2025-2026学年浙教版八年级数学下册期末复习专题八 ：几何中代数值不变

2025学年八年级第二学期期末复习专题八：几何中代数值不变 【知识点】三角形中代数值不变 1.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（　　） A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 【解答】解：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，AC＝b， 设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2， 整理得：x2+ax﹣b6＝0（a≠0，b≠4）， ∵Δ＝a2+4b6＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣b2＜4，即方程的根一正一负， 则该方程的一个正根是AD的长， 故选：B． 2.如图，D、E分别为等边三角形ABC中CA、CB延长线上的点，且BE＝CD，O为BC的中点，M为DE中点．设AB＝x，AD＝y，若要知道OM的值，只需知道下列哪个值？（　　） A．x2+y2 B．xy C．x﹣y D．x+y 【解答】解：延长BC于点P，使CP＝CD，连接PD，作CQ⊥PD于点Q，则∠CQD＝90°，DQ＝PQPD， ∵△ABC是等边三角形，D、E分别为CA、CB延长线上的点，且BE＝CD，O为BC的中点， ∴∠ACB＝60°，CP＝BE，OC＝OB， ∴∠PCD＝180°﹣∠ACB＝120°，CP+OC＝BE+OB， ∴∠CDQ＝∠P（180°﹣120°）＝30°，OP＝OE， ∴CQCD， ∵AC＝AB＝x，AD＝y， ∴CD＝AC+AD＝x+y， ∴DQCD（x+y）， ∵O为PE中点，M为DE中点， ∴OMPD， ∴OM＝DQ（x+y）， ∴若要知道OM的值，只需知道x+y的值， 故选：D． 3.如图是由7个等边三角形拼成的图形，若要求出阴影部分的面积，则只需要知道（　　） A．⑤和③的面积差 B．④和②的面积差 C．③和②的面积差 D．⑤和②的面积差 【解答】设每个等边三角形边长为xn，∴每个三角形面积为xn2． ∴阴影部分面积S＝x3（x3﹣x2）． ∵x1＝x3﹣x2，x1+x3＝x4， ∴④与②面积差等于（x42﹣x22）＝（x4+x2）（x4﹣x2）． ∵x1＝x3﹣x2，x1+x3＝x4， ∴化简得x3（x3﹣x2）． ∴观察上式可得阴影面积与④与②面积差相差四倍，则只需知道④和②的面积差． 故选：B． 4.如图, 中 ,分别以 为边向外侧作等边三角形 和等边三角形 分别是 的中点,连结 ,若要知道 的值,只需知道下列哪个值 A. 的面积 B. 的面积 C. 线段 的长 D. 线段 的长 【答案】D 【知识点】四边形中代数值不变 1.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 【解答】解：过D作DH⊥BC，交BC延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AD∥BC， ∵AE⊥BC，DH⊥BC， ∴AE＝DH， ∴Rt△DCH≌Rt△ABE（HL）， ∴CH＝BE＝x， ∵BC＝y， ∴EC＝BC﹣BE＝y﹣x，BH＝BC+CH＝y+x， ∵AE2＝AC2﹣EC2，DH2＝BD2﹣BH2， ∴22﹣（y﹣x）2（y+x）2， ∴xy＝2． 故选：C． 2. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程 的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是（　　） A. 线段BH B. 线段DN C. 线段CN D. 线段NH 【答案】B 【详解】解：解方程得， ∴取正值为． 设DN=m，则NC=1-m． 由题意可知：H是BC的中点，DN=PN=m，∠APN=∠D=90°（折叠的性质），BH=CH=0.5． 在Rt△ABH中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴这条线段是线段DN． 故选：B． 3.如图，在中，点是线段上一动点，过点作，当点从点向点运动过程中，四边形的面积的变化情况是(　　) A. 保持不变 B. 一直减小 C. 一直增大 D. 先增大后减小 【答案】A 【解析】 【分析】连接AF，根据S△ABF=S=，即可解答． 【详解】如图，连接AF， ∵S△ABF=S=， ∴四边形面积保持不变． 故选A． 4.如图，在矩形中，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，若要知道的面积，则需要知道（ ） A. 的长 B. 矩形的面积 C. 的面积 D. 的度数 【答案】B 【详解】解：过点作平行线，分别交和的延长线于点和，连接， 设，， ∵平分， ∴， ∴，又， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5.如图，菱形中，，过对角线BD上一点P，作，，交各边于点M，N，F，Q．的四个顶点分别在菱形的四条边上，且经过点P，若要求的面积，只需知道线段（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，等积变换等；连接、，由平行四边形的性质得，由菱形的判定方法得四边形是菱形，菱形的性质及三角形的面积得，，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意连接辅助线构建两个等积三角形是解题的关键. 【详解】解：如图，连接、， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B. 6.如图，在矩形中，是矩形内一点，设，，，的面积分别表示为，，，，要求出的值，只需知道（ ） A. B. C. D. 【答案】B 7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＋BC＝AB，以CD为底边，在CD右侧作等腰直角三角形CDE，若要求△ABE的面积，则只需知道（ ） A．AD的长 B．BC的长 C．AB的长 D．CD的长 【答案】C 8.【问题背景】 如图 1,在平行四边形 中, ,点 是边 的中点,连结 ,点 是线段 上的动点,连结 ,且满足 . 【初步尝试】 （1）如图 2，当四边形 是正方形时，若 ，则 . 【猜想验证】 （2）如图 3,同学们在研究图形时发现,若取线段 的中点 ,可得 始终为定值. 请你猜想这个定值是多少? 并说明理由. 【拓展应用】 （3）如图 3,在 (2) 的基础上,若 ,当四边形 是菱形时,求菱形 的边长. 【答案】【初步尝试】 如图 1,在正方形 中, 图 1 点 是边 的中点 【猜想验证】 理由如下: 如图 2,取线段 和 的中点 ,连结 , 则 是 的中位线 图 2 在 中, , 点 是边 的中点 【拓展应用】 图 3 情况 1: 如图 3,取 中点 ,连结 . 菱形 由（2）得 得 , 解得 (舍), 在 中, 在 中, . 情况 2: 如图 4,取 中点 ,连结 . 图 4 菱形 由（2）得 , ,得 , 解得 在 中, 在 中, 菱形 的边长为 或 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年八年级第二学期期末复习专题八：几何中代数值不变 【知识点】三角形中代数值不变 1.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（　　） A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 2.如图，D、E分别为等边三角形ABC中CA、CB延长线上的点，且BE＝CD，O为BC的中点，M为DE中点．设AB＝x，AD＝y，若要知道OM的值，只需知道下列哪个值？（　　） A．x2+y2 B．xy C．x﹣y D．x+y 3.如图是由7个等边三角形拼成的图形，若要求出阴影部分的面积，则只需要知道（　　） A．⑤和③的面积差 B．④和②的面积差 C．③和②的面积差 D．⑤和②的面积差 4.如图, 中 ,分别以 为边向外侧作等边三角形 和等边三角形 分别是 的中点,连结 ,若要知道 的值,只需知道下列哪个值 A. 的面积 B. 的面积C. 线段 的长 D. 线段 的长 【知识点】四边形中代数值不变 1.如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2 2. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程 的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是（　　） A. 线段BH B. 线段DN C. 线段CN D. 线段NH 3.如图，在中，点是线段上一动点，过点作，当点从点向点运动过程中，四边形的面积的变化情况是(　　) A. 保持不变 B. 一直减小 C. 一直增大 D. 先增大后减小 4.如图，在矩形中，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，若要知道的面积，则需要知道（ ） A. 的长 B. 矩形的面积 C. 的面积 D. 的度数 5.如图，菱形中，，过对角线BD上一点P，作，，交各边于点M，N，F，Q．的四个顶点分别在菱形的四条边上，且经过点P，若要求的面积，只需知道线段（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 6.如图，在矩形中，是矩形内一点，设，，，的面积分别表示为，，，，要求出的值，只需知道（ ） A. B. C. D. 7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＋BC＝AB，以CD为底边，在CD右侧作等腰直角三角形CDE，若要求△ABE的面积，则只需知道（ ） A．AD的长 B．BC的长 C．AB的长 D．CD的长 8.【问题背景】 如图 1,在平行四边形 中, ,点 是边 的中点,连结 ,点 是线段 上的动点,连结 ,且满足 . 【初步尝试】 （1）如图 2，当四边形 是正方形时，若 ，则 . 【猜想验证】 （2）如图 3,同学们在研究图形时发现,若取线段 的中点 ,可得 始终为定值. 请你猜想这个定值是多少? 并说明理由. 【拓展应用】 （3）如图 3,在 (2) 的基础上,若 ,当四边形 是菱形时,求菱形 的边长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $