专题08 随机变量及其分布全章14大题型（期中复习讲义）高二数学下学期人教A版

专题08 随机变量及其分布（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01条件概率的计算 题型02全概率公式与贝叶斯公式应用 题型03离散型随机变量的分布列 题型04离散型随机变量分布列性质的应用 题型05离散型随机变量的均值、方差 题型06均值与方差性质的应用 题型07均值与方差在决策中的应用 题型08二项分布的概率、均值、方差计算 题型09二项分布之概率最值问题 题型10二项分布模型的应用 题型11超几何分布的概率、均值、方差计算 题型12超几何分布模型的应用 题型13利用正态分布的对称性求概率 题型14正态分布3σ原则 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率与全概率公式 1、理解条件概率的定义，熟记条件概率计算公式，能准确计算简单的条件概率； 2、掌握全概率公式的推导思路和适用场景，能运用全概率公式解决实际问题； 3、理解贝叶斯公式的含义，能结合条件概率、全概率公式简单应用贝叶斯公式 基础核心考点，多以选择题、填空题形式考查，偶尔融入解答题，难度中等； 易错点：混淆条件概率与普通概率，误用全概率公式（忽略样本空间的划分），计算时取值失误； 命题趋势：结合古典概型、抽样场景命题，侧重公式应用和逻辑推理，是期中基础考查重点 离散型随机变量及其分布列 1、理解随机变量、离散型随机变量的定义，能判断给定变量是否为离散型随机变量； 2、能写出离散型随机变量的所有可能取值及对应试验结果； 3、牢记离散型随机变量分布列的定义和核心性质，能列出分布列并检验其合理性 基础必考点，选择、填空题为主，偶尔结合解答题考查，难度偏低； 易错点：混淆随机变量与普通变量，分布列书写不规范、遗漏概率之和检验； 命题趋势：结合教材例题场景命题，侧重概念辨析和基础应用 离散型随机变量的数字特征 1、熟记离散型随机变量期望、方差（标准差）的定义和计算公式，能准确代入分布列数据计算； 2、掌握期望、方差的基本性质，能运用性质简化计算； 3、理解期望、方差的实际意义，能分析随机变量的平均水平和稳定性 重难点考点，解答题为主、小题为辅，难度中等偏上； 易错点：方差公式记忆错误，代入数据符号失误，忽视数字特征的实际含义； 命题趋势：常与分布列结合命题，侧重计算能力和应用能力考查 二项分布与超几何分布 1、掌握二项分布、超几何分布的定义和适用场景，能准确判断分布类型； 2、熟记两种分布的期望和方差公式，能直接运用公式计算； 3、能结合两种分布的特征，求解相关概率和数字特征 高频核心考点，选择、填空、解答题均有涉及，难度中等； 易错点：混淆两种分布的适用场景（有无放回抽样），忘记分布前提条件； 命题趋势：结合抽样、独立重复试验场景命题，是期中考查的核心模块 正态分布 1、理解正态分布的定义、正态曲线的特征及参数μ、σ的几何意义； 2、掌握正态分布的性质，能利用正态曲线的对称性求解概率； 3、了解3σ原则，能结合3σ原则解决简单的实际问题 基础考点，多以选择题、填空题形式考查，难度中等； 易错点：混淆参数μ、σ的意义，不会利用正态曲线对称性求概率，忽视3σ原则的应用； 命题趋势：侧重正态曲线特征和概率计算，多结合简单实际场景命题 随机变量及其分布的综合应用 1、整合全章知识，能结合条件概率、分布列、数字特征、常见分布及正态分布解决综合性问题； 2、能根据实际情境构建合适的随机变量，分析其分布特征并求解相关问题； 3、能利用数字特征、正态分布进行简单的决策与评价 压轴考点，多以解答题压轴形式出现，难度较大； 易错点：知识整合混乱，误用分布类型和公式，综合计算失误； 命题趋势：融合全章核心知识点，结合实际场景命题，侧重综合应用和逻辑推理能力考查 知识点01 条件概率与全概率公式 1、条件概率公式 （1）条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. （2）乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则. （3）条件概率的性质：设，则 ①； ②如果B和C是两个互斥事件，则； ③设B和B互为对立事件，则 2、全概率公式 （1）全概率公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有. （2）贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件，，有，． 知识点02 离散型随机变量及其分布列 1、随机变量与离散型随机变量 （1）随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． （2）离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量；通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z． ·易错：离散型随机变量的特征：①可以用数值表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；③试验结果能一一列出． 2、离散型随机变量的分布列 （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个的概率，为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X … P … （2）离散型随机变量分布列的意义和作用 ①离散随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础． ②离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． （3）离散型随机变量的分布列的性质 ①； ② 3、0-1分布 （1）定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． ·易错：随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． （2）两点分布的适用范围 ①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律． ②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律． 知识点03 离散型随机变量的数字特征 1、离散型随机变量的均值 （1）定义：一般地，若离散型随机变量的分布列如下表所示， …… …… 则称为随机变量的均值或数学期望，简称期望． （2）意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，刻画的是取值的“中心位置”，反映或刻画了随机变量取值的平均水平．由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位． （3）两点分布的均值：一般地，如果随机变量服从两点分布，那么（为成功概率）． （4）离散型随机变量均值的性质：如果是一个离散型随机变量，（其中为常数）也是随机变量，则． 2、离散型随机变量的方差 （1）定义：如果离散型随机变量的分布列如表所示， …… …… 则称为随机变量的方差，有时也记为，并称为标准差，记为． 在方差计算中，利用结论经常可以使计划简化． （2）意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． （3）性质：，（C为常数）． ·易错：对方差、标准差概念的几点说明 ①随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的； ②随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的的取值的稳定与波动、集中与分散程度； ③越小，随机变量的取值就越稳定，波动就越小； ④标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 知识点04 二项分布与超几何分布 1、n重伯努利试验 （1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验； （2）n重伯努利试验定义：将一个伯努利实验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验； （3）特征：①同一个伯努利实验重复做n次；②各次试验的结果相互独立． 2、二项分布 （1）二项分布的概念：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～，且有，． 注：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是与． （2）确定一个二项分布模型的步骤 ①明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； ②确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性； ③设的次独立重复试验中事件发生的次数，则． （3）二项分布的增减性与最大值 记，则当时，，pk递增；当时，，递减． 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值． 若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）． 3、超几何分布 （1）定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，,,,,．其中n，N，，，，，． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． （2）超几何分布的均值：． 知识点05 正态分布 1、正态曲线 （1）定义：我们称，x∈R，其中μ∈R，σ>0时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． （2）正态曲线的特点： ①非负性：对∀x∈R，，它的图象在x轴的上方． ②定值性：曲线与x轴之间的面积为1. ③对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． ④最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. ⑤当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． ⑥当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. ⑦当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 2、正态分布 （1）正态分布的定义：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． （2）正态分布的期望与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. （3）正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积． （4）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 3、正态分布的应用（3σ原则） 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 题型一 条件概率的计算 解｜题｜技｜巧 （1）利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得，这是求条件概率的通法． （2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得. 【典例1】（25-26高二下·江苏连云港·期中）对于事件A，B，，，，则____ 【答案】 【解析】由条件概率公式，可得， 故， 又因， 则，所以． 【变式1-1】（25-26高二下·四川德阳·月考）假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对A：由，故，故A正确； 对B：成立的条件为，为相互独立事件，故B错误； 对C：，， 成立的条件为，故C错误； 对D：，若，则， 成立的条件为，为相互独立事件，故D错误. 【变式1-2】（25-26高二下·福建泉州·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形， 其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得， 又由事件“两个点数不相同”，可得，所以， 由条件概率的公式，可得. 【变式1-3】（25-26高二下·浙江·期中）甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】事件表示甲乙两人都不去A景点，， 事件表示甲乙两人都去A景点，， 所以． 题型二 全概率公式与贝叶斯公式应用 解｜题｜技｜巧 1、全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑． 2、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 3、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即． 【典例2】（24-25高二下·湖南株洲·期中）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件， 则，，，， 根据全概率公式，．故选：B． 【变式2-1】（25-26高二下·江西赣州·期中）一盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设事件为“第一次取得二等品”，事件为“第二次取得一等品”， 则事件为“第一次取得二等品，且第二次取得一等品”， ， ， 所以． 【变式2-2】（25-26高二下·吉林四平·月考）某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为0.04，当火灾发生时系统正确发出警报的概率为0.95，当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为0.02． (1)求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率； (2)若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率（精确到0.01）． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）用A表示炎热干燥天气条件下该保护区某天发生火灾，用B表示系统发出警报， 则，所以， ，， 由全概率公式，得， 即炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率为． （2）由（1）知，， 所以炎热干燥天气条件下智能监控系统某天发出警报， 保护区该天实际发生火灾的概率为． 【变式2-3】（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是乙厂生产的概率为 . 题型三 离散型随机变量的分布列 解｜题｜技｜巧 求离散型随机变量的分布列的步骤 第一步：明确随机变量的所有可能取值及取每个值所对应的事件； 第二步：利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率； 第三步：列出分布列． 【典例3】（24-25高二下·广东东莞·期中）在我校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A，B，C三首不同曲目中任选一首. (1)求甲、乙两班选择不同曲目的概率； (2)设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）在我校歌咏操比赛中，甲班、乙班均可从A、B、C三首不同曲目中任选一首， 共有种选法， 甲、乙两班选择不同的曲目共有种选法， 所以甲、乙两班选择不同曲目的概率为. （2）依题意可知，X的可能取值为1，2，3 ，，， ∴X的分布列为： 【变式3-1】（24-25高二下·山东聊城·期中）在一次抽奖活动中，箱子里有9张不同的奖券，其中4张奖券对应有奖品，其余的无奖品． (1)从该箱子中依次不放回地抽取3张奖券，求第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券的概率； (2)从该箱子中随机抽取3张奖券，求抽到对应有奖品的奖券的数量X的分布列． 【答案】(1)；(2)分布列见解析 【解析】（1）记事件A为“第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券”， 则由题意得． （2）X的可能取值为0，1，2，3． ；； ；． 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【变式3-2】（25-26高二下·山东临沂·期中）将 3 个标号不同的红球和 2 个标号不同的白球排成一排. (1)求 2 个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记 为 2 个白球之间红球的个数，求 的分布列，期望. 【答案】(1)36种；(2)分布列见解析，1 【解析】（1）先从中间的 3 个空位中选出 2 个空位排 2 个白球， 再把 3 个红球全排放入剩下的 3 个空位，共 (种)， 所以 2 个白球均不排在两端的所有排法种数为36 . （2）由题意知 的所有可能取值为0，1，2，3， 则 ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以. 【变式3-3】（24-25高二下·重庆南岸·期中）2025年世界游泳锦标赛将在新加坡举办，游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．假设每次比赛结果相互独立． (1)甲、乙、丙进入决赛的概率分别是多少？ (2)如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为X，求X的分布列． 【答案】(1)，，；(2)；(3)分布列见解析 【解析】（1）甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为. （2）因为甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为， 则， 整理得，解得或， 因为，所以. （3）由（2）知，丙进入决赛的概率为， 所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为，，， 根据题意可得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 可得； ， ， 则， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 题型四 离散型随机变量分布列性质的应用 解｜题｜技｜巧 1、利用“总概率之和为1”可以求相关采纳数的取值范围或值，此时需注意． 2、利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． 【典例4】（25-26高二下·安徽蚌埠·期中）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，解得， 所以.故选：C. 【变式4-1】（24-25高二下·河北保定·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（    ） 0 1 2 3 0.12 0.16 A．0.16 B．0.09 C．0.59 D． 【答案】A 【解析】由表可得，所以， 满足，故.故选：A. 【变式4-2】（25-26高二下·山东济南·开学考试）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【答案】B 【解析】，解得； ，故选：B. 【变式4-3】（24-25高二下·北京平谷·期中）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（    ） A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【解析】由题可得，解得， 所以.故选：A. 题型五 离散型随机变量的均值、方差 解｜题｜技｜巧 求离散型随机变量的均值、方差的步骤 （1）理解X的意义，写出X可能取的全部值． （2）求X取每个值时的概率． （3）写出X的分布列． （4）由均值的定义求E(X)． （5）由方差的定义求D(X)． 【典例5】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 5 0.2 0.2 0.2 0.2 则的值为_______. 【答案】2 【解析】由分布列的性质可得，所以， 由表中的数据有： ， . 【变式5-1】（25-26高二下·福建·期中）已知随机变量满足，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】∵，同理， 由已知，∴， ∵，而， ∴，同理，且有， ∴，故． 【变式5-2】（25-26高二上·北京·期中）已知随机变量X的分布列如图：则________；________． X 0 1 2 P 0.4 p 0.4 【答案】 【解析】由，解得， ， ． 【变式5-3】（24-25高二下·重庆·期中）设，随机变量的分布列为 当随机变量的方差取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据期望公式可得： 根据方差公式 则对称轴， 所以当时，方差取得最小值故选：B. 题型六 均值与方差性质的应用 解｜题｜技｜巧 1、离散型随机变量的均值可以利用性质求解. 2、方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量的均值比较好计算的情况下，运用关系式不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用，如． 【典例6】（25-26高二下·浙江衢州·期中）（多选）设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B正确； 对于C、D项，因为，，， 所以，，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【变式6-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（    ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【解析】由题意可得：，解得， 则， 所以.故选：C. 【变式6-2】（24-25高二下·云南昭通·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，解得， 由，得，解得， 则，解得， 因此 ， 所以.故选：D 【变式6-3】（24-25高二下·安徽六安·月考）（多选）已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由，得，故A正确； 则故B正确； 因，故C正确； 因故D错误.故选：ABC. 题型七 均值与方差在决策中的应用 解｜题｜技｜巧 利用随机变量的数学均值与方差可以帮助我们做出科学的决策，其中随机变量X的数学均值的意义在于描述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况．品种的优劣、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关． 【典例7】（24-25高二上·贵州遵义·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【答案】(1)答案见解析；(2)①0.108；②打折更划算 【解析】（1）设某顾客参加一次抽奖获得返现金额，可能取值为20，30，50， 则，， 则的分布列如下表： 20 30 50 （2）①由题意刚好可以抽三次，分别为50元、30元、20元各一次， 则概率为0.108. ②若打九折，需支付金额为：（元）. 由（1）知每次抽中的均值为元，则抽取三次总的均值为：（元）. 因为，故打折更划算. 【变式7-1】（24-25高二下·安徽·月考）为了迎战下届奥运会，在甲、乙两名射手之间进行一次选拔赛.已知甲、乙两名射手在每次射击时击中的环数均大于6，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为5a，2a，2a，a，乙射中10，9，8环的概率分别为0.4，0.3，0.2.设ξ，η分别表示甲、乙每次击中的环数. (1)求ξ，η的分布列; (2)求ξ，η的均值，并以此比较甲、乙两人的射击技术. 【答案】(1)分布列见解析；(2)，甲的射击技术更好 【解析】（1）依据题意知，，解得. 因乙射中10，9，8环的概率分别为0.4，0.3，0.2， 故乙射中7环的概率为， 则ξ的分布列为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.2 0.2 0.1 η的分布列为 η 10 9 8 7 P 0.4 0.3 0.2 0.1 （2）结合（1）中ξ，η的分布列， 可得， ， 故，说明甲平均射中的环数比乙高， 故甲的射击技术更好. 【变式7-2】（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答道相关题目．根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有名选手.现从每个班级的名选手中随机抽取人回答这道题目.已知甲班的名选手中只有人可以正确回答这道题目，乙班的名选手能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每名学生题目的回答是否正确都是相互独立的. (1)设甲班被抽取的选手能正确回答的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 【答案】(1)分布列见解析，数学期望；(2)甲班代表更好 【解析】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、， 则，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故. （2）设乙班被抽取的选手能正确回答的人数为，则， 所以，， 由方差公式可得， 所以， 因此，派甲班代表更好. 【变式7-3】（24-25高二下·广东·月考）某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3． (1)买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率． (2)买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由． (3)买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由． 【答案】(1)0.7；(2)方案二更优惠，理由见解析；(3)应该选择900箱使用方案一，60箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠，理由见解析 【解析】（1）买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二， 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元; 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元; 若甲以每箱优惠的价格成交，则成交的金额为万元 故甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率为； （2）买方乙要在该厂购买400箱这种零件， 若乙选择方案一，则成交的金额为万元 若乙选择方案二，设成交的金额为万元，则， 所以买方乙按方案二在该厂购买400箱这种零件的成交金额的数学期望为 万元 因为，所以方案二更优惠； （3）设丙用方案一购买箱， 则丙用方案一需要支付的金额为元， 方案二需要支付的金额的期望为元， 所以丙购买的金额的期望为万元 因为为减函数，所以越大，越小， 故应该选择箱使用方案一，箱使用方案二，这样才能获得最多的优惠. 题型八 二项分布的概率、均值、方差计算 解｜题｜技｜巧 1、二项分布的简单应用是求n重伯努利试验中事件A恰好发生h次的概率． 解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→确定参数n,P→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率． 2、二项分布的有关问题中，求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和或者利用对立事件求概率． 3、若随机变量不服从二项分布，看能否找出与之相关联的，并且服从二项分布的另一个随机变量，进而 求解． 【典例8】（25-26高二下·湖南长沙·月考）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为随机变量，所以，解得，所以， 所以. 【变式8-1】（24-25高二下·河北承德·期中）若随机变量，则（    ） A．4.4 B．5.6 C．8 D．10.4 【答案】D 【解析】由得， 所以，故选：D. 【变式8-2】（24-25高二下·山东济南·期末）甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，合格项目的个数，则，， 由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分， 因此，， 则， 又，所以当时，取得最大值.故选：C 【变式8-3】（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）设随机变量，其中且，若，，则________________. 【答案】 【解析】因为，， 又因为，所以，解得. 因为随机变量，其期望，所以. 因为二项分布的方差，解得. 因为，将，代入可得 . 题型九 二项分布之概率最值问题 解｜题｜技｜巧 记，则当时，，pk递增；当时，，递减. 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值； 若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）. 【典例9】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（    ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 【答案】C 【解析】设投进次数为，则， 故，， 由，， 则，， 解得， 又，故或14， 该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为13或14 【变式9-1】（24-25高二下·海南海口·期中）（多选）某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．该同学投篮最有可能命中9次 【答案】AB 【解析】由二项分布的定义可知，，故A正确， 则，， 所以，故B正确， ，故C错误； 设该同学投篮最有可能命中次，则 ， 则，解得， 又，所以，故D错误；故选：AB. 【变式9-2】（24-25高二下·陕西咸阳·期中）某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是_________. 【答案】15或16 【解析】设命中目标的子弹数为X，则，有， 设最大，显然，都不是最大的，即有， 于是，即， ，整理得，解得， 所以击中目标的子弹数最可能是15或16． 【变式9-3】（24-25高二下·江苏南京·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量X的期望是__________；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 【答案】 或 【解析】（1）由题意可得，得1分的概率为，得3分的概率为， 因的可能取值为2，4，6， 则，，， 则随机变量的期望值． （2）记得1分的次数为，则得3分的次数为， 所得总分为， 拋掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则， 若取最大值，则，， 则，解得， 又，，则或， 当时，； 当时，． 故答案为：；或 题型十 二项分布模型的应用 解｜题｜技｜巧 1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． 3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列． 4、求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值． 相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【典例10】（24-25高二下·云南楚雄·月考）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望. 【答案】(1)；(2)分布列见解析， 【解析】（1）从一批产品中随机抽取件，抽到的零部件中正品数多于次品数， 则次品数为件或件， 所以所求概率为. （2）设抽取的零部件次品数为， 则， 所以可能的取值依次为，，， ， ， 所以的分布列为： 1 3 0.27 0.73 故. 【变式10-1】（25-26高二上·贵州遵义·期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获得这次比赛的胜利， (1)求田忌获胜的概率； (2)若某月齐王与田忌进行了这样的三次比赛，并且各次比赛结果互不影响，求田忌至少赢得两次比赛的概率. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）齐王与田忌各出上等马，中等马，下等马一匹，共进行三场比赛，基本事件有， 田忌获胜包含的基本事件只有一种可能，即： 田忌的下等马对阵齐王的上等马，田忌的中等马对阵齐王的下等马， 田忌的上等马对阵齐王的中等马， 田忌获胜的概率为； （2）由（1），每次田忌获胜概率为，所以三次比赛，田忌获胜次数服从， 所以田忌至少赢得两次比赛的概率 . 【变式10-2】（25-26高二下·辽宁大连·月考）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差； (2)设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列； 【答案】(1) 0 1 2 3 4 5 ， (2) 0 1 2 3 4 5 【解析】（1）由题意可知，可取，服从二项分布， 则，， ，， ，. 由此得X的分布列 0 1 2 3 4 5 所以， . （2）由于为这名学生在首次停车前经过的路口数， 显然是随机变量，可取， ，，， ，，， 由此得Y的分布列 0 1 2 3 4 5 【变式10-3】（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 【答案】(1)；(2)，， 0 1 2 3 (3)会得到推广，因为. 【解析】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则. （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， ， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则，满足推广条件，因此该系统会得到推广. 题型十一 超几何分布的概率、均值、方差计算 易｜错｜提｜醒 1、混淆超几何分布与二项分布的适用场景（超几何分布为无放回抽样，二项分布为有放回抽样或独立重复试验）． 2、计算组合数时出错，或忽略k的取值范围导致结果无效． 3、记忆方差公式时遗漏关键项，或与二项分布方差公式混淆． 【典例11】（24-25高二下·福建·期中）设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从袋中任取4个球，其中红球的个数X 服从参数为的超几何分布， 故有3个红球的概率为 故选： C. 【变式11-1】（25-26高二下·安徽蚌埠·期中）一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（    ）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大．故选：B. 【变式11-2】（2025高二上·湖北黄冈·专题练习）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设选到深度贫困村数为，则随机变量的可能取值有0、1、2、3， 则，，，， 所以．故选：B 【变式11-3】（24-25高二下·陕西咸阳·月考）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，的可能值有. 则，，. 则的分布列为： 可得 .故选：D 题型十二 超几何分布模型的应用 解｜题｜技｜巧 求超几何分布的步骤 第一步：验证随机变量服从超几何分布，并确定参数的值； 第二步：根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第三步：用表格的形式列出分布列． 【典例12】（24-25高二下·河北沧州·月考）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1)；(2)分布列见解析， 【解析】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ，. 故X的分布列为 0 1 2 故. 【变式12-1】（25-26高二下·广东·期中）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． 【答案】(1)分布列见解析；(2) 【解析】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为， 则的所有可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布， 所以， 所以，， ，， 的概率分布列为： 0 1 2 3 （2）他能过关的概率为 【变式12-2】（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 【答案】(1)；(2)分布列见解析 【解析】（1）记“抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目”为事件， （2）由题意，的可能取值为. 所以的分布列为 0 1 2 【变式12-3】（24-25高二下·陕西咸阳·期中）2017年5月，来自“一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内 个人口超过1000万的超大城市和 8 个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为 . (1)求的值； (2)若一次抽取3个城市，则： ①假设取出小城市的个数为，求的分布列； ②取出3个城市是同一类城市求全为超大城市的概率. 【答案】(1)；(2)分布列见解析； 【解析】（1）由题意一次抽取2个城市，全是小城市的概率为， ，则，得或（舍）， 故. （2）①由题知的可能取值为 ，， ，. 故的分布列为： ②取出个城市全为超大城市，共有种情况, 取出个城市全为小城市，共有种情况. 取出3个城市是同一类城市全为超大城市的概率为. 题型十三 利用正态分布的对称性求概率 解｜题｜技｜巧 （1）熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． （2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. ①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等； ②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)． 【典例13】（24-25高二下·河北·期中）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A．0.24 B．0.38 C．0.12 D．0.44 【答案】B 【解析】根据题意可得．故选：B. 【变式13-1】（24-25高二下·山西吕梁·期中）某班有48名学生，最近一次的市联考数学成绩，若的学生人数为36，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，而， 故， 故.故选：C 【变式13-2】（25-26高二上·黑龙江·期中）某校高二年级1000名学生参加体能测试，经统计分析，成绩近似服从正态分布，已知成绩低于70分的人数有100人，则成绩在的人数大约有（    ） A．800 B．600 C．400 D．200 【答案】A 【解析】由成绩，得， 由成绩分的人数有100人，得， 因此，则， 所以成绩在的人数大约有（人）．故选：A 【变式13-3】（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于，，故A错误； 对于，因为， 所以 ，故B错误； 对于C，显然， 所以， 所以，故C正确； 对于，因为， 所以，故D错误．故选：C． 题型十四 正态分布3σ原则 解｜题｜技｜巧 解题步骤 第一步，确定正态分布的参数μ（均值）和σ（标准差）； 第二步，判断所求事件对应的区间是否在μ±σ、μ±2σ或μ±3σ范围内； 第三步，直接套用对应区间的概率值，若所求区间为互补区间（如X<μ-3σ或X>μ+3σ），则用1减去对应3σ区间的概率． 【典例14】（25-26高二下·云南昆明·期中）某工厂生产的零件尺寸服从正态分布，质检员随机抽取100个零件，尺寸在内的零件个数约为（   ）（参考数据：） A．68 B．75 C．82 D．95 【答案】A 【解析】∵，即， ∴， ∵质检员随机抽取100个零件， ∴尺寸在内的零件个数约为：个，故选：A 【变式14-1】（24-25高二下·辽宁大连·期中）对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量的次数为（    ） （若，则）． A．10 B．25 C．50 D．100 【答案】C 【解析】由题意，即，，解得.故选：C 【变式14-2】（24-25高二下·浙江·期中）某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩低于70分为不合格，依此估计不合格的学生人数约为（    ） 附：若，则，. A．23 B．46 C．159 D．317 【答案】A 【解析】，故， 又， 故，， 所以估计不合格的学生人数约为23人.故选：A 【变式14-3】（24-25高二下·浙江台州·期中）无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离（千米）服从正态分布，记，，当变小时，则（    ） A．变大 B．变小 C．不变 D．变小 【答案】C 【解析】随机变量服从正态分布，则， ， 当时， ， ， 当变小时，与的值不变，则、都不变，故选：C. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·湖北·期中）某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是， 其中高一、高二、高三年级人数比为， 根据全概率公式可得：全校“优秀率” .故选：C. 2．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，解得， 所以.故选：A 3．（24-25高二下·河南商丘·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.7 B．0.75 C．0.3 D．0.25 【答案】B 【解析】由题意有：解得.故选：B. 4．（24-25高二下·青海西宁·期中）袋中有个大小相同的球，其中记上号的有个，记上号的有个.现从袋中任取一球，表示所取球的标号. (1)求的分布列、均值； (2)若，，求的值. 【答案】(1)分布列见解析，；(2) 【解析】（1）由题意可知袋中号的有，记上号的有个， 由古典概型可知，，， ，； 的分布列为 的均值. （2）， 又因为，则，所以. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（    ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 【答案】B 【解析】盒中有10个玩具，其中3个坏的，7个好的.抽取4个玩具，计算各选项概率如下： 选项A（恰有1个坏的）：； 选项B（4个全是好的）：； 选项C（恰有2个坏的）：； 选项D（至多2个坏的）：； 综上，只有选项B的概率为，故选：B. 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动．每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）．若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有________个学生选择前往北京或上海研学的概率最大． 【答案】 【解析】设有个学生选择前往北京或上海研学， 由题意可得每个学生选择前往北京或上海研学的概率，则， 设有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大， 则， 即， 即， 解得， 又，所以， 所以有个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. 故答案为：. 3．（24-25高二下·山东·期中）在数学探究实验课上，小明设计了如下实验:在一个盒子中装有蓝球、红球、黑球等多种不同颜色的小球，一共有偶数个小球，现在从盒子中一次摸一个球，不放回. (1)若盒子中有6个球，从中任意摸两次，摸出的两个球中恰好有一个红球的概率为. ①求红球的个数； ②从盒子中任意摸两次球，记摸出的红球个数为，求随机变量的分布列和数学期望. (2)已知盒子中有一半是红球，若“从盒子中任意摸两次球，至少有一个红球”的概率不大于，求盒子中球的总个数的最小值. (3)在（2）的条件下，盒中球的总数为x，若“从盒子中任意摸两次球，恰有两个红球”奖励4x元，若“从盒子中任意摸两次球，恰有一个红球”奖励元，若“从盒子中任意摸两次球，没有红球”不奖励，求发放奖金期望最小时盒子中球的总个数. 【答案】(1)①3；②分布列见解析，1；(2)8；(3)10. 【解析】（1）①设红球的个数为， 则摸出的两个球中恰好有一个红球的概率，解得， 所以红球的个数为3； ②的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 故随机变量的分布列为 0 1 2 所以； （2）设球的总个数为，则红球的个数为， 则从盒子中任意摸两次球，都不是红球的概率:， 至少有一个红球的概率，得， 所以盒子中球的总个数的最小值为8. （3）， 当且仅当时取等号，此时. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误，故选：BC． 2．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 【答案】 【解析】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：； 3．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1)；(2)，；(3) 【解析】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 随机变量及其分布（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01条件概率的计算 题型02全概率公式与贝叶斯公式应用 题型03离散型随机变量的分布列 题型04离散型随机变量分布列性质的应用 题型05离散型随机变量的均值、方差 题型06均值与方差性质的应用 题型07均值与方差在决策中的应用 题型08二项分布的概率、均值、方差计算 题型09二项分布之概率最值问题 题型10二项分布模型的应用 题型11超几何分布的概率、均值、方差计算 题型12超几何分布模型的应用 题型13利用正态分布的对称性求概率 题型14正态分布3σ原则 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 条件概率与全概率公式 1、理解条件概率的定义，熟记条件概率计算公式，能准确计算简单的条件概率； 2、掌握全概率公式的推导思路和适用场景，能运用全概率公式解决实际问题； 3、理解贝叶斯公式的含义，能结合条件概率、全概率公式简单应用贝叶斯公式 基础核心考点，多以选择题、填空题形式考查，偶尔融入解答题，难度中等； 易错点：混淆条件概率与普通概率，误用全概率公式（忽略样本空间的划分），计算时取值失误； 命题趋势：结合古典概型、抽样场景命题，侧重公式应用和逻辑推理，是期中基础考查重点 离散型随机变量及其分布列 1、理解随机变量、离散型随机变量的定义，能判断给定变量是否为离散型随机变量； 2、能写出离散型随机变量的所有可能取值及对应试验结果； 3、牢记离散型随机变量分布列的定义和核心性质，能列出分布列并检验其合理性 基础必考点，选择、填空题为主，偶尔结合解答题考查，难度偏低； 易错点：混淆随机变量与普通变量，分布列书写不规范、遗漏概率之和检验； 命题趋势：结合教材例题场景命题，侧重概念辨析和基础应用 离散型随机变量的数字特征 1、熟记离散型随机变量期望、方差（标准差）的定义和计算公式，能准确代入分布列数据计算； 2、掌握期望、方差的基本性质，能运用性质简化计算； 3、理解期望、方差的实际意义，能分析随机变量的平均水平和稳定性 重难点考点，解答题为主、小题为辅，难度中等偏上； 易错点：方差公式记忆错误，代入数据符号失误，忽视数字特征的实际含义； 命题趋势：常与分布列结合命题，侧重计算能力和应用能力考查 二项分布与超几何分布 1、掌握二项分布、超几何分布的定义和适用场景，能准确判断分布类型； 2、熟记两种分布的期望和方差公式，能直接运用公式计算； 3、能结合两种分布的特征，求解相关概率和数字特征 高频核心考点，选择、填空、解答题均有涉及，难度中等； 易错点：混淆两种分布的适用场景（有无放回抽样），忘记分布前提条件； 命题趋势：结合抽样、独立重复试验场景命题，是期中考查的核心模块 正态分布 1、理解正态分布的定义、正态曲线的特征及参数μ、σ的几何意义； 2、掌握正态分布的性质，能利用正态曲线的对称性求解概率； 3、了解3σ原则，能结合3σ原则解决简单的实际问题 基础考点，多以选择题、填空题形式考查，难度中等； 易错点：混淆参数μ、σ的意义，不会利用正态曲线对称性求概率，忽视3σ原则的应用； 命题趋势：侧重正态曲线特征和概率计算，多结合简单实际场景命题 随机变量及其分布的综合应用 1、整合全章知识，能结合条件概率、分布列、数字特征、常见分布及正态分布解决综合性问题； 2、能根据实际情境构建合适的随机变量，分析其分布特征并求解相关问题； 3、能利用数字特征、正态分布进行简单的决策与评价 压轴考点，多以解答题压轴形式出现，难度较大； 易错点：知识整合混乱，误用分布类型和公式，综合计算失误； 命题趋势：融合全章核心知识点，结合实际场景命题，侧重综合应用和逻辑推理能力考查 知识点01 条件概率与全概率公式 1、条件概率公式 （1）条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. （2）乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则. （3）条件概率的性质：设，则 ①； ②如果B和C是两个互斥事件，则； ③设B和B互为对立事件，则 2、全概率公式 （1）全概率公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有. （2）贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件，，有，． 知识点02 离散型随机变量及其分布列 1、随机变量与离散型随机变量 （1）随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． （2）离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量；通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z． ·易错：离散型随机变量的特征：①可以用数值表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；③试验结果能一一列出． 2、离散型随机变量的分布列 （1）定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个的概率，为X的概率分布列，简称分布列． 离散型随机变量的分布列可以用表格表示： X … P … （2）离散型随机变量分布列的意义和作用 ①离散随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础． ②离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和． （3）离散型随机变量的分布列的性质 ①； ② 3、0-1分布 （1）定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”， 定义如果，则，那么X的分布列如表所示． X 0 1 我们称X服从两点分布或0－1分布． ·易错：随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． （2）两点分布的适用范围 ①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律． ②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律． 知识点03 离散型随机变量的数字特征 1、离散型随机变量的均值 （1）定义：一般地，若离散型随机变量的分布列如下表所示， …… …… 则称为随机变量的均值或数学期望，简称期望． （2）意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，刻画的是取值的“中心位置”，反映或刻画了随机变量取值的平均水平．由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位． （3）两点分布的均值：一般地，如果随机变量服从两点分布，那么（为成功概率）． （4）离散型随机变量均值的性质：如果是一个离散型随机变量，（其中为常数）也是随机变量，则． 2、离散型随机变量的方差 （1）定义：如果离散型随机变量的分布列如表所示， …… …… 则称为随机变量的方差，有时也记为，并称为标准差，记为． 在方差计算中，利用结论经常可以使计划简化． （2）意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． （3）性质：，（C为常数）． ·易错：对方差、标准差概念的几点说明 ①随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的； ②随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的的取值的稳定与波动、集中与分散程度； ③越小，随机变量的取值就越稳定，波动就越小； ④标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 知识点04 二项分布与超几何分布 1、n重伯努利试验 （1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验； （2）n重伯努利试验定义：将一个伯努利实验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利实验； （3）特征：①同一个伯努利实验重复做n次；②各次试验的结果相互独立． 2、二项分布 （1）二项分布的概念：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～，且有，． 注：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是与． （2）确定一个二项分布模型的步骤 ①明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； ②确定重复试验的次数，并判断各次试验的独立性； ③设的次独立重复试验中事件发生的次数，则． （3）二项分布的增减性与最大值 记，则当时，，pk递增；当时，，递减． 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值． 若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）． 3、超几何分布 （1）定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，,,,,．其中n，N，，，，，． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． （2）超几何分布的均值：． 知识点05 正态分布 1、正态曲线 （1）定义：我们称，x∈R，其中μ∈R，σ>0时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． （2）正态曲线的特点： ①非负性：对∀x∈R，，它的图象在x轴的上方． ②定值性：曲线与x轴之间的面积为1. ③对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． ④最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. ⑤当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． ⑥当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. ⑦当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 2、正态分布 （1）正态分布的定义：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． （2）正态分布的期望与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. （3）正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积． （4）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 3、正态分布的应用（3σ原则） 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 题型一 条件概率的计算 解｜题｜技｜巧 （1）利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得，这是求条件概率的通法． （2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得. 【典例1】（25-26高二下·江苏连云港·期中）对于事件A，B，，，，则____ 【变式1-1】（25-26高二下·四川德阳·月考）假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二下·福建泉州·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二下·浙江·期中）甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（    ） A． B． C． D． 题型二 全概率公式与贝叶斯公式应用 解｜题｜技｜巧 1、全概率公式在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑． 2、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 3、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公式之间的关系，即． 【典例2】（24-25高二下·湖南株洲·期中）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二下·江西赣州·期中）一盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取出产品，每次1件，取两次．已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·吉林四平·月考）某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为0.04，当火灾发生时系统正确发出警报的概率为0.95，当火灾没有发生时，系统错误发出警报的概率为0.02． (1)求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率； (2)若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率（精确到0.01）． 【变式2-3】（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 题型三 离散型随机变量的分布列 解｜题｜技｜巧 求离散型随机变量的分布列的步骤 第一步：明确随机变量的所有可能取值及取每个值所对应的事件； 第二步：利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率； 第三步：列出分布列． 【典例3】（24-25高二下·广东东莞·期中）在我校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A，B，C三首不同曲目中任选一首. (1)求甲、乙两班选择不同曲目的概率； (2)设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列. 【变式3-1】（24-25高二下·山东聊城·期中）在一次抽奖活动中，箱子里有9张不同的奖券，其中4张奖券对应有奖品，其余的无奖品． (1)从该箱子中依次不放回地抽取3张奖券，求第3次抽取才抽到对应有奖品的奖券的概率； (2)从该箱子中随机抽取3张奖券，求抽到对应有奖品的奖券的数量X的分布列． 【变式3-2】（25-26高二下·山东临沂·期中）将 3 个标号不同的红球和 2 个标号不同的白球排成一排. (1)求 2 个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记 为 2 个白球之间红球的个数，求 的分布列，期望. 【变式3-3】（24-25高二下·重庆南岸·期中）2025年世界游泳锦标赛将在新加坡举办，游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．假设每次比赛结果相互独立． (1)甲、乙、丙进入决赛的概率分别是多少？ (2)如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为X，求X的分布列． 题型四 离散型随机变量分布列性质的应用 解｜题｜技｜巧 1、利用“总概率之和为1”可以求相关采纳数的取值范围或值，此时需注意． 2、利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． 【典例4】（25-26高二下·安徽蚌埠·期中）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·河北保定·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（    ） 0 1 2 3 0.12 0.16 A．0.16 B．0.09 C．0.59 D． 【变式4-2】（25-26高二下·山东济南·开学考试）若随机变量的分布如下表： 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则的值为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 【变式4-3】（24-25高二下·北京平谷·期中）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（    ） A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4 题型五 离散型随机变量的均值、方差 解｜题｜技｜巧 求离散型随机变量的均值、方差的步骤 （1）理解X的意义，写出X可能取的全部值． （2）求X取每个值时的概率． （3）写出X的分布列． （4）由均值的定义求E(X)． （5）由方差的定义求D(X)． 【典例5】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知离散型随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 5 0.2 0.2 0.2 0.2 则的值为_______. 【变式5-1】（25-26高二下·福建·期中）已知随机变量满足，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】（25-26高二上·北京·期中）已知随机变量X的分布列如图：则________；________． X 0 1 2 P 0.4 p 0.4 【变式5-3】（24-25高二下·重庆·期中）设，随机变量的分布列为 当随机变量的方差取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 题型六 均值与方差性质的应用 解｜题｜技｜巧 1、离散型随机变量的均值可以利用性质求解. 2、方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量的均值比较好计算的情况下，运用关系式不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用，如． 【典例6】（25-26高二下·浙江衢州·期中）（多选）设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（    ） A． B．7 C．21 D．22 【变式6-2】（24-25高二下·云南昭通·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（    ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二下·安徽六安·月考）（多选）已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七 均值与方差在决策中的应用 解｜题｜技｜巧 利用随机变量的数学均值与方差可以帮助我们做出科学的决策，其中随机变量X的数学均值的意义在于描述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况．品种的优劣、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关． 【典例7】（24-25高二上·贵州遵义·期末）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置3个红球和2个白球，每次抽取2个球.若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元. (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量.求的分布列与数学期望； (2)顾客消费了1000元： ①顾客获得返现金额为100元的概率是多少？ ②若该商场同时还推出购物享九折优惠活动（减免总金额的），则顾客应选择哪种方案更优惠？（备注：不能同时参加抽奖和打折活动） 【变式7-1】（24-25高二下·安徽·月考）为了迎战下届奥运会，在甲、乙两名射手之间进行一次选拔赛.已知甲、乙两名射手在每次射击时击中的环数均大于6，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为5a，2a，2a，a，乙射中10，9，8环的概率分别为0.4，0.3，0.2.设ξ，η分别表示甲、乙每次击中的环数. (1)求ξ，η的分布列; (2)求ξ，η的均值，并以此比较甲、乙两人的射击技术. 【变式7-2】（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答道相关题目．根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有名选手.现从每个班级的名选手中随机抽取人回答这道题目.已知甲班的名选手中只有人可以正确回答这道题目，乙班的名选手能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每名学生题目的回答是否正确都是相互独立的. (1)设甲班被抽取的选手能正确回答的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好. 【变式7-3】（24-25高二下·广东·月考）某零件厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于200箱按原价销售，不低于200箱有两种优惠方案．方案一：以200箱为基准，每多100箱免12箱的金额．方案二：通过双方议价，买方能以每箱优惠的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠的价格成交的概率为0.3． (1)买方甲要在该厂购买200箱这种零件，并选择方案二，求甲以低于万元的金额购买这200箱零件的概率． (2)买方乙要在该厂购买400箱这种零件，以购买总价的数学期望为决策依据，试问乙选择哪种优惠方案更划算？请说明你的理由． (3)买方丙要在该厂购买960箱这种零件，由于购买的箱数超过500，该厂的销售部让丙综合使用这两种方案作为第三种方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的正整数倍），另一部分使用方案二（箱数不限），试问丙应该如何使用方案三，才能获得最多的优惠？说明你的理由． 题型八 二项分布的概率、均值、方差计算 解｜题｜技｜巧 1、二项分布的简单应用是求n重伯努利试验中事件A恰好发生h次的概率． 解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→确定参数n,P→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率． 2、二项分布的有关问题中，求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和或者利用对立事件求概率． 3、若随机变量不服从二项分布，看能否找出与之相关联的，并且服从二项分布的另一个随机变量，进而 求解． 【典例8】（25-26高二下·湖南长沙·月考）设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二下·河北承德·期中）若随机变量，则（    ） A．4.4 B．5.6 C．8 D．10.4 【变式8-2】（24-25高二下·山东济南·期末）甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）设随机变量，其中且，若，，则________________. 题型九 二项分布之概率最值问题 解｜题｜技｜巧 记，则当时，，pk递增；当时，，递减. 故最大值在时取得（此时，两项均为最大值； 若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）. 【典例9】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（    ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 【变式9-1】（24-25高二下·海南海口·期中）（多选）某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．该同学投篮最有可能命中9次 【变式9-2】（24-25高二下·陕西咸阳·期中）某人射击一发子弹，命中目标的概率为0.8，现在他射击19发子弹，则击中目标的子弹数最可能是_________. 【变式9-3】（24-25高二下·江苏南京·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量X的期望是__________；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 题型十 二项分布模型的应用 解｜题｜技｜巧 1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数． 2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率． 3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列． 4、求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值． 相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【典例10】（24-25高二下·云南楚雄·月考）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望. 【变式10-1】（25-26高二上·贵州遵义·期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获得这次比赛的胜利， (1)求田忌获胜的概率； (2)若某月齐王与田忌进行了这样的三次比赛，并且各次比赛结果互不影响，求田忌至少赢得两次比赛的概率. 【变式10-2】（25-26高二下·辽宁大连·月考）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差； (2)设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列； 【变式10-3】（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由， 题型十一 超几何分布的概率、均值、方差计算 易｜错｜提｜醒 1、混淆超几何分布与二项分布的适用场景（超几何分布为无放回抽样，二项分布为有放回抽样或独立重复试验）． 2、计算组合数时出错，或忽略k的取值范围导致结果无效． 3、记忆方差公式时遗漏关键项，或与二项分布方差公式混淆． 【典例11】（24-25高二下·福建·期中）设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中有且只有3个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高二下·安徽蚌埠·期中）一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（    ）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式11-2】（2025高二上·湖北黄冈·专题练习）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，用表示这3个村庄中深度贫困村数，则X的数学期望（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高二下·陕西咸阳·月考）一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台.如果从中随机挑选台，设这台电脑中品牌的台数为，则（    ） A． B． C． D． 题型十二 超几何分布模型的应用 解｜题｜技｜巧 求超几何分布的步骤 第一步：验证随机变量服从超几何分布，并确定参数的值； 第二步：根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第三步：用表格的形式列出分布列． 【典例12】（24-25高二下·河北沧州·月考）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【变式12-1】（25-26高二下·广东·期中）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． 【变式12-2】（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 【变式12-3】（24-25高二下·陕西咸阳·期中）2017年5月，来自“一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内 个人口超过1000万的超大城市和 8 个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为 . (1)求的值； (2)若一次抽取3个城市，则： ①假设取出小城市的个数为，求的分布列； ②取出3个城市是同一类城市求全为超大城市的概率. 题型十三 利用正态分布的对称性求概率 解｜题｜技｜巧 （1）熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． （2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. ①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等； ②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)． 【典例13】（24-25高二下·河北·期中）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A．0.24 B．0.38 C．0.12 D．0.44 【变式13-1】（24-25高二下·山西吕梁·期中）某班有48名学生，最近一次的市联考数学成绩，若的学生人数为36，则（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26高二上·黑龙江·期中）某校高二年级1000名学生参加体能测试，经统计分析，成绩近似服从正态分布，已知成绩低于70分的人数有100人，则成绩在的人数大约有（    ） A．800 B．600 C．400 D．200 【变式13-3】（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 题型十四 正态分布3σ原则 解｜题｜技｜巧 解题步骤 第一步，确定正态分布的参数μ（均值）和σ（标准差）； 第二步，判断所求事件对应的区间是否在μ±σ、μ±2σ或μ±3σ范围内； 第三步，直接套用对应区间的概率值，若所求区间为互补区间（如X<μ-3σ或X>μ+3σ），则用1减去对应3σ区间的概率． 【典例14】（25-26高二下·云南昆明·期中）某工厂生产的零件尺寸服从正态分布，质检员随机抽取100个零件，尺寸在内的零件个数约为（   ）（参考数据：） A．68 B．75 C．82 D．95 【变式14-1】（24-25高二下·辽宁大连·期中）对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量的次数为（    ） （若，则）． A．10 B．25 C．50 D．100 【变式14-2】（24-25高二下·浙江·期中）某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩低于70分为不合格，依此估计不合格的学生人数约为（    ） 附：若，则，. A．23 B．46 C．159 D．317 【变式14-3】（24-25高二下·浙江台州·期中）无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离（千米）服从正态分布，记，，当变小时，则（    ） A．变大 B．变小 C．不变 D．变小 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·湖北·期中）某学校为弘扬中华民族传统文化，举行了全校学生全员参加的“诗词比赛”.满分分，得分分及以上为“优秀”.比赛的结果是：高一年级优秀率约是，高二年级优秀率约是，高三年级优秀率约是.其中高一、高二、高三年级人数比为，那么全校“优秀率”约是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南商丘·期中）设随机变量服从两点分布，若，则（    ） A．0.7 B．0.75 C．0.3 D．0.25 4．（24-25高二下·青海西宁·期中）袋中有个大小相同的球，其中记上号的有个，记上号的有个.现从袋中任取一球，表示所取球的标号. (1)求的分布列、均值； (2)若，，求的值. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（    ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 2．（24-25高二下·江苏南京·期中）某学校在假期组织30位学生前往北京、上海、广州、深圳、杭州、苏州、成都、重庆8个城市参加研学活动．每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）．若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有________个学生选择前往北京或上海研学的概率最大． 3．（24-25高二下·山东·期中）在数学探究实验课上，小明设计了如下实验:在一个盒子中装有蓝球、红球、黑球等多种不同颜色的小球，一共有偶数个小球，现在从盒子中一次摸一个球，不放回. (1)若盒子中有6个球，从中任意摸两次，摸出的两个球中恰好有一个红球的概率为. ①求红球的个数； ②从盒子中任意摸两次球，记摸出的红球个数为，求随机变量的分布列和数学期望. (2)已知盒子中有一半是红球，若“从盒子中任意摸两次球，至少有一个红球”的概率不大于，求盒子中球的总个数的最小值. (3)在（2）的条件下，盒中球的总数为x，若“从盒子中任意摸两次球，恰有两个红球”奖励4x元，若“从盒子中任意摸两次球，恰有一个红球”奖励元，若“从盒子中任意摸两次球，没有红球”不奖励，求发放奖金期望最小时盒子中球的总个数. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______ 3．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $