第二章 不等式与不等式组（解析版）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 本单元卷聚焦“不等式与不等式组”，通过交通标志、知识竞赛、购物等真实情境题，融合符号意识、模型意识与运算能力，适配单元复习，强化知识应用与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|不等式表示、性质、定义|第1题交通标志体现符号意识，第6题竞赛得分强化应用意识| |填空题|6/18|列不等式、参数取值|11题文字转不等式培养数学语言，14题正整数解考查推理能力| |解答题|8/72|解不等式(组)、综合应用|22-24题购物、捐款问题构建模型，20题因式分解法拓展思维|

第二章 不等式与不等式组 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 2、若，则下列不等式中成立的是（          ） A． B． C． D． 3、若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 4、5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（　　） A． B． C． D．以上都不对 5、已知，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（       ） A． B． C． D． 6、某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一题，则扣3分，要使总分不低于70分，则至少应答对的题数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 7、按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作．如果该程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8、已知关于x的不等式的负整数解只有，，，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9、关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10、关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 12、已知（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝　　 ． 13、若时，，则的值可能是 （写出一个即可）． 14、不等式3x﹣3m≤﹣2m的正整数解为1，2，3，4，则m的取值范围是　 　 ． 15、已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是　　 　 ． 16、若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k，且关于y的方程2y＝3+k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为　 　 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、根据下列关系列出不等式． (1)是非负数； (2)的相反数与1的差小于2； (3)与7的和比x的2倍小； (4)的2倍与5的和是正数； (5)，两数的平方差不小于1． 18、解不等式，并把解集表示在数轴上． 19、解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集． 20、小明在学习一元二次不等式的解法时发现，可以应用初中所学知识，“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解．方法如下： 解不等式：． 解：∵， ∴原不等式可化为． ∵两数相乘，同号为正， ∴①或② 由①得，由②得， ∴原不等式的解集为或． 请用以上方法解下列不等式： (1)； (2) 21、已知关于x，y的方程组 ． (1)当x、y互为相反数时， ； (2)已知，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若a为整数，求使x、y为自然数的a的值． 22、“一笔一世界，一划一时光”，如图是一款便携小楷软笔头——钢笔式毛笔，它巧妙地将传统毛笔的韵味和现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某商家欲购进甲、乙两种钢笔式毛笔进行销售．已知一套甲种钢笔式毛笔比一套乙种钢笔式毛笔进价少4元，且用480元购买甲种钢笔式毛笔的数量是用360元购买乙种钢笔式毛笔数量的2倍． (1)求这两种钢笔式毛笔的进价分别为多少元？ (2)若购买的甲乙两种钢笔式毛笔的总数量为50套，且总费用不超过500元，则甲种钢笔式毛笔至少购买多少套？ 23、某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个． （1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？ 24、某经销商计划购进A，B两种农产品.已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． (1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5160元购进A，B两种农产品40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 不等式与不等式组 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：，故D正确． 2、若，则下列不等式中成立的是（          ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变， ∴， ， 故A正确，C错误； ∵不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变， ∴，故B错误； ∵不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变， ∴，故D错误； 3、若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 【答案】C 【详解】一元一次不等式未知数x的次数为1， ， 解得：或， 一元一次不等式未知数x的系数不为0， ， 解得：， 综上，a的值为0． 4、5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：∵3a+2b＝2c+3d， ∵a＞d， ∴2a+2b＜2c+2d， ∴a+b＜c+d， ∴， 即， 5、已知，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， 则x的取值范围在数轴上表示正确的是 ． 6、某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一题，则扣3分，要使总分不低于70分，则至少应答对的题数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】C 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意得， 总得分为：， 解不等式得， 即 因为整数，故最小为13， 因此至少需答对13道题， 7、按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作．如果该程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，， 解得：， 8、已知关于x的不等式的负整数解只有，，，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 解得，， ∵关于x的不等式的负整数解只有，，， ∴， 9、关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∵不等式组无解， ∴． 10、关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 【答案】/ 【详解】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为， 12、已知（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝　　 ． 【答案】m＝4 【解答】解：根据题意|m|﹣3＝1，m+4≠0解得|m|＝4，m≠﹣4 所以m＝4 13、若时，，则的值可能是 （写出一个即可）． 【答案】-1（答案不唯一） 【详解】解：若时，， 则， 那么可以是-1， 故答案为：-1（答案不唯一． 14、不等式3x﹣3m≤﹣2m的正整数解为1，2，3，4，则m的取值范围是　 　 ． 【答案】12≤m＜15 【详解】解：不等式3x﹣3m≤﹣2m的解集为xm， ∵正整数解为1，2，3，4， ∴m的取值范围是4m＜5，即12≤m＜15． 故答案为：12≤m＜15． 15、已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是　　 　 ． 【答案】﹣2≤a＜﹣1 【详解】解：， 由①得：x≤3， 由②得：x＞a， ∴不等式的解集为：a＜x≤3， ∵关于x的不等式组有5个整数解， ∴x＝﹣1，0，1，2，3， ∴a的取值范围是：﹣2≤a＜﹣1． 故答案为：﹣2≤a＜﹣1． 16、若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k，且关于y的方程2y＝3+k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为　 　 【答案】8 【详解】解：， 解不等式①得x≤k， 解不等式②得x＜7， 由题意得k＜7， 解关于y的方程2y＝3+k得， y， 由题意得，1， 解得k≥﹣1， ∴k的取值范围为：﹣1≤k＜7，且k为整数， ∴k的取值为﹣1，0，1，2，3，4，5，6， 当k＝﹣1时，y1， 当k＝0时，y， 当k＝1时，y2， 当k＝2时，y， 当k＝3时，y3， 当k＝4时，y， 当k＝5时，y4， 当k＝6时，y， ∵为整数，且k为整数， ∴符合条件的整数k为﹣1，1，3，5， ∵﹣1+1+3+5＝8， ∴符合条件的所有整数k的和为8． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、根据下列关系列出不等式． (1)是非负数； (2)的相反数与1的差小于2； (3)与7的和比x的2倍小； (4)的2倍与5的和是正数； (5)，两数的平方差不小于1． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：由题意得： （2）解：由题意得： （3）解：由题意得： （4）解：由题意得： （5）解：由题意得： 18、解不等式，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：． 在数轴上表示如图所示： 19、解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】，数轴见解析 【详解】解：， 由①得，， 解不等式①得，， 由②得， ，                解不等式②得，，                  所以不等式组的解集是．            在数轴上表示出它的解集如图：           20、小明在学习一元二次不等式的解法时发现，可以应用初中所学知识，“用因式分解法解一元二次方程”的方法求解．方法如下： 解不等式：． 解：∵， ∴原不等式可化为． ∵两数相乘，同号为正， ∴①或② 由①得，由②得， ∴原不等式的解集为或． 请用以上方法解下列不等式： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：∵，        ∴． 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 ①或② ∴解不等式组①，得 解不等式组②，得， 故原不等式的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． （2）解：由题得不等式， 根据“两数相除，同号得正，异号得负” 得①，或②， ∴解不等式组①得，， 不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． 21、已知关于x，y的方程组 ． (1)当x、y互为相反数时， ； (2)已知，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若a为整数，求使x、y为自然数的a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）由得， ∵，互为相反数， ∴，则， 解得， 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得， 即a的取值范围是； （3）∵，a为整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴或都满足题意． 22、“一笔一世界，一划一时光”，如图是一款便携小楷软笔头——钢笔式毛笔，它巧妙地将传统毛笔的韵味和现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某商家欲购进甲、乙两种钢笔式毛笔进行销售．已知一套甲种钢笔式毛笔比一套乙种钢笔式毛笔进价少4元，且用480元购买甲种钢笔式毛笔的数量是用360元购买乙种钢笔式毛笔数量的2倍． (1)求这两种钢笔式毛笔的进价分别为多少元？ (2)若购买的甲乙两种钢笔式毛笔的总数量为50套，且总费用不超过500元，则甲种钢笔式毛笔至少购买多少套？ 【答案】(1)甲、乙两种钢笔式毛笔的进价分别为8元、12元 (2)甲种钢笔式毛笔至少购买25套 【详解】（1）解：设甲种钢笔式毛笔的进价为x元，则乙种钢笔式毛笔的进价为元， 依题意可列方程为， 解得， 经检验：是原分式方程的解，且符合实际意义， 所以 答：甲、乙两种钢笔式毛笔的进价分别为8元、12元； （2）设甲种钢笔式毛笔购买了a套，则乙种钢笔式毛笔购买了套． 依题意可得：， 解得， 最小整数为， 答：甲种钢笔式毛笔至少购买25套． 23、某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个． （1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？ （2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？ 【答案】（1）原计划买男款书包40个，则女款书包20个 （2）女款书包最多能买40个 【详解】解：（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60﹣x）个， 根据题意得：50x+70（60﹣x）＝3400， 解得：x＝40， 60﹣x＝60﹣40＝20， 答：原计划买男款书包40个，则女款书包20个． （2）设女款书包能买y个，则男款书包（80﹣y）个， 根据题意得：70y+50（80﹣y）≤4800， 解得：y≤40， ∴女款书包最多能买40个． 24、某经销商计划购进A，B两种农产品.已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． (1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5160元购进A，B两种农产品40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】(1)A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元 (2)购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多 【详解】（1）解：设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元， 依题意得： ， 解得：， 答：A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元； （2）解：设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品件， 依题意得：， 解得：， m为正整数， m可取28，29，30， 当购进A种农产品28件，则购进B种农产品件， 则 （元）， 当购进A种农产品29件，则购进B种农产品件， 则 （元）， 当购进A种农产品30件，则购进B种农产品件， 则 （元）， ， 购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多， 答：购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $