数学（上海卷03）学易金卷：2026年高考考前最后一卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前最后一卷 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·考试版 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知集合，，若，则实数的值是______． 2．不等式 的解集为_______. 3．已知向量，，若，则________. 4．在平面直角坐标系中，点在直线上，则的最小值为________. 5．展开式中的系数为______. 6．若，且，则的最大值为____． 7．甲乙两名学生从4门选修课程中各自选修2门，则这两人选择的选修课程中恰有1门相同的选法共有___________种．（用数字作答） 8．已知抛物线的焦点为F，点A，B，D均在抛物线C上．若的重心恰为点F，则______． 9．已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________. 10．在平面四边形中，E，F分别是边和的中点，．四边形所在平面内一点P满足，则的最大值为______． 11．如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，则椭圆的标准方程为___________. 12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．假定在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，筒车上的某个盛水筒M位于点处，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足．已知筒车的轴心O距离水面的高度为2米，设盛水筒M到水面的距离为h（单位：米）（盛水筒M在水面下时，则h为负数），则筒车在秒的旋转运动过程中，盛水筒M位于水面以下的时间有为________秒． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若数列各项均为正数，则“为等差数列”是“为等比数列”的（    ）. A．充分不必要条件. B．必要不充分条件. C．充要条件. D．既不充分又不必要条件. 14．若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 15．已知函数是函数的图象上的定点，过的动直线与函数的图象有异于的两个公共点，且它们的纵坐标之和恒为2，则的横坐标为（    ） A．1 B． C．2 D． 16．设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（   ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）中学阶段是学生身体发育最重要的阶段， 长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康， 某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长(单位： 小时)， 分别从这两个班中随机抽取名同学进行调查， 将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，样本数据如下表所示， 如果学生每周自我熬夜学习的总时长超过小时， 则称为“过度熬夜”． 甲班（单位h） 9 11 13 20 24 37 乙班（单位h） 11 12 21 25 27 36 (1)请根据样本数据， 估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； (2)从甲班的样本数据中有放回地抽取个数据， 求恰有个数据为“过度熬夜”的概率； (3)从甲、乙两班的样本数据中各随机抽取名学生的数据， 记“过度熬夜”的学生人数为，写出的分布列和数学期望． 18．（14分）如图，在圆柱中，是底面圆的一条直径，和是两条母线，是底面圆上异于的一点，是线段的中点． (1)求证：直线平面； (2)若，求二面角的大小． 19．（14分）已知函数，，为自然常数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有最小值，求实数的值． 20．（18分）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． (1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； (2)若，为直角三角形，求点M的坐标； (3)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 21．（18分）对于定义域为的函数与实数，定义集合. (1)若，求； (2)若，且对任意实数均有，求的取值范围； (3)是否存在定义域为的连续函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前最后一卷 数学·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知集合，，若，则实数的值是______． 【答案】2或3 【详解】由集合，，，可得或3. 故答案为：2或3. 2．不等式 的解集为_______. 【答案】 【详解】因为 则，解得， 所以不等式 的解集为. 3．已知向量，，若，则________. 【答案】 【详解】由，所以，所以， 故答案为：. 4．在平面直角坐标系中，点在直线上，则的最小值为________. 【答案】 【详解】因为点在直线上， 则当且仅当时，取得最小值， 即. 故答案为：. 5．展开式中的系数为______. 【答案】 【详解】由二项式展开式的通项公式为：， 令，所以展开式中的系数为：. 6．若，且，则的最大值为____． 【答案】 【详解】由，得，， 由， 当且仅当，即时，等号成立. 即，即． 故答案为：. 7．甲乙两名学生从4门选修课程中各自选修2门，则这两人选择的选修课程中恰有1门相同的选法共有___________种．（用数字作答） 【答案】24 【详解】两人各选2门的方法数为， 两人选法都相同的方法数为， 两人选法都不同的方法数为， 所以甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法数为. 故答案为：. 8．已知抛物线的焦点为F，点A，B，D均在抛物线C上．若的重心恰为点F，则______． 【答案】18 【详解】由题意知，． 设点A，B，D的横坐标分别为，，，则，所以． 由抛物线的定义得． 故答案为：18 9．已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 10．在平面四边形中，E，F分别是边和的中点，．四边形所在平面内一点P满足，则的最大值为______． 【答案】13 【详解】如图所示： 因为，，又点是的中点， 所以，所以， ， 又，所以，又点是的中点，所以， 所以在以为圆心，2为半径的圆上，又， 故，即， 所以的最大值为5，即三点共线，且在两点之间取得最大值， 所以. 故答案为：. 11．如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，则椭圆的标准方程为___________. 【答案】 【详解】依题意，令椭圆半焦距为c，， 当时，，解得，即，则， 由，得，即，解得，， 因此，解得，则， 所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．假定在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，筒车上的某个盛水筒M位于点处，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足．已知筒车的轴心O距离水面的高度为2米，设盛水筒M到水面的距离为h（单位：米）（盛水筒M在水面下时，则h为负数），则筒车在秒的旋转运动过程中，盛水筒M位于水面以下的时间有为________秒． 【答案】80 【详解】由题意可知，由于，所以得.     因为时，，所以. 由，可求得，从而.    所以，其中. 当盛水筒位于水面以下时，应满足，即. 可列不等式， 解得.      因为，所以当时，； 当时，； 当时，. 由， 可得盛水筒位于水面以下的时间有80秒钟. 故答案为：80. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若数列各项均为正数，则“为等差数列”是“为等比数列”的（    ）. A．充分不必要条件. B．必要不充分条件. C．充要条件. D．既不充分又不必要条件. 【答案】C 【详解】为等差数列，令其公差为，则，即为常数， 因此数列为等比数列，反之， ，数列为等比数列， 令其公比为，则，， 为常数，因此数列为等差数列， 所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C. 14．若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①：因为，则，所以，故①正确； 对于②：因为，则，所以，故②错误； 对于③：因为，则， 所以，故③正确； 对于④：因为，则，可得， 即，所以，故④正确； 综上所述：成立的有3个. 故选：C. 15．已知函数是函数的图象上的定点，过的动直线与函数的图象有异于的两个公共点，且它们的纵坐标之和恒为2，则的横坐标为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为在函数的图象上，所以可设， 设直线方程为：， 代入得：， 化简得：. 因为为该方程的1个根，所以方程可化成， 即. 所以. 设，， 则，为方程的两根，所以， 由， 即恒成立. 所以， 由及可得，解得， 由可得， 将代入该式得，即， ， 所以，所以，即点的横坐标为：. 故选：B 16．设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（   ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 【答案】B 【详解】对于结论①，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时有， 根据，依题意有，这与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论①正确； 对于结论②，若函数不是偶函数，则存在， 不妨设（否则用取代），因为和值域均为， 则存在使得，此时， 依题意，由有，即，所以， 而可推出即，与矛盾， 故函数一定是偶函数，结论②错误. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）中学阶段是学生身体发育最重要的阶段， 长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康， 某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长(单位： 小时)， 分别从这两个班中随机抽取名同学进行调查， 将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，样本数据如下表所示， 如果学生每周自我熬夜学习的总时长超过小时， 则称为“过度熬夜”． 甲班（单位h） 9 11 13 20 24 37 乙班（单位h） 11 12 21 25 27 36 (1)请根据样本数据， 估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； (2)从甲班的样本数据中有放回地抽取个数据， 求恰有个数据为“过度熬夜”的概率； (3)从甲、乙两班的样本数据中各随机抽取名学生的数据， 记“过度熬夜”的学生人数为，写出的分布列和数学期望． 【详解】（1）甲班样本数据的平均值为， 由此估计甲班学生每周平均熬夜时间小时； 乙班样本数据的平均值为， 由此估计乙班学生每周平均熬夜时间小时．……（4分） （2）因为从甲班的个样本数据中随机抽取个数据为“过度熬夜”的概率是， 所以从甲班样本数据中有放回的抽取个数据， 恰有个数据为“过度熬夜”的概率为．……（8分） （3） 的可能取值为，， ， ． 的分布列是： ．……（14分） 18．（14分）如图，在圆柱中，是底面圆的一条直径，和是两条母线，是底面圆上异于的一点，是线段的中点． (1)求证：直线平面； (2)若，求二面角的大小． 【详解】（1）连接，令，连接，则是、的中点， 在中是线段中点，是的中点， ∴，又平面，平面， ∴直线平面；……（6分） （2）如图，作出符合题意的图形， 过作，交的延长线于，连接， 由题知，，则，则， 显然平面，平面，则， 又，平面，，则平面， 由平面，则， 结合可知，二面角的平面角为， 而，，在直角三角形中，， 则，故二面角的大小是.……（14分） 19．（14分）已知函数，，为自然常数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有最小值，求实数的值． 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为， 即.……（6分） （2）， 易得当时，，在上单调递减， 所以； 当时，令， 若，则在上单调递增， 所以，矛盾舍去； 若，即，则在上单调递减， 所以，矛盾舍去； 若，即，则在上单调递减，在上递增， ，矛盾舍去. 综上.……（14分） 20．（18分）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． (1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； (2)若，为直角三角形，求点M的坐标； (3)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）由题，，得 故……（4分） （2）因为点M在第一象限，故不可能为直角； 若，将代入曲线，得符合题意，； 若，设点，则， 则 又因为点M满足，可得，此时， DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去． 综上，点M的坐标；……（10分） （3）由题可得，双曲线 ， 当直线l的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足， 所以直线l的斜率一定存在， 又，说明三点共线，且都在双曲线的右支上，所以直线l的斜率不为0，， 设直线l的方程为，、，且，， 联立方程，可得 显然，， ，，故 由，可得，且． 故 因此 ， 根据对勾函数的性质：在上单调递减， 可知， 又， 故，可得． 所以，直线l斜率的取值范围为， 直线l倾斜角的取值范围为.……（18分） 21．（18分）对于定义域为的函数与实数，定义集合. (1)若，求； (2)若，且对任意实数均有，求的取值范围； (3)是否存在定义域为的连续函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 【详解】（1）已知函数，， 首先计算： 代入不等式： 因为，两边同除以得： 利用平方差公式： 所以： 又，故：. 因此，.……（5分） （2） 即，设， 对称轴， 故有最大值，故，即.……（11分） （3）假设存在连续函数，使得， ， 由于连续，则也连续， 即， 否则，由保号性可知与矛盾. 同理，由， 可知， 即. 当时，可得，. ， 因为，由连续函数保号性， 可得且， 同理， 因为，由连续函数保号性， 可得且， 即， ， 即， 使得， 此时有，这与矛盾. 当时，同理可得矛盾. 综上，故不存在连续函数使之成立.……（18分） / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考考前最后一卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第16题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1.2或3 3.6 5.135 1 2.[-7,2 4.5 6. 16 7.24 8.18 9.2-1 10.13 12.80 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正 确选项。) 13 14 15 16 c C B B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17. 新情境(14分) 【详解】(1)甲班样本数据的平均值为(9+11+13+20+24+37)=19， 6 由此估计甲班学生每周平均熬夜时间19小时； 乙班样本数据的平均值为11+12+21+25+27+36)=22， 6 由此估计乙班学生每周平均熬夜时间22小时.…(4分) (2)因为从甲班的6个样本数据中随机抽取1个数据为“过度熬夜的概率是】， 所以从甲班样本数据中有放回的抽取2个数据，恰有1个数据为“过度熬夜”的概率为 X如能取为0i234,PX=0 C-Px-CCC+CcCB C2C2 751 (2)-cC+cci+cccic_31 CC 5, PmX=CE-号Px-器克 C.Ca X的分布列是： 1/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 0 1 2 3 P 26 11 2 75 7 75 E(X)=0x 2x3 26 11 1 25+1x75 +3× +4× …(14分) 75 75 753 18.(14分) 【详解】(1)连接AB,令AB∩AB,=E,连接DE,则E是A,B、AB,的中点， 在△ABC中D是线段BC中点，E是A,B的中点， .DE/IA,C,又DEc平面AB,D,AC4平面ABD, .直线AC∥平面AB,D;…(6分) 6 B (2)如图，作出符合题意的图形， A B 过B作BP⊥AD,交AD的延长线于P,连接BP, 由题知，4C=CD=BD=1,则∠ADC=∠BDP=45,则BP=BDsin45=5 显然BB,⊥平面ABD,ADC平面ABD,则BB,⊥AD, 又BP⊥AD,BP,BB,C平面BPB1,BP∩BB,=B,则AD⊥平面BPB1, 由BPC平面BPB,则BP⊥AD, 2/7 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 结合BP⊥AD可知，二面角B,-AD-B的平面角为∠BPB,, 而BP=5,BB=2,在直角三角形BPB中， BB=22, 2 B 则∠BPB,=arctan2√2，故二面角B,-AD-B的大小是arctan2√2…(14分) 19. 新考向(14分) 【详解】1)当m=1时，f=-r,则f到=1- 所以f=1-。又fe-e-l, 所以函数y=国在x=e处的切线方程为y-e-1=气1-x-e小， 即y-1-…(6分 1。mx-1 (2)f'(x)=m- ,x>0, 易得当m≤0时，f'(x<0,fx)在[1，e上单调递减， 所以f(x)=f(e=m-1=-2今m=-: e 当m>0时，令∫(x=0宁x=, 若1≤1，则fx在1，e上单调递增， 所以f(x)。=f=m=-2→m=-2<0,矛盾舍去； 若启之，即0<m≤。则f1d上单调递减， 所以f(xn=f(e)=me-1=-2→m=-。<0,矛盾舍去； 若1<<e,即<m<1,则在[ 上单调递减， m m e 1 综上m=-二.…(14分) e 20.(18分) 【详解】(1)由题，2c=2√5，得c=√5 故e=C=5…(4分) a (2)因为点M在第一象限，故∠MAD不可能为直角； 5/1 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 若∠ADM受，将x=2代入曲线C:r-号=1，得M2,)符合题意 3 若∠DM4=,设点M,则MD=2-,yMa=(1-, 则MD·MA=x行-x-2+y后=0 35 又因为点M满足x-公=1，可得M 535 3 4’4 此时k=4=5， 5 DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去. 综上，点M的坐标(2,3)；…(10分) (3)由题可得，双曲线C:x2-2y2=1, M OB/D 当直线1的斜车不存在时，根据双曲我的对称任，瓜=2D,不满足元<行： 所以直线1的斜率一定存在， 又M=MD,说明M,D,N三点共线，且M,N都在双曲线的右支上，所以直线1的斜率不为0,1<元<3 设直线1的方程为x=1y+2,M(x,y)、N(x2,y2,且y1>0,y2<0, x=my+2 联立方程-2二1，可得(m-2列y+4my+3=0 显然m2-2≠0，△=(4m)2-4m2-2）×3=4m2+24>0, 片+乃= 与0,0，故0m归 由=2，可得为-为=-2，且1<A号 4/7 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 因此+-益+点+2， 2 y y2 根据对勾函数y=x+的性质：y在(-1,0)上单调递减， X 可知+为-+五+2<-++2=4 yiy2 y y2 3 3 又4+ 4m2m2-2_16.m2 yiy2 m2-2 33m2-2 放16.m2 -4,可得 4 2 <m<V2 3m2-2 3 所以，直线1斜率的取值范围为 2⑩ 2’2 √2 直线1倾斜角的取值范围为 10 arctan arctan- 2 …(18分) 2 21. 新考向(18分) 【详解】(1)已知函数f(x)=x2,x=1, S(0)={a>01(f1+a)-f1)月(f1-a)-fI)<a2. 首先计算：f)=12=1,f1+a)-f0)=1+a)2-1=1+2a+a2-1=2a+a2=a(2+a), f1-a)-f1)=1-a)2-1=1-2a+a2-1=a2-2a=a(a-2). 代入不等式：[a(2+a)月[a(a-2】<a2. 因为a>0,两边同除以2得：(2+a)(a-2)<1. 利用平方差公式：(2+a)(a-2)=a2-4, 所以：a2-4<1→a2<5. 又a>0,故：0<a<V5. 因此，S=(0,5)…(5分) (2)a>0,xeR,k2(3x+3xa+a2-1(-3x+3xa-a2+1<1 a>0,x,eR,k[3x6-+a(3x,+a][a3x-a小-3x-<1 5/7 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 a>0,xeR,a29x-a2)-2a23x--3x-1k1 a>0,xeR,[a(3x-l+a23-a）-(3x-]1 o0e-2-写号+ a>0,x∈R,k a>0-到1，设y-e0 =2 对称轴 故y有最大值2-=，放站<，即-9(1分 3 3 (3)假设存在连续函数f(x),使得S(0)=S山=(0,1， S(0)={a>0(fa)-f(0)f(-a)-f(0)<a2}=(0,1), 由于f(x)连续，则F(x)=（f(x)-f(0)(f(-x)-f(0)-x2也连续， 即F()=(f0-f(0)f(-1)-f(0)-1=0, 否则，由保号性可知与S(0)=(0,1)矛盾. 同理，由s={a>0(f0+a-f1)(f1-a-f月<a2}=(0,), 可知(f(2)-f)(f(0)-f)-1=0, 1 即-=f0+70-0f2)=f00-10 当f1>f(0)时，可得f(-1)>f(0),f(2)<f(1. a>1,f(a-fo)f(-a-f0)2a2, 因为∫(-)>∫(0)，由连续函数保号性， 可得f(-a)>f(0)且f(a)>f(0), 同理a>1,(f(a+1)-f(1)(f(1-a)-f1)≥a2, 6/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 因为f(2)<∫(1)，由连续函数保号性， 可得f(a+1<f)且f1-a<f(), 即a>1,f0<f(-a<f(1, a>2,f(0)<fa)<f1, 即∀a>2,((a)-f(0川f(-a)-fo)<(f)-f(o)2, 但始终3ae(2,+0,使得a2>(f)-f(0)2, 此时有a∈S(0),这与S(0)=(0,1矛盾. 当f(1)<f(0)时，同理可得矛盾. 综上，故不存在连续函数∫(x使之成立.…(18分) 7/7■■■ ■■■■ ■■■■ 2026年高考考前最后一卷 答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4 5 5 破。 5.正确填涂 6789 6789 6789 123456789 123456789 0123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 6789 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 2. 艾南 6 个 8 9 10. 11 12. 警 二、 选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第 15~16题每题5分) 13[AB][C][D] 14[A][B][CD] 妇 15[AB][C][D] 16[A][B][CD] 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) A B 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 20.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） ■ 21.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考考前最后一卷 数学·考试版 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知集合，，若，则实数的值是______． 2．不等式 的解集为_______. 3．已知向量，，若，则________. 4．在平面直角坐标系中，点在直线上，则的最小值为________. 5．展开式中的系数为______. 6．若，且，则的最大值为____． 7．甲乙两名学生从4门选修课程中各自选修2门，则这两人选择的选修课程中恰有1门相同的选法共有___________种．（用数字作答） 8．已知抛物线的焦点为F，点A，B，D均在抛物线C上．若的重心恰为点F，则______． 9．已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为__________. 10．在平面四边形中，E，F分别是边和的中点，．四边形所在平面内一点P满足，则的最大值为______． 11．如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，则椭圆的标准方程为___________. 12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）．假定在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，筒车上的某个盛水筒M位于点处，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足．已知筒车的轴心O距离水面的高度为2米，设盛水筒M到水面的距离为h（单位：米）（盛水筒M在水面下时，则h为负数），则筒车在秒的旋转运动过程中，盛水筒M位于水面以下的时间有为________秒． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若数列各项均为正数，则“为等差数列”是“为等比数列”的（    ）. A．充分不必要条件. B．必要不充分条件. C．充要条件. D．既不充分又不必要条件. 14．若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 15．已知函数是函数的图象上的定点，过的动直线与函数的图象有异于的两个公共点，且它们的纵坐标之和恒为2，则的横坐标为（    ） A．1 B． C．2 D． 16．设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（   ） 结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数； 结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数． A．①和②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①和②都错误 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）中学阶段是学生身体发育最重要的阶段， 长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康， 某校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长(单位： 小时)， 分别从这两个班中随机抽取名同学进行调查， 将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据，样本数据如下表所示， 如果学生每周自我熬夜学习的总时长超过小时， 则称为“过度熬夜”． 甲班（单位h） 9 11 13 20 24 37 乙班（单位h） 11 12 21 25 27 36 (1)请根据样本数据， 估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； (2)从甲班的样本数据中有放回地抽取个数据， 求恰有个数据为“过度熬夜”的概率； (3)从甲、乙两班的样本数据中各随机抽取名学生的数据， 记“过度熬夜”的学生人数为，写出的分布列和数学期望． 18．（14分）如图，在圆柱中，是底面圆的一条直径，和是两条母线，是底面圆上异于的一点，是线段的中点． (1)求证：直线平面； (2)若，求二面角的大小． 19．（14分）已知函数，，为自然常数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有最小值，求实数的值． 20．（18分）已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限． (1)若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e； (2)若，为直角三角形，求点M的坐标； (3)若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围． 21．（18分）对于定义域为的函数与实数，定义集合. (1)若，求； (2)若，且对任意实数均有，求的取值范围； (3)是否存在定义域为的连续函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $