专题11 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布8大题型（期中复习讲义）高二数学下学期人教A版

专题11 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01两点分布 题型02二项分布的概率、均值、方差 题型03二项分布的概率最大值 题型04超几何分布的概率、均值、方差 题型05正态曲线的性质 题型06正态分布的实际应用 题型07正态分布大题应用 题型08二项分布与超几何分布的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两点分布 理解试验结果只有两个（成功/失败）的分布模型；掌握成功概率与期望、方差的关系 基础题型，常作为二项分布的特例理解，单独考查较少，但为理解其他分布奠定基础 二项分布 理解独立重复试验模型（固定次数、每次概率相同）；掌握判断依据：n次独立试验、每次只有两种结果、成功概率不变；能求概率、期望、方差 高频必考，常在解答题中出现，是概率大题的核心分布，考查模型识别、概率计算和实际应用 超几何分布 理解不放回抽样的模型（从有限总体中抽取，每次概率改变）；掌握判断依据：不放回、总体有限、两类物品；能求概率、期望 中等难度，常与二项分布对比考查，需根据“放回/不放回”和“总体大小”选择合适分布 正态分布 理解正态曲线的形状特征（钟形、对称）；掌握原则及区间概率估算；能利用对称性求概率 常以选择题或填空题出现，考查原则的应用和对称性求概率，难度中等 知识点01 两点分布 1、两点分布的定义：对于只有两个可能结果的随机试验， 定义如果，则，那么的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布，并称为成功概率。 2、两点分布的适用范围 （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； （2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律． 3、两点分布的期望与方差 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么（为概率）． 知识点02 二项分布 1、n重伯努利试验的概念 （1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． （2）n重伯努利试验：将一个伯努利实验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． n重伯努利试验的特征：①同一个伯努利实验重复做n次（重复意味着各次试验成功的概率相同）．②各次试验的结果相互独立． 2、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，．即 X 0 1 … k … n P … … 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作，且有 ， ． 注： （1）二项分布的模型是有放回抽样 （2）一个随机变量服从二项分布必须满足：①试验是独立重复进行n次，在每次实验中，事件A发生的概率与不发生的概率，两者必有其一。②随机变量是指事件在重伯努利实验中发生的次数。 3、二项分布列概率最大值 如果随机变量X服从二项分布，其中，，当k取何值时最大。 类似于二项展开式中求系数最大项，由，可解得 （1）当是整数时， 或时，最大。 （2）当不是整数时，取不大于的最大整数时，最大。 （3）当由增加到时，的值先由小到大，再由大到小。 知识点03 超几何分布 1、超几何分布的定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，，，，，. 其中n，N，，，，，． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布，记着 有 （为次品率） 注： （1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数 （2）一个随机变量服从超几何分布满足：①总体能分为明确的两类对象；②为不放回抽样；③随机变量是样本中其中一类个体的个数. 2、两点分布、二项分布与超几何分布的关系 （1）两点分布是特殊的二项分布，二项分布中时为两点分布。 （2）二项分布的模型是有放回抽取，超几何分布式不放回抽取 （3）当总体的容量N非常大，样本容量比较小时，超几何分布近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似精确度也增加。 （4）对于同一模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近． 知识点04 正态分布 1、连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2、正态分布 (1)正态曲线 函数 .其中，为参数.我们称为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地， 当时，称随机变量X服从标准正态分布，记 (3)正态分布的均值和方差 若，则. 3、正态曲线的性质 （1）正态曲线是单峰，它关于直线对称，具有中间高、两边低的特点，在处达到峰值，在曲线的两端处无限接近轴。 （2）决定正态曲线的“胖瘦”：越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，曲线看起来“矮胖”；越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，曲线看起来“瘦高”。 （3）决定正态曲线的位置，决定正态曲线的形状。 ①在一定时，曲线的形状固定，位置随的变化而沿x轴平移。 ②当μ一定时，曲线的对称轴的位置固定，形状则随σ改变而改变，当σ较小时曲线“瘦高”；σ较大时，曲线“矮胖”。 4、通过正态曲线求概率，若 （1）对任意的，正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1． （2）X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积． （3）通过面积角度理解，我们可以得出如下结论：。 （4）通过对称性与曲线与x轴之间的区域的面积总为1，我们有：；若b>0，则 题型一 两点分布 解｜题｜技｜巧 1、试验结果只有两个（成功/失败、是/否、1/0），且每次试验独立时，常用两点分布描述。 2、设 ，则，其中。 【典例1】已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二 二项分布的概率、均值、方差 答｜题｜模｜板 1、判断模型：确认试验是 n 次独立重复伯努利试验，每次结果只有成功/失败，且成功概率  恒定。 2、确定参数：明确 （试验次数）、（单次成功概率）、（所求的成功次数）。 3、分情况求和：求 直接用一项，求 或时，需将对应所有 的概率相加，或利用对立事件简化。 4、随机变量X服从二项分布，记作，且有 ， ． 【典例1】某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为0.5．若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4．该运动员第二次投篮命中的概率为______；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X，则期望______． 【典例2】有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________. 【变式1】某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）某同学参加某高校面试时需要回答A、B、C三道题，他答对每道题的概率均为，且相互独立，每一道题若答对，则得2分，若答错，则扣1分；开始时他的得分为0分，记随机变量为他答完第一道题时的得分，为他答完所有题时的得分，用、分别表示随机变量的期望和方差.则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 二项分布的概率最大值 答｜题｜模｜板 （1）当是整数时， 或时，最大。 （2）当不是整数时，取不大于的最大整数时，最大。 （3）当由增加到时，的值先由小到大，再由大到小。 【典例1】为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 【变式1】某学校进行了一次抽样调查，了解不同性别的学生“利用AI辅助学习”的情况，采用简单随机抽样的方法，分别抽取男生和女生各50名作为样本．记“利用AI辅助学习”为事件A，“学生为女生”为事件B，将样本的频率视为概率，得到，．现从全校的学生中随机抽取30名，设其中“利用AI辅助学习的学生”的人数为，则当取得最大值时，的值为________． 【变式2】高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大. 题型四 超几何分布的概率、均值、方差 答｜题｜模｜板 1、模型识别：从 件产品（含  件次品）中不放回抽取  件，次品数 X 服从超几何分布。 2、算概率：可以直接用公式求解，也可以用排列组合及概率的知识求解。理解参数的含义（3）当由增加到时，的值先由小到大，再由大到小。 3、随机变量X服从超几何分布，记着 有（为次品率）， 【典例1】在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 【典例2】一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______. 【变式1】已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中球的编号为偶数的个数，用Y表示样本中球的最大编号，则（   ） A．若采取有放回摸球， B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 题型五 正态曲线的性质 答｜题｜模｜板 1、正态密度函数，若，则。熟悉密度函数的公式，理解均值与方差的意义。 2、对正态曲线的图像与之间的关系的了解，曲线关于直线对称，决定正态曲线的位置，决定正态曲线的形状。图像在在处达到峰值。 【典例1】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【典例2】已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 【变式1】（多选）某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 题型六 正态分布的实际应用 答｜题｜模｜板 通过对称性与曲线与x轴之间的区域的面积总为1，我们有：；若b>0，则 【典例1】某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ） 附：若，则 . A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 【典例2】某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（    ） A． B． C．若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车 D．若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车 【变式1】（多选）某研究团队测定：某植物叶肉细胞的有氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布；干旱胁迫下叶肉细胞的无氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布（单位略），则（若随机变量服从正态分布，）（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）工厂生产了20000件零件，其尺寸X服从正态分布.已知随机变量X服从正态分布，则.下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．尺寸在区间的零件约有13654件 D．若，则 题型七 正态分布大题应用 答｜题｜模｜板 1、若题目有要求，可转称标准正态分布，将一般正态 转化为标准正态 ，再查表（或利用对称性）求概率。 2、利用 原则：快速估算区间概率：) 约 0.683， 约 0.954，约 0.997。常用于判断数据是否异常或求范围。 3、对称性简化计算：利用正态曲线关于 对称，将非对称区间概率转化为对称区间或单侧概率计算。 4、实际应用题：常见于产品质量控制（如零件尺寸）、考试成绩分布、生物测量等，先提取 μ 和 σ，再求超出某范围概率或确定临界值。 【典例1】泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 【典例2】某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 【变式1】某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20      (1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； (2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． Y 0 1 2 3 4 P Y 0 1 2 3 4 P 【变式2】某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 1 2 3 1 2 3 题型八 二项分布与超几何分布的综合应用 答｜题｜模｜板 1、放回（或有放回等价于总体很大时近似）用二项分布；不放回（总体有限）用超几何分布。 2、二项分布：n 次独立试验，每次成功概率 p。超几何分布：总体 N 中含 M 个“成功”，抽取 n 个，成功个数为 X。 3、综合题处理：若题目中既有放回又有不放回阶段，分阶段用对应分布计算，再按全概率或乘法公式结合。 【典例1】某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为. (1)求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； (3)对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. Y 30 55 80 P 【典例2】某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 0 1 2 0 1 2 【变式1】如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求AI智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由． 0 1 2 3 0 1 2 3 【变式2】2021年3月，滇池绿道作为昆明市十大重点工程之一启动建设.滇池绿道规划总长137公里，宛如一条璀璨夺目的翡翠项链，将滇池沿线43处主要湿地公园、2个历史文化名村、20余处美丽乡村串珠成链，融滇池美景与人文古韵于一体，徐徐铺展出一幅青绿为底、乡愁点睛、活力涌动的滇池长卷. 骑行爱好者小明已骑行数年，2026年年初，他从滇池绿道沿岸选择了2条不同的骑行路线，记为路线A、B，计划保持每周骑行一次，并制定了两个不同阶段的骑行计划. 第一阶段：第一周等可能地从A、B路线中随机选择一个路线，经过统计分析发现，若前一周选择路线A，则下一周选择路线B的概率为；若前一周选择路线B，则下一周选择路线A的概率为. 第二阶段：骑行30周，每周从1∼30这30个数字中随机选择一个.若该数字除以7余数为1或2，则该周选择路线A，否则选择路线B.每个数字仅使用一次，直到第30个数字抽完. (1)记小明第一阶段累计次选择路线骑行共花了周，比较的期望与的大小；（给出判断即可） (2)求小明第一阶段第2周选择骑行路线B的概率； (3)记小明第二阶段路线B骑行次数全部用完为止共花了周，求随机变量的期望. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 2．某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 3．（25-26高三下·山东泰安·月考）一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ） A． B． C． D． 4．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X（单位：cm）服从正态分布，其正态密度函数为，，则下列说法正确的是（　　） A．该地水稻的平均株高为100cm B．该地水稻株高的方差为10 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大 D．随机测量一株水稻，其株高在和在的概率一样大 5．某校开展寒假社会实践活动．据统计高二1班学生的实践时间（单位：小时）与2班学生的实践时间（单位：小时）均服从正态分布，且，，则（   ） A． B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）一个盒子里装有大小相同的4个黑球、2个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从二项分布 B． C． D．记这个球中白球的个数为，则 4．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（多选）（2026·陕西渭南·模拟预测）小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜.下列说法正确的是（    ） A．若，则比赛结束时总局数可能是5 B．若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为 C．若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为 D．若，，比赛进行一段时间后，则继续比赛小明最终获胜的概率为 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 2．某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 3．一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为，且．进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数． (1)若，求的分布列； (2)若，且，求； (3)求的方差（结果用k，n表示），并探究k，n具有怎样的关系时，最大？ 4．教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 5．（25-26高二下·山西·月考）聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01两点分布 题型02二项分布的概率、均值、方差 题型03二项分布的概率最大值 题型04超几何分布的概率、均值、方差 题型05正态曲线的性质 题型06正态分布的实际应用 题型07正态分布大题应用 题型08二项分布与超几何分布的综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两点分布 理解试验结果只有两个（成功/失败）的分布模型；掌握成功概率与期望、方差的关系 基础题型，常作为二项分布的特例理解，单独考查较少，但为理解其他分布奠定基础 二项分布 理解独立重复试验模型（固定次数、每次概率相同）；掌握判断依据：n次独立试验、每次只有两种结果、成功概率不变；能求概率、期望、方差 高频必考，常在解答题中出现，是概率大题的核心分布，考查模型识别、概率计算和实际应用 超几何分布 理解不放回抽样的模型（从有限总体中抽取，每次概率改变）；掌握判断依据：不放回、总体有限、两类物品；能求概率、期望 中等难度，常与二项分布对比考查，需根据“放回/不放回”和“总体大小”选择合适分布 正态分布 理解正态曲线的形状特征（钟形、对称）；掌握原则及区间概率估算；能利用对称性求概率 常以选择题或填空题出现，考查原则的应用和对称性求概率，难度中等 知识点01 两点分布 1、两点分布的定义：对于只有两个可能结果的随机试验， 定义如果，则，那么的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布，并称为成功概率。 2、两点分布的适用范围 （1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； （2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律． 3、两点分布的期望与方差 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么（为概率）． 知识点02 二项分布 1、n重伯努利试验的概念 （1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． （2）n重伯努利试验：将一个伯努利实验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． n重伯努利试验的特征：①同一个伯努利实验重复做n次（重复意味着各次试验成功的概率相同）．②各次试验的结果相互独立． 2、二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，．即 X 0 1 … k … n P … … 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作，且有 ， ． 注： （1）二项分布的模型是有放回抽样 （2）一个随机变量服从二项分布必须满足：①试验是独立重复进行n次，在每次实验中，事件A发生的概率与不发生的概率，两者必有其一。②随机变量是指事件在重伯努利实验中发生的次数。 3、二项分布列概率最大值 如果随机变量X服从二项分布，其中，，当k取何值时最大。 类似于二项展开式中求系数最大项，由，可解得 （1）当是整数时， 或时，最大。 （2）当不是整数时，取不大于的最大整数时，最大。 （3）当由增加到时，的值先由小到大，再由大到小。 知识点03 超几何分布 1、超几何分布的定义 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，，，，，. 其中n，N，，，，，． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布，记着 有 （为次品率） 注： （1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数 （2）一个随机变量服从超几何分布满足：①总体能分为明确的两类对象；②为不放回抽样；③随机变量是样本中其中一类个体的个数. 2、两点分布、二项分布与超几何分布的关系 （1）两点分布是特殊的二项分布，二项分布中时为两点分布。 （2）二项分布的模型是有放回抽取，超几何分布式不放回抽取 （3）当总体的容量N非常大，样本容量比较小时，超几何分布近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似精确度也增加。 （4）对于同一模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近． 知识点04 正态分布 1、连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2、正态分布 (1)正态曲线 函数 .其中，为参数.我们称为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地， 当时，称随机变量X服从标准正态分布，记 (3)正态分布的均值和方差 若，则. 3、正态曲线的性质 （1）正态曲线是单峰，它关于直线对称，具有中间高、两边低的特点，在处达到峰值，在曲线的两端处无限接近轴。 （2）决定正态曲线的“胖瘦”：越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，曲线看起来“矮胖”；越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，曲线看起来“瘦高”。 （3）决定正态曲线的位置，决定正态曲线的形状。 ①在一定时，曲线的形状固定，位置随的变化而沿x轴平移。 ②当μ一定时，曲线的对称轴的位置固定，形状则随σ改变而改变，当σ较小时曲线“瘦高”；σ较大时，曲线“矮胖”。 4、通过正态曲线求概率，若 （1）对任意的，正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1． （2）X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积． （3）通过面积角度理解，我们可以得出如下结论：。 （4）通过对称性与曲线与x轴之间的区域的面积总为1，我们有：；若b>0，则 题型一 两点分布 解｜题｜技｜巧 1、试验结果只有两个（成功/失败、是/否、1/0），且每次试验独立时，常用两点分布描述。 2、设 ，则，其中。 【典例1】已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 【典例2】若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点分布求，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解. 【详解】由题意可知，，所以， ，， . 【变式1】若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，判断A，C；再根据期望和方差的性质，计算，判断B，D. 【详解】随机变量服从两点分布，其中，所以. 所以，故A选项结论正确； ，故C选项结论正确； ，故B选项结论正确； ，故D选项结论错误． 故选：D. 【变式2】已知随机变量满足两点分布，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两点分布结合数学期望及方差定义计算，再应用充分必要定义判断即可. 【详解】当时，得，则，，充分性成立； 反之，，即，解得或，必要性不成立. 故选:A. 题型二 二项分布的概率、均值、方差 答｜题｜模｜板 1、判断模型：确认试验是 n 次独立重复伯努利试验，每次结果只有成功/失败，且成功概率  恒定。 2、确定参数：明确 （试验次数）、（单次成功概率）、（所求的成功次数）。 3、分情况求和：求 直接用一项，求 或时，需将对应所有 的概率相加，或利用对立事件简化。 4、随机变量X服从二项分布，记作，且有 ， ． 【典例1】某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为0.5．若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4．该运动员第二次投篮命中的概率为______；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X，则期望______． 【答案】 0.6/ 1.6/ 【分析】第一空，设事件表示“第次投篮命中”，然后根据全概率公式求解即可. 第二空，先求出每组投篮训练成功的概率，再根据二项分布的期望公式计算. 【详解】设事件表示“第次投篮命中”，则表示“第次投篮未命中”. 由题意，. 根据全概率公式可得. 每组连续投篮命中2次为成功，第一次命中概率为，若第一次命中，则第二次命中的概率为，根据分步乘法计数原理，每组投篮训练成功的概率为. 又每组投篮训练成功与否相互独立，且每组投篮训练成功的概率均为，共进行组投篮训练，所以，所以. 【典例2】有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________. 【答案】/5.4 【分析】列出所有取值，根据古典概型求解选出女生的概率，根据二项分布求解男生答题情况对应的概率，进而根据独立事件乘法公式求解每种取值对应的概率，再结合期望公式求解即可. 【详解】的可能取值为， ， ， ， 所以的数学期望. 【变式1】某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，结合二项分布的数学期望公式与方差公式即可求与；根据排列组合知识和古典概型可知Y取0，1，2，4时的概率，再由公式即可求与，比较大小即可求解. 【详解】由题可知方案（1）中这四位同学抽到自己准备的书的概率均为，易知， 由二项分布的数学期望公式与方差公式可知： ，. 由题可知Y的所有可能取值为0，1，2，4， ， ， ， ， ， ， . 【变式2】（多选）某同学参加某高校面试时需要回答A、B、C三道题，他答对每道题的概率均为，且相互独立，每一道题若答对，则得2分，若答错，则扣1分；开始时他的得分为0分，记随机变量为他答完第一道题时的得分，为他答完所有题时的得分，用、分别表示随机变量的期望和方差.则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意求得随机变量的期望与方差，设随机变量为面试完成后答对题的数量，根据二项分布的期望与方差公式求得，由题意可得，根据期望与方差的性质可得，结合选项依次判断即可. 【详解】由题意可得随机变量的可能取值为， ， 所以， ， 记随机变量为面试完成后答对题的数量， 由题意可得随机变量服从二项分布，即， 所以， 由题意可得， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，随机变量与之间没有确定的关系，故C错误； 对于D，，故D正确. 题型三 二项分布的概率最大值 答｜题｜模｜板 （1）当是整数时， 或时，最大。 （2）当不是整数时，取不大于的最大整数时，最大。 （3）当由增加到时，的值先由小到大，再由大到小。 【典例1】为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，， 又抽取男生30名和女生20名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令， 解得， 因为，所以当时，取得最大值. 【典例2】二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 【答案】 【分析】根据题意先计算，再利用二项分布即可求解. 【详解】由题意知，可知，解得，故， ，，， ，，，，可知的最大值为． 【变式1】某学校进行了一次抽样调查，了解不同性别的学生“利用AI辅助学习”的情况，采用简单随机抽样的方法，分别抽取男生和女生各50名作为样本．记“利用AI辅助学习”为事件A，“学生为女生”为事件B，将样本的频率视为概率，得到，．现从全校的学生中随机抽取30名，设其中“利用AI辅助学习的学生”的人数为，则当取得最大值时，的值为________． 【答案】 【分析】借助条件概率公式可计算出，再利用二项分布概率公式，表示出后，解出不等式及即可得. 【详解】由题意可得，则，即， ，则， 则可得服从二项分布，则 ， 令， 即有，解得， 令 即有，解得， 即，由，则当取得最大值时，. 【变式2】高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入________个小球的概率最大. 【答案】7或8 【分析】首先求出改进后，1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后落入2号球槽的概率，根据二项分布列出2号球槽中落入k个小球的概率最大时的不等式组，进而可得解. 【详解】由题意知1个小球从高尔顿板上方的通道口落下后共碰撞4次，落入2号球槽需向右1次，向左3次， 因为改进后，的概率向左，的概率向右滚下， 所以落入2号球槽的概率为， 设80个小球落入2号球槽的个数为X，则， 令最大，则， 即， 解得，因为， 所以2号球槽中落入或个小球的概率最大. 题型四 超几何分布的概率、均值、方差 答｜题｜模｜板 1、模型识别：从 件产品（含  件次品）中不放回抽取  件，次品数 X 服从超几何分布。 2、算概率：可以直接用公式求解，也可以用排列组合及概率的知识求解。理解参数的含义（3）当由增加到时，的值先由小到大，再由大到小。 3、随机变量X服从超几何分布，记着 有（为次品率）， 【典例1】在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评．某款人形机器人在排练时，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5．若下达的动作指令表述模糊的概率为0.25，则该机器人成功完成指令的概率为______；若另一款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个．现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数，则期望______． 【答案】 /； . 【分析】应用全概率公式求概率即可求得机器人成功完成指令的概率，由题设随机变量的所有可能取值为，，，求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列期望公式求法求期望. 【详解】记“下达的动作指令表述清晰”为事件，记“下达的动作指令表述模糊”为事件，记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. ， 所以该机器人成功完成指令的概率为； 由题意的所有可能取值为，，，，，， 故的分布列为： 所以的数学期望. 【典例2】一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______. 【答案】/ 【分析】分别求出时的概率，再由期望的公式求得的期望. 【详解】由题可得，的可能取值为. ； ； ； . 所以的期望为. 【变式1】已知盒中装有大小、形状、质地均相同的2个红球、2个黄球、1个白球，从中随机取出3个球，记X为取出的3个球中红球的个数，Y为取出的3个球中白球的个数，则错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式，结合组合数公式，即可判断AB，，，再代入概率公式，判断C，代入超几何分布期望公式，判断D. 【详解】由题意可得，故A正确； ，，故B正确； ， ， 故，故C错误； 因为X，Y均符合超几何分布，所以，，故D正确. 【变式2】（多选）一个袋子中有5个完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，现从中随机地摸出3个球作为样本.用X表示样本中球的编号为偶数的个数，用Y表示样本中球的最大编号，则（   ） A．若采取有放回摸球， B．若采取不放回摸球，则 C．若采取有放回摸球，则 D．若采取不放回摸球，则 【答案】AC 【分析】根据二项分布以及超几何分布的期望和方差公式以及条件概率公式即可判断 【详解】对于，有放回的摸球，满足二项分布，且摸到偶数球的概率， 共摸次，，则根据期望公式可得，故正确； 对于，不放回的摸球，则服从超几何分布，， 根据超几何分布的期望和方差公式可得， ，故错误； 对于，有放回的摸球，根据二项分布的方差公式， 故正确； 对于，根据条件概率公式表示的最大编号是， 剩余的个从1，2，3，4中选其中偶数球有两个的概率， 则， 表示的意思是已知有两个偶数球，其中最大编号是的概率， 则，则，故错误. 故选：AC 题型五 正态曲线的性质 答｜题｜模｜板 1、正态密度函数，若，则。熟悉密度函数的公式，理解均值与方差的意义。 2、对正态曲线的图像与之间的关系的了解，曲线关于直线对称，决定正态曲线的位置，决定正态曲线的形状。图像在在处达到峰值。 【典例1】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【分析】根据正态分布的性质逐项判断即可. 【详解】由正态密度曲线的性质可知，、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图象可得且的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以对任意正数，. 【典例2】已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此，故选项A、B错误； 由正态分布的对称性：，，C正确； ，而，所以，因此，D错误 【变式1】（多选）某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】已知甲机器人作业时长，即，， 乙机器人作业时长，即，， ，故A错误； ，则，B正确； 设，则， ， ，故C正确； ， ，故D正确． 【变式2】已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【分析】利用正态分布的性质进行判断即可. 【详解】因为，所以连续型随机变量服从正态分布，且均值，标准差， A选项， ，而， 代入、，得，由正态分布的性质得：， 所以，所以A选项正确； B选项，，由解析A可知：， 由正态分布的对称性可知：， 又， 所以，解得：，因此，所以B选项错误； 对于C，，则， ， 而Y服从正态分布，区间和关于直线对称， 故，即的图象关于直线对称，C选项正确； 对于D，，若的图象关于点对称，则， 即， 而Y服从正态分布，则，， 故， 当时，， 即的图象不关于点对称，D错误. 题型六 正态分布的实际应用 答｜题｜模｜板 通过对称性与曲线与x轴之间的区域的面积总为1，我们有：；若b>0，则 【典例1】某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ） 附：若，则 . A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 【答案】BCD 【分析】根据概率的性质以及条件概率的计算公式，即可求解AB，根据正态分布的对称性，即可求解C，利用二项分布，结合单调性即可求解D. 【详解】对于A，依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率 大于直接进入人工抽检合格的概率，即，A错误； 对于B，由A中结论可得，得， 又， 于是，即， 因此，即，则，B正确； 对于C， ，C正确； 对于D，， 设， 由， 解得，， 由，解得，即， 所以取得最大值时，的估计值为53，D正确. 【典例2】某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（    ） A． B． C．若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车 D．若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的性质和相关公式逐项计算即可. 【详解】对于A，因为坐公交车平均用时，样本方差为36，坐公交车用时都服从正态分布， 所以，所以，A正确； 对于B，因为骑自行车平均用时，样本方差为4，骑自行车用时都服从正态分布， 所以，其分布关于均值34对称.由于而，40和30并不关于34对称， 故，B错误； 对于C，计算34分钟内不迟到的概率为，， 因为，所以坐公交车不迟到的概率更高，C正确； 对于D，计算38分钟内不迟到的概率为， ， 因为，所以骑自行车不迟到的概率更高，D正确； 【变式1】（多选）某研究团队测定：某植物叶肉细胞的有氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布；干旱胁迫下叶肉细胞的无氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布（单位略），则（若随机变量服从正态分布，）（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件结合正态密度曲线的性质逐项判断即可. 【详解】对于A：，A项正确； 对于B：，B项正确； 对于C：，C项错误； 对于D：，D项正确． 故选：ABD. 【变式2】（多选）工厂生产了20000件零件，其尺寸X服从正态分布.已知随机变量X服从正态分布，则.下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．尺寸在区间的零件约有13654件 D．若，则 【答案】ABC 【分析】正态分布中, 为均值, 为标准差,正态曲线关于直线对称.,根据这些正态分布性质对选项逐一分析. 【详解】对于选项A,若,所以.所以 .因为对于正态分布其图像关于直线对称. 当时,.而,则,所以. 故A正确. 对于选项B,因为,所以对称轴为.所以. 又因为,且,所以. 即.故B正确. 对于选项C,则,.所以 所以尺寸在的零件约有件.故C正确. 对于选项D,因为,所以对称轴为.若根据正态分布对称性可知,即.故D错误. 故选:ABC. 题型七 正态分布大题应用 答｜题｜模｜板 1、若题目有要求，可转称标准正态分布，将一般正态 转化为标准正态 ，再查表（或利用对称性）求概率。 2、利用 原则：快速估算区间概率：) 约 0.683， 约 0.954，约 0.997。常用于判断数据是否异常或求范围。 3、对称性简化计算：利用正态曲线关于 对称，将非对称区间概率转化为对称区间或单侧概率计算。 4、实际应用题：常见于产品质量控制（如零件尺寸）、考试成绩分布、生物测量等，先提取 μ 和 σ，再求超出某范围概率或确定临界值。 【典例1】泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 【答案】(1) (2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，（ii）根据最大时列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为， 所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即． 所以， 由，得 ，即. （2）（i）由题意知，且， 又，所以二项分布可近似看作泊松分布， 所以， 所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为. （ii）因为最大，所以， 即，解得， 又，所以当为整数时，最大时的值为或； 当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【典例2】某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)概率为，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用二项分布的概率公式列式求出概率，再利用二项分布的期望公式求出期望. （2）利用正态分布的对称性求出单株利润为正的概率. 【详解】（1）依题意，，则， ， 所以至少有9株蔬菜苗育成功的概率，. （2）由单株产量X（单位：kg）服从正态分布，得， 单株利润为，由单株利润为正，得，解得， 依题意，， 则， 所以单株利润为正的概率约为. 【变式1】某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20      (1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； (2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． 【答案】(1)9545件 (2) Y 0 1 2 3 4 P ． 【分析】（1）结合题意先确定，再结合正态分布的性质求出特等品的概率，最后结合题意求解估计值即可. （2）先确定变量服从二项分布，再利用二项分布的概率公式求解概率写出分布列，最后结合二项分布的期望公式求解期望即可. 【详解】（1）设这50件样品平均误差为，则，即，而， 故为“特等品”，即“特等品”的概率为， 故这条生产线生产的10000件产品中“特等品”件数约为件； （2）由题意得：， 则，， ，， ， 则Y的分布列如下： Y 0 1 2 3 4 P 其数学期望． 【变式2】某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：μm）服从正态分布，已知当时，．规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立． (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； 【答案】(1) (2) 1 2 3 【分析】（1）先确定，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合独立重复试验概率公式求结论； （2）先求，由，判断的单调性，确定，再确定的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个， 恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以. 由题意可得的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 题型八 二项分布与超几何分布的综合应用 答｜题｜模｜板 1、放回（或有放回等价于总体很大时近似）用二项分布；不放回（总体有限）用超几何分布。 2、二项分布：n 次独立试验，每次成功概率 p。超几何分布：总体 N 中含 M 个“成功”，抽取 n 个，成功个数为 X。 3、综合题处理：若题目中既有放回又有不放回阶段，分阶段用对应分布计算，再按全概率或乘法公式结合。 【典例1】某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取个零件，设抽到的不合格的零件数为. (1)求的值.小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故.请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)若抽到的个零件中至少有个为不合格零件，求恰好有个为不合格零件的概率； (3)对抽取的个零件进行检测，每个零件的检测费用为元，每发现个不合格品，需额外支出元的处理费用.设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) (3)随机变量的分布列如下表所示： Y 30 55 80 P 数学期望为. 【分析】（1）根据题意得出这个零件中不合格零件数，利用随机变量服从超几何分布即可求解； （2）通过条件概率公式即可求解； （3）根据题意得出随机变量与随机变量的关系，从而得到随机变量的取值范围和对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可. 【详解】（1）小明的解答不正确，正确的解答过程如下： 根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件， 则从这个零件中抽到个不合格零件，个合格零件的组合数是种， 因此. （2）设事件为“抽到的个零件中至少有个为不合格零件”，事件为“抽到的个零件中恰好有个为不合格零件”， 由于事件是事件的子事件，所以， 而，， 根据条件概率公式，即恰好有个为不合格零件的概率为. （3）由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用， 因此随机变量的可能取值为，，， 由于，，， 因此，，， 所以随机变量的分布列为： 数学期望为，即随机变量的数学期望为. 【典例2】某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 ， (3) 【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. （3）由题意知，，则，. 令， 当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 【变式1】如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求AI智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ， (3)该系统会得到推广，理由见解析 【分析】（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解； （2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差； （3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论. 【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则； （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 ，； （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则， 满足推广条件，因此该系统会得到推广. 【变式2】2021年3月，滇池绿道作为昆明市十大重点工程之一启动建设.滇池绿道规划总长137公里，宛如一条璀璨夺目的翡翠项链，将滇池沿线43处主要湿地公园、2个历史文化名村、20余处美丽乡村串珠成链，融滇池美景与人文古韵于一体，徐徐铺展出一幅青绿为底、乡愁点睛、活力涌动的滇池长卷. 骑行爱好者小明已骑行数年，2026年年初，他从滇池绿道沿岸选择了2条不同的骑行路线，记为路线A、B，计划保持每周骑行一次，并制定了两个不同阶段的骑行计划. 第一阶段：第一周等可能地从A、B路线中随机选择一个路线，经过统计分析发现，若前一周选择路线A，则下一周选择路线B的概率为；若前一周选择路线B，则下一周选择路线A的概率为. 第二阶段：骑行30周，每周从1∼30这30个数字中随机选择一个.若该数字除以7余数为1或2，则该周选择路线A，否则选择路线B.每个数字仅使用一次，直到第30个数字抽完. (1)记小明第一阶段累计次选择路线骑行共花了周，比较的期望与的大小；（给出判断即可） (2)求小明第一阶段第2周选择骑行路线B的概率； (3)记小明第二阶段路线B骑行次数全部用完为止共花了周，求随机变量的期望. 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)周. 【分析】（1）利用马尔可夫链的期望递推即可得到结论； （2）利用全概率公式，考虑第一周等可能选A或B及对应的转移概率，即可计算得第2周选B的概率； （3）由题意确定的所有可能取值为20，21，22，，30，由超几何分布并组合恒等式即可计算期望值. 【详解】（1）记为第一次选择的周数， 表示从出发首次到所需的步数，表示从出发首次到所需的步数， 由题设第一周选择的概率为，选的概率为，而第一次出现在第周， 故，故， 故， 又， 故第n次选择B出现的周数期望为， 则，当且仅当时等号成立， 故当时，；当时，. （2）设小明第一阶段第2周选择骑行路线B的概率为， 则. （3）1~30这30个数字中除以7余数为1或者2的有10个， 所以有10次选择路线A，20次选择路线B， 的所有可能取值为20，21，22，，30，为的个数， 从30个数字中任选个数字，共有种可能，其中符合要求的个数为， 因此前次抽取的集合恰好包含所有和个的概率为， 这个数字的所有排列顺序等可能， 在随机排列中，最后一个位置是的概率等于所占的比例， 故，， . 所以随机变量的期望是周. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知随机变量服从参数为的两点分布，且，则（     ） A．0.25 B．0.75 C．0.35 D．0.65 【答案】C 【分析】根据两点分布的期望公式即可求解. 【详解】因为随机变量服从参数为的两点分布， 所以， 又，所以. 故选：C. 2．某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以表示5次抽取的总得分，则的数学期望为__________. 【答案】 4 【分析】利用条件概率公式计算可得空一；利用二项分布的期望公式与期望性质计算可得空二. 【详解】设事件表示：“第二次抽到一等奖券”，事件表示：“第一次抽到二等奖券”， 则； 设表示5次抽取中抽到一等奖券的次数， 每次抽到一等奖券的概率，则由题意可得， 故，又，则. 3．（25-26高三下·山东泰安·月考）一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数， 要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个， 从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为， 故恰好件不合格的概率为. 4．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X（单位：cm）服从正态分布，其正态密度函数为，，则下列说法正确的是（　　） A．该地水稻的平均株高为100cm B．该地水稻株高的方差为10 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大 D．随机测量一株水稻，其株高在和在的概率一样大 【答案】AC 【详解】由正态分布密度曲线函数，，可得， 所以该地水稻的平均株高为100cm，故A正确； 该地水稻株高的方差为100，B错误； 由， 所以随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大，故C正确； 由正态分布的对称性可知：，故D错误. 5．某校开展寒假社会实践活动．据统计高二1班学生的实践时间（单位：小时）与2班学生的实践时间（单位：小时）均服从正态分布，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布的性质，结合正态密度曲线的图象特征，判断选项. 【详解】A.，故A错误；B.，，故B正确； C.因为，其中，所以，故C正确； D.两个分布的平均数都是16，所以两个函数图象的对称轴相同，，，越小，数据越集中，正态分布密度曲线越高，，故D错误. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式求出的值，再确定有理项的个数，最后根据超几何分布的期望公式计算 【详解】在的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则， 可得的二项展开式的通项， 当为整数时，该项为有理项， 因为且，所以当时，分别为2，，，是整数， 即有理项有3项， 从11项中任取3项，其中有理项的个数服从参数为（总体个数），（有理项个数），（抽取个数）的超几何分布， 根据超几何分布的期望公式，可得. 故选：B. 2．（多选）一个盒子里装有大小相同的4个黑球、2个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据超几何分布和期望、方差公式计算即可. 【详解】对于A：任取2个中有0个白球的概率是，A正确； 对于B：由题意知，所以，B错误； 对于C：由题意知，. 所以，C正确； 对于D：，因为， 所以，所以. 所以，D错误. 故选：AC. 3．（多选）袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（    ） A．随机变量服从二项分布 B． C． D．记这个球中白球的个数为，则 【答案】BD 【详解】选项，本题是从个球中不放回任取个，随机变量服从超几何分布，不是二项分布（二项分布要求独立重复、每次概率不变），故错误； 选项，， ，， 因此，故正确。 选项，超几何分布期望公式，其中（抽取个数），（总体黑球数），（总球数），得， 根据期望性质，故错误； 选项，取出个球，因此（为白球个数）. 根据方差性质，得，故正确. 4．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】利用二项分布概率公式，通过为唯一最大值需满足且，列不等式组求解正整数. 【详解】依题意，， 由是唯一的最大值，得，即， 则，整理得，解得， 而，因此. 5．（多选）（2026·陕西渭南·模拟预测）小明和小红进行某项比赛（比赛结果没有平局），小明每局获胜的概率均为，每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记小明和小红两人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜.下列说法正确的是（    ） A．若，则比赛结束时总局数可能是5 B．若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为 C．若，，则在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为 D．若，，比赛进行一段时间后，则继续比赛小明最终获胜的概率为 【答案】BCD 【分析】由题意可知时，比赛结束时总局数为偶数可判断A，由二项分布、相互独立事件的概率公式可判断B和C，由全概率公式分析可判断D. 【详解】选项A：若，则比赛结束时积分差的绝对值为2， 设总局数为，小明胜局，小红胜局， 则，即，所以总局数为偶数，故A错误. 选项B：若，，则恰好4局结束比赛且小明获胜的概率为： ，故B正确. 选项C：若，，则在不超过5局比赛结束，有两种情况，第一种小明或小红连胜3局，概率为. 第二种小明或小红以获胜，概率为. 其中小明以获胜的概率为. 所以在不超过5局比赛结束的条件下，小明以4:1获胜的概率为，故C正确. 选项D：设小明在净胜局（小明胜的局数比输的局数多）前提下，继续比赛最终获胜的概率为，. 当净胜局时，继续比赛一局，若小明胜，则小明的状态变为净胜局，继续比赛获胜的概率为；若小明输，则小明的状态变为净胜局，比赛结束，小明失败. 根据全概率公式可得，. 当净胜局时，继续比赛一局，若小明胜，则小明的状态变为净胜0局，继续比赛获胜的概率为；若小明输，则小明的状态变为净胜局，继续比赛获胜的概率为. 根据全概率公式可得，. 同理可得，当净胜0局时，.当净胜1局时，. 当净胜2局时，继续比赛一局，若小明胜，则小明以获胜，若小明输，则小明的状态变为净胜1局，继续比赛获胜的概率为. 根据全概率公式可得，. 联立，即，整理得，解得. 因为表示小明和小红积分相同，即净胜0局，所以继续比赛小明最终获胜的概率为，故D正确. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．某校高三学生数学模考成绩服从正态分布．现随机抽取100名学生的成绩，计算得样本平均分为105分，样本方差为100． (1)根据样本数据，估计该正态分布的参数和，并用的形式写出分布记法； (2)若该校高三共有800名学生，估计成绩在区间内的学生人数；（结果取整数） (3)学校欲制定奖励线（为整数），使得成绩高于的学生获得奖励，且获奖人数约为总人数的16%．试根据原则确定的值．（结果取整数） （参考数据：，，） 【答案】(1)的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. (2)655（人） (3)115 【分析】（1）根据正态分布的概念即可求解； （2）根据正态分布的对称性求出成绩在区间内的学生的概率，然后再求人数即可； （3）由题意可得，即满足题意. 【详解】（1） 由题意，样本平均分为105分，样本方差为100，因此的估计值为105，的估计值为10， 分布记为：. （2），， 所以成绩在区间内的学生的概率， 故成绩在区间内的学生的人数为(人). （3）由题意，获奖人数占总人数，即，因此， 根据参考数据：，满足要求， 而，因此. 2．某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2)合理，理由见解析. 【分析】（1）考察正态分布的对称性及其性质，重点在于理解正态分布密度曲线的对称性，利用给定区间概率计算概率. （2）理解小概率事件在统计决策中的含义. 【详解】（1）因为，即， 又因为， 所以 所以正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率为 （2）测试人员的判断是合理的，理由如下： 设“AI单次分类的准确率得分大于99分的概率”为事件，则， 设 “两次分类准确率得分均大于99分”为事件，则两次测试相互独立， 因为是一个极小概率，根据小概率原理，小概率事件在一次实验中几乎不可能发生. 现在该事件发生了，说明“AI智能体运行正常”这一假设不成立，即出现了异常波动. 所以，测试人员的判断是合理的. 3．一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为，且．进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数． (1)若，求的分布列； (2)若，且，求； (3)求的方差（结果用k，n表示），并探究k，n具有怎样的关系时，最大？ 【答案】(1)的分布列为： (2) (3)当为偶数时，时最大； 当为奇数时，或时最大； 【分析】（1）先确定的所有可能取值，结合组合数计算每个取值对应的概率，进而列出的分布列； （2）根据交集元素个数为的概率公式列关于的方程，求解符合条件的正整数即可； （3）判断服从超几何分布，代入超几何分布的方差公式得到的表达式，再根据二次函数性质分析取最大值的条件. 【详解】（1）X表示的元素个数，可能取值为，总取法为， 表示两次取的球无公共元素，取法为，，​ 表示两次取的球恰有1个公共元素，取法为，， 表示两次取的球完全相同，取法为，， 的分布列为： （2）由已知，表示第二次从个球中取出个球，其中恰有两个球的编号属于， ， 代入，则 ​ ， 化简得， 因式分解得，结合得． （3）由题，，， 则随机变量服从超几何分布，则 固定时，的大小由决定， 是开口向下的二次函数，对称轴为： 当为偶数时，​时最大； 当为奇数时，或​时最大. 4．教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)的分布列为 数学期望 (3) 【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解； （2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； （3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值. 【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； （2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. （3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 5．（25-26高二下·山西·月考）聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 【答案】(1) (2)的分布列为，当最大时． 【分析】（1）先定义“输入的问题没有语法错误”、“一次应答被采纳” 两个事件，明确已知概率后，直接套用全概率公式，分“无错采纳” 和“有错采纳” 两类情况相加即可． （2）依据 “次独立重复试验+固定成功概率” 判定服从二项分布，列出分布列；最后通过计算相邻概率比值，解不等式找到单调区间，确定概率最大时的值 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， ． （2）依题意，， 所以的分布列为， 当最大时，有 即， 解得，， 故当最大时，． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $