-第二十三章图形的变换 单元测试 A卷 2025-2026学年北京版九年级下册数学

**基本信息** 《第二十三章 图形的变换》单元测试A卷，覆盖轴对称、中心对称、平移、旋转等核心知识点，通过基础识别、作图操作及综合探究题，培养几何直观与空间观念，适配初中数学单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|轴对称/中心对称识别、平移旋转性质|结合生活图标（如第3题），基础巩固| |填空题|4题|坐标变换、最短路径（如15题）|渗透转化思想，能力提升| |解答题|9题|作图（17-18题）、旋转探究（24题）|注重动手操作与逻辑推理，创新应用|

第二十三章 图形的变换 单元测试A卷 一、选择题 1．下列图案中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．下面的图形是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．下列命题正确的是（    ） A．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 B．精确到十分位 C．点关于轴的对称点坐标是 D．甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则甲成绩比乙的稳定 5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 7．如图，在中，，顶点O与原点重合，，点B的坐标为，点C为边的中点，将向右平移，当点C的对应点在直线上时，点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为，，将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B．   C．   D．   10．如图，在中，，．的平分线与的垂直平分线交于点O，点E、F分别在边上，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（    ） A． B． C． D． 11．如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．点和点关于轴对称，则的值是________． 14．将点向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位得到点，则点的坐标是______． 15．如图，正方形 的边长是12，分别是上的点，已知，，求周长的最小值___________．    16．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是___________cm（结果用含的式子表示）．    三、解答题 17．如图，画出方格上的小鱼图形向右平移4格，再向上平移3格后的图形． 18．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，．画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 19．如图1，在中，，垂足为．如图2，将沿所在直线翻折，使点落在边上，记为．    (1)若，求的度数． (2)若，则的度数为______（用含的代数式表示）． 20．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将平移至处，点A，B，C的对应点分别为，，，其中点的坐标为． (1)请在图中画出，并写出点，的坐标； (2)点M在x轴上运动，当线段最短时，求点M的坐标． 21．已知 的三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于坐标原点O成中心对称的； (2)将绕坐标原点O顺时针旋转，画出对应的， (3)若以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出在第四象限中的坐标 ． (4)在y轴上找一点，使得的周长最小，则点P坐标为 ． 22．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，三个顶点分别为，，，已知与是位似图形，且，． (1)请直接写出位似中心的坐标：________________； (2)在网格中将补充完整． 23．如图，平面直角坐标系中，，，，过点作轴的垂线． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)写出点的坐标（____，____），（____，____），（____，____）； (3)在内有一点，点与点关于直线对称，请用含m，n的式子表示点的坐标（________，________）． 24．阅读与理解：如图1，等边（边长为a）按如图所示方式设置．操作与证明： (1)操作：固定等边（边长为b)，将绕点B按逆时针方向旋转，连接，，如图2；在图2中，请直接写出线段与之间具有怎样的大小关系． (2)操作：若将图1中的，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度，连接，，与相交于点M，连，如图3；在图3中线段与之间具有怎样的大小关系？的度数是多少？证明你的结论． (3)根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？ 25．如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）. (1)将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，请在图中画出△A1OB1，并求出这时点B1的坐标为 　 　； (2)旋转后△A1OB1的面积为 　 ； (3)计算在旋转过程中，线段OA扫过的图形的弧长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十三章 图形的变换单元测试A卷》参考答案： 1．B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形， 选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形． 故选B． 2．C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选C． 3．D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 【详解】解：A．是轴对称图形不中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形不中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形不中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 4．C 【分析】A、根据必然事件和随机事件的定义即可判断该命题是否正确；B、根据小数精确度的定义即可判断该命题是否正确；C、根据轴对称图形的性质即可判断该命题是否正确；D、方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小． 【详解】A、“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，命题错误，该选项不符合题意； B、精确到百分位，命题错误，该选项不符合题意； C、点关于轴的对称点坐标是，命题正确，该选项符合题意； D、甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则乙成绩比甲的稳定，命题错误，该选项不符合题意． 故选：C 【点睛】本题主要考查必然事件和随机事件、小数精确度、轴对称图形、方差，牢记必然事件和随机事件的定义、小数精确度的定义、轴对称图形的性质、方差的性质是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形定义，轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．也考查了平行线的判定．先利用平移的性质得到，然后根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：利用平移的性质得到， 可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行， 故选：B． 7．B 【分析】本题是一次函数综合题，涉及的知识包括坐标与图形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平移的性质等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 先求得点，的坐标，根据平移后纵坐标相等，求得点的坐标，进而求得平移距离，即可求得点的坐标． 【详解】过点作轴于点，过作于点，如图所示: 则有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 点C为边的中点， ， 将向右平移，纵坐标还是， 代入， 得， 解得 ， 向右平移4个单位到 ∴坐标为 ， 故选B． 8．A 【分析】根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，可知旋转4次为一个循环，得到经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可． 【详解】解：在正方形中，点A的坐标为， ∴点． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 由题意，可得风车第1次旋转结束时，点D的坐标为；第2次旋转结束时，点D的坐标为；第3次旋转结束时，点D的坐标为；第4次旋转结束时，点D的坐标为． ∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴旋转4次为一个循环． ∵， ∴经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，为； 故选A． 【点睛】本题考查规律探索求点坐标．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，抽象概括出相应的坐标规律，是解题的关键． 9．C 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形以某条直线对折，图形的两部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 直接根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项分析． 【详解】解：A．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 10．C 【分析】连接，根据等腰三角形的性质可得：，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得，等腰三角形的性质可得，垂直平分，从而得到，由折叠的性质求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵ ∴ ∵平分 ∴ 又∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴垂直平分 ∴ ∴ 由折叠的性质可得：， ∴ ∴ 故选：C 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，灵活利用相关进行求解． 11．A 【分析】由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 12．B 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当取得最小值时确定点的位置．如图，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，将转化为，与在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点的位置，即为与的交点时，的值最小，求出此时． 【详解】解：如图1，作，且，连接，连接， 是等边三角形，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， 当为与的交点时，如图2，的值最小， 此时，， ， 故选：B． 13． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查点的平移规律，解题关键是熟练掌握：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．将点A的横坐标减1，纵坐标减4，即可得到平移后点B的坐标． 【详解】解：将点向左平移1个单位后横坐标变为：， 向下平移4个单位后纵坐标变为：， 点A平移后得到点， 点坐标为， 故答案为：． 15． 【分析】作点E关于的对称点N，连接，交于点G，根据两点之间线段最短，所以为的最小值，过点F作于点M，在直角中，求得的最小值为13，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，    作点E关于的对称点N， 因为正方形是轴对称图形，且为对称轴， 所以点N在上， 连接，交于点G，根据两点之间线段最短， 所以为的最小值， 过点F作于点M， 则，， 根据轴对称性质可知：， 所以， 在直角中，由勾股定理，得： ， 所以， 即的最小值为13， 在中，， 所以， 所以周长的最小值是． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路径问题，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 16． 【分析】由于旋转到，故C的运动路径长是的圆弧长度，根据弧长公式求解即可． 【详解】以A为圆心作圆弧，如图所示．    在直角中，，则， 则． ∴． 由旋转性质可知，，又， ∴是等边三角形． ∴． 由旋转性质知，． 故弧的长度为：； 故答案为： 【点睛】本题考查了含角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C点的运动轨迹． 17．见解析 【分析】本题考查了利用平移设计图案，对于此类直线型的图案，平移关键点再顺次连接关键点即可．将图中三角形鱼的顶点分别向右平移四个单位，再向上平移三个单位，然后顺次连接各点即可． 【详解】解：如图即为所求： 18．图见详解， 【分析】本题考查作图一轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 根据轴对称的性质作图，即可得出答案． 【详解】解：如图， 为求作的． ． 19．(1) (2) 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义以及性质，折叠的性质，掌握翻折的性质是解本题的关键； （1）先得到，再根据折叠的性质得，根据三角形外角性质即可求解； （2）由已知条件可得出点落在线段上时，同（1）解题过程一样求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 由翻折的性质可得出， ∵， ； （2）∵，且点落在线段上时， ∵， ， 由翻折可知 ． 20．(1)见解析，， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，垂线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据点C和点的坐标可得平移方式为向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度，据此得到，的坐标的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）由垂线段最短可知，当轴，有最小值，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则，； （2）解：由垂线段最短可知，当轴，有最小值， ∵， ∴． 21．(1)见详解 (2)见详解 (3) (4) 【分析】（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答； （2）根据网格结构找出点、、关于原点对称的点的坐标，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标； （3）根据平行四边形的对边平行且相等解答； （4）作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点． 本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示： 在第四象限中的坐标为， 故答案为：； （4）解：如图，作过点B关于y轴的对称点，连接交y轴与点P， 由题意可知点，点， 设的解析式为， ，解得：， 则的解析式为 坐标为， 故答案为：． 22．(1) (2)图见解析 【分析】本题主要考查了判断位似中心，写出直角坐标系中点的坐标，在坐标系中画位似图形等知识点，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）连接，，并分别延长相交于点，则点即为与的位似中心，于是即可得出答案； （2）结合位似图形的性质，连接并延长，在的延长线上取点，使，连接，即可． 【详解】（1）解：连接，，并分别延长相交于点， 则点即为与的位似中心， 位似中心的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，连接并延长，在的延长线上取点，使，连接，，则即为所求． 23．(1)见解析 (2)4，1；5，4；3，3； (3)， 【分析】本题考查作图轴对称变换，掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）关键轴对称的性质和网格特点画出图形， （2）写出点，，的坐标即可． （3）根据轴对称的性质即可写出点关于直线的对称点的坐标． 【详解】（1）如图，为所作： （2），，， 故答案为：4，1；5，4；3，3； （3）点关于直线的对称点的坐标为， 故答案为：，． 24．(1)，理由见解析 (2)，，证明见解析 (3)当时，线段的长度最大为，当或，线段的长度最小为 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质， （1）利用证明即可； （2）利用证明，得，，再利用三角形内角和定理可得答案； （3）根据前面的旋转得到当点D在线段的延长线上时，此时线段的长度最大，等于，则此时旋转的角度为，当点D在线段上时，此时线段长度最小，等于，旋转的角度或． 解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 【详解】（1）； 将绕点按逆时针方向旋转， ， 在和中， ， ， ； （2），，理由如下： 将绕点按逆时针方向旋转度， ， 与是等边三角形， ，， ， ，， ， ， （3）由题意可知：当点D在线段的延长线上时，此时， 线段的长度最大，等于， 当点D在线段上时，此时或． 线段的长度最小，等于， 25．(1)（﹣3，1） (2)3.5 (3)π 【分析】（1）根据旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）利用勾股定理求出OA，根据旋转角为90°，可利用弧长等于个圆周求解． 【详解】（1）如图，△A1OB1即为所求．并求出这时点B1的坐标为（﹣3，1）． 故答案为：（﹣3，1）； （2）旋转后△A1OB1的面积＝3×31×32×31×2＝3.5． 故答案为：3.5； （3）∵OA， 旋转角为90° ∴线段OA扫过的图形的弧长π． 【点睛】本题考查了旋转作图，旋转的性质，求旋转角，勾股定理，求弧长，掌握以上知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $