数学二模模拟卷03（上海专用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 123 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4 5 5 123456789 45 破。 5.正确填涂 6789 6789 6789 0123456789 123456789 123456789 O123456789 缺考标记 6789 6789 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 2. 艾南 6 7 8 9 10. 11 12. 警 二、 选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第 15~16题每题5分) 13[AB][C][D] 14[A][B][CD] 妇 15[AB][C][D] 16[A][B][CD] 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知全集，集合，则 . 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 2．设为实数，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】因为， 解得且，即， 所以不等式的解集是. 故答案为： 3．已知等差数列的首项为,公差为,则该数列的前项和= . 【答案】 【解析】利用等差数列前项和公式直接求解. 【详解】∵ 等差数列的首项为,公差为, ∴ 该数列的前项和=. 故答案为： 4．的展开式中项的系数为 ． 【答案】 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得，故展开式中项的系数为． 故答案为： 5．函数的值域是 ． 【答案】 【详解】∵，∴， ∴． ∴，即值域为． 故答案为：． 6．若随机变量的分布为，则的期望 ． 【答案】 【详解】根据题意知 故答案为： 7．已知正方体的棱长为2，E，F分别为AB，BC的中点，则多面体的体积为 ． 【答案】 【详解】多面体的体积等于三棱柱的体积与三棱台的体积之差， 其中三棱柱的体积为， 三棱台的体积为， 所以多面体的体积为． 故答案为：. 8．若正实数、满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为， 所以，又， 所以， 由可得，故， 由于，当且仅当，即时取到等号， 故， 因此最小值为， 故答案为： 9．用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有 个. 【答案】72 【详解】依题意，可先对三个奇数1，3，5进行全排列，共有种排法， 再对构成的4个空隙中，连续前三个或后相邻的三个空隙中放入偶数2，4，6，共有种排法， 根据分步计数原理可得共有种. 故答案为：72 10．已知复数满足，则（i是虚数单位）的最小值为 . 【答案】 【详解】设， 则由可得：， 则，即或 的几何意义为射线上的点与的距离， 结合图像可知：到的距离即为最小值， 最小值为：， 故答案为： 11．有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转 度可使油倒出（精确到） 【答案】 【详解】 设壶嘴最低点，最高点分别是， 图中圆柱轴截面矩形，距离点最近的顶点是点，另外三个顶点分别为， 当水平液面经过点时，可将油倒出， 设倾斜角为，当液面经过点时，， 先考虑液面不超过点，即的情况， 设液面与分别交于点， 设的中点为，过作的垂线，垂足为， 则，，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 在中，， 即， 即， 即，所以， 即， 因为，所以至少将油壶倾斜即可将油倒出. 故答案为： 12．已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：因为，所以， 则，所以，于是有， 因为，所以 则如图所示，在平面直角坐标系中， 则，设， 因为，所以，则，即， 因为，所以 则，即，解得， 则 因为 所以在上单调递减，在上单调递增 所以，当时，，当时，，所以 故的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是 则不获一等奖的概率分别是 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为： 这三人都获得一等奖的概率为 所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率 故选:D. 14．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】画出函数与的图象，如图所示． 由图象知，在上，两函数有2个公共点，， 在上，两函数有一个公共点． 观察图象可知：在上，；在上，； 在上，；在上，恒有． 因此，“”是“”的充分不必要条件， 故选:A． 15．已知为坐标原点，点在双曲线上，点，分别在双曲线的两条渐近线上，且，若与的面积之积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．或 C．2 D．2或 【答案】B 【详解】设点到渐近线，的距离分别为，， 则， 所以与的面积之积为， 即，所以或，则双曲线的离心率为或， 故选：B．    16．设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】C 【详解】当时， ，此时， ，此时， ，此时， 故存在，使为常数列；①正确； 设，则有个零点， 则在的每个区间内各至少一个零点，故至少有个零点， 因为是一个次函数，故最多有个零点，因此有且仅有个零点， 同理，有且仅有个零点，，有且仅有个零点， 故，所以是公差为的等差数列，故②正确. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）疫情过后，某市为了提高市民蔬菜供应质量，科研所对冬季昼夜温差的大小与某种反季节蔬菜的生长的关系进行研究，他们记录了当地冬季某月6号到10号的有关数据，每天的昼夜温差和每天每100颗种子中的发芽数，如下表所示. 日期 6号 7号 8号 9号 10号 温差x（） 10 11 13 12 8 发芽数y（颗） 23 25 30 26 16 该科研所的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验. (1)求选取的两组数据恰好是不相邻的2天的数据的概率； (2)若选取的是6号10号的两组数据，请根据7号､8号､9号的数据，求出y关于x的线性回归方程； (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？ （线性回归方程，其中） 【详解】（1）设事件“选取的两组数据恰好是不相邻的2天的数据”为事件， 从5组数据中选取2组数据的所有情况为：，共10种； 选取的2组数据恰好是不相邻的2天的数据有：，共6种， 由古典概型的概率公式可知，.……（4分） （2）由题设表格中的数据可得：， ， ， 关于的线性回归方程为.……（9分） （3）当时， ， 当时，， ， 所以（2）中所得到的线性回归方程是可靠的.……（14分） 18．（14分）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值； 【详解】（1）取中点，连接、， 因为是线段的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为点，，分别为棱，，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，、平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面．……（7分） （2）因为底面，，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，令，则有， 设与平面所成角为， 则直线与平面的夹角的正弦值为．……（14分） 19．（14分）设函数，其中为自然对数的底数. (1)若存在极值，求实数的取值范围； (2)当时，不等式恒成立（为的导函数），求实数的值. 【详解】（1）求导，得. 若，则对任意的， 函数在上单调递增，此时无极值. 若，令，得. 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 函数存在极小值. 综上所述，若函数存在极值，则实数的取值范围是.……（7分） （2）不等式恒成立，即恒成立. 设，则， 当时，令，则， 在上单调递增. ， 存在唯一的，使得， 当时，， 当时，. 在上单调递减，在上单调递增. ，即，两边取对数得， 的最小值为， 恒成立 令，则， 在上单调递增，在上单调递减， ，当且仅当时，等号成立. 当且仅当时，在上恒成立. 综上，.……（14分） 20．（18分）已知椭圆的离心率为，点在上，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆上一点的坐标为，若为钝角，求横坐标的取值范围； (3)过点的直线与椭圆交于不同的两点D，E(D，E与不重合)，直线分别与直线交于P，Q两点，求的值. 【详解】（1）由题可得， ，又， 解得，椭圆方程为；……（6分） （2）若为钝角，则， 由题可得， ，又， 解得;……（12分） （3）由题可知直线的斜率存在，设为，则直线的方程为， 设，联立， 消去得， ， 直线的方程为，令，得， . 同理可得. ……（18分） 21．（18分）设函数的定义域为，集合．若中有且仅有一个元素，则称为函数的一个“值” (1)设，求的值； (2)设，且，若的函数值中不存在值，求实数取值的集合； (3)已知定义域为的函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值，若，证明：在上为严格增函数的一个充要条件是． 【详解】（1）由题设知：有唯一解， 即有唯一解，所以，解得：. 所以的值为.……（6分） （2）， 当时，由可得：或，由可得：或， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，当时，，且，，画简图如下： 若的函数值中不存在值，则不存在唯一解，即， 解得：； 当时，，令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，此时存在有唯一解，不符合题意，所以，实数取值的集合为.……（12分） （3）由函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值可知，的任一解均唯一，即是单调函数. 必要性：若在上为严格增函数，则对， 有，即成立，则有； 充分性：若在上不为严格增函数，因为是单调函数，则假设是单调减函数， 则对，都有，即成立， 与矛盾，所以假设不成立，即在上为严格增函数. 得证.……（18分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 . 9. 72 10 . 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 D A B C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）设事件“选取的两组数据恰好是不相邻的2天的数据”为事件， 从5组数据中选取2组数据的所有情况为：，共10种； 选取的2组数据恰好是不相邻的2天的数据有：，共6种， 由古典概型的概率公式可知，.……（4分） （2）由题设表格中的数据可得：， ， ， 关于的线性回归方程为.……（9分） （3）当时， ， 当时，， ， 所以（2）中所得到的线性回归方程是可靠的.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）取中点，连接、， 因为是线段的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为点，，分别为棱，，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，、平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面．……（7分） （2）因为底面，，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则有，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，令，则有， 设与平面所成角为， 则直线与平面的夹角的正弦值为．……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）求导，得. 若，则对任意的， 函数在上单调递增，此时无极值. 若，令，得. 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 函数存在极小值. 综上所述，若函数存在极值，则实数的取值范围是.……（7分） （2）不等式恒成立，即恒成立. 设，则， 当时，令，则， 在上单调递增. ， 存在唯一的，使得， 当时，， 当时，. 在上单调递减，在上单调递增. ，即，两边取对数得， 的最小值为， 恒成立 令，则， 在上单调递增，在上单调递减， ，当且仅当时，等号成立. 当且仅当时，在上恒成立. 综上，.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）由题可得， ，又， 解得，椭圆方程为；……（6分） （2）若为钝角，则， 由题可得， ，又， 解得;……（12分） （3）由题可知直线的斜率存在，设为，则直线的方程为， 设，联立， 消去得， ， 直线的方程为，令，得， . 同理可得. ……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）由题设知：有唯一解， 即有唯一解，所以，解得：. 所以的值为.……（6分） （2）， 当时，由可得：或，由可得：或， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，当时，，且，，画简图如下： 若的函数值中不存在值，则不存在唯一解，即， 解得：； 当时，，令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增，此时存在有唯一解，不符合题意，所以，实数取值的集合为.……（12分） （3）由函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值可知，的任一解均唯一，即是单调函数. 必要性：若在上为严格增函数，则对， 有，即成立，则有； 充分性：若在上不为严格增函数，因为是单调函数，则假设是单调减函数， 则对，都有，即成立， 与矛盾，所以假设不成立，即在上为严格增函数. 得证.……（18分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第二次模拟考试 数学·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知全集，集合，则 . 2．设为实数，则不等式的解集是 . 3．已知等差数列的首项为,公差为,则该数列的前项和= . 4．的展开式中项的系数为 ． 5．函数的值域是 ． 6．若随机变量的分布为，则的期望 ． 7．已知正方体的棱长为2，E，F分别为AB，BC的中点，则多面体的体积为 ． 8．若正实数、满足，则的最小值为 . 9．用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有 个. 10．已知复数满足，则（i是虚数单位）的最小值为 . 11．有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转 度可使油倒出（精确到） 12．已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 14．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知为坐标原点，点在双曲线上，点，分别在双曲线的两条渐近线上，且，若与的面积之积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．或 C．2 D．2或 16．设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）疫情过后，某市为了提高市民蔬菜供应质量，科研所对冬季昼夜温差的大小与某种反季节蔬菜的生长的关系进行研究，他们记录了当地冬季某月6号到10号的有关数据，每天的昼夜温差和每天每100颗种子中的发芽数，如下表所示. 日期 6号 7号 8号 9号 10号 温差x（） 10 11 13 12 8 发芽数y（颗） 23 25 30 26 16 该科研所的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验. (1)求选取的两组数据恰好是不相邻的2天的数据的概率； (2)若选取的是6号10号的两组数据，请根据7号､8号､9号的数据，求出y关于x的线性回归方程； (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？ （线性回归方程，其中） 18．（14分）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值； 19．（14分）设函数，其中为自然对数的底数. (1)若存在极值，求实数的取值范围； (2)当时，不等式恒成立（为的导函数），求实数的值. 20．（18分）已知椭圆的离心率为，点在上，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆上一点的坐标为，若为钝角，求横坐标的取值范围； (3)过点的直线与椭圆交于不同的两点D，E(D，E与不重合)，直线分别与直线交于P，Q两点，求的值. 21．（18分）设函数的定义域为，集合．若中有且仅有一个元素，则称为函数的一个“值” (1)设，求的值； (2)设，且，若的函数值中不存在值，求实数取值的集合； (3)已知定义域为的函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值，若，证明：在上为严格增函数的一个充要条件是． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知全集，集合，则 . 2．设为实数，则不等式的解集是 . 3．已知等差数列的首项为,公差为,则该数列的前项和= . 4．的展开式中项的系数为 ． 5．函数的值域是 ． 6．若随机变量的分布为，则的期望 ． 7．已知正方体的棱长为2，E，F分别为AB，BC的中点，则多面体的体积为 ． 8．若正实数、满足，则的最小值为 . 9．用1，2，3，4，5，6写出没有重复数字的六位数中，满足相邻的数字奇偶性不同的数有 个. 10．已知复数满足，则（i是虚数单位）的最小值为 . 11．有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转 度可使油倒出（精确到） 12．已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 ． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ） A． B． C． D． 14．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知为坐标原点，点在双曲线上，点，分别在双曲线的两条渐近线上，且，若与的面积之积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．或 C．2 D．2或 16．设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）疫情过后，某市为了提高市民蔬菜供应质量，科研所对冬季昼夜温差的大小与某种反季节蔬菜的生长的关系进行研究，他们记录了当地冬季某月6号到10号的有关数据，每天的昼夜温差和每天每100颗种子中的发芽数，如下表所示. 日期 6号 7号 8号 9号 10号 温差x（） 10 11 13 12 8 发芽数y（颗） 23 25 30 26 16 该科研所的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验. (1)求选取的两组数据恰好是不相邻的2天的数据的概率； (2)若选取的是6号10号的两组数据，请根据7号､8号､9号的数据，求出y关于x的线性回归方程； (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？ （线性回归方程，其中） 18．（14分）如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值； 19．（14分）设函数，其中为自然对数的底数. (1)若存在极值，求实数的取值范围； (2)当时，不等式恒成立（为的导函数），求实数的值. 20．（18分）已知椭圆的离心率为，点在上，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的右顶点. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆上一点的坐标为，若为钝角，求横坐标的取值范围； (3)过点的直线与椭圆交于不同的两点D，E(D，E与不重合)，直线分别与直线交于P，Q两点，求的值. 21．（18分）设函数的定义域为，集合．若中有且仅有一个元素，则称为函数的一个“值” (1)设，求的值； (2)设，且，若的函数值中不存在值，求实数取值的集合； (3)已知定义域为的函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值，若，证明：在上为严格增函数的一个充要条件是． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $