数学（上海专用03）学易金卷：2026年高考考前预测卷

2026年高考考前预测卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 6 4. 3 5. 60 6. 7. 6 8 . 6 9. 10 . 11. 12 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 C C A C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）依题意，解得， 所以在中的概率为；……（4分） （2）学院所抽取的学生中男生有人， 其中5月份的累计跑步里程不低于有人， 女生有人， 其中5月份的累计跑步里程不低于有人， 所以在A学院所有男生中任取人，跑步里程不低于的概率为， 在A学院所有女生中任取人，跑步里程不低于的概率为， 所以4人中恰有2人累计跑步里程不低于的概率为 ；……（9分） （3）设B学院女生有人，则男生有人， ， ， 依题意，即， 显然，解得，所以的最大值为.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）过作平面ABCD于,连接， 过分别作于于,连接, 如图为在平面上的投影, 由于平面，所以， 由于平面， 所以平面.由于平面，所以. 所以,同理,,四边形为正方形, 所以，为在平面上的投影, 又因平面平面, 所以和平面所成角即，, 故和平面所成角为.……（7分） （2）连接、交于,连接、交于, 如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得,且, 所以四边形为平行四边形,所以， 因为平面,平面，所以平面. 由正棱台性质,与上下底面均垂直,则， 因为，平面， 所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和, 即: ……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故，……（7分） （2）函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）若是双曲线的一条渐近线，则，可得， 此时，双曲线的离心率为.……（4分） （2）若，不妨设点位于第一象限，且，则， 由双曲线的定义可得， 又因为，则，， 所以，， 所以，， 故.……（10分） （3）取点关于原点的对称点，由双曲线的对称性可知，点在双曲线上， 连接、， 则为、的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，， 又因为，则，即、、三点共线， 易知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 设点、， 因为， 所以，，则， 联立可得， 由题意可得，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 整理可得， 令，则，则关于的二次方程在上有解， 设，则二次函数在上单调递减， 所以，，解得， 因此，的取值范围是.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）函数在区间上具有性质， 理由如下：若，则， 因为，且， 所以函数在区间上具有性质；……（4分） （2）由题意存在，使， 所以（舍去），或， 得， 因为，所以， 因为，且， 所以，即所求的取值范围为；……（10分） （3）函数在区间上具有性质，理由如下： 设，则 ，，，……， ，……，， 以上各式相加得， 因为， 所以， ①当中有一个为0时， 不妨设， 即， 即， 所以函数在区间上具有性质， ②当中均不为0时， 由于其和为0，所以中必存在正数和负数， 不妨设，其中，， 因为函数的图象是连续不断的曲线， 所以当时，至少存在一个实数（当时，至少存在一个实数）， 其中，使得， 即， 即存在，使， 所以函数在区间上具有性质， 综上，函数在区间上具有性质.……（18分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ ■■■■ 2026年高考考前预测卷 答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 1 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 23 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4 5 5 破。 5.正确填涂 6789 6789 6789 6789 123456789 12345 6789 0123456789 123456789 123456789 O123456789 缺考标记 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 2. 艾南 6 个 8 9 10. 11 12. 警 二、 选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第 15~16题每题5分) 13[AB][C][D] 14[A][B][CD] 妇 15[AB][C][D] 16[A][B][CD] 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) D A D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考考前预测卷 数学·全解全析 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知集合，，若，则的取值范围为______. 2．已知，则关于的不等式的解集为________． 3．已知向量，，若，则________. 4．已知点和直线，则点P到l的距离为______. 5．在的二项展开式中，常数项的值为______． 6．已知为正数，且，则的最大值为______. 7．甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有______种． 8．点为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则___________． 9．已知复数z满足，则的最大值是______. 10．已知是圆的直径上的两点，且是圆上的两个动点，且，则的最大值为__________． 11．如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，则椭圆的标准方程为___________. 12．一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为1米.若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；则______.    二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若数列各项均为正数，则“为等差数列”是“为等比数列”的（    ）. A．充分不必要条件. B．必要不充分条件. C．充要条件. D．既不充分又不必要条件. 14．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．存在，使得 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 15．平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   16．已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有.现给出以下两个命题：①：②函数有最小值或最大值. 那么上述论断正确的是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）某大学A学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表． 跑步里程s（） 男生 9 10 6 女生 6 6 4 2 用样本频率估计总体概率， (1)求a的值，并估计从A学院所有学生中抽取一人，该学生5月份累计跑步里程（）在中的概率； (2)从A学院所有男生中随机抽取2人，从A学院所有女生中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人在5月份的累计跑步里程不低于的概率； (3)该大学B学院男生与女生人数之比为，B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样已知A学院和B学院的样本数据整理如下表． 5月份累计跑步里程平均值（单位：） 学院性别 A B 男生 50 59 女生 40 45 设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，是否存在，使得?如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由． 18．（14分）如图所示正四棱台，其中，. (1)当时，求和平面所成角； (2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 19．（14分）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 20．（18分）已知点和是双曲线的左、右焦点. (1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； (2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； (3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围. 21．（18分）已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质， (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求的取值范围； (3)已知函数的图象是连续不断的曲线，且，判断函数在区间上是否具有性质，说明理由. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考考前预测卷 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考考前预测卷 数学·全解全析 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知集合，，若，则的取值范围为______. 2．已知，则关于的不等式的解集为________． 3．已知向量，，若，则________. 4．已知点和直线，则点P到l的距离为______. 5．在的二项展开式中，常数项的值为______． 6．已知为正数，且，则的最大值为______. 7．甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有______种． 8．点为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则___________． 9．已知复数z满足，则的最大值是______. 10．已知是圆的直径上的两点，且是圆上的两个动点，且，则的最大值为__________． 11．如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，则椭圆的标准方程为___________. 12．一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为1米.若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；则______.    二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若数列各项均为正数，则“为等差数列”是“为等比数列”的（    ）. A．充分不必要条件. B．必要不充分条件. C．充要条件. D．既不充分又不必要条件. 14．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．存在，使得 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 15．平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   16．已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有.现给出以下两个命题：①：②函数有最小值或最大值. 那么上述论断正确的是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）某大学A学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表． 跑步里程s（） 男生 9 10 6 女生 6 6 4 2 用样本频率估计总体概率， (1)求a的值，并估计从A学院所有学生中抽取一人，该学生5月份累计跑步里程（）在中的概率； (2)从A学院所有男生中随机抽取2人，从A学院所有女生中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人在5月份的累计跑步里程不低于的概率； (3)该大学B学院男生与女生人数之比为，B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样已知A学院和B学院的样本数据整理如下表． 5月份累计跑步里程平均值（单位：） 学院性别 A B 男生 50 59 女生 40 45 设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，是否存在，使得?如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由． 18．（14分）如图所示正四棱台，其中，. (1)当时，求和平面所成角； (2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 19．（14分）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 20．（18分）已知点和是双曲线的左、右焦点. (1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； (2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； (3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围. 21．（18分）已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质， (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求的取值范围； (3)已知函数的图象是连续不断的曲线，且，判断函数在区间上是否具有性质，说明理由. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前预测卷 数学·全解全析 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知集合，，若，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，，， 所以. 故答案为： 2．已知，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【详解】因为，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 3．已知向量，，若，则________. 【答案】 【详解】由，所以，所以， 故答案为：. 4．已知点和直线，则点P到l的距离为______. 【答案】3 【详解】易知点P到l的距离为. 故答案为：3 5．在的二项展开式中，常数项的值为______． 【答案】60 【详解】二项式的展开式的通项公式为： ， 令，解得， 所以二项式的展开式中的常数项为. 故答案为：60. 6．已知为正数，且，则的最大值为______. 【答案】 【详解】因为， ，即，可得， 当且仅当且，即时等号成立. 故答案为：. 7．甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有______种． 【答案】6 【详解】解：甲、乙各选两个景点有种方法，其中，所选景点完全相同的有3种． 所以满足条件要求的选法共有种． 故答案为：6 8．点为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则___________． 【答案】 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，    则， 所以，则，所以， 所以. 故答案为： 9．已知复数z满足，则的最大值是______. 【答案】 【详解】由的几何意义知，对应点在以点与点为端点的线段上， 由的几何意义知，对应点到点的距离， 所以所求最大值为点与点的距离，由勾股定理得. 故答案为： 10．已知是圆的直径上的两点，且是圆上的两个动点，且，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】 由题意可得，，则， 由可得， ， 当时，取得最大值为. 故答案为： 11．如图，椭圆的右顶点为，上顶点为，从椭圆上一点P向轴作垂线，垂足恰为左焦点，若，则椭圆的标准方程为___________. 【答案】 【详解】依题意，令椭圆半焦距为c，， 当时，，解得，即，则， 由，得，即，解得，， 因此，解得，则， 所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 12．一条直角走廊的平面图如图所示，宽为2米，现有一辆转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的宽为1米.若平板车被卡在此直角走廊内，如图，设，试用表示平板车的长度；则______.    【答案】 【详解】由题意，延长CD直角走廊的边PA，PB分别相交于E，F， 则，其中， 又由，， 可得， 于是，其中. 故答案为：    二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若数列各项均为正数，则“为等差数列”是“为等比数列”的（    ）. A．充分不必要条件. B．必要不充分条件. C．充要条件. D．既不充分又不必要条件. 【答案】C 【详解】为等差数列，令其公差为，则，即为常数， 因此数列为等比数列，反之， ，数列为等比数列， 令其公比为，则，， 为常数，因此数列为等差数列， 所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C. 14．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．存在，使得 B．若，则 C．若，则 D．存在，使得 【答案】C 【详解】对于A，∵，∴，A不正确； 对于B，当时，由 ，可得，B不正确； 对于C，若，则， ∴，，， ∴，两边同除以，得，C正确； 对于D，若，则，所以，D不正确. 故选：C. 15．平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系中有一图形，过内任意一点作垂直于轴的直线，满足为一线段.现沿方向平移这些线段，使得它们的中点均在轴上，这样叫做平移对称法.对于，，直线和直线围成的封闭图形，对它进行一次平移对称，得到的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】方法一：依题意，作出函数与在上的图象. 按照平移对称法，当时，，线段中点纵坐标为， 则应将此时的线段沿方向向下平移，的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故排除B项； 当时，，线段中点纵坐标为，则应将此时的线段沿方向向下平移， 的图象上的对应点纵坐标应分别为和，故可排除C，D两项，A项符合题意. 方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数和函数在上的函数值差值等分在轴上下两侧， 等分量为，故在上线性变化，结合选项知，只有选项A符合题意. 故选：A.    16．已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有.现给出以下两个命题：①：②函数有最小值或最大值. 那么上述论断正确的是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】C 【详解】令，，则，且， 所以，故①正确； 令，满足条件（1）对任意恒成立，且； ，， 满足（2），都有， 但是函数没有最大值也没有最小值，故②错误. 故选：C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）某大学A学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表． 跑步里程s（） 男生 9 10 6 女生 6 6 4 2 用样本频率估计总体概率， (1)求a的值，并估计从A学院所有学生中抽取一人，该学生5月份累计跑步里程（）在中的概率； (2)从A学院所有男生中随机抽取2人，从A学院所有女生中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人在5月份的累计跑步里程不低于的概率； (3)该大学B学院男生与女生人数之比为，B学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样已知A学院和B学院的样本数据整理如下表． 5月份累计跑步里程平均值（单位：） 学院性别 A B 男生 50 59 女生 40 45 设A学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，B学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为，是否存在，使得?如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由． 【详解】（1）依题意，解得， 所以在中的概率为；……（4分） （2）学院所抽取的学生中男生有人， 其中5月份的累计跑步里程不低于有人， 女生有人， 其中5月份的累计跑步里程不低于有人， 所以在A学院所有男生中任取人，跑步里程不低于的概率为， 在A学院所有女生中任取人，跑步里程不低于的概率为， 所以4人中恰有2人累计跑步里程不低于的概率为 ；……（9分） （3）设B学院女生有人，则男生有人， ， ， 依题意，即， 显然，解得，所以的最大值为.……（14分） 18．（14分）如图所示正四棱台，其中，. (1)当时，求和平面所成角； (2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 【详解】（1）过作平面ABCD于,连接， 过分别作于于,连接, 如图为在平面上的投影, 由于平面，所以， 由于平面， 所以平面.由于平面，所以. 所以,同理,,四边形为正方形, 所以，为在平面上的投影, 又因平面平面, 所以和平面所成角即，, 故和平面所成角为.……（7分） （2）连接、交于,连接、交于, 如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得,且, 所以四边形为平行四边形,所以， 因为平面,平面，所以平面. 由正棱台性质,与上下底面均垂直,则， 因为，平面， 所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和, 即: ……（14分） 19．（14分）已知函数. (1)当，，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最小正周期为，且在上恰好有1351个解，求的取值范围. 【详解】（1）当时，则， 根据可得，故，故， 由于，故，故， ，则， 故函数在处的切线方程为，故，……（7分） （2）函数的最小正周期为，故，所以， 令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，解得， 当时，要使得有1351个实数根，则，无解， 综上可得或.……（14分） 20．（18分）已知点和是双曲线的左、右焦点. (1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率； (2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积； (3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限，点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围. 【详解】（1）若是双曲线的一条渐近线，则，可得， 此时，双曲线的离心率为.……（4分） （2）若，不妨设点位于第一象限，且，则， 由双曲线的定义可得， 又因为，则，， 所以，， 所以，， 故.……（10分） （3）取点关于原点的对称点，由双曲线的对称性可知，点在双曲线上， 连接、， 则为、的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，， 又因为，则，即、、三点共线， 易知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 设点、， 因为， 所以，，则， 联立可得， 由题意可得，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 整理可得， 令，则，则关于的二次方程在上有解， 设，则二次函数在上单调递减， 所以，，解得， 因此，的取值范围是.……（18分） 21．（18分）已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质， (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求的取值范围； (3)已知函数的图象是连续不断的曲线，且，判断函数在区间上是否具有性质，说明理由. 【详解】（1）函数在区间上具有性质， 理由如下：若，则， 因为，且， 所以函数在区间上具有性质；……（4分） （2）由题意存在，使， 所以（舍去），或， 得， 因为，所以， 因为，且， 所以，即所求的取值范围为；……（10分） （3）函数在区间上具有性质，理由如下： 设，则 ，，，……， ，……，， 以上各式相加得， 因为， 所以， ①当中有一个为0时， 不妨设， 即， 即， 所以函数在区间上具有性质， ②当中均不为0时， 由于其和为0，所以中必存在正数和负数， 不妨设，其中，， 因为函数的图象是连续不断的曲线， 所以当时，至少存在一个实数（当时，至少存在一个实数）， 其中，使得， 即， 即存在，使， 所以函数在区间上具有性质， 综上，函数在区间上具有性质.……（18分） / 学科网（北京）股份有限公司 $