精品解析：贵州遵义市第十五中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

遵义市第十五中学2026年春季学期第一次月考试题年级：高二学科：数学 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，利用并集的定义可求得集合. 【详解】，所以. 故选：D. 2. 若复数满足，则复数虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得， 所以复数虚部为. 3. 已知随机变量X服从二项分布，且，则（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】由二项分布的期望和方差公式，以及期望的性质可得结果. 【详解】由于随机变量X服从二项分布，所以，解得：. 故，，所以. 故选：C. 4. 已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ） 参考数据：若，则. A. 13272 B. 16372 C. 16800 D. 19518 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布曲线的性质即可列式求解. 【详解】依题意，故所求人数为. 故选：C. 5. 展开式中常数项为（ ） A. B. C. 1 D. 481 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理直接求解即可. 【详解】解：根据二项式定理，表示个相乘， 所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况： ①个中全部选项展开； ②个中有1个选择项，2个选择项，3个选择项展开； ③个中有2个选择项，4个选择项展开. 所以，其常数项为：. 故选：C. 6. 有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．现从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这2个球都是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】设表示取得的2个球都是黄球，表示选择第一个盒子，表示选择第二个盒子； 所以， 故选：C 7. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解. 【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且， 所以 . 故选：D． 8. 在贵州“村超”总决赛阶段，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每组至少1人，其中甲、乙2人不能分在同一组，每个村各有一组来调研，则不同的安排方法种数是（ ） A. 114 B. 120 C. 150 D. 180 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分组方法分为和两种方式，分别利用组合数进行方法计数，得到总分组方法总数，再考虑每组对应三个村寨的排列方式，运用排列数统计即可. 【详解】根据题意，5名学生分成三组分组方法分为两种： ① 分组：总分组方式为种，其中甲、乙同在三人组的方式有种，故符合条件的为种； ②分组：总分组方式为种，其中甲、乙同在两人组的方式为种，故符合条件的为种. 由分类加法计数原理，总分组方式为种，三组对应三个村寨的排列方式为种， 故最终总方法数为种. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性判断ABC，根据方差的运算性质判断D. 【详解】由随机变量可知服从正态分布，正态密度曲线对称轴为，方差为， 所以，A说法正确； ，B说法正确； ，C说法正确； ，D说法错误； 故选：ABC 10. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（ ） A. 不同的站队方式共有120种 B. 若甲和乙不相邻，则不同的站队方式共有36种 C. 若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有60种 D. 若甲和乙相邻，且甲不在两端，则不同的站队方式共有36种 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全排列数计算判断A；利用插空法求解判断B；定序问题采用倍缩法进行求解判断C；先使用捆绑法求解，再去掉甲在两端情形即可判断D. 【详解】对于A，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，不同的站队方式共有种，A正确； 对于B，甲和乙不相邻的站队方式有种，B错误； 对于C，甲在乙的左边的不同的站队方式有种，C正确； 对于D，将甲与乙捆绑看做一个整体，再与其他三人站成一排，有种站队方式， 其中甲站在两端的情形有种，所以符合题意的站队方式共有种，D正确. 故选：ACD 11. 若，，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】直接根据利用二项式定理将其展开，结合二项式系数的性质对四个选项依次分析即可求解. 【详解】 对于,令则故正确； 对于,，故错误； 对于,令则则 故错误； 对于,令得又 故正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某天，甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则这一天，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设乙地下雨为事件，甲地下雨为事件， 可得，， 所以在乙地下雨的条件下， 甲地也下雨的概率为. 故答案为：. 13. 随机变量的分布列如表所示，且，则______． a 0 3 P b 【答案】6 【解析】 【分析】先列方程组求出b、c，再利用方差公式求出方差. 【详解】由题意可得：，解得：， 所以. 故答案为：6 14. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 【答案】## 【解析】 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式二项式系数和为64． （1）求的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项． 【答案】（1）6 （2）60 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的二项式系数和为即可求解； （2）求出二项式展开式的通项，令的指数为零即可求解； （3）根据二项式系数的性质和n的值可判断二项式系数最大的项，从而求解. 【小问1详解】 由题意得：，解得. 【小问2详解】 由通项公式，令，可得：． 展开式中的常数项为； 【小问3详解】 是偶数，展开式共有7项，则第四项最大， 展开式中二项式系数最大的项为． 16. 全国第36届中国化学奥林匹克竞赛已经结束，我校学生取得了优异成绩，为了方便统计，现将学生成绩转化为百分制，从中随机抽取了100名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生成绩的中位数； （2）在这100名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90）的人数，求的分布列和数学期望； 【答案】（1）,中位数:65 （2）分布列见解析，数学期望为. 【解析】 【分析】(1)根据频率之和等于1即可求解m,再根据中位数的定义求得中位数;(2)利用分层抽样的原理确认各区间所抽取人数，再根据超几何分布即可求出分布列以及数学期望. 【小问1详解】 由题可知，， 解得. 中位数为. 【小问2详解】 依题意，[70，80），[80，90），[90，100]三组的频率为， 所以[70，80），[80，90），[90，100]三组抽取的人数为， 所以在这10人成绩在[80，90）的有3人，不在的有7人， 所以, 所以列出分布列如下： 0 1 2 3 所以. 17. 已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点及的直线交椭圆于A，B两点，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和焦距求得，进而求得，即可求解椭圆标准方程； （2）先求出直线AB的方程，然后与椭圆方程联立，韦达定理，求得，代入面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，，， 所以，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为点及，所以， 所以直线AB的方程为即， 设，，由得， 所以，， 所以， 所以. 18. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，． （1）证明：； （2）求二面角的大小． （3）在线段上是否存在一点E，使得DE与平面BCD所成角的正弦值为，若存在求出该点的位置，若不存在请说明理由？ 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，的中点 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解；通过法向量的夹角来求二面角的大小； （3）设出点的坐标（用参数表示），再求出平面的法向量，根据线面角的向量公式列出方程，求解参数判断是否存在及位置. 【小问1详解】 直三棱柱中，侧棱面，面，. 假设，， ，，， ，故. 又，，平面， 平面，平面，. 【小问2详解】 如图所示：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为：, 则， 设平面的一个法向量为， 则：，令，得，故. 设平面的一个法向量为， 则：，取，得，故. 所以， 由图易知二面角为锐二面角，故， 所以二面角的大小为. 【小问3详解】 设在线段上，令，，得， 则. 设线面角为，由（1）知平面的法向量为. ， 所以， 解得，符合要求， 所以存在满足条件的点，为线段的中点. 19. 人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． （1）若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； （2）为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 【答案】（1）①0.5； ②分布列如下： 0 1 4 16 0.5 0.14 0.3 0.06 （2）第1题【解析】 【分析】（1）①利用全概率公式计算第二题的答对概率，②根据前两题的结果推导最后一题得分的 的可能取值为 、、、，计算可求得分布列； （2）分别计算在第1、2、3题求助时获奖的概率，通过比较概率大小确定最优求助策略. 【小问1详解】 设甲同学答对第题为事件， ① , ②若甲同学最后一题答错，则有4种情况， ，，，此时， ． 若甲同学最后一题答对，则有4种情况， ，，， ， ， ． 综上可知：，分布列如下： 0 1 4 16 0.5 0.14 0.3 0.06 【小问2详解】若甲第一题进行场外求助，设获奖的概率为， 则． 若甲第二题进行场外求助，获奖的概率为，则， 若甲第三题进行场外求助，设获奖的概率为， 则， 令， 该二次函数开口向下，对称轴为. 因为，函数的最小值在端点处取到， 即，即. ，故选择第1题求助获奖概率最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第十五中学2026年春季学期第一次月考试题年级：高二学科：数学 试卷总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知随机变量X服从二项分布，且，则（ ） A. 9 B. 11 C. 12 D. 15 4. 已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数近似服从正态分布，据此估计，该市二模考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ） 参考数据：若，则. A. 13272 B. 16372 C. 16800 D. 19518 5. 展开式中常数项为（ ） A. B. C. 1 D. 481 6. 有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．现从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这2个球都是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ） A. B. C. D. 8. 在贵州“村超”总决赛阶段，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每组至少1人，其中甲、乙2人不能分在同一组，每个村各有一组来调研，则不同的安排方法种数是（ ） A. 114 B. 120 C. 150 D. 180 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（ ） A. 不同的站队方式共有120种 B. 若甲和乙不相邻，则不同的站队方式共有36种 C. 若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有60种 D. 若甲和乙相邻，且甲不在两端，则不同的站队方式共有36种 11. 若，，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某天，甲、乙两地下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为，则这一天，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为________. 13. 随机变量的分布列如表所示，且，则______． a 0 3 P b 14. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式二项式系数和为64． （1）求的值； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项． 16. 全国第36届中国化学奥林匹克竞赛已经结束，我校学生取得了优异成绩，为了方便统计，现将学生成绩转化为百分制，从中随机抽取了100名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计这100名学生成绩的中位数； （2）在这100名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]的三组中抽取了10人，再从这10人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90）的人数，求的分布列和数学期望； 17. 已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点及的直线交椭圆于A，B两点，求的面积． 18. 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，． （1）证明：； （2）求二面角的大小． （3）在线段上是否存在一点E，使得DE与平面BCD所成角的正弦值为，若存在求出该点的位置，若不存在请说明理由？ 19. 人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． （1）若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； （2）为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $