 / 随机事件，掌握概率取值范围0≤P(A)≤1 2.理解频率稳定性，会用频率估计概率 3.掌握等可能事件概率公式P(A)=，会算几何概率 4.能判断 / 设计公平游戏规则 1.能统计试验数据、分析随机现象规律 2.灵活运用概率知识解决简单实际问题 3.规范推理、书写概率相关解题过程 1.基础题：快速判断事件类型、直接套用公式算概率，保准确率 2.中档题：熟练解决几何概率、频率估概率、游戏公平性问题 3.拓展题：能设计简单概率试验，结合实际分析概率意义 题型01.事件的分类 题型02.事件发生可能性大小的判断 题型03.调整事件使可能性均等 题型04.事件的确定与不确定 题型05.可能性的大小 题型06.求某事件的频率 题型07.频率与概率关系的辨析 题型08.列举随机实验结果并判断等可能性 题型09.概率的意义理解 题型10.根据概率公式计算概率 题型11.几何概率 题型12.已知概率求数量 题型13.概率的应用 题型14.游戏的公平性 题型15.由频率估计概率 题型16.用频率估计概率的综合应用 解答题6题 知识点01:事件大分类：3 类事件一眼辨 核心结论：事件分确定事件和随机事件，确定事件又分 2 种，判断关键看 “结果是否可预判” 1.必然事件：一定发生，概率 = 1（例：太阳东升西落、三角形内角和 180°） 2.不可能事件：一定不发生，概率 = 0（例：煮熟的鸭子飞了、有理数 a²+b²=-1） 3.随机事件：结果不确定，概率 0＜P＜1（例：打开电视播动画、摸球摸到红球）小技巧：先判断这句话 “对不对”—— 对=必然，错=不可能，说不清=随机 知识点02:频率与概率：从试验到规律的进阶 1.频率怎么算：频率 = 事件发生次数 ÷ 试验总次数（n 次试验中，事件 A 发生 m 次，频率 = ） 2.频率的稳定性：试验次数越多，频率会在一个常数附近摆动，这个常数就是概率 3.高频易错点：频率是 “试验结果”，会变；概率是 “理论定值”，不变！大量重复试验中，频率可估计概率 知识点03:概率计算核心：2 大模型搞定所有基础题 模型 1：等可能事件概率（最基础，必考！） 核心公式：P(A)= n：试验中所有等可能的结果总数（关键：结果必须 “等可能性”，缺一不可） m：事件 A 包含的等可能结果数 经典例题：从 2 男 2 女中随机选 1 人当广播员，选中女生概率 = = 模型 2：几何概率（图形类概率，颜值高又简单） 核心公式：P (A)= 事件 A 的图形面积 ÷ 总图形面积关键：看 “面积占比”，和图形形状无关！ 经典例题：七巧板拼成的正方形中，阴影部分面积占，小球停在阴影的概率就是 知识点04:概率实战：2 大高频应用，学会就是拿分点 应用 1：判断游戏是否公平 判断标准：参与双方获胜的概率相等= 公平，不相等 = 不公平 解题步骤：①分别计算双方获胜概率 ②比较概率大小 ③下结论（不公平需修改规则，使概率相等） 例：4红球3蓝球摸球游戏，小樱摸红胜（P=），小贝摸蓝（P=）→不公平 应用 2：设计概率模型 核心要求：根据给定概率，设计摸球、转盘、抽签等试验（保证结果等可能，符合概率要求即可） 例：设计 P (获奖)=的转盘游戏→ 转盘等分成 5 份，1 份涂色为获奖区域 知识点05:解题秘籍：3 大思想 + 1 个关键，轻松避坑 1.方程思想：概率计算中遇未知量（如摸球问题中新增球的个数），设未知数列方程求解（高频压轴题型） 2.数形结合思想：几何概率画图形，等可能事件列结果，直观不丢解 3.分类讨论思想：结果不唯一时（如 “摸出 2 球的颜色组合”），分类列举，避免遗漏 / 重复 4.终极关键：所有概率计算，先判断 “结果是否等可能”！（易错点：转盘区域面积不等时，不能按颜色种数算概率） 知识点06:核心公式 + 概念速记卡（一秒回忆） 1.频率公式：频率 = （m = 发生次数，n = 试验次数） 2.等可能事件概率：P (A)=（m = 事件 A 结果数，n = 总等可能结果数） 3.几何概率：P (A)= 4.概率范围：必然事件 P=1，不可能事件 P=0，随机事件 0＜P＜1 题型01.事件的分类 【典例】成语是中国语言文化的缩影，有着深厚的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（    ） A．画饼充饥 B．一箭双雕 C．水涨船高 D．水中捞月 【跟踪专练1】事件“外观相同的100件同种产品中有2件是不合格产品，现从中抽取一件恰为合格品”是___________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．“买中奖率为的奖券6张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 C．烟台气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着烟台明天一定下雨 D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 题型02.事件发生可能性大小的判断 【典例】黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（    ） A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼 【跟踪专练1】口袋里装有4个红球和1个黄球，从中任意摸出一个再放回去，摸到______球的可能性大些，摸到______球的可能性要小些． 【跟踪专练2】学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 题型03.调整事件使可能性均等 【典例】有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【跟踪专练1】一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 【跟踪专练2】一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型04.事件的确定与不确定 【典例】在下列事件中，确定事件共有（    ） ①买一张体育彩票，中大奖； ②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上； ③在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只白球； ④初二（3）班共有49名学生，至少有5名学生的生日在同一个月． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】一只盒子中有7个红球和3个白球，从里面任意摸出一个球，并放回．小明这样摸了50次，下面说法正确的是（    ） A．小明一定摸到35次红球，15次白球 B．小明摸到的红球次数可能比白球次数多 C．小明摸到的红球次数一定比白球次数多 D．小明摸到的白球次数不可能多于摸到红球的次数 【跟踪专练2】下列事件中，不确定事件是（   ） A．把一个铁块放入水中，铁块浮起来 B．任意一个三角形的内角和是 C．明天一定下雨 D．在一副扑克牌中任意抽10张牌，其中有5张“2” 题型05.可能性的大小 【典例】在日常生活中，我们常用一些词语来形容事情发生的可能性大小，下列成语中形容可能性最小的是（ ）． A．十拿九稳 B．平分秋色 C．百发百中 【跟踪专练1】掷一枚正方体的骰子，朝上一面的点数为素数的可能性大小是__________． 【跟踪专练2】盒子里有红球3个、白球2个、黄球9个（这些球除颜色外完全相同）．从盒子里任意摸出一个球，下面说法正确的是（    ）． A．一定摸出黄球 B．不可能摸出白球 C．摸出黄球的可能性最大 D．有可能摸出绿球 题型06.求某事件的频率 【典例】在一个样本中，个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是，则第小组的频率是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在整数20250416中，数字“0”出现的频率是______． 【跟踪专练2】已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 题型07.频率与概率关系的辨析 【典例】下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【跟踪专练1】掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 题型08.列举随机实验结果并判断等可能性 【典例】班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【跟踪专练1】下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【跟踪专练2】彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【跟踪专练3】三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【跟踪专练4】众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 题型09.概率的意义理解 【典例】将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，将这枚硬币再抛掷一次，第5次正面朝上的可能性是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】某地的天气预报中说：“明天的降水概率是．”根据这个预报，下面第（    ） 种说法是正确的． A．明天这个地区的时间会下雨 B．明天这个地区的地方下雨 C．明天这个地区下雨的可能性不大 D．明天这个地区下雨的可能性是 【跟踪专练2】在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 题型10.根据概率公式计算概率 【典例】泗县历史可以追溯到三四千年以前，早在夏朝即已建制．泗县境内有诸多可游玩景点，清水湾公园、中央公园、飞虹广场、石龙湖国家湿地公园、蟠龙山、朱山就是其中处，将这处景点制作成卡片除汉字外其他都相同，随机从中抽取张卡片，则抽到含“园”字卡片的概率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面 【跟踪专练2】如图，是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 题型11.几何概率 【典例】如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 题型12.已知概率求数量 【典例】一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随意摸出1个球，记下它的颜色后放回袋中．不断重复这个过程，共摸了100次球，其中有40次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（    ） A．8 B．12 C．15 D．18 【跟踪专练1】在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则a的值约为 （　　） A．20 B．25 C．30 D．35 【跟踪专练2】一个不透明的盒子中装有10个小球(白色或黑色)，它们除了颜色外其余都相同，每次摸球试验前，都将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，如表是一组统计数据： 摸球次数() 摸到白球的次数() 摸到白球的频率 由表可以推算出盒子白色小球的个数是(    ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 题型13.概率的应用 【典例】某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 【跟踪专练1】甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【跟踪专练2】一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 题型14.游戏的公平性 【典例】小杨、小刚用摸球游戏决定谁去看电影，袋中有1个红球和1个白球（除颜色外其他都相同），现从袋子中任意摸出1个球，若是红球，小杨去看电影，否则，小刚去．这种方法对双方是__________（填“公平的”或“不公平的”）． 【跟踪专练1】如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则_________（填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 【跟踪专练2】如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是________．（只填一种方案即可） 题型15.由频率估计概率 【典例】如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为___________． 【跟踪专练2】某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 题型16.用频率估计概率的综合应用 【典例】对1000件某品牌毛衣进行抽检，统计合格毛衣的件数．在相同条件下，经过大量的重复抽检，发现一件合格毛衣的频率稳定在，则这1000件毛衣中合格的件数大约是____件． 【跟踪专练1】袋中有个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个白球的频率稳定在，则估计袋中白球的个数为________个． 【跟踪专练2】某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数 C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7 解答题 1．用一副扑克牌中的张牌设计一个翻牌游戏，要求同时满足下列三个条件，请写出你所用的张牌． （1）要求翻出“红桃”与“方块”的可能性相同； （2）要求翻出“梅花”的可能性比翻出“方块”的可能性小； （3）要求翻出黑颜色牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性大． 2．一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有80次摸到红球，估计袋中红球的个数． 3．一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 b 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的_____；_____． (2)摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.1）． (3)若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，求此时摸到白球的概率． 4．综合实践 实践任务：如图所示，一张海报上有一个不规则的图案（图中画图部分） 实践方案设计：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），记录结果如下： 扔球的次数n 100 200 300 500 800 1000 小球落在不规则图案内次数m 24 51 76 b 201 250 小球落在不规则图案内频率（精确到0.001） 0.240 a 0.253 0.248 0.251 0.250 数据整理与计算 (1)_____，_____，画出小球落在不规则图案内频率的折线统计图； (2)随机扔一球，估计小球落在不规则图案内的概率约为_____；（精确到0.01） (3)估计此不规则图案的面积大约为_____． 5．在某校七年级（1）班组织的“五四青年节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均匀的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． (1)求小丽获胜的概率是____________ (2)你认为这个游戏公平吗？若不公平，请说明理由． 6．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04概率初步复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.区分必然 / 不可能 / 随机事件，掌握概率取值范围0≤P(A)≤1 2.理解频率稳定性，会用频率估计概率 3.掌握等可能事件概率公式P(A)=，会算几何概率 4.能判断 / 设计公平游戏规则 1.能统计试验数据、分析随机现象规律 2.灵活运用概率知识解决简单实际问题 3.规范推理、书写概率相关解题过程 1.基础题：快速判断事件类型、直接套用公式算概率，保准确率 2.中档题：熟练解决几何概率、频率估概率、游戏公平性问题 3.拓展题：能设计简单概率试验，结合实际分析概率意义 题型01.事件的分类 题型02.事件发生可能性大小的判断 题型03.调整事件使可能性均等 题型04.事件的确定与不确定 题型05.可能性的大小 题型06.求某事件的频率 题型07.频率与概率关系的辨析 题型08.列举随机实验结果并判断等可能性 题型09.概率的意义理解 题型10.根据概率公式计算概率 题型11.几何概率 题型12.已知概率求数量 题型13.概率的应用 题型14.游戏的公平性 题型15.由频率估计概率 题型16.用频率估计概率的综合应用 解答题6题 知识点01:事件大分类：3 类事件一眼辨 核心结论：事件分确定事件和随机事件，确定事件又分 2 种，判断关键看 “结果是否可预判” 1.必然事件：一定发生，概率 = 1（例：太阳东升西落、三角形内角和 180°） 2.不可能事件：一定不发生，概率 = 0（例：煮熟的鸭子飞了、有理数 a²+b²=-1） 3.随机事件：结果不确定，概率 0＜P＜1（例：打开电视播动画、摸球摸到红球）小技巧：先判断这句话 “对不对”—— 对=必然，错=不可能，说不清=随机 知识点02:频率与概率：从试验到规律的进阶 1.频率怎么算：频率 = 事件发生次数 ÷ 试验总次数（n 次试验中，事件 A 发生 m 次，频率 = ） 2.频率的稳定性：试验次数越多，频率会在一个常数附近摆动，这个常数就是概率 3.高频易错点：频率是 “试验结果”，会变；概率是 “理论定值”，不变！大量重复试验中，频率可估计概率 知识点03:概率计算核心：2 大模型搞定所有基础题 模型 1：等可能事件概率（最基础，必考！） 核心公式：P(A)= n：试验中所有等可能的结果总数（关键：结果必须 “等可能性”，缺一不可） m：事件 A 包含的等可能结果数 经典例题：从 2 男 2 女中随机选 1 人当广播员，选中女生概率 = = 模型 2：几何概率（图形类概率，颜值高又简单） 核心公式：P (A)= 事件 A 的图形面积 ÷ 总图形面积关键：看 “面积占比”，和图形形状无关！ 经典例题：七巧板拼成的正方形中，阴影部分面积占，小球停在阴影的概率就是 知识点04:概率实战：2 大高频应用，学会就是拿分点 应用 1：判断游戏是否公平 判断标准：参与双方获胜的概率相等= 公平，不相等 = 不公平 解题步骤：①分别计算双方获胜概率 ②比较概率大小 ③下结论（不公平需修改规则，使概率相等） 例：4红球3蓝球摸球游戏，小樱摸红胜（P=），小贝摸蓝（P=）→不公平 应用 2：设计概率模型 核心要求：根据给定概率，设计摸球、转盘、抽签等试验（保证结果等可能，符合概率要求即可） 例：设计 P (获奖)=的转盘游戏→ 转盘等分成 5 份，1 份涂色为获奖区域 知识点05:解题秘籍：3 大思想 + 1 个关键，轻松避坑 1.方程思想：概率计算中遇未知量（如摸球问题中新增球的个数），设未知数列方程求解（高频压轴题型） 2.数形结合思想：几何概率画图形，等可能事件列结果，直观不丢解 3.分类讨论思想：结果不唯一时（如 “摸出 2 球的颜色组合”），分类列举，避免遗漏 / 重复 4.终极关键：所有概率计算，先判断 “结果是否等可能”！（易错点：转盘区域面积不等时，不能按颜色种数算概率） 知识点06:核心公式 + 概念速记卡（一秒回忆） 1.频率公式：频率 = （m = 发生次数，n = 试验次数） 2.等可能事件概率：P (A)=（m = 事件 A 结果数，n = 总等可能结果数） 3.几何概率：P (A)= 4.概率范围：必然事件 P=1，不可能事件 P=0，随机事件 0＜P＜1 题型01.事件的分类 【典例】成语是中国语言文化的缩影，有着深厚的文化底蕴．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（    ） A．画饼充饥 B．一箭双雕 C．水涨船高 D．水中捞月 【答案】B 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，根据定义对各选项判断即可． 【详解】解：画饼充饥一定不会发生，属于不可能事件，A不符合题意； 一箭双雕可能发生也可能不发生，属于随机事件，B符合题意； 水涨船高一定发生，属于必然事件，C不符合题意； 水中捞月一定不会发生，属于不可能事件，D不符合题意； 【跟踪专练1】事件“外观相同的100件同种产品中有2件是不合格产品，现从中抽取一件恰为合格品”是___________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【分析】本题主要考查了随机事件．根据随机事件的定义解答即可． 【详解】解：∵事件“外观相同的100件同种产品中有2件是不合格产品， ∴现从中抽取一件恰为合格品”是随机事件． 故答案为：随机． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（   ） A．“买中奖率为的奖券6张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 C．烟台气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着烟台明天一定下雨 D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率是 【答案】D 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和概率的意义，逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：∵ 选项A中，买中奖率为的奖券6张，中奖是随机事件，不是必然事件，∴ A错误； ∵ 选项B中，汽车累计行驶，从未出现故障是随机事件，不是不可能事件，∴ B错误； ∵ 选项C中，明天降水概率为，只说明明天降水的可能性较大，不是一定下雨，∴ C错误； ∵ 选项D中，均匀硬币每次抛掷，正面朝上的概率都为，与之前的实验结果无关，∴ D正确． 题型02.事件发生可能性大小的判断 【典例】黄庄月饼是河北特色月饼之一，嘉嘉从一个装有1个板栗月饼，2个枣泥月饼，3个五仁月饼和4个豆沙月饼的黄庄月饼礼盒中，随机拿出一个月饼（月饼的外观都一样），则拿出的月饼可能性最大的是（    ） A．板栗月饼 B．枣泥月饼 C．五仁月饼 D．豆沙月饼 【答案】D 【分析】本题主要考查可能性的大小．根据各种月饼数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种月饼的数量越多，拿出的可能性就越大． 【详解】解：由题意得，所有事件可能的结果数是， ∵豆沙月饼有4个，数量最多， ∴拿出的可能性最大的是豆沙月饼， 故选：D． 【跟踪专练1】口袋里装有4个红球和1个黄球，从中任意摸出一个再放回去，摸到______球的可能性大些，摸到______球的可能性要小些． 【答案】 红 黄 【分析】先确定两种球的数量，分别计算摸到两种球的概率，比较概率大小即可得到结果． 【详解】解：口袋中总共有球 个， 摸到红球的概率 ， 摸到黄球的概率 ， ， ∴ 摸到红球的可能性大些，摸到黄球的可能性要小些． 【跟踪专练2】学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 【答案】D 【分析】本题考查了可能性的大小，明确可能性的大小与数量的多少有关，数量多的可能性大一点，数量少的可能性小一点，据此即可解答． 【详解】解：，蝴蝶琥珀昆虫吊坠最多，蝎子琥珀昆虫吊坠最少， 菲菲随机领取一个盲袋，领取蝴蝶的可能性最大，蝎子的可能性最小， 故选：D． 题型03.调整事件使可能性均等 【典例】有5张背面完全相同的卡片，正面分别标有成语故事：“水满则溢”、“水中捞月”、“一步登天”、“水涨船高”、“刻舟求剑”．将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张．为使抽到的卡片正面的成语故事中不可能事件和必然事件的可能性相等，小明增加了一张卡片，则这张卡片正面的成语故事可能为（   ） A．百步穿杨 B．大海捞针 C．守株待兔 D．瓮中捉鳖 【答案】D 【分析】需使不可能事件与必然事件的数量相等，从而概率相同. 【详解】解：原卡片中不可能事件有3个（水中捞月、一步登天、刻舟求剑），必然事件有2个（水满则溢、水涨船高），增加一张卡片后总数为6张；若新增卡片为必然事件，则必然事件数量变为3，与不可能事件数量3相等，此时两者的概率均为； 选项D“瓮中捉鳖”是必然事件，满足条件； 故选：D. 【跟踪专练1】一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______． 【答案】2 【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解． 【详解】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大， ∴n的最小值等于3+1-2=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解． 【跟踪专练2】一个不透明的袋子中有大小相同的5个红球和8个黄球，如果要使两种颜色的球摸到的可能性相等，那么需要再往袋中放入红球的个数是（　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查一元一次方程的应用，事件的可能性，要使摸到红球和黄球的可能性相等，需使红球与黄球的数量相等。 【详解】设需要再放入x个红球， 放入后，红球有个，黄球有8个， ∵摸到两种球的可能性相等， ∴， 解得 ∴需要放入3个红球， 故选：C 题型04.事件的确定与不确定 【典例】在下列事件中，确定事件共有（    ） ①买一张体育彩票，中大奖； ②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上； ③在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只白球； ④初二（3）班共有49名学生，至少有5名学生的生日在同一个月． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据确定事件的定义“在一定条件下，有些事情必然会发生，这样的事件称为必然事件”去判断，即可得． 【详解】解：A、买一张体育彩票，中大奖，为随机事件，选项说法错误，不符合题意； B、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，为随机事件，选项说法错误，不符合题意； C、在共装有2只红球、3只黄球的袋子里，摸出一只白球，为不可能事件，是确定事件，选项说法正确，不符合题意； D、初二（3）班共有49名学生，至少有5名学生的生日在同一个月，为确定事件，选项说法正确，符合题意； 综上，确定事件有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了确定事件，解题的关键是掌握确定事件的定义． 【跟踪专练1】一只盒子中有7个红球和3个白球，从里面任意摸出一个球，并放回．小明这样摸了50次，下面说法正确的是（    ） A．小明一定摸到35次红球，15次白球 B．小明摸到的红球次数可能比白球次数多 C．小明摸到的红球次数一定比白球次数多 D．小明摸到的白球次数不可能多于摸到红球的次数 【答案】B 【分析】本题考查事件的可能性，随机事件，根据7个红球和3个白球可得摸到的红球可能性更大，据此判断即可． 【详解】解：一只盒子中有7个红球和3个白球，从里面任意摸出一个球，并放回，属于随机事件，其中摸到的红球可能性更大， ∴A、C、D选项都有可能实现，但不是必定实现，故不符合题意，选项B是可能实现，符合题意， 故选：B． 【跟踪专练2】下列事件中，不确定事件是（   ） A．把一个铁块放入水中，铁块浮起来 B．任意一个三角形的内角和是 C．明天一定下雨 D．在一副扑克牌中任意抽10张牌，其中有5张“2” 【答案】C 【分析】本题考查了确定事件和随机事件的定义，解决本题的关键是要明确事件分为确定事件和不确定事件随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件．根据确定事件和随机事件的定义对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A、把一个铁块放入水中，铁块浮起来，是不可能事件，是属于确定事件，故不符合题意； B、任意一个三角形的内角和是，是必然事件，属于确定事件，故不符合题意； C、明天会下雨为是不确定事件，故符合题意； D、在一副扑克牌中任意抽10张牌，其中有5张“2” ，是不可能事件，是属于确定事件，故不符合题意， 故选：C． 题型05.可能性的大小 【典例】在日常生活中，我们常用一些词语来形容事情发生的可能性大小，下列成语中形容可能性最小的是（ ）． A．十拿九稳 B．平分秋色 C．百发百中 【答案】B 【分析】本题主要考查了可能性的大小， 首先理解各成语的含义，再转化为对应的可能性大小进行比较． 【详解】解：十拿九稳：十次中有九次成功，可能性约为，可能性很大； 平分秋色：比喻双方各占一半，可能性为； 百发百中：每次都能成功，可能性为，可能性最高． 因为， 所以可能性最小的是平分秋色． 故选：B． 【跟踪专练1】掷一枚正方体的骰子，朝上一面的点数为素数的可能性大小是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查可能性大小，素数的定义，掌握可能性大小的求解方法是解题的关键． 根据可能性大小等于所求结果数和所有等可能结果数之比，用素数的个数除以所有可能结果的个数即可得出答案． 【详解】解：正方体骰子有六个面，点数分别为，其中素数为，共3个， 因此，朝上一面的点数为素数的可能性大小为， 故答案为：． 【跟踪专练2】盒子里有红球3个、白球2个、黄球9个（这些球除颜色外完全相同）．从盒子里任意摸出一个球，下面说法正确的是（    ）． A．一定摸出黄球 B．不可能摸出白球 C．摸出黄球的可能性最大 D．有可能摸出绿球 【答案】C 【分析】本题考查可能性大小的判断，理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，数量相同，可能性也相同．由于盒子里有三种颜色的球，所以从盒子里任意摸出一个球是什么颜色的是不确定事件，再根据不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，据此解答． 【详解】解：A选项，由于盒子里有三种颜色的球，所以从盒子里任意摸出一个球是什么颜色的是不确定事件，所以一定摸出黄球的说法是错误的； B选项，由于盒子里面有白球，虽然摸出白球的可能性小，但不代表不可能摸出白球，所以原说法是错误的； C选项，由于黄球的个数最多，所以出黄球的可能性最大，所以这个说法是正确的． D选项，由于盒子里没有绿球，所以不可能摸出绿球，所以原说法是错误的． 因此，说法正确的是摸出黄球的可能性最大． 故选：C． 题型06.求某事件的频率 【典例】在一个样本中，个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是，则第小组的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各组的频数可求出第小组的频数，再根据频率的计算方法即可求解． 【详解】解：个数据分别落在个小组内，第小组的频数分别是， ∴第小组的频数为， ∴第小组频率为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查频率的计算方法，掌握频率的计算公式是解题的关键． 【跟踪专练1】在整数20250416中，数字“0”出现的频率是______． 【答案】 【分析】本题考查频率，用0的个数除以所有数字的个数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，数字“0”出现的频率是； 故答案为：． 【跟踪专练2】已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意可得＝0.4，解方程即可求解． 【详解】根据题意得： ＝0.4， 解得：n＝6， 经检验：n＝6是分式方程的解且符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率的计算方法列式是解题的关键． 题型07.频率与概率关系的辨析 【典例】下列关于随机事件发生的频率和概率，说法正确的是（   ） A．频率就是概率 B．随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率值附近 C．试验得到的频率一定会等于概率 D．在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各试验小组所得频率的值也会相同 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率． 根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． 【详解】解：选项A：频率是实际试验中事件发生的次数与总次数的比值，而概率是理论上的预期值，两者概念不同，故A错误。 选项B：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近并稳定在概率附近，这是大数定律的体现，故B正确。 选项C：频率是试验结果，可能接近但不一定等于概率，故C错误。 选项D：即使试验次数相同，不同小组的试验结果可能存在随机性差异，导致频率不同，故D错误。 综上，正确答案为B。 故选：B． 【跟踪专练1】掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【答案】D 【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【答案】D 【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项． 【详解】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意； B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意； C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意； D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率． 题型08.列举随机实验结果并判断等可能性 【典例】班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】本题考查列举法，通过列举法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，他的选法有：文学类、历史类；文学类、哲学类；文学类，自然类；历史类、哲学类；历史类、自然类；哲学类、自然类，共6种； 故选：C． 【跟踪专练1】下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 【跟踪专练2】彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（    ） A．一定正面朝上 B．一定反面朝上 C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上 【答案】D 【分析】根据等可能事件的意义解答即可． 【详解】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同， 每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上， 故选：D． 【点睛】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键． 【跟踪专练3】三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（　　） A．12种 B．6种 C．4种 D．3种 【答案】D 【分析】本题考查了列举法求等可能结果，根据题意列举所有等可能结果，即可求解． 【详解】解：从中同时随机抽出两张，所有等可能结果为：、；、；、这3种结果， 故选：D． 【跟踪专练4】众所周知，八纲辩证是我国中医诊断学基础，八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，每纲对应病症不同，则共有多少种病症．（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查事件发生可能性的数量，解题的关键是根据八纲的意义可知每纲为二元对立且每纲独立，利用乘法即可得出病症的种类． 【详解】解：∵八纲分别为阴阳、表里、寒热、虚实，即每组包含两种对立状态， ∴每纲有种可能， ∴病症的种类共有：（种）， 即共有种病症． 故选：B． 题型09.概率的意义理解 【典例】将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，有3次反面朝上，1次正面朝上．那么，将这枚硬币再抛掷一次，第5次正面朝上的可能性是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率的基本性质，注意独立事件概率不会因为之前的实验结果发生改变． 硬币抛掷是独立事件，每次正面朝上的概率均为，与前次结果无关． 【详解】∵硬币质地均匀， ∴每次抛掷正面朝上的概率均为， ∵各次抛掷相互独立， ∴第5次正面朝上的概率为． 故选：B． 【跟踪专练1】某地的天气预报中说：“明天的降水概率是．”根据这个预报，下面第（    ） 种说法是正确的． A．明天这个地区的时间会下雨 B．明天这个地区的地方下雨 C．明天这个地区下雨的可能性不大 D．明天这个地区下雨的可能性是 【答案】D 【分析】本题考查降水概率的定义，降水概率表示某地区下雨的可能性大小，而非时间或区域的占比，据此判断各选项即可． 【详解】∵降水概率的含义是指某地区下雨的可能性大小． ∴选项中“的时间下雨”、选项中“的地方下雨”均错误． ∵的概率说明下雨可能性较大． ∴选项错误． ∵降水概率即表示明天该地区下雨的可能性是． ∴选项正确． 故选：D． 【跟踪专练2】在抛掷一枚均匀硬币的试验中，如果没有硬币，我们可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（ ） A．一枚均匀的普通六面体骰子 B．两张扑克牌一张黑桃，一张红桃 C．两个只有颜色不同的小球 D．一枚图钉 【答案】D 【分析】在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，硬币正反两面向上的概率为；若用其它物体代替只要此物体只能出现这两种情况且概率为即可． 【详解】A、一枚均匀的普通六面体骰子向上的点数为奇数和偶数的概率都为，能作替代物，故不符合题意； B、两张扑克牌张黑桃，张红桃，两张花色不同的扑克，分别代替硬币正面和反面，且各自概率为，与抛硬币一样，故不符合题意； C、两个只有颜色不同的小球，符合硬币只有正反两面的可能性，能作替代物，故不符合题意； D、图钉两面不同，不能替代该实验，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考． 题型10.根据概率公式计算概率 【典例】泗县历史可以追溯到三四千年以前，早在夏朝即已建制．泗县境内有诸多可游玩景点，清水湾公园、中央公园、飞虹广场、石龙湖国家湿地公园、蟠龙山、朱山就是其中处，将这处景点制作成卡片除汉字外其他都相同，随机从中抽取张卡片，则抽到含“园”字卡片的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 【详解】解：随机从中抽取张卡片有种等可能结果，其中抽到含“园”字卡片的有种结果， 所以抽到含“园”字卡片的概率为 故选：C． 【跟踪专练1】某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面 【答案】B 【分析】由表格数据可知，随着实验次数增加，结果的频率逐渐稳定在0.333附近，即该事件的概率约为，分别计算各选项事件的概率，对比即可判断. 【详解】解：由表格数据可得，频率稳定在左右， 该事件的概率约为. 选项中，去掉大小王的扑克牌共52张，红桃有13张，任抽一张为红桃的概率为，不符合题意； 选项中，“石头、剪刀、布”游戏共有3种等可能结果，出“剪刀”是其中1种，概率为，符合题意； 选项中，正六面体骰子共6种等可能点数，向上点数为5的概率为，不符合题意； 选项中，抛硬币出现反面的概率为，不符合题意． 【跟踪专练2】如图，是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 【答案】D 【分析】先判断出试验结果的概率，再逐一分析即可． 【详解】解：由图知，试验结果在附近波动，即其概率． A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意； B．不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球的概率为，故本选项不符合题意； C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面向上的概率是，故本选项不符合题意； D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为，故本选项符合题意． 题型11.几何概率 【典例】如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，先理解题意，由扇形统计图得出一等奖的圆心角是，再根据概率公式列式计算，即可作答． 【详解】解：由扇形统计图得出一等奖的圆心角是， 则， 即获得一等奖的概率为， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率的基本概念及几何概型的应用，利用几何概率的计算方法，即指针落在阴影部分的概率等于阴影部分面积除以正八边形总面积，通过分析正八边形被分成的三角形个数以及阴影部分三角形个数来求解． 【详解】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为4个面积相等的三角形， ∴指针落在阴影部分的概率是， 故选：A． 【跟踪专练2】如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率问题．设矩形中，，先求出，再由概率公式求解即可． 【详解】解：如图， 设矩形中，， ∵点分别是的中点， ∴； 同理可得：， ∴， ∴， 故选：A ． 题型12.已知概率求数量 【典例】一个不透明的袋子中有红球、白球共30个，这些球除颜色外都相同．将袋子中的球搅拌均匀，从中随意摸出1个球，记下它的颜色后放回袋中．不断重复这个过程，共摸了100次球，其中有40次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为（    ） A．8 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．首先求出摸到红球的频率，用频率去估计概率即可求出袋子中红球约有多少个． 【详解】解：∵共摸了100次球，其中有40次摸到红球， ∴摸到红球的频率， ∴估计袋子中红球的数量为（个）． 故选：B． 【跟踪专练1】在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则a的值约为 （　　） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【分析】大量重复试验时，随机事件的频率会稳定在概率附近，可据此得到等量关系，利用概率公式列方程求解a的值． 【详解】∵ 通过大量重复试验，摸到白球的频率稳定在左右， ∴ 可估计摸到白球的概率为． ∵ 总球数为a，其中白球共6个， ∴ 根据概率公式可得 ， 解得 ． 【跟踪专练2】一个不透明的盒子中装有10个小球(白色或黑色)，它们除了颜色外其余都相同，每次摸球试验前，都将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，如表是一组统计数据： 摸球次数() 摸到白球的次数() 摸到白球的频率 由表可以推算出盒子白色小球的个数是(    ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到白球的频率稳定于， ∴， 即白色小球的个数是个 故选：B． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键． 题型13.概率的应用 【典例】某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是_________． 【答案】三等奖 【分析】本题考查概率在转盘抽奖中的应用，由奖项比例计算各奖项概率，比较大小即可． 【详解】一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为， 获一等奖的概率为，获二等奖的概率为，获三等奖的概率为， 由于，则获奖可能性最大的奖项是三等奖． 故答案为三等奖． 【跟踪专练1】甲、乙两位棋手棋艺相当，他们在一项奖金为10000元的比赛中相遇，比赛为七局四胜制（无平局）．已经进行了五局的比赛，结果为甲三胜二负．现在因故要停止比赛，问应该如何分配这10000元比赛奖金才算合理？ 答：甲得_______元；乙得_______元． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率． 列出取胜情况，则可求得甲、乙胜的概率，继而求得答案． 【详解】解：第6局、第7局的取胜情况有（甲，甲），（甲，乙），（乙，乙），（乙，甲）4种情况， ∵甲三胜二负， ∴（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲）均为甲胜，（乙，乙）为乙胜， ∴甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∴甲得元、乙得元． 故答案为：， 【跟踪专练2】一个袋中装有偶数个球，其中黑球、白球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，先随机将其中一个球放入甲盒．如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是__________． （2）若乙盒中最终有6个黑球，则袋中原来最少有__________个球． 【答案】 黑 【分析】本题主要考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． （1）由题意可知若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的是黑球，由此可得答案； （2）根据题意列出所有取两个球往盒子中放入的情况，然后对每种情况分析即可． 【详解】解：（1）依题意得，若先放入甲盒的球是白球，则另一个球放入丙盒．但取出的球都没有放入丙盒，因此先放入甲盒的球不能是白球，只能是黑球． 故答案为黑． （2）由题意得，可知取两个球共有四种情况： ①黑+黑，则乙盒中黑球数加1， ②白+白，则丙盒中白球数加1， ③黑+白（黑球放入甲盒），则乙盒中白球数加1， ④白+黑（白球放入甲盒），则丙盒中黑球数加1． 分析可知，只有当从袋中取出的两个球都是黑球时，乙盒中才会增加一个黑球． 因此，乙盒中最终有6个黑球，说明取出两个黑球的操作发生了6次． 该操作共用去黑球(个)． 因为袋中黑球、白球各占一半， 所以袋中原来最少有个黑球和个白球． 故袋中原来最少有(个)球． 故答案为：． 题型14.游戏的公平性 【典例】小杨、小刚用摸球游戏决定谁去看电影，袋中有1个红球和1个白球（除颜色外其他都相同），现从袋子中任意摸出1个球，若是红球，小杨去看电影，否则，小刚去．这种方法对双方是__________（填“公平的”或“不公平的”）． 【答案】公平的 【分析】本题考查了游戏的公平性，掌握概率的计算是关键． 运用概率公式计算出摸出红球的概率即可判定． 【详解】解：袋中有1个红球和1个白球（除颜色外其他都相同），现从袋子中任意摸出1个球， ∴摸出红球的概率为，则不是的概率为， ∴摸出的是红球的概率与摸出不是红球的概率相等， ∴这种方法对双方是公平的， 故答案为：公平的 ． 【跟踪专练1】如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则_________（填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 【答案】小丽 【分析】考查了判断游戏公平性．解题关键抓住判断游戏公平性要先计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 先用列表法求得各自获胜的概率，再进行比较进行判断即可． 【详解】解：列表得：       B           A 2 5 9 3 2，3 5，3 9，3 6 2，6 5，6 9，6 8 2，8 5，8 9，8 共有 9 种可能，其中小美获胜的次数为，小丽获胜的次数为5， ∴， ∴， ∴小丽的获胜可能性较大． 故答案为：小丽． 【跟踪专练2】如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则________（填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是________．（只填一种方案即可） 【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一） 【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论． 【详解】解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜； 若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下： 乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜， 故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）． 【点睛】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键． 题型15.由频率估计概率 【典例】如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察图象可知，随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性， 可以估计“钉尖向上”的概率是． 【跟踪专练1】如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为___________． 【答案】 35 【详解】解：由统计图知，随着实验次数的增加，点落在不规则图案上的频率稳定在0.35， ∴点落在不规则图案上的概率为0.35． ∴估计阴影部分面积约为． 【跟踪专练2】某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 【答案】A 【分析】先计算题目中事件的频率，根据用频率估计概率得到该事件概率约为，再计算各选项事件的概率，选出概率最接近的选项即可. 【详解】解：∵试验总次数为次，该结果出现次， ∴频率为， 可得该事件的概率约为； 对各选项逐一计算概率： A选项： ∵张不含大小王的扑克牌中，红桃有张， ∴抽到红桃的概率为，符合要求； B选项：掷一枚硬币正面朝上的概率为，不符合要求； C选项： ∵共张纸片，其中奇数纸片有张， ∴抽到奇数的概率为，不符合要求； D选项： ∵质地均匀的骰子共个点数，点数为的情况只有种， ∴点数为的概率为，不符合要求， 题型16.用频率估计概率的综合应用 【典例】对1000件某品牌毛衣进行抽检，统计合格毛衣的件数．在相同条件下，经过大量的重复抽检，发现一件合格毛衣的频率稳定在，则这1000件毛衣中合格的件数大约是____件． 【答案】950 【分析】用总件数乘以合格毛衣的频率即可得出答案． 【详解】解：（件）， 故答案为：950． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【跟踪专练1】袋中有个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个白球的频率稳定在，则估计袋中白球的个数为________个． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用摸到白球的频率乘以100即可得出白球的个数． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现从中摸出一个白球的频率稳定在，口袋中有个除颜色外完全相同的小球， ∴袋中白球的个数为（个）． 故答案为：． 【跟踪专练2】某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．抛一枚硬币，出现正面朝上 B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数 C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7 【答案】C 【分析】分别算出每个选项的概率，再与图中结果对比即可得到答案．　 【详解】解：A中的概率为0.5,不符合这一结果,故此选项错误; B中的概率为0.5,不符合这一结果,故此选项错误; C中的概率为,符合这一结果,故此选项正确; D中的概率为,不符合这一结果,故此选项错误. 故选C. 【点睛】本题考查频率与概率的综合应用，熟练掌握概率与频率的关系、概率的求解是解题关键． 解答题 1．用一副扑克牌中的张牌设计一个翻牌游戏，要求同时满足下列三个条件，请写出你所用的张牌． （1）要求翻出“红桃”与“方块”的可能性相同； （2）要求翻出“梅花”的可能性比翻出“方块”的可能性小； （3）要求翻出黑颜色牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性大． 【答案】张牌是“黑桃”张，“梅花”张，“方块”张，“红桃”张 【分析】本题考查等可能事件发生的概率，理解可能性的大小是正确解答的关键．根据各种花色的扑克牌被翻到的可能性的大小，推断出各种花色的扑克牌的张数，再根据总张数为张，每一种都是整数，进而得出答案． 【详解】解：一共有张扑克牌，满足（1），说明“红桃”和“方块”的张数相同；满足（2）说明“方块”的张数比“梅花”的张数多； 满足（3）说明黑颜色的牌（黑桃、梅花）的张数比红颜色牌（红桃、方块）的张数要多， 因此黑颜色的牌要多于张，最少为张， 因此，张牌是“黑桃”张，“梅花”张，“方块”张，“红桃”张 2．一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有80次摸到红球，估计袋中红球的个数． 【答案】8个 【分析】摸到红球的频率，求得摸到黑球和白球的频率为，计算总球数，从而求得红球个数． 【详解】解：由题意可得，摸到黑球和白球的频率之和为：， ∴总的球数为， ∴估计袋中红球的个数为：（个）． 【点睛】本题考查随机实验中，频率的定义和计算；理解频率的定义是解题的关键． 3．一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 116 290 b 601 摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601 (1)上表中的_____；_____． (2)摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.1）． (3)若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，求此时摸到白球的概率． 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】（1）根据频率等于频数除以总数，计算得到a和b的值； （2）根据大量重复试验中，频率稳定在概率附近，用频率估计概率得到结果； （3）先求出原有白球的数量，再计算添加黑球后总球数，最后根据概率公式计算最终概率； 【详解】（1）解：已知摸球次数时，摸到白球的次数， ， 已知摸球次数时，摸到白球的频率为， ； （2） 解：观察表格可知，随着摸球次数增大，摸到白球的频率逐渐稳定在附近， 因此摸到白球的概率的估计值是； （3）解：原有小球总个数为，可得白球个数为（个）， 添加个黑球后，总球数为（个）， 此时摸到白球的概率为， 答：此时摸到白球的概率是． 4．综合实践 实践任务：如图所示，一张海报上有一个不规则的图案（图中画图部分） 实践方案设计：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案内的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），记录结果如下： 扔球的次数n 100 200 300 500 800 1000 小球落在不规则图案内次数m 24 51 76 b 201 250 小球落在不规则图案内频率（精确到0.001） 0.240 a 0.253 0.248 0.251 0.250 数据整理与计算 (1)_____，_____，画出小球落在不规则图案内频率的折线统计图； (2)随机扔一球，估计小球落在不规则图案内的概率约为_____；（精确到0.01） (3)估计此不规则图案的面积大约为_____． 【答案】(1)，，折线图见解析 (2)0.25 (3)3 【分析】（1）根据频率的公式计算，描点画折线图即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）用长方形面积乘以概率即可． 【详解】（1）解：， 折线统计图如下： （2）解：由题可知，小球落在不规则图案内频率稳定在， 则随机扔一球，估计小球落在不规则图案内的概率约为； （3）解：长方形面积为， 则估计此不规则图案的面积大约为． 5．在某校七年级（1）班组织的“五四青年节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均匀的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． (1)求小丽获胜的概率是____________ (2)你认为这个游戏公平吗？若不公平，请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）比较两人获胜概率可知不公平，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，P（偶数）， 即小丽获胜的概率是； （2）解：不公平，理由如下： ∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去，且由（1）得小丽获胜的概率是； ∴小芳获胜的概率是， ∵ ∴这个游戏不公平； 6．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117，0.80 (2)0.8 (3) 【分析】（1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到）； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $