精品解析：辽宁抚顺市2026年初中业水平模拟考试数学试卷

抚顺市2026年初中学业水平模拟考试 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个碗摆放在桌面上，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 ， 的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边 、 与网格线的交点，连接 ，则 的长为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 如图，在菱形 中，，点 在边 上，连接 ，将 沿 折叠，若点 落在 延长线上的点 处，则 的长为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载：“今有矩形田地，面积为180平方步，宽比长少7步，问长为几何?”设宽为 步，可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图， 中，， ， ，有以下作图：①以点 为圆心，以适当长为半径画弧，分别交 于点 ，交 于点 ；②分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ；③作射线 交 于点 ．若点 ， 分别为 ， 上的动点，那么的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果把“收入200元”记作+200元，那么“支出300元”记作____元． 12. 有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t.问一辆大货车和一辆小货车每次分别可以运货多少t?如果设一辆大货车每次运货，一辆小货车每次运货，则可列方程组为________． 13. 甲、乙两人各射击10次，射击成绩的平均数均为8环，方差分别为，，则射击成绩更稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 14. 如图，某科技小组用无人机测量湖泊两端 ， 的距离，他们将无人机上升并飞行至距湖面的点 处，从 点测得 点的俯角为 ，测得 点的俯角为（ ， ， 三点在同一竖直平面内），则湖泊两端 ， 的距离为________（结果保留根号）． 15. 如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在 上，且，连接 ，点 为 的中点，连接 并延长，交 于点 ，连接 ，则 的长为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 为迎接中考理化生实验操作考试，某校需采购一批试管和烧杯.已知每个烧杯的价格比每个试管贵2元，用50元购买的试管数量与用250元购买的烧杯数量相等． （1）求每个试管和每个烧杯的价格分别是多少元？ （2）学校计划购买试管和烧杯共100个，且用于购买的总费用不超过150元．求最多能购买多少个烧杯? 18. 在“世界读书日”来临之际，某校七年级共800名学生参加了“让阅读成为习惯，让校园溢满书香”为主题的读书知识竞赛活动，为了解七年级学生的读书知识掌握情况，调查小组从七年级随机抽取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： 信息一：50名学生竞赛成绩的频数分布表： 成绩 /分 频数 6 15 17 9 信息二：50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图（不完整）； 信息三：在 这一组的学生竞赛成绩是： 80，81，83，83，83，84，84，85，86，86，86，87，87，87，88，88，89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出频数分布表中的数值； （2）补全频数分布直方图； （3）求出所抽取学生竞赛成绩的中位数； （4）学校将把获得88分及以上的学生评为“阅读达人”，请估计七年级学生的获奖人数． 19. 晓然同学是一名篮球爱好者，他想知道每次投进的篮球出手到最高点时的离地高度有多少米．当学习到二次函数内容的时候，老师说投篮的弧线可以看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球出手后最高点的离地高度． 活动准备 1.查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2.准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 晓然负责把球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定球到最高点 对应的地面位置 ，安排第二位队友用皮尺测量位置 与晓然同学投篮站立位置点 的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心 与地面对应点 ，并测量水平距离 ． 采集数据 经测量，晓然同学的出手高度米，米，米.经查询篮筐的高度米，且 ， ， 在一条直线上， 和 都垂直于 ． 确定思路 小组成员经过讨论确定，以点 为原点，所在直线为 轴，所在直线为 轴，建立如图2的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，分析数据得 ， 两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出 点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）求这次投进篮球的最大离地高度； （3）如果在晓然同学面前0.5米的地方有一个防守球员想垂直起跳封盖他的投篮，请问最低封盖高度需要达到多少米? 20. 在矩形 中，，，分别以，所在直线为 轴和 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 是 上的一个动点（不与 ， 重合），过 点的反比例函数的图象与 边交于点 ，连接 ， ， ． （1）若，求反比例函数的解析式； （2）当点 在 上移动时，与的面积差记为，求当 为何值时，有最大值，最大值是多少? 21. 如图，在 中， ，点 为 上一点，以为半径的 经过斜边 上点 ，连接 ，点 在 上，过点 作，交 于点 ，作 ，垂足为点 ，且，． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求 的半径． 22. 在 中， ， ， ．将 绕点 逆时针旋转得到 ，旋转角小于，点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ， 的延长线交 于点 ，连接 ． （1）如图1，求证： ； （2）连接 ，连接 并延长交 于点 ． ①如图2，求证：点 是 的中点： ②如图3，连接 ，当时，求 的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与交于 ， 两点，已知的图象与 轴交于点，且关于直线 对称． （1）求二次函数的函数解析式； （2）直线分别与和的图象交于 ， 两点，与 轴交于点 ．若，求的值： （3）定义：为较小函数，即，直线与的图象交于 ， ， ， 四点（ ， ， ， 从左到右依次排布），若，求出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 抚顺市2026年初中学业水平模拟考试 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】A． 中的 和不是同类项，无法合并，故错误． B．，正确． C． 应展开为 ，选项漏掉，故错误． D．，选项中结果为，计算错误． 故选：B． 3. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选： ． 4. 如图，一个碗摆放在桌面上，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看得到的图形即可求解． 【详解】解：从上面可看到一个圆，它的底还有一个看不见的圆，用虚线表示， 故选C． 5. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 6. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 ， 的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边 、 与网格线的交点，连接 ，则 的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出 是 的中位线是解题关键．取格点 、 ，由网格的性质可知，，得到，，进而证明 是 的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点 、 ， 由网格的性质可知，， ，， 、 分别是 、 的中点， 是 的中位线， ， 故选：B． 7. 如图，在菱形中，，点 在边 上，连接 ，将 沿 折叠，若点 落在 延长线上的点 处，则 的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，，再根据菱形的性质，得出 ，从而求出，则，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， 在菱形中，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键． 8. 在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律：点平移时，横坐标左移减，右移加，纵坐标下移减，上移加，按平移步骤计算坐标即可． 【详解】解：将点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的点坐标为：，即． 9. 《九章算术》中记载：“今有矩形田地，面积为180平方步，宽比长少7步，问长为几何?”设宽为 步，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形面积公式，先根据宽表示出长，再代入面积公式即可列出方程. 【详解】解：∵设宽为 步，宽比长少 步， ∴长为步， ∵矩形面积 长 宽，且矩形面积为平方步， ∴代入得方程． 10. 如图， 中，， ， ，有以下作图：①以点 为圆心，以适当长为半径画弧，分别交 于点 ，交 于点 ；②分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ；③作射线 交 于点 ．若点 ， 分别为 ， 上的动点，那么的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先由作图作法得出 是 的平分线，再根据垂线段最短，在 上截取，连接 ，作于G，此时，值最小，最小值为 ，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在 上截取，连接 ，作于G，如图， 根据垂线段最短，此时，值最小，最小值为 ， 理由：由作图可知， 是 的平分线， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴值最小，最小值为 ， ∵ ，， ∴， 即最小值为4． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如果把“收入200元”记作+200元，那么“支出300元”记作____元． 【答案】-300 【解析】 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出记为负． 【详解】收入200元记作+200元，那么支出300元记作﹣300元． 故答案为﹣300． 【点睛】本题考查了正数和负数，注意收入记作正，支出就记为负． 12. 有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t.问一辆大货车和一辆小货车每次分别可以运货多少t?如果设一辆大货车每次运货，一辆小货车每次运货，则可列方程组为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干给出的两种运货等量关系，分别列出等式，组合得到方程组. 【详解】解：由题意可知，2辆大货车运货总质量为，3辆小货车运货总质量为，二者一次运货总和为，因此可得方程； 同理，5辆大货车运货总质量为，6辆小货车运货总质量为，二者一次运货总和为，因此可得方程； 联立两个方程得方程组． 13. 甲、乙两人各射击10次，射击成绩的平均数均为8环，方差分别为，，则射击成绩更稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】方差反映一组数据的波动大小，方差越小，波动越小，成绩越稳定，比较两个方差的大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，且， ∴乙的射击成绩更稳定． 14. 如图，某科技小组用无人机测量湖泊两端 ， 的距离，他们将无人机上升并飞行至距湖面的点 处，从 点测得 点的俯角为 ，测得 点的俯角为（ ， ， 三点在同一竖直平面内），则湖泊两端 ， 的距离为________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作 ，垂足为D，根据题意可得： ，从而可得，，然后分别在和 中，利用锐角三角函数的定义求出 和 的长，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点C作 ，垂足为D， 由题意得： ， ∴，， 在中，， ∴， 在 中，， ∴， ∴湖泊两端A，B的距离为． 15. 如图，在矩形中， ， ，点 为 的中点，点 在 上，且，连接 ，点 为 的中点，连接 并延长，交 于点 ，连接 ，则 的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得到，求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵ ，点 为 的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ，，， ∴，， ∵点 为 的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算有理数的乘方、算术平方根、特殊角的三角函数值和绝对值，再计算加减即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为迎接中考理化生实验操作考试，某校需采购一批试管和烧杯.已知每个烧杯的价格比每个试管贵2元，用50元购买的试管数量与用250元购买的烧杯数量相等． （1）求每个试管和每个烧杯的价格分别是多少元？ （2）学校计划购买试管和烧杯共100个，且用于购买的总费用不超过150元．求最多能购买多少个烧杯? 【答案】（1）试管 元个，烧杯元个 （2）最多购买 个烧杯 【解析】 【分析】（1）设每个试管价格为 元，则每个烧杯价格为元，根据“用50元购买的试管数量与用250元购买的烧杯数量相等”列出分式方程，据此求解即可； （2）设购买烧杯 个，则购买试管个，根据“用于购买的总费用不超过150元”列不等式，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设每个试管价格为 元，则每个烧杯价格为元， 由题意得：， 解得 ， 经检验， 是原方程的解， 烧杯：（元）， 答：试管 元/个，烧杯元/个； 【小问2详解】 解：设购买烧杯 个，则购买试管个， 根据题意得， 解得， 答：最多购买 个烧杯． 18. 在“世界读书日”来临之际，某校七年级共800名学生参加了“让阅读成为习惯，让校园溢满书香”为主题的读书知识竞赛活动，为了解七年级学生的读书知识掌握情况，调查小组从七年级随机抽取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，下面是对样本数据进行了整理和描述后得到的部分信息： 信息一：50名学生竞赛成绩的频数分布表： 成绩 /分 频数 6 15 17 9 信息二：50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图（不完整）； 信息三：在 这一组的学生竞赛成绩是： 80，81，83，83，83，84，84，85，86，86，86，87，87，87，88，88，89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出频数分布表中的数值 ； （2）补全频数分布直方图； （3）求出所抽取学生竞赛成绩的中位数； （4）学校将把获得88分及以上的学生评为“阅读达人”，请估计七年级学生的获奖人数． 【答案】（1）3 （2） 补全条形统计图如下： （3）80.5分 （4）192人 【解析】 【分析】（1）用50减去已知各组的人数即可求出 的值； （2）根据 的值补全条形统计图即可； （3）根据中位数的定义解答即可； （4）求出获得88分及以上的学生占总人数的百分比，再乘以800即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：50个数据中，最中间的两个数据是第25、26个，即80分，81分， 所以，中位数是（分） 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计七年级学生的获奖人数是192人 19. 晓然同学是一名篮球爱好者，他想知道每次投进的篮球出手到最高点时的离地高度有多少米．当学习到二次函数内容的时候，老师说投篮的弧线可以看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球出手后最高点的离地高度． 活动准备 1.查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2.准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 晓然负责把球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定球到最高点 对应的地面位置 ，安排第二位队友用皮尺测量位置 与晓然同学投篮站立位置点 的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心 与地面对应点 ，并测量水平距离 ． 采集数据 经测量，晓然同学的出手高度米，米，米.经查询篮筐的高度米，且 ， ， 在一条直线上， 和 都垂直于 ． 确定思路 小组成员经过讨论确定，以点 为原点，所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图2的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，分析数据得 ， 两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出 点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）求这次投进篮球的最大离地高度； （3）如果在晓然同学面前0.5米的地方有一个防守球员想垂直起跳封盖他的投篮，请问最低封盖高度需要达到多少米? 【答案】（1） （2）最大离地高度为 米 （3）最低封盖高度为米 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法解答即可； （2）根据顶点是最高点进行解答即可； （3）令 ，求出 的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：，, 又抛物线经过点 、点 ， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线顶点为最高点， ∴最大离地高度为 米； 【小问3详解】 解：当时，（米）， 所以，最低封盖高度为米． 20. 在矩形 中，，，分别以 ，所在直线为 轴和 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 是 上的一个动点（不与 ， 重合），过 点的反比例函数的图象与 边交于点 ，连接 ， ， ． （1）若，求反比例函数的解析式； （2）当点 在 上移动时，与的面积差记为，求当 为何值时，有最大值，最大值是多少? 【答案】（1） （2）当 时，有最大值，最大值是 【解析】 【分析】（1）由 的长可确定出C的坐标，由可求出，得出点，根据点 在反比例函数图象上，即可求出 ，求出反比例函数解析式； （2）先表示出点，，接着表示出，，得到，最后利用二次函数求出最值即可． 【小问1详解】 解：∵四边形 是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵函数的图象过 点, ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵反比例函数过点 ， ∴当 时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 当时，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴面积差， ∵， ∴当 时，有最大值，的最大值为 ． 21. 如图，在 中， ，点 为 上一点，以 为半径的 经过斜边 上点 ，连接 ，点 在 上，过点 作，交 于点 ，作 ，垂足为点 ，且，． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求 的半径． 【答案】（1）证明：连接 ， ， ， ∴ 又，， ， ∴， ， ， ， ∴ ∴ ∴，即 ， 是半径， 是 切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，证明，得，由 ，得，再证明，可得出，可得结论； （2）先求出 ，，设半径为 ，则，，由列方程，求出 的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ∴， 设半径为 ，则，， ∴， ∴， 解得， ∴ 的半径为． 22. 在 中， ， ， ．将 绕点 逆时针旋转得到 ，旋转角小于，点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ， 的延长线交 于点 ，连接 ． （1）如图1，求证： ； （2）连接 ，连接 并延长交 于点 ． ①如图2，求证：点 是 的中点： ②如图3，连接 ，当时，求 的面积． 【答案】（1）证明：∵将 绕点 逆时针旋转得到 ， ， ∴ ，， 又∵， ∴， ∴ ； （2）①证明：如图，过点 作交 的延长线于点 ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵将 绕点 逆时针旋转得到 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点 是 的中点： ② 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）①过点 作交 的延长线于点 ，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； ②连接 ，证明四点共圆得出，可得得出，设，则，在 中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：如图，连接 ， ∵将 绕点 逆时针旋转得到 ， ∴， 又∵， ， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∵在 中， ， ， ∴即， 设，则， 在 中，，， ∴， ∴， 解得：， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与交于 ， 两点，已知的图象与 轴交于点，且关于直线 对称． （1）求二次函数的函数解析式； （2）直线分别与和的图象交于 ， 两点，与 轴交于点 ．若，求 的值： （3）定义：为较小函数，即，直线与的图象交于 ， ， ， 四点（ ， ， ， 从左到右依次排布），若，求出 的值． 【答案】（1） （2）或 ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可解答； （2）设，则，则可得，解方程即可； （3）解方程可得，，列方程即可． 【小问1详解】 解：过，对称轴 ， ，， ， ∴二次函数的函数解析式； 【小问2详解】 解：设，则，， ，， 由， 可得， 可得或， 解得或或 ， ， 或 ； 【小问3详解】 解：如图， 令， 可得， 解得， ， 令， 可得， 解得， ， ， ， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $