第六单元 长方体和正方体（举一反三培优讲义+知识卡片）知识梳理+18个考点讲练+真题演练+难度分层练 共61题-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

该小学数学讲义通过思维导图、知识梳理表格系统构建长方体和正方体知识体系，涵盖18个考点，从展开图、表面积到体积、容积，清晰呈现空间形式与数量关系的内在联系，突出几何直观与空间观念培养。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，18个考点讲练含典例与变式，如排水法求不规则物体体积，培养推理意识与应用能力，真题演练与难度分层题满足不同学生需求，助力教师精准教学与学生自主提升。

2025-2026学年苏教版数学五年级下册重点难点培优讲练【举一反三】 第六单元 长方体和正方体『举一反三培优考点讲义』 【解析版】 （导图+知识梳理+18个考点讲练+真题演练+难度分层练 共61题） 模块一 讲义简介 内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 考点 考点名称 考点 考点名称 考点一 长方体的展开图 考点十 正方体的体积 考点二 正方体的展开图 考点十一 体积的等积变形（长方体、正方体） 考点三 长方体表面积的计算 考点十二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 考点四 长方体表面积的应用 考点十三 组合体的体积（长方体、正方体) 考点五 正方体表面积的计算 考点十四 长方体、正方体的容积 考点六 正方体表面积的应用 考点十五 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 考点七 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 考点十六 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 考点八 组合体的表面积（长方体、正方体） 考点十七 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 考点九 长方体的体积 考点十八 体积与容积单位间的进率及换算 模块二 导图指引 梳理脉络 模块三 知识精讲 单元小结 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 模块四 考点讲练 培优提升 高频考点一 长方体的展开图 【典例精讲】（2025·上海闵行·小升初真题）学校的科创教室，像一座未来科技的魔法学院，有机器人、3D打印机、编程电脑和各种实验器材。在这里，你可以动手搭建、编程、实验，把天马行空的想象变成触手可及的现实。小丁丁就用3D打印了一堆正方体积木块叠放在一起，每个正方体积木的棱长都是2厘米，如果从三个不同方位看到的图形形状如下。 (1)这一堆正方体积木共有( )个，表面积是( )平方厘米； (2)小丁丁准备制作收纳盒来装这些积木，下图是一种带有正方形的长方体收纳盒展开图，小丁丁在制作时发现存在多余的面，你觉得多余的面是( )面（填字母）。如果图中长方形A的长是14厘米，宽是7厘米，那么修正后制作的这个收纳盒最多可以装正方体积木( )个（盖严盖子）。 【答案】(1) 6 88 (2) B 63 【思路引导】（1）根据从上面看到的图形可知，这个几何体第一层有4个小正方体；从前面和左面看，这个几何体有2层，上层有2个小正方体，一共有4＋2个小正方体组成。 表面积为上下两部分计算，下面一共有14个正方形面露在外面，上层有8个正方形面积露在外面，一共有14＋8＝22（个）小正方形面；根据正方形面积＝边长×边长，求出一个小正方形面积，进而求出几何体的表面积。 （2）根据长方体特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同，据此找出多余的面；根据图可知，长方体的宽和高相等；用长方体的长、宽、高分别除以正方体的边长， 求出长、宽、高各能放几个正方体，再把它们相乘，即可解答。 【规范解答】（1）4＋2＝6（个） 14＋8＝22（个） （2×2）×22 ＝4×22 ＝88（平方厘米） 这一堆正方体积木共有6个，表面积是88平方厘米。 （2）根据长方体特征可知，B面多余。 14÷2＝7（个） 7÷2＝3（个）……1（厘米） 7÷2＝3（个）……1（厘米） 7×3×3 ＝21×3 ＝63（个） 小丁丁准备制作收纳盒来装这些积木，下图是一种带有正方形的长方体收纳盒展开图，小丁丁在制作时发现存在多余的面，你觉得多余的面是B面。如果图中长方形A的长是14厘米，宽是7厘米，那么修正后制作的这个收纳盒最多可以装正方体积木63个。 【变式训练】（2025·辽宁鞍山·小升初真题）如图，把一张正方形铁皮沿虚线折叠，围成一个长方体的侧面，给这个长方体配一个底面，这个长方体的容积是多少毫升？ 【答案】864毫升 【思路引导】根据题意，把一张正方形铁皮围成一个长方体的侧面，那么这个长方体的底面周长和高都等于正方形的边长24厘米；长方体的底面周长是正方形，根据正方形的边长＝周长÷4，求出长方体的底面边长，即长方体的长、宽；根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，以及进率“1立方厘米＝1毫升”，求出它的容积。 【规范解答】长方体的长、宽：24÷4＝6（厘米） 长方体的容积： 6×6×24 ＝36×24 ＝864（立方厘米） 864立方厘米＝864毫升 答：这个长方体的容积是864毫升。 高频考点二 正方体的展开图 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏扬州·期末）如图，一个正方体数字积木按照右图的箭头方向（前、右、前）转动，已知相对面上的两个数的和是8，当正方体积木转动到第二格时，积木朝上的面上的数是（    ）。 A．7 B．5 C．6 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】已知正方体相对面上的两个数的和是8，那么1的对面是8−1＝7，2的对面8−2＝6，3的对面是8−3＝5。然后按照转动方向，找到积木朝上的面上的数是几，据此解答。 【规范解答】由分析得出： 8−1＝7，1的对面是7； 8−2＝6，2的对面是6； 8−3＝5，3的对面是5； 当转动到第一格（前）时，原来的前面1变成底面，那么上面就是1的对面7；再转动到第二格（右）时，原来的右面3变成底面，此时上面就是3的对面5。 故答案为：B 【变式训练】（25-26三年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下面是一个正方体盒子的展开图，将它再次折成正方体盒子后，与“国”字相对的字是（    ）。 A．现 B．实 C．梦 D．我 【答案】A 【思路引导】正方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个相对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的相对面，据此解答。 【规范解答】根据正方体的展开图的特征可得：“中”和“我”相对，“国”和“现”相对，“梦”和“实”相对，所以与“国”字相对的是“现”。 故答案为：A 高频考点三 长方体表面积的计算 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏苏州·期末）一个长方体，如果宽增加2厘米就成了正方体，表面积就增加了72平方厘米，原来长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 414 567 【思路引导】根据题意，一个长方体的宽增加2厘米就成了正方体，说明原来长方体的长和高相等。所以增加的面积是4个完全相同的长方形面积之和。用增加的面积除以4算出一个长方形的面积，再除以2即可算出原来长方体的长或高。用长减去2可以算出原来长方体的宽。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高计算即可。 【规范解答】72÷4÷2＝9（厘米） 9－2＝7（厘米） 表面积：（9×7＋9×9＋7×9）×2 ＝（63＋81＋63）×2 ＝207×2 ＝414（平方厘米） 体积：9×7×9＝567（立方厘米） 【变式训练】（25-26六年级上·江苏盐城·期末）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高4分米。 (1)做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ (2)在鱼缸里注入60升水，水深多少分米？（玻璃厚度忽略不计） (3)再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.4分米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 【答案】(1)144平方分米 (2)1.5分米 (3)16立方分米 【思路引导】（1）所需的玻璃面积就是长方体五个面的面积，即一个底面和四个侧面。计算公式为：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2； （2）1升＝1立方分米，60升＝60立方分米。根据长方体的容积＝长×宽×高，水的体积除以鱼缸的长与宽的积即可求出水深； （3）鹅卵石的体积相当于上升的水的体积，水的体积是长为8分米，宽为5分米，高为0.4分米的长方体体积，长方体体积＝长×宽×高。 【规范解答】（1）8×5＋（8×4＋5×4）×2 ＝8×5＋（32＋20）×2 ＝8×5＋52×2 ＝40＋104 ＝144（平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要玻璃144平方分米. （2）60升＝60立方分米 60÷（8×5） ＝60÷40 ＝1.5（分米） 答：水深1.5分米。 （3）8×5×0.4 ＝40×0.4 ＝16（立方分米） 答：鹅卵石的体积一共是16立方分米。 高频考点四 长方体表面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏扬州·期末）欢欢家进行装潢，需要粉刷家里所有的屋顶和墙壁。她量出自己卧室长4.5米，宽4米，高3米，算出卧室里门窗和衣柜的面积一共有12.3平方米，那她卧室粉刷的面积有多少平方米？ 【答案】56.7平方米 【思路引导】卧室粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗和衣柜的面积。 【规范解答】4.5×4＋4.5×3×2＋4×3×2－12.3 ＝18＋27＋24－12.3 ＝56.7（平方米） 答：她卧室粉刷的面积有56.7平方米。 【变式训练】（25-26六年级上·江苏泰州·期末）如图，一个长方体鱼缸前面的玻璃被打碎了。修理时至少需要新换( )平方分米玻璃。（玻璃的厚度忽略不计） 【答案】31.5 【思路引导】修理时只需要更换前面的玻璃，即长为7分米，高为4.5分米的面，根据长方形面积＝长×宽，代入计算即可。 【规范解答】7×4.5＝31.5（平方分米） 高频考点五 正方体表面积的计算 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏徐州·期末）用一根铁丝刚好围成一个长9分米、宽7分米、高8分米的长方体灯箱框架，如果把它改围成一个正方体框架（接头处忽略不计且铁丝没有剩余），那么这个正方体的棱长是( )分米，表面积是( )平方分米。 【答案】 8 384 【思路引导】铁丝的总长度是不变的，也就是长方体的棱长总和与正方体的棱长总和相等。 先计算长方体的棱长总和，长方体有4组“长、宽、高”，所以棱长总和：（长＋宽＋高）×4，因为正方体有12条长度相等的棱，所以棱长＝总长度÷12，再根据正方体的表面积公式计算出正方体的表面积。 【规范解答】（9＋7＋8）×4 ＝（16＋8）×4 ＝24×4 ＝96（分米） 棱长：96÷12＝8（分米） ＝＝＝384（平方分米） 所以，这个正方体的棱长是8分米，表面积是384平方分米。 【考点剖析】抓住铁丝总长度不变的特点，完成两种立体图形棱长的转换。 【变式训练】（25-26六年级上·江苏苏州·期中）如图中（每个小正方体的棱长是1厘米），一共有( )个小正方体，这个物体的表面积（含底面）是( )平方厘米；如果添几个完全相同的正方体，把这个物体补成大正方体，这个正方体表面积至少是( )平方厘米。 【答案】 13 40 54 【思路引导】①根据图示，该立体图形前后共有3排，第3排有3层，第一、二两层各3个小正方体，第三层1个小正方体，所以第3排共7个小正方体；第二排有2层，第1层有3个小正方体，第2层有2个小正方体，所以第2排共有5个小正方体；第1排有1层1个小正方体；所以总共有7＋5＋1＝13（个）小正方体； ②先根据“正方形的面积＝边长×边长”用1乘1计算出小正方体每个面的面积是1平方厘米；根据图示，从前面和后面两个面都可以看到7个小正方形的面，从左面和右面两个面都可以看到6个小正方形的面，从上面和下面两个面都可以看到7个小正方形的面，所以这个立体图形的表面积是（7×1＋6×1＋7×1）×2平方厘米； ③根据图示可知，要将这个立体图形补成大正方体且表面积最小，大正方体的棱长应为3厘米，根据“正方体的表面积＝ 棱长×棱长×6”代入数值计算即可。 【规范解答】根据分析： 该立体图形前后共有3排，从后往前每排的数量分别是7个、5个、1个，共有小正方体： 7＋5＋1 ＝12＋1 ＝13（个） 表面积为： 1×1＝1（平方厘米） （7×1＋6×1＋7×1）×2 ＝（7＋6＋7） ＝（13＋7）×2 ＝20×2 ＝40（平方厘米） 3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 图中（每个小正方体的棱长是1厘米），一共有13个小正方体，这个物体的表面积（含底面）是40平方厘米；如果添几个完全相同的正方体，把这个物体补成大正方体，这个正方体表面积至少是54平方厘米。 高频考点六 正方体表面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏连云港·期末）一个正方体，如果高减少4cm，这时表面积比原来减少320cm2。原来正方体的体积是( )dm3。如用玻璃做一个这样无盖的正方体鱼缸，需要玻璃( )dm2。 【答案】 8 20 【思路引导】一个正方体，如果高减少4cm，这时表面积比原来减少320cm3，减少的表面积为4个长方形，每个长方形的宽为4，长为这个正方体的棱长；根据长方形的面积＝长×宽，用320除以4即可求出每个长方形的面的面积，再除以4cm即可求出这个正方体的棱长；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长即可求出这个正方体的体积，再根据1dm3＝1000cm3即可换算； 这样无盖的正方体鱼缸有5个正方形面，根据正方形的面积＝边长×边长即可计算，再根据1dm2＝100cm2换算。 【规范解答】320÷4÷4＝20（cm） 20×20×20＝8000（cm3） 8000÷1000＝8（dm3） 20×20×5＝2000（cm2） 2000÷100＝20（dm2） 即原来正方体的体积是8dm3。如用玻璃做一个这样无盖的正方体鱼缸，需要玻璃20dm2。 【变式训练】（24-25六年级上·江苏无锡·期末）市民广场搭了一个花台（如图）下面一个长方体，上面是一个正方体。 (1)如果要在花台的前面、后面、左面、右面和上面都插上鲜花，插花的面积一共有多少平方米？ (2)这个花台的体积是多少立方米？ 【答案】(1)148平方米 (2)136立方米 【思路引导】（1）先分析插花的面，包含长方体的前面、后面、左面、右面、上面，以及正方体的四个侧面（因为正方体的底面与长方体的上面重合，不插花）。长方体长6米，宽4米，高3米；正方体的棱长与长方体的宽相等，即4米。根据插花面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2＋棱长×棱长×4，据此把数据代入计算即可。 （2）花台的体积是长方体体积与正方体体积之和，分别用“长×宽×高”算出两者体积后相加即可。 【规范解答】（1）6×4＋6×3×2＋4×3×2＋4×4×4 ＝24＋18×2＋12×2＋16×4 ＝24＋36＋24＋64 ＝60＋24＋64 ＝148（平方米） 答：插花的面积一共有148平方米。 （2）6×4×3＝72（立方米） 4×4×4＝64（立方米） 72＋64＝136（立方米） 答：这个花台的体积是136立方米。 高频考点七 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏淮安·期末）如图，用27个相同的小正方体搭一个大正方体，从上面拿走一些小正方体，剩下部分的表面积与原来大正方体的表面积相等的情况是（    ）。 A．拿走⑧ B．拿走②⑤ C．拿走①②③ D．拿走②③⑧⑨ 【答案】D 【思路引导】从大正方体中拿走小正方体时，表面积的变化取决于小正方体在顶点，棱，面的位置： 顶点位置的小正方体：有3个面露在外面，拿走后，会露出3个新的面，表面积不变； 棱上（非顶点）的小正方体：有2个面露在外面，拿走后，会露出4个新的面，表面积增加2个面； 面上（非棱上）的小正方体：有1个面露在外面，拿走后，会露出5个新的面，表面积增加4个面。 【规范解答】A．⑧位于面上（非棱上），共1个面露在外面，拿走后，会露出5个新的面，表面积增加4个面，不符合题意； B．②位于棱上（非顶点），⑤位于面上（非棱上），它们共3个面露在外面，同时拿走后，会露出7个新的面，表面积增加4个面，不符合题意； C．①③都位于顶点位置，②位于棱上（非顶点），它们共8个面露在外面，同时拿走后，会露出6个新的面，表面积减少2个面，不符合题意； D．②⑨位于棱上（非顶点），⑧位于面上（非棱上），③位于顶点位置，它们共8个面露在外面，同时拿走后，会露出8个新的面，表面积不变，符合题意。 【变式训练】（25-26六年级上·山西临汾·期末）把4个棱长为2厘米的正方体拼成长方体，拼成的长方体的表面积可能是( )平方厘米，也可能是( )平方厘米 【答案】 72 64 【思路引导】拼成长方体有两种方式：一种是排成一排，另一种是排成两排（每排两个）。 排成一排：长是2×4＝8厘米，宽是2厘米，高是2厘米； 排成两排（每排两个）：长是2×2＝4厘米，宽是2厘米，高是2×2＝4厘米；根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此解答。 【规范解答】排成一排：长是2×4＝8（厘米），宽是2厘米，高是2厘米。 （8×2＋8×2＋2×2）×2 ＝（16＋16＋4）×2 ＝（32＋4）×2 ＝36×2 ＝72（平方厘米） 排成两排（每排两个）：长是2×2＝4（厘米），宽是2厘米，高是2×2＝4（厘米）。 （4×2＋4×4＋2×4）×2 ＝（8＋16＋8）×2 ＝（24＋8）×2 ＝32×2 ＝64（平方厘米） 高频考点八 组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏南通·期末）下图是用棱长1厘米的正方体摆成的物体。 (1)在方格图中画出从前面、右面和上面看到的图形。 (2)这个物体的表面积是( )平方厘米。至少移动( )个小正方体使它变成一个大正方体。 【答案】(1)见详解 (2) 30 2 【思路引导】（1）由正方体摆成的物体可知前后共两排一共摆三层，前排第一层一个正方体，第二层一个正方体，第三层没有，后排第一层三个正方体，第二层两个正方体，第三层一个正方体，由此画出从前面看就是三层第一层三个正方形，第二层从左向右两个正方形，第三层从左向右一个正方形，从右面看就是三层第一层两个正方形，第二层两个正方形，第三层右边一个正方形，从上面看到就是两层第一层从左向右一个正方形，第二层三个正方形。图见详解。 （2）这个物体的表面积就是露出的正方体几个面即可计算，前排第一层一个正方体露出4个面，第二层的一个正方体露出4个面，后排第一层第一个正方体露出3个面，第二个正方体露出3个面，第三个正方体露出5个面，第二层第一个正方体露出2个面，第二个正方体露出4个面；第三层一个正方体露出5个面。由图可知一共8个小正方体，所以摆出一个大正方体只能是两层每层两个，所以由图至少挪动两个使它变成一个大正方体。 【规范解答】（1）前面、右面、上面分别如下图： （2）由分析： 4＋4＋3＋3＋5＋2＋4＋5＝30（平方厘米） 所以这个物体的表面积是30平方厘米。至少移动2个小正方体使它变成一个大正方体。 【变式训练】（25-26五年级·全国·寒假作业）下图是由棱长2厘米的正方体木块堆成的形体。 (1)它的表面积是( )平方厘米； (2)至少再堆上( )个相同的正方体后，就能变成一个大正方体。 【答案】(1)120 (2)19 【思路引导】（1）从上面和下面看到的图形都有5个小正方形，从左面和右面看到的图形都有6个小正方形，从前面和后面看到的图形都有4个小正方形。先算出组合体露在外面的正方形面的数量，再计算单个面的面积，最后相乘得到总面积。 （2）观察图形可知，要堆成的大正方体的棱长应该是3个小正方体组成的。先计算出大正方体所需小正方体总数，再减去原来已有的小正方体个数，求出还需堆的小正方体个数。 【规范解答】（1）2×2×（5＋6＋4）×2 ＝2×2×15×2 ＝4×15×2 ＝60×2 ＝120（平方厘米） 所以它的表面积是120平方厘米。 （2）3×3×3－8 ＝9×3－8 ＝27－8 ＝19（个） 所以至少再堆上19个相同的正方体后，就能变成一个大正方体。 高频考点九 长方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·广西桂林·期中）他们在长隆欢乐世界游玩时，看到一位魔术师把一个棱长为30厘米的正方体冰块，放进一个密闭的盒子里，瞬间变成了一个底面积是20平方厘米的长方体冰条，你知道长方体的冰条高多少米吗？ 【答案】13.5米 【思路引导】先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出冰块的体积，再根据长方体的体积公式：体积＝底面积×高，用总体积除以底面积求出长方体的高，最后将求出的厘米单位换算成题目要求的米单位。 【规范解答】30×30×30＝27000（立方厘米） 27000÷20＝1350（厘米） 1350厘米＝13.5米 答：长方体的冰条高是13.5米。 【变式训练】（25-26六年级上·江苏泰州·期末）如图，有长方体容器A和B，容器A是空的，容器B中有水，水深24厘米。若将容器B中的水倒一部分给A，使得两个容器内的水深相等；这时两个容器内的水深是多少厘米？ 【答案】8厘米 【思路引导】水的体积始终不变，因此后来A、B两个容器中水的总体积等于原来B容器中水的体积，其底面积是两个容器的底面积之和，高度就是A、B两个容器中相同的水深，根据水的深度＝水的总体积÷A、B两个容器底面积之和，求出水深。 【规范解答】水的体积：30×20×24 ＝600×24 ＝14400（立方厘米） 底面积之和：40×30＋30×20 ＝1200＋600 ＝1800（平方厘米） 水深：14400÷1800＝8（厘米） 答：这时两个容器内的水深是8厘米。 高频考点十 正方体的体积 【典例精讲】（25-26四年级上·安徽芜湖·期末）如图，将左边圆柱容器里的水全部倒入右边空的正方体容器内，正好装满这个正方体容器。左边圆柱容器的容量是( )升。 【答案】4 【思路引导】根据题意，明确1立方分米＝1升，正方体容器的棱长为1分米，其体积即为1×1×1＝1（立方分米），而1立方分米正好等于1升。圆柱容器的水正好装满这个正方体，圆柱容器内原来的水大约占四分之一，所以圆柱容器的容量就是1×4＝4升。以此答题即可。 【规范解答】1×1×1＝1（立方分米） 1立方分米＝1升 1×4＝4（升） 【变式训练】（25-26六年级上·江苏扬州·期末）在一个长8厘米，宽8厘米，高10厘米的长方体玻璃缸中浸没一个棱长4厘米正方体铁块。当铁块从水中取出时，玻璃缸中水面会下降多少厘米？ 【答案】1厘米 【思路引导】先根据正方体的体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积，因为铁块浸没在水中，所以它排开的水的体积等于自身的体积。玻璃缸的底面积是长8厘米、宽8厘米的长方形，根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，求出玻璃缸的底面积。最后用铁块的体积除以玻璃缸的底面积，求出的结果就是水面下降的高度，因为下降部分水的体积等于铁块体积，而下降部分水的形状是长方体，其高度可以通过“体积÷底面积”来计算。 【规范解答】4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 8×8＝64（平方厘米） 64÷64＝1（厘米） 答：玻璃缸中水面会下降1厘米。 高频考点十一 体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏扬州·期末）一个无盖长方体玻璃容器的长、宽、高分别为12厘米、8厘米、20厘米，容器中盛了一些水，已知水面高度为10厘米。 (1)容器中有水多少毫升？（玻璃厚度不计） (2)这时水与玻璃接触部分的面积是多少平方厘米？ (3)若将一根长方体方钢竖直插入容器底部，使方钢底面与容器底面接触。已知方钢高30厘米，底面是边长为4厘米的正方形。方钢插入后水面会上涨，则上涨后水面高度是多少厘米？ 【答案】(1)960毫升 (2)496平方厘米 (3)12厘米 【思路引导】（1）把容器中的水看作一个长方体，长方体的长是12厘米，宽是8厘米，高是10厘米，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出容器中水的体积，最后根据“1立方厘米＝1毫升”把体积单位转化为容积单位； （2）求水与玻璃接触部分的面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为水与玻璃容器的上底面没有接触，所以只需计算长方体下底面和四个侧面的面积； （3）由题意可知，插入方钢后水的体积不变，水的底面积＝容器的底面积－方钢的底面积，上涨后水面的高度＝水的体积÷水的底面积，据此解答。 【规范解答】（1）12×8×10 ＝96×10 ＝960（立方厘米） 960立方厘米＝960毫升 答：容器中有水960毫升。 （2）（12×10＋8×10）×2＋12×8 ＝（120＋80）×2＋12×8 ＝200×2＋12×8 ＝400＋96 ＝496（平方厘米） 答：这时水与玻璃接触部分的面积是496平方厘米。 （3）960÷（12×8－4×4） ＝960÷（96－16） ＝960÷80 ＝12（厘米） 答：上涨后水面高度是12厘米。 【变式训练】（25-26六年级上·江苏苏州·期中）有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了7.2厘米深的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？ 【答案】14.4厘米 【思路引导】平放时容器装7.2厘米的水，用长×宽×水的高可以算出水的体积，容器竖起来放的时候容器的底面积改变，用之前算出的水的体积除以竖起容器的底面积可算出水的高度。 【规范解答】20×16×7.2 ＝320×7.2 ＝2304（立方厘米） 2304÷（10×16） ＝2304÷160 ＝14.4（厘米） 答：水的高度是14.4厘米。 高频考点十二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）晓明发现一个长方体包装盒很有趣，从一个顶点出发的三条棱的长度恰好是三个连续的自然数。如果这个长方体的棱长之和是120分米，那么从一个顶点出发的三条棱的长度之和是( )分米，做这个包装盒至少需要( )平方米的硬纸板，这个包装盒最多能装( )个棱长为2分米的小正方体。 【答案】 30 5.98 100 【思路引导】已知长方体棱长之和为120分米，长方体有12条棱，包括4条长、4条宽、4条高，所以长＋宽＋高＝120÷4＝30（分米）。即从一个顶点出发的三条棱就是长、宽、高，因此三条棱的长度之和为30分米。设三条棱的长度分别为a分米、a＋1分米、a＋2分米（a为自然数）。分别计算出长方体的长、宽、高；求至少需要的硬纸板面积就是求长方体的表面积，根据长方体表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），计算出长方体的表面积，再根据1平方米＝100平方分米，把结果的单位换算成平方米；求最多能装棱长为2分米的小正方体数量：分别用长、宽、高除以2，得出沿长度方向、沿宽度方向、沿高度方向分别能放几个（答案取整数），最后把结果相乘得到能放的小正方体的个数。 【规范解答】120÷4＝30（分米） a＋a＋1＋a＋2＝30 3a＋3＝30 3a＝27 a＝9（分米） 9＋1＝10（分米） 9＋2＝11（分米） 9＋10＋11＝30（分米） （9×10＋9×11＋10×11）×2 ＝（90＋99＋110）×2 ＝299×2 ＝598（平方分米） 598平方分米＝5.98平方米 9÷2＝4（个）……1（分米） 10÷2＝5（个） 11÷2＝5（个）……1（分米） 4×5×5＝100（个） 所以，晓明发现一个长方体包装盒很有趣，从一个顶点出发的三条棱的长度恰好是三个连续的自然数。如果这个长方体的棱长之和是120分米，那么从一个顶点出发的三条棱的长度之和是30分米，做这个包装盒至少需要5.98平方米的硬纸板，这个包装盒最多能装100个棱长为2分米的小正方体。 【变式训练】（25-26六年级上·江苏镇江·期中）一个长11厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体木块可以切成（    ）个棱长为2厘米的小正方体。 A．100 B．80 C．60 D．110 【答案】A 【思路引导】因为长方体的长是11厘米，不是2的倍数，所以解答这道题，不能单纯地用长方体的体积除以正方体的体积计算正方体的个数。应该看长方体的长、宽、高里分别有几个正方体的棱长，再把三个结果相乘即可，据此解答。 【规范解答】求长方体长中有几个正方体棱长： （个） 求长方体宽中有几个正方体棱长： （个） 求长方体高中有几个正方体棱长： （个） 求正方体的个数： （个） 所以可以切成100个棱长为2厘米的小正方体。 故答案为：A 高频考点十三 组合体的体积（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，在一个正方体里挖去一个长方体，剩下的图形的表面积和体积各是多少？（单位：cm）。 【答案】表面积：2800平方厘米 体积：7040立方厘米 【思路引导】通过平移可知剩下的图形的表面积等于原来正方体的表面积加上挖去的长方体的侧面积，代入数据计算即可；剩下物体的体积等于正方体的体积减去长方体的体积，代入数据计算；据此解答。 【规范解答】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：剩下的图形的表面积是2800平方厘米，体积是7040立方厘米。 【变式训练】（25-26六年级上·河南周口·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：dm） 【答案】150dm2；113dm3 【思路引导】从正方体的一个角挖去小长方体时，挖去部分原本会让正方体表面减少3个面，但同时会露出小长方体的另外三个面，这六个面的面积两两对应相等，所以挖去后图形的表面积和原正方体的表面积完全相同。由图可知：正方体棱长为5dm，根据正方体的表面积公式：正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入棱长数据计算即可。 挖去小长方体后，图形的体积等于原正方体体积减去挖去的小长方体体积。先根据正方体体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，算出正方体体积；再根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，算出小长方体体积，最后正方体体积减去小长方体体积得到最终体积。 【规范解答】表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（dm2） 体积：5×5×5－2×2×3 ＝25×5－4×3 ＝125－12 ＝113（dm3） 所以这个图形的表面积是150dm2，体积是113dm3。 高频考点十四 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（25-26六年级上·山西大同·期末）手工课上，李老师利用一张硬纸板制作了一个无盖的长方体收纳盒（如下图）。 (1)制作这个收纳盒一共用了多少平方厘米的硬纸板？ (2)这个收纳盒的容积是多少立方厘米？ 【答案】(1)896平方厘米 (2)1920立方厘米 【思路引导】（1）求无盖的长方体收纳盒的表面积，用长×宽×＋长×高×＋宽×高即可。 （2）求这个收纳盒的容积，用长×宽×高即可。 【规范解答】（1） （平方厘米） 答：制作这个收纳盒一共用了平方厘米的硬纸板。 （2） （立方厘米） 答：这个收纳盒的容积是立方厘米。 【变式训练】（25-26六年级上·安徽滁州·期末）有一块边长1米的正方形铁皮，从四个角上各剪去一个边长2分米的小正方形，做成了一个无盖长方体水槽（如图）。这个水槽的占地面积是( )平方分米，能盛水( )升。 【答案】 36 72 【思路引导】先统一单位，将1米换算成10分米。用正方形铁皮的边长减去2个2分米求出长方体水槽的长和宽，长和宽相等。高为2分米。长宽所在的面的面积就是长方体的占地面积，用长乘宽计算。长方体的容积＝长×宽×高。 【规范解答】1米＝10分米 （分米） （平方分米） 这个水槽的占地面积是36平方分米。 （立方分米） 立方分米升 这个水槽能盛水72升。 高频考点十五 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏南京·期末）下图中所有的大球体积都相同，所有的小球体积也都相同。一个大球的体积是多少立方厘米？（单位：厘米） 【答案】75立方厘米 【思路引导】根据“溢出的水的体积等于放入球的体积”可知： 第2个容器中，2个大球＋1个小球，溢出的水体积＝6×6×5＝180立方厘米； 第3个容器：2个大球＋7个小球，溢出的水体积＝6×6×10＝360立方厘米，比容器的体积多360－180＝180立方厘米，又发现容器3比容器2多了6个小球，由此用180÷6可算出一个小球的体积。 再用第2个容器的体积减去一个小球的体积后再除以2即可得到一个大球的体积。 【规范解答】6×6×5 ＝36×5 ＝180（立方厘米） 6×6×10 ＝36×10 ＝360（立方厘米） 360－180＝180（立方厘米） 7－1＝6（个） 小球：180÷6＝30（立方厘米） 大球：（180－30）÷2 ＝150÷2 ＝75（立方厘米） 答：一个大球的体积是75立方厘米。 【考点剖析】关键是通过两次溢出水的体积差先求出小球的体积，进而计算出大球体积。 【变式训练】（24-25五年级下·陕西西安·期中）如图，一个从里面量棱长为10厘米的正方体容器内水深5厘米，奇思想要测量一颗玻璃弹珠的体积，他把10颗相同的玻璃弹珠放入水中，测得这时水深大约5.2厘米。平均每颗玻璃弹珠的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】2立方厘米 【思路引导】长方体体积＝长×宽×高，10颗弹珠放入后排开的水可看作长方体，长宽均为10厘米，高为5.2－5＝0.2（厘米）。代入数据先求得10颗弹珠的体积，再除以10即可得解。 【规范解答】10×10×（5.2－5）÷10 ＝100×0.2÷10 ＝2（立方厘米） 答：平均每颗玻璃弹珠的体积大约是2立方厘米。 高频考点十六 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【典例精讲】（25-26六年级上·山西临汾·期末）在括号里填上合适的数和单位。 3.06升＝( )毫升     420立方分米＝( )立方米     米＝( )厘米 一个长方体火柴盒的体积大约是( )立方厘米。 学校要粉刷一间教室，粉刷的面积大约有45( )。 【答案】 3060 0.42/ 40 12 平方米/m2 【思路引导】单位换算规则：高级单位转低级单位乘进率，低级单位转高级单位除以进率：1升＝1000毫升，1立方米＝1000立方分米，1米＝100厘米； 一个手指尖的体积大约是1立方厘米，据此判断填写合理的数值； 教室粉刷面积要填面积单位，结合实际，一张普通课桌的桌面面积大约为1平方米，据此判断 【规范解答】3.06升＝（3.06×1000）毫升＝3060毫升； 420立方分米＝（420÷1000）立方米＝0.42立方米； 米＝（×100）厘米＝40厘米； 根据一个手指尖体积的大约为1立方厘米，则一个普通火柴盒的体积大约是12立方厘米（答案不唯一，合理即可）。 一张普通课桌的桌面面积大约为1平方米，据此可知，粉刷的面积大约有45平方米 【变式训练】（24-25六年级上·江苏南通·期末）下面是某冰箱安装操作的部分要求： 1.电冰箱放在通风良好平整坚实的地面处，并进行调平。 2.电冰箱背面和两侧至少留10厘米空隙，顶部至少留20厘米的空隙，以保证空气流通。 3.避免阳光直射和一切热源，避免潮湿。电源插座专用，插座上插孔需接地。 刘阿姨家装修时预留了一个120厘米×100厘米×200厘米的空间，已知冰箱长90厘米、宽80厘米、体积是1260立方分米，给冰箱预留的空间合适吗？ 【答案】 合适 【思路引导】先将冰箱体积单位由立方分米换算成立方厘米；然后根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出冰箱的高；再根据“所需长度＝冰箱长＋左侧空隙＋右侧空隙、所需宽度＝冰箱宽＋背面空隙、所需高度＝冰箱高＋顶部空隙”计算出冰箱至少需要的空间；最后与预留空间比较即可。 【规范解答】1260立方分米＝1260000立方厘米 1260000÷90÷80 ＝14000÷80 ＝175（厘米） 90＋10＋10 ＝100＋10 ＝110（厘米） 80＋10＝90（厘米） 175＋20＝195（厘米） 110＜120，90＜100，195＜200，所以给冰箱预留的空间合适。 答：给冰箱预留的空间合适。 高频考点十七 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏徐州·期末）腊八节是我国的传统节日。腊八节这天妈妈用一个长20厘米、宽15厘米、高18厘米的无盖长方体玻璃容器泡腊八蒜，里面盛有12厘米高的醋。 (1)玻璃容器中有多少毫升的醋？ (2)若往容器里放入体积为2立方分米的腊八蒜，则容器里的醋（    ）。      A．会溢出 B．不会溢出 (3)在（2）的条件下，容器里的醋如果溢出，溢出多少毫升？如果不会溢出，现在醋的高度是多少厘米？ 【答案】(1)3600毫升 (2)A (3)溢出200毫升 【思路引导】（1）醋在容器中呈现长方体形状，且长和宽与容器的长、宽一致，高度为12厘米。根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，代入容器的长20厘米、宽15厘米和醋的高度12厘米，求出体积后，再根据“1立方厘米＝1毫升”的单位换算关系，求出醋的容积。 （2）已知容器总高18厘米，现有醋高12厘米，用容器总高度减去现有醋的高度，求出容器剩余空间的高度，再根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，求出剩余空间体积。根据1立方分米＝1000立方厘米，把腊八蒜的体积单位从立方分米换算成立方厘米，最后对比两者的大小，若腊八蒜体积大于剩余空间体积，醋就会溢出，反之则不会溢出。 （3）因为已经判断出醋会溢出，所以溢出的体积等于腊八蒜的体积减去容器剩余的空间体积。用之前求出的腊八蒜体积（2000立方厘米）减去容器剩余空间体积（1800立方厘米），求出的差值就是溢出的体积，再根据1立方厘米＝1毫升，将单位换算成毫升即可。 【规范解答】（1）20×15×12 ＝300×12 ＝3600（立方厘米） 3600立方厘米＝3600毫升 答：玻璃容器中有3600毫升的醋。 （2）18－12＝6（厘米） 20×15×6 ＝300×6 ＝1800（立方厘米） 2立方分米＝2000立方厘米 2000＞1800 所以容器里的醋会溢出。 故答案为：A （3）2000－1800＝200（立方厘米） 200立方厘米＝200毫升 答：在（2）的条件下，容器里的醋如果溢出，溢出200毫升。 【变式训练】．（25-26六年级上·福建厦门·期末）学校为了倡议大家提高节约用水的意识，开展了节约用水的主题活动。小明所在科学小组通过实验调查，发现一个坏掉的水龙头10分钟滴水200毫升。 (1)按照这个速度滴水，这个坏掉的水龙头一天会浪费多少升水？ (2)某区有50所学校，经调查统计，平均每所学校大约有2个坏掉的水龙头会滴水，按照上述的滴水速度计算，这些坏掉的水龙头一个月（30天）浪费的水够一个成年人喝几天？（一个成年人一天大约需要喝2升的水） (3)请你写出生活中节约用水的建议。（至少写两点） 【答案】(1)28.8升 (2)43200天 (3)见详解 【思路引导】（1）已知10分钟滴水200毫升，用200毫升除以10分钟，求出每分钟的滴水量。把一天的时间换算成分钟（24小时＝1440分钟），再用“每分钟滴水量×一天的分钟数”，求出一天的滴水体积；再根据1升＝1000毫升，将毫升换算成升。 （2）用学校数量乘每所学校的坏水龙头数，求出该区总坏水龙头数；接着用一个水龙头一天的浪费量乘总水龙头数，求出总水龙头一天的浪费量；再用一天的总浪费量乘30天，求出总水龙头一个月的浪费量；最后用一个月的总浪费量除以一个成年人一天的饮水量，求出饮用天数。 （3）从“减少浪费”和“重复利用”两个角度出发，结合生活实际提出可行的建议即可。（答案不唯一） 【规范解答】（1）24小时＝1440分钟 200÷10×1440 ＝20×1440 ＝28800（毫升） 28800毫升＝28.8（升） 答：这个坏掉的水龙头一天会浪费28.8升水。 （2）50×2×28.8×30÷2 ＝100×28.8×30÷2 ＝2880×30÷2 ＝86400÷2 ＝43200（天） 答：这些坏掉的水龙头一个月（30天）浪费的水够一个成年人喝43200天。 （3）①洗手、洗脸后及时关闭水龙头，避免长流水； ②用洗菜、淘米的水浇花、冲厕所，提高水的重复利用率。（答案不唯一） 高频考点十八 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（25-26六年级上·山西临汾·期末）计算说理：张明在超市发现一盒牛奶的长方体包装盒上标注“净含量250毫升”。他从外面量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米。请用你学过的知识解释这个标注是否合理？ 【答案】不合理 【思路引导】先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出包装盒的外部体积，再将体积单位换算为容积单位，最后与标注的净含量进行比较。根据常识，对于同一个容器，由于包装材料有厚度，其外部体积一定大于内部容积，而净含量应小于或等于容积。若计算出的外部体积小于标注的净含量，则说明标注不合理。 【规范解答】长方体包装盒的体积：6×4×10＝240（立方厘米） 240立方厘米＝240毫升 240＜250，即包装盒的体积小于标注的净含量。 又因为包装盒有一定的厚度，包装盒的体积应大于容积，容积应大于或等于净含量。 答：这个标注不合理。 【变式训练】（25-26六年级上·安徽蚌埠·期末）公元前344年，商鞅任“大良造”时颁发了一件标准量器商鞅铜方升。这个长方体容器内口长约12厘米，宽约7厘米，深约2厘米。如果把105毫升水倒进商鞅铜方升中，那么水深多少厘米？ 【答案】1.25厘米 【思路引导】先根据进率“1毫升＝1立方厘米”将105毫升换算成105立方厘米；再根据“长方体的高＝体积÷底面积”，用水的体积除以长方体容器的底面积，求出水的深度。 【规范解答】105毫升＝105立方厘米 105÷（12×7） ＝105÷84 ＝1.25（厘米） 答：水深1.25厘米。 模块五 真题演练 实战操作 【真题演练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）一瓶雪碧有2.5L，一个杯子的容积是200mL，可以装( )杯，剩下( )L。 【答案】 12 0.1 【思路引导】根据1L＝1000mL，把2.5L转化为2500mL，再用雪碧的体积除以杯子的容积，商表示装的杯数，余数表示剩下的毫升数，最后换算成升即可。 【规范解答】2.5L＝2500mL 2500÷200＝12（杯）……100（mL） 100mL＝0.1L 所以可以装12杯，剩下0.1L。 【真题演练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）一个边长为24厘米的正方形纸片，把它的四个角各剪去一个小正方形可做一个无盖的长方体盒子，这个长方体盒子的体积最大是多少？（接头处忽略不计） 【答案】1024立方厘米 【思路引导】分析题目，剪去的正方形的边长可以为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米，做成的无盖的长方体的长为24－正方形的边长×2、宽为24－正方形的边长×2和高为正方形的边长；再利用长方体的体积＝长×宽×高，分别计算求出四种情况的纸盒的体积，比较即可。 【规范解答】①当小正方形的边长为1厘米时， （24－1×2）×（24－1×2）×1 ＝（24－2）×（24－2）×1 ＝22×22×1 ＝484（立方厘米） ②当小正方形边长为2厘米时， （24－2×2）×（24－2×2）×2 ＝（24－4）×（24－4）×2 ＝20×20×2 ＝800（立方厘米） ③当小正方形的边长为3厘米时， （24－3×2）×（24－3×2）×3 ＝（24－6）×（24－6）×3 ＝18×18×3 ＝972（立方厘米） ④当小正方形的边长为4厘米时， （24－4×2）×（24－4×2）×4 ＝（24－8）×（24－8）×4 ＝16×16×4 ＝1024（立方厘米） ⑤当小正方形的边长为5厘米时， （24－5×2）×（24－5×2）×5 ＝（24－10）×（24－10）×5 ＝14×14×5 ＝980（立方厘米） 1024＞980＞972＞800 答：这个长方体盒子的体积最大是1024立方厘米。 【真题演练3】（2025·四川绵阳·小升初真题）粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 【答案】10260元 【思路引导】先根据1米＝10分米＝100厘米将长宽高统一成米为单位，教室是一个长方体，只粉刷四周和顶棚，粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，然后减门窗和黑板的面积可算出一间教室需要粉刷多少平方米，再乘5可算出5间一共多少平方米，再乘1.2可算出需要多少千克涂料，最后乘15可算出需要多少钱。 【规范解答】60分米＝6米，350厘米＝3.5米 （8×6＋8×3.5×2＋6×3.5×2）－32 ＝（48＋56＋42）－32 ＝（104＋42）－32 ＝146－32 ＝114（平方米） 114×5×1.2×15 ＝570×1.2×15 ＝684×15 ＝10260（元） 答：粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要10260元。 【真题演练4】（2025·四川绵阳·小升初真题）将一个棱长为5厘米的正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积将增加( )平方厘米。 【答案】50 【思路引导】把正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积比原来增加了2个切面的面积，切面的面积与正方体的任意一个面的面积一样。 【规范解答】5×5×2 ＝25×2 ＝50（平方厘米） 即将一个棱长为5厘米的正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积将增加50平方厘米。 【真题演练5】（2025·北京丰台·小升初真题）“度量衡”是我国古代计量长度、容积、重量的标准或器具的统称，“度”用以计量长短；“量”用以测量容积大小；“衡”用以测量物体轻重。“商鞅方升”的重要物证——商鞅方升（如图），就是“度量衡”中的“量”，用来测量容积大小。它全长18.7厘米，内口长约12.5厘米，宽约7厘米，深约2.3厘米，容积便是商鞅规定的“一升”。算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的（    ）升。 A．0.2 B．1.5 C．0.6 D．2.3 【答案】A 【思路引导】本题求商鞅规定的“一升”相当于现在的多少升，关键是先算其容积再换算单位。已知内口长约12.5厘米、宽约7厘米、深约2.3厘米，根据“长方体的体积（容积）＝长×宽×高”计算出长方体容积；然后将立方厘米换算为立方分米，再换算为升；最后根据题目要求按“四舍五入”法保留一位小数。 【规范解答】12.5×7×2.3 ＝87.5×2.3 ＝201.25（立方厘米） 201.25立方厘米＝（201.25÷1000）立方分米＝0.20125立方分米 0.20125立方分米＝0.20125升 0.20125升≈0.2升 因此商鞅规定的“一升”大约相当于现在的0.2升。 故答案为：A 【考点剖析】本题考查长方体容积公式的应用，熟练掌握长方形的容积公式以及容积单位、体积单位之间的换算是解题的关键。 模块六 分层训练 突破自我 基础夯实 能力提升 1．（25-26六年级上·山西临汾·期末）将一个棱长为厘米的正方体的高截去3厘米，这个正方体的体积减少了（    ）立方厘米。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据题意，截去的长方体的长是厘米，宽是厘米，高是3厘米。根据长方体的体积＝长×宽×高计算。 【规范解答】××3＝（立方厘米） 这个正方体的体积减少了立方厘米。 2．（25-26六年级上·山西太原·期末）某产品说明书上标注包装尺寸为970mm×763mm×1885mm，它们分别表示这个长方体包装盒的长、宽、高，根据这组数据，联系生活实际想象一下，这个产品可能是（    ）。 A．一台电视机 B．一台微波炉 C．一部手机 D．一台冰箱 【答案】D 【思路引导】根据1cm＝10mm，将包装盒的长、宽、高用厘米表示出来；联系生活实际，进行判断。 【规范解答】970mm＝97cm       763mm＝76.3cm         1885mm＝188.5cm A．大尺寸电视机（如75英寸以上）加包装材料后，长度约150cm，宽度约23cm，高度约100cm，76.3cm的宽度、188.5cm的高度都远超实际，排除。 B．常见微波炉的长：50～60cm，宽：30～40cm，高：30～40cm，97cm的长度，76.3 cm的宽度，188.5cm的高度都远超实际，排除。 C．手机长度通常为15～20cm，宽度7～10cm，厚度小于1cm，远小于题目中长、宽、高的尺寸，排除。 D．冰箱的尺寸通常较大，为了满足家庭的存储需求，其长、宽、高可以达到题目中970mm×763mm×1885mm的规格，符合。 包装尺寸为970mm×763mm×1885mm的产品可能是一台冰箱。 3．（24-25六年级下·江苏南通·期中）用3个棱长a厘米的小正方体拼成一个大的长方体，表面积减少（    ）平方厘米。 A．14a2 B．8a2 C．4a2 D．24a2 【答案】C 【思路引导】把3个棱长a厘米的小正方体拼成一个大的长方体，长方体的表面积比3个小正方体的表面积减少4个正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘4即可。 【规范解答】a×a×4＝4a2（平方厘米） 4．（24-25六年级下·江苏盐城·期中）6.02立方米＝( )立方分米        3.08立方分米＝( )升( )毫升 【答案】 6020 3 80 【思路引导】根据1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1升，1升＝1000毫升，单位大变小乘进率，进行换算即可。单名数换复名数，只换算小数部分即可。 【规范解答】6.02×1000＝6020（立方分米），6.02立方米＝6020立方分米 3.08立方分米＝3.08升，0.08×1000＝80（毫升），3.08立方分米＝3升80毫升 5．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）一种家电的外包装是一个长方体纸箱，它的长、宽、高如图所示。做这个长方体纸箱至少需要( )平方分米的硬纸板（衔接处不计），这个纸箱所占空间是( )立方分米。 【答案】 94 60 【思路引导】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，纸箱所占空间即长方体体积，长方体体积＝长×宽×高。 【规范解答】（5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（15＋20＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方分米） 5×4×3＝60（立方分米） 6．（25-26六年级上·山西临汾·期末）小云从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面，展开后如图所示。这个长方体纸盒的底面积是______cm2，体积是______cm3。 【答案】 32 320 【思路引导】先根据长方体相邻面的特征，确定长方体的长、宽、高，长方体的前面由长和高组成，右面由宽和高组成，相邻的两个面共用高这条棱，由此确定长方体的长、宽、高；再利用长方形面积公式，用长乘宽计算长方体的底面积；最后利用长方体体积公式，用长乘宽乘高计算体积。 【规范解答】长方体的长为8cm，宽为4 cm，高为10 cm 底面积：8×4＝32（cm2） 体积： 8×4×10 ＝32×10 ＝320（cm3） 7．（25-26六年级上·山西太原·期末）两个长方体茶叶盒，从外面量长、宽、高分别相等，则这两个包装盒容积相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】容积是指容器所能容纳物体的体积，计算容积需要从容器里面量长、宽、高。从外面量的长、宽、高相等，无法确定内部长、宽、高是否相等，容积也就不一定相等。 【规范解答】容积是指容器所能容纳物体的体积，计算容积需要测量容器内部的长、宽、高。两个长方体茶叶盒从外面量长、宽、高分别相等，但由于无法确定它们的内部长、宽、高是否相等，因此无法确定它们的容积是否相等。 故答案为：× 8．（25-26六年级上·山西太原·期末）小芳和小军各买了1瓶同样的饮料。小芳正好倒满3杯，小军只倒了2杯多，小芳的杯子容积大。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】容积是指容器所能容纳物体的体积大小。对于相同的饮料总量，使用的杯子数量越少，说明每个杯子的容积越大。据此解答。 【规范解答】小芳和小军各买了1瓶同样的饮料，饮料总量相同。小芳正好倒满3杯，表明3个杯子的总容积等于饮料总量。小军只倒了2杯多，表明2杯多的总容积也等于饮料总量。由于2杯多少于3杯，因此小军的每个杯子容积大于小芳的每个杯子容积。所以，“小芳的杯子容积大”的说法不正确。 故答案为：× 9．（24-25六年级上·江苏徐州·期末）计算下面长方体的表面积和正方体的体积。 【答案】592cm2；216dm3 【思路引导】根据长方体的表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh），代入数据计算，求出长方体的表面积； 正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出正方体的体积。 【规范解答】（12×10＋12×8＋10×8）×2 ＝（120＋96＋80）×2 ＝296×2 ＝592（cm2） 长方体的表面积是592cm2。 6×6×6 ＝36×6 ＝216（dm3） 正方体的体积是216dm3。 10．（24-25六年级下·广西桂林·期中）母亲节期间，“暖心礼品店”推出正方体礼盒套装，用于包装手工巧克力。礼盒棱长20厘米，表面覆盖金色锡纸（接头处忽略不计），内部填充泡沫颗粒保护巧克力。店员小李需要计算每个礼盒所需锡纸面积和泡沫填充量，以确定材料采购数量。 (1)包装一个礼盒至少需要多少平方厘米的金色锡纸？ (2)填充一个礼盒需要多少立方厘米的泡沫颗粒？ 【答案】(1)2400平方厘米 (2)8000立方厘米 【思路引导】（1）正方体表面积＝棱长×棱长×6； （2）正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】（1）20×20×6 ＝400×6 ＝2400（平方厘米） 答：包装一个礼盒至少需要2400平方厘米的金色锡纸。 （2）20×20×20 ＝400×20 ＝8000（立方厘米） 答：填充一个礼盒需要8000立方厘米的泡沫颗粒。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26六年级上·山西临汾·期末）一个长6分米，宽4分米，高5分米的盒子，最多能放（    ）个棱长为2分米的正方体木块。 A．10 B．12 C．14 D．15 【答案】B 【思路引导】先分别计算长方体盒子长、宽、高三个维度上，最多可容纳棱长2分米的正方体木块的完整个数，剩余长度不足正方体棱长的部分需舍去；再将三个维度的个数相乘，即可求出最多能摆放的木块总数量。 【规范解答】长方向可放个数：6÷2＝3（个） 宽方向可放个数：4÷2＝2（个） 高方向可放个数：5÷2＝2（个）……1（分米），剩余1分米无法摆放完整木块，取2个 总个数：3×2×2＝12（个） 2．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）水族馆定制了两个玻璃鱼缸，从外面量两个鱼缸同样大。其中一个鱼缸用的玻璃厚度都是8毫米，另一个鱼缸用的玻璃厚度都是5毫米。比较这两个鱼缸，它们的（    ）。 A．体积不等，容积不等 B．体积不等，容积相等 C．体积相等，容积不等 D．体积相等，容积相等 【答案】C 【思路引导】求物体的体积是从物体的外面测量它的长、宽、高进行计算，而求物体的容积则必须从里面来测量它的长、宽、高，然后计算。 【规范解答】从外面量两个鱼缸同样大，因此体积相等。玻璃厚度分别是8毫米和5毫米，厚度不同，从里面测量，玻璃厚的鱼缸数据要比玻璃薄的数据小，玻璃厚的鱼缸比玻璃薄的鱼缸容积小。因此它们的体积相等，容积不等。 3．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）在一个棱长为a的大正方体中，挖去一个棱长为b的小正方体，图①、图②和图③是三种不同的方法。（    ）剩下的表面积最大。 A．图① B．图② C．图③ D．无法确定 【答案】A 【思路引导】只要比较挖掉小正方体后表面积和原来的表面积的增减情况图即可： ①：在大正方体的一个面中间挖去小正方体。 原来的大正方体表面减少了1个小正方形的面积，但内部又新增了5个小正方形的面积，所以整体表面积增加了4个小正方形的面积。 图②：在大正方体的一个顶点处挖去小正方体。 原来的大正方体表面减少了3个小正方形的面积，内部又新增了3个小正方形的面积，所以整体表面积不变。 图③：在大正方体的一条棱上挖去小正方体。 原来的大正方体表面减少了2个小正方形的面积，内部新增了4个小正方形的面积，所以整体表面积增加了2个小正方形的面积。 【规范解答】图①表面积比原来新增4个小正方形的面积。 图②表面积和原来一样保持不变。 图③表面积比原来新增2个小正方形的面积。 所以图①剩下的表面积最大。 【考点剖析】关键在于判断挖去小正方体的位置，从而确定表面积是增加、减少还是不变。 4．（25-26六年级上·广西桂林·期末）一个由小正方体搭成的立体图形（小正方体之间至少有一个面重合），从正面、上面和左面看到的形状都是，搭这个立体图形需要( )个小正方体。 【答案】4/四 【思路引导】从上面看到的形状（俯视图）确定底层小正方体的分布，底层有3个小正方体。 从正面和左面看到的形状确定各位置的层数，有两层，上层为1个小正方体。最后算出总个数。 【规范解答】从上面看：形状是L形，说明底层有3个小正方体，第一列有2个，第二列有1个。 从正面看：形状是L形，说明左列2层、右列1层，只有左列可以加上层的小正方体。 从左面看：形状是L形，说明左列2层、右列1层，只有左列的位置可以加1个上层小正方体。 如下图： 计算总数： （个） 搭这个立体图形需要4个小正方体。 5．（24-25五年级下·甘肃定西·期中）白露是秋季的第三个节气，此时人们有饮白露茶的习俗。小敏在爸爸的帮助下炮制了一些白露茶，作为礼物送给外公。每包白露茶用棱长为8cm的正方体小盒子包装（如图），然后把它们放入右面的大礼品盒中。 (1)大礼品盒最多能放( )个正方体小盒子。 (2)小敏要用彩纸包装大礼品盒，她至少要用( )cm2的彩纸。 【答案】(1)2 (2)1300 【思路引导】（1）用大礼品盒的长、宽、高分别除以小正方体盒子的棱长，商就是大礼品盒的长边上、宽边上及高上最多可以容纳几个小正方体的个数，再把这3个数值相乘即可； （2）长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此列式得解。 【规范解答】（1）20÷8＝2（个）……4（cm） 15÷8＝1（个）……7（cm） 10÷8＝1（个）……2（cm） 2×1×1＝2（个） （2）（20×15＋20×10＋15×10）×2 ＝（300＋200＋150）×2 ＝650×2 ＝1300（cm2） 6．（25-26六年级上·山西临汾·期末）一个长方体灯笼框架，长、宽、高恰好是三个连续自然数，且积是24，做这个灯笼框架需要竹条( )厘米，六个面糊上绵纸，需要( )平方厘米。 【答案】 36 52 【思路引导】先将24分解因数，24＝2×3×4，根据题干信息可知，长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米。 （1）需要的竹条的长度就是这个长方体的棱长总和，棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。 （2）需要的绵纸的面积就是这个长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【规范解答】（1）24＝2×3×4 （4＋3＋2）×4 ＝9×4 ＝36（厘米） （2）（4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 7．（25-26六年级上·山西太原·期末）长方体的面是长方形（也有可能有2个相对的面是正方形），相对的面完全相同。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】长方体的面：长方体是由六个面组成的立体图形，这六个面通常是长方形，但在特殊情况下可能有两个相对的面是正方形，相对的两个面形状相同、面积相等，即完全相同。 【规范解答】如图：长方体的上下面是边长为2的正方形，则它的前后面、左右面都是长为5，宽为2的长方形。原题说法正确。 故答案为：√ 8．（2025·四川绵阳·小升初真题）计算下图的表面积。（单位：cm） 【答案】1364 cm2 【思路引导】观察上图可知，长方体上面有一个小正方体，组合体的表面积等于长方体的表面积加正方体4个面的面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方形的面积＝边长×边长，把数据代入分别计算出长方体的表面积和正方体4个面的面积，然后相加即可解答。 【规范解答】（20×10＋20×15＋10×15）×2＋4×4×4 ＝650×2＋64 ＝1300＋64 ＝1364（cm2） 图形的表面积是1364 cm2。 9．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）红红用48分米长的铁丝做一个长方体框架，已知长是6分米，高是2分米，那么宽是多少分米？如果给这个长方体框架的表面全部贴上卡纸，那么至少需要多少平方分米的卡纸？ 【答案】 宽：4分米，卡纸：88平方分米 【思路引导】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可以先求出一组长、宽、高的和，已知长和高，即可求出宽。给长方体框架表面贴卡纸，求卡纸的面积就是求长方体的表面积，利用长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【规范解答】长、宽、高的和为：48÷4＝12（分米），则宽为：12－6－2＝4（分米）； 表面积为： （6×4＋6×2＋4×2）×2 ＝（24＋12＋8）×2 ＝44×2 ＝88（平方分米） 答：宽是4分米，至少需要88平方分米的卡纸。 10．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）王芳找来一张长30厘米、宽24厘米的长方形彩纸，从彩纸的四个角各剪去一个边长2厘米的正方形，然后折成一个无盖的长方体纸盒。 (1)这个纸盒的容积是多少立方厘米？ (2)睿睿对涵涵说，如果从彩纸的四个角剪去的正方形边长越大，折成的无盖长方体纸盒的容积也越大。你同意这样的说法吗？用计算说明你的理由。 【答案】(1)1040立方厘米 (2)不同意；理由见详解 【思路引导】（1）从长方形彩纸的四个角剪去边长为2厘米的正方形后，折成的无盖长方体纸盒的长、宽是原长方形的长和宽各减去2个正方形边长，高为剪去正方形的边长。根据长方体容积公式，代入长、宽、高的数值即可计算。 （2）要判断“剪去的正方形边长越大，容积越大”是否正确，只需选取不同的边长（如4厘米、6厘米、8厘米）代入公式计算，比较容积大小即可发现，当边长增大到一定程度后，容积会减小，因此该说法不正确。 【规范解答】（1）长：30－2×2＝26（厘米） 宽：24－2×2＝20（厘米） 高：2厘米 26×20×2 ＝520×2 ＝1040（立方厘米） 答：这个纸盒的容积是1040立方厘米。 （2）答：不同意“剪去的正方形边长越大，折成的无盖长方体纸盒的容积也越大”的说法。理由如下：我们选取不同的正方形边长进行计算： 当正方形边长为4厘米时： ＝（30－2×4）×（24－2×4）×4 ＝（30－8）×（24－8）×4 ＝22×16×4 ＝352×4 ＝1408（立方厘米） 当正方形边长为6厘米时： ＝（30－2×6）×（24－2×6）×6 ＝（30－12）×（24－12）×6 ＝18×12×6 ＝216×6 ＝1296（立方厘米） 当正方形边长为8厘米时： ＝（30－2×8）×（24－2×8）×8 ＝（30－16）×（24－16）×8 ＝14×8×8 ＝112×8 ＝896（立方厘米） 可以看到，当边长从6厘米增加到8厘米时，容积从1296立方厘米减小到896立方厘米。因此，不同意“剪去的正方形边长越大，折成的无盖长方体纸盒的容积也越大”的说法。（答案不唯一） 【考点剖析】先根据剪去的正方形边长确定长方体的长、宽、高，再计算容积；通过举例计算可以发现，容积并非随正方形边长单调增大。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册重点难点培优讲练【举一反三】 第六单元 长方体和正方体『举一反三培优考点讲义』 【原卷版】 （导图+知识梳理+18个考点讲练+真题演练+难度分层练 共61题） 模块一 讲义简介 内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 考点 考点名称 考点 考点名称 考点一 长方体的展开图 考点十 正方体的体积 考点二 正方体的展开图 考点十一 体积的等积变形（长方体、正方体） 考点三 长方体表面积的计算 考点十二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 考点四 长方体表面积的应用 考点十三 组合体的体积（长方体、正方体) 考点五 正方体表面积的计算 考点十四 长方体、正方体的容积 考点六 正方体表面积的应用 考点十五 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 考点七 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 考点十六 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 考点八 组合体的表面积（长方体、正方体） 考点十七 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 考点九 长方体的体积 考点十八 体积与容积单位间的进率及换算 模块二 导图指引 梳理脉络 模块三 知识精讲 单元小结 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 模块四 考点讲练 培优提升 高频考点一 长方体的展开图 【典例精讲】（2025·上海闵行·小升初真题）学校的科创教室，像一座未来科技的魔法学院，有机器人、3D打印机、编程电脑和各种实验器材。在这里，你可以动手搭建、编程、实验，把天马行空的想象变成触手可及的现实。小丁丁就用3D打印了一堆正方体积木块叠放在一起，每个正方体积木的棱长都是2厘米，如果从三个不同方位看到的图形形状如下。 (1)这一堆正方体积木共有( )个，表面积是( )平方厘米； (2)小丁丁准备制作收纳盒来装这些积木，下图是一种带有正方形的长方体收纳盒展开图，小丁丁在制作时发现存在多余的面，你觉得多余的面是( )面（填字母）。如果图中长方形A的长是14厘米，宽是7厘米，那么修正后制作的这个收纳盒最多可以装正方体积木( )个（盖严盖子）。 【变式训练】（2025·辽宁鞍山·小升初真题）如图，把一张正方形铁皮沿虚线折叠，围成一个长方体的侧面，给这个长方体配一个底面，这个长方体的容积是多少毫升？ 高频考点二 正方体的展开图 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏扬州·期末）如图，一个正方体数字积木按照右图的箭头方向（前、右、前）转动，已知相对面上的两个数的和是8，当正方体积木转动到第二格时，积木朝上的面上的数是（    ）。 A．7 B．5 C．6 D．无法确定 【变式训练】（25-26三年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下面是一个正方体盒子的展开图，将它再次折成正方体盒子后，与“国”字相对的字是（    ）。 A．现 B．实 C．梦 D．我 高频考点三 长方体表面积的计算 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏苏州·期末）一个长方体，如果宽增加2厘米就成了正方体，表面积就增加了72平方厘米，原来长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【变式训练】（25-26六年级上·江苏盐城·期末）一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽5分米，高4分米。 (1)做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ (2)在鱼缸里注入60升水，水深多少分米？（玻璃厚度忽略不计） (3)再往水里放入一些鹅卵石，水面上升了0.4分米。鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 高频考点四 长方体表面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏扬州·期末）欢欢家进行装潢，需要粉刷家里所有的屋顶和墙壁。她量出自己卧室长4.5米，宽4米，高3米，算出卧室里门窗和衣柜的面积一共有12.3平方米，那她卧室粉刷的面积有多少平方米？ 【变式训练】（25-26六年级上·江苏泰州·期末）如图，一个长方体鱼缸前面的玻璃被打碎了。修理时至少需要新换( )平方分米玻璃。（玻璃的厚度忽略不计） 高频考点五 正方体表面积的计算 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏徐州·期末）用一根铁丝刚好围成一个长9分米、宽7分米、高8分米的长方体灯箱框架，如果把它改围成一个正方体框架（接头处忽略不计且铁丝没有剩余），那么这个正方体的棱长是( )分米，表面积是( )平方分米。 【变式训练】（25-26六年级上·江苏苏州·期中）如图中（每个小正方体的棱长是1厘米），一共有( )个小正方体，这个物体的表面积（含底面）是( )平方厘米；如果添几个完全相同的正方体，把这个物体补成大正方体，这个正方体表面积至少是( )平方厘米。 高频考点六 正方体表面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏连云港·期末）一个正方体，如果高减少4cm，这时表面积比原来减少320cm2。原来正方体的体积是( )dm3。如用玻璃做一个这样无盖的正方体鱼缸，需要玻璃( )dm2。 【变式训练】（24-25六年级上·江苏无锡·期末）市民广场搭了一个花台（如图）下面一个长方体，上面是一个正方体。 (1)如果要在花台的前面、后面、左面、右面和上面都插上鲜花，插花的面积一共有多少平方米？ (2)这个花台的体积是多少立方米？ 高频考点七 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏淮安·期末）如图，用27个相同的小正方体搭一个大正方体，从上面拿走一些小正方体，剩下部分的表面积与原来大正方体的表面积相等的情况是（    ）。 A．拿走⑧ B．拿走②⑤ C．拿走①②③ D．拿走②③⑧⑨ 【变式训练】（25-26六年级上·山西临汾·期末）把4个棱长为2厘米的正方体拼成长方体，拼成的长方体的表面积可能是( )平方厘米，也可能是( )平方厘米 高频考点八 组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏南通·期末）下图是用棱长1厘米的正方体摆成的物体。 (1)在方格图中画出从前面、右面和上面看到的图形。 (2)这个物体的表面积是( )平方厘米。至少移动( )个小正方体使它变成一个大正方体。 【变式训练】（25-26五年级·全国·寒假作业）下图是由棱长2厘米的正方体木块堆成的形体。 (1)它的表面积是( )平方厘米； (2)至少再堆上( )个相同的正方体后，就能变成一个大正方体。 高频考点九 长方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·广西桂林·期中）他们在长隆欢乐世界游玩时，看到一位魔术师把一个棱长为30厘米的正方体冰块，放进一个密闭的盒子里，瞬间变成了一个底面积是20平方厘米的长方体冰条，你知道长方体的冰条高多少米吗？ 【变式训练】（25-26六年级上·江苏泰州·期末）如图，有长方体容器A和B，容器A是空的，容器B中有水，水深24厘米。若将容器B中的水倒一部分给A，使得两个容器内的水深相等；这时两个容器内的水深是多少厘米？ 高频考点十 正方体的体积 【典例精讲】（25-26四年级上·安徽芜湖·期末）如图，将左边圆柱容器里的水全部倒入右边空的正方体容器内，正好装满这个正方体容器。左边圆柱容器的容量是( )升。 【变式训练】（25-26六年级上·江苏扬州·期末）在一个长8厘米，宽8厘米，高10厘米的长方体玻璃缸中浸没一个棱长4厘米正方体铁块。当铁块从水中取出时，玻璃缸中水面会下降多少厘米？ 高频考点十一 体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏扬州·期末）一个无盖长方体玻璃容器的长、宽、高分别为12厘米、8厘米、20厘米，容器中盛了一些水，已知水面高度为10厘米。 (1)容器中有水多少毫升？（玻璃厚度不计） (2)这时水与玻璃接触部分的面积是多少平方厘米？ (3)若将一根长方体方钢竖直插入容器底部，使方钢底面与容器底面接触。已知方钢高30厘米，底面是边长为4厘米的正方形。方钢插入后水面会上涨，则上涨后水面高度是多少厘米？ 【变式训练】（25-26六年级上·江苏苏州·期中）有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了7.2厘米深的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？ 高频考点十二 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）晓明发现一个长方体包装盒很有趣，从一个顶点出发的三条棱的长度恰好是三个连续的自然数。如果这个长方体的棱长之和是120分米，那么从一个顶点出发的三条棱的长度之和是( )分米，做这个包装盒至少需要( )平方米的硬纸板，这个包装盒最多能装( )个棱长为2分米的小正方体。 【变式训练】（25-26六年级上·江苏镇江·期中）一个长11厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体木块可以切成（    ）个棱长为2厘米的小正方体。 A．100 B．80 C．60 D．110 高频考点十三 组合体的体积（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）如下图，在一个正方体里挖去一个长方体，剩下的图形的表面积和体积各是多少？（单位：cm）。 【变式训练】（25-26六年级上·河南周口·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：dm） 高频考点十四 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（25-26六年级上·山西大同·期末）手工课上，李老师利用一张硬纸板制作了一个无盖的长方体收纳盒（如下图）。 (1)制作这个收纳盒一共用了多少平方厘米的硬纸板？ (2)这个收纳盒的容积是多少立方厘米？ 【变式训练】（25-26六年级上·安徽滁州·期末）有一块边长1米的正方形铁皮，从四个角上各剪去一个边长2分米的小正方形，做成了一个无盖长方体水槽（如图）。这个水槽的占地面积是( )平方分米，能盛水( )升。 高频考点十五 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏南京·期末）下图中所有的大球体积都相同，所有的小球体积也都相同。一个大球的体积是多少立方厘米？（单位：厘米） 【变式训练】（24-25五年级下·陕西西安·期中）如图，一个从里面量棱长为10厘米的正方体容器内水深5厘米，奇思想要测量一颗玻璃弹珠的体积，他把10颗相同的玻璃弹珠放入水中，测得这时水深大约5.2厘米。平均每颗玻璃弹珠的体积大约是多少立方厘米？ 高频考点十六 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米) 【典例精讲】（25-26六年级上·山西临汾·期末）在括号里填上合适的数和单位。 3.06升＝( )毫升     420立方分米＝( )立方米     米＝( )厘米 一个长方体火柴盒的体积大约是( )立方厘米。 学校要粉刷一间教室，粉刷的面积大约有45( )。 【变式训练】（24-25六年级上·江苏南通·期末）下面是某冰箱安装操作的部分要求： 1.电冰箱放在通风良好平整坚实的地面处，并进行调平。 2.电冰箱背面和两侧至少留10厘米空隙，顶部至少留20厘米的空隙，以保证空气流通。 3.避免阳光直射和一切热源，避免潮湿。电源插座专用，插座上插孔需接地。 刘阿姨家装修时预留了一个120厘米×100厘米×200厘米的空间，已知冰箱长90厘米、宽80厘米、体积是1260立方分米，给冰箱预留的空间合适吗？ 高频考点十七 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】（25-26六年级上·江苏徐州·期末）腊八节是我国的传统节日。腊八节这天妈妈用一个长20厘米、宽15厘米、高18厘米的无盖长方体玻璃容器泡腊八蒜，里面盛有12厘米高的醋。 (1)玻璃容器中有多少毫升的醋？ (2)若往容器里放入体积为2立方分米的腊八蒜，则容器里的醋（    ）。      A．会溢出 B．不会溢出 (3)在（2）的条件下，容器里的醋如果溢出，溢出多少毫升？如果不会溢出，现在醋的高度是多少厘米？ 【变式训练】．（25-26六年级上·福建厦门·期末）学校为了倡议大家提高节约用水的意识，开展了节约用水的主题活动。小明所在科学小组通过实验调查，发现一个坏掉的水龙头10分钟滴水200毫升。 (1)按照这个速度滴水，这个坏掉的水龙头一天会浪费多少升水？ (2)某区有50所学校，经调查统计，平均每所学校大约有2个坏掉的水龙头会滴水，按照上述的滴水速度计算，这些坏掉的水龙头一个月（30天）浪费的水够一个成年人喝几天？（一个成年人一天大约需要喝2升的水） (3)请你写出生活中节约用水的建议。（至少写两点） 高频考点十八 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（25-26六年级上·山西临汾·期末）计算说理：张明在超市发现一盒牛奶的长方体包装盒上标注“净含量250毫升”。他从外面量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米。请用你学过的知识解释这个标注是否合理？ 【变式训练】（25-26六年级上·安徽蚌埠·期末）公元前344年，商鞅任“大良造”时颁发了一件标准量器商鞅铜方升。这个长方体容器内口长约12厘米，宽约7厘米，深约2厘米。如果把105毫升水倒进商鞅铜方升中，那么水深多少厘米？ 模块五 真题演练 实战操作 【真题演练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）一瓶雪碧有2.5L，一个杯子的容积是200mL，可以装( )杯，剩下( )L。 【真题演练2】（2025·四川绵阳·小升初真题）一个边长为24厘米的正方形纸片，把它的四个角各剪去一个小正方形可做一个无盖的长方体盒子，这个长方体盒子的体积最大是多少？（接头处忽略不计） 【真题演练3】（2025·四川绵阳·小升初真题）粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 【真题演练4】（2025·四川绵阳·小升初真题）将一个棱长为5厘米的正方体切成完全一样的两块长方体后，它的表面积将增加( )平方厘米。 【真题演练5】（2025·北京丰台·小升初真题）“度量衡”是我国古代计量长度、容积、重量的标准或器具的统称，“度”用以计量长短；“量”用以测量容积大小；“衡”用以测量物体轻重。“商鞅方升”的重要物证——商鞅方升（如图），就是“度量衡”中的“量”，用来测量容积大小。它全长18.7厘米，内口长约12.5厘米，宽约7厘米，深约2.3厘米，容积便是商鞅规定的“一升”。算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的（    ）升。 A．0.2 B．1.5 C．0.6 D．2.3 模块六 分层训练 突破自我 基础夯实 能力提升 1．（25-26六年级上·山西临汾·期末）将一个棱长为厘米的正方体的高截去3厘米，这个正方体的体积减少了（    ）立方厘米。 A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·山西太原·期末）某产品说明书上标注包装尺寸为970mm×763mm×1885mm，它们分别表示这个长方体包装盒的长、宽、高，根据这组数据，联系生活实际想象一下，这个产品可能是（    ）。 A．一台电视机 B．一台微波炉 C．一部手机 D．一台冰箱 3．（24-25六年级下·江苏南通·期中）用3个棱长a厘米的小正方体拼成一个大的长方体，表面积减少（    ）平方厘米。 A．14a2 B．8a2 C．4a2 D．24a2 4．（24-25六年级下·江苏盐城·期中）6.02立方米＝( )立方分米        3.08立方分米＝( )升( )毫升 5．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）一种家电的外包装是一个长方体纸箱，它的长、宽、高如图所示。做这个长方体纸箱至少需要( )平方分米的硬纸板（衔接处不计），这个纸箱所占空间是( )立方分米。 6．（25-26六年级上·山西临汾·期末）小云从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面，展开后如图所示。这个长方体纸盒的底面积是______cm2，体积是______cm3。 7．（25-26六年级上·山西太原·期末）两个长方体茶叶盒，从外面量长、宽、高分别相等，则这两个包装盒容积相等。( )（判断对错） 8．（25-26六年级上·山西太原·期末）小芳和小军各买了1瓶同样的饮料。小芳正好倒满3杯，小军只倒了2杯多，小芳的杯子容积大。( )（判断对错） 9．（24-25六年级上·江苏徐州·期末）计算下面长方体的表面积和正方体的体积。 10．（24-25六年级下·广西桂林·期中）母亲节期间，“暖心礼品店”推出正方体礼盒套装，用于包装手工巧克力。礼盒棱长20厘米，表面覆盖金色锡纸（接头处忽略不计），内部填充泡沫颗粒保护巧克力。店员小李需要计算每个礼盒所需锡纸面积和泡沫填充量，以确定材料采购数量。 (1)包装一个礼盒至少需要多少平方厘米的金色锡纸？ (2)填充一个礼盒需要多少立方厘米的泡沫颗粒？ 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26六年级上·山西临汾·期末）一个长6分米，宽4分米，高5分米的盒子，最多能放（    ）个棱长为2分米的正方体木块。 A．10 B．12 C．14 D．15 2．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）水族馆定制了两个玻璃鱼缸，从外面量两个鱼缸同样大。其中一个鱼缸用的玻璃厚度都是8毫米，另一个鱼缸用的玻璃厚度都是5毫米。比较这两个鱼缸，它们的（    ）。 A．体积不等，容积不等 B．体积不等，容积相等 C．体积相等，容积不等 D．体积相等，容积相等 3．（25-26六年级上·江苏扬州·期末）在一个棱长为a的大正方体中，挖去一个棱长为b的小正方体，图①、图②和图③是三种不同的方法。（    ）剩下的表面积最大。 A．图① B．图② C．图③ D．无法确定 4．（25-26六年级上·广西桂林·期末）一个由小正方体搭成的立体图形（小正方体之间至少有一个面重合），从正面、上面和左面看到的形状都是，搭这个立体图形需要( )个小正方体。 5．（24-25五年级下·甘肃定西·期中）白露是秋季的第三个节气，此时人们有饮白露茶的习俗。小敏在爸爸的帮助下炮制了一些白露茶，作为礼物送给外公。每包白露茶用棱长为8cm的正方体小盒子包装（如图），然后把它们放入右面的大礼品盒中。 (1)大礼品盒最多能放( )个正方体小盒子。 (2)小敏要用彩纸包装大礼品盒，她至少要用( )cm2的彩纸。 6．（25-26六年级上·山西临汾·期末）一个长方体灯笼框架，长、宽、高恰好是三个连续自然数，且积是24，做这个灯笼框架需要竹条( )厘米，六个面糊上绵纸，需要( )平方厘米。 7．（25-26六年级上·山西太原·期末）长方体的面是长方形（也有可能有2个相对的面是正方形），相对的面完全相同。( )（判断对错） 8．（2025·四川绵阳·小升初真题）计算下图的表面积。（单位：cm） 9．（25-26六年级上·江苏宿迁·期末）红红用48分米长的铁丝做一个长方体框架，已知长是6分米，高是2分米，那么宽是多少分米？如果给这个长方体框架的表面全部贴上卡纸，那么至少需要多少平方分米的卡纸？ 10．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）王芳找来一张长30厘米、宽24厘米的长方形彩纸，从彩纸的四个角各剪去一个边长2厘米的正方形，然后折成一个无盖的长方体纸盒。 (1)这个纸盒的容积是多少立方厘米？ (2)睿睿对涵涵说，如果从彩纸的四个角剪去的正方形边长越大，折成的无盖长方体纸盒的容积也越大。你同意这样的说法吗？用计算说明你的理由。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $《长方体和正方体》知识总结 模块一：认识长方体和正方体 6个面，都是长方形 6个面，都是正方形且 特殊情况有2个正方形) 完全相同 高(h 12条棱，相对的 ·12条棱，长度都相等 棱长度相等 ·8个顶点 长(a) 宽(b)·8个顶点 棱长总和： 棱长(a) ·棱长总和：L=12a L=4×(a+b+h) 特殊关系：正方体是特殊的长方体 模块二：表面积 定义：6个面的面积之和 正方体表面积(Cube SA) a 长方体表面积 SA) b a 公式：S=2X(a×b+aXh+b×h) 公式：S=6Xa2 模块三：体积与容积 体积：物体所占空间的大小 容积：容器所能容纳物体的体积 通用 V=S×h(底面积×高) 体积公式： 长方体 V=axbxh(长×宽×高) 正方体 V=a3 (棱长×棱长×棱长) 模块四：单位与进率 体积单位：立方米(m3), 立方分米 (dm3),立方厘米(cm3) 容积单位：升(L),毫升(m) 1m 1000 1dm1000 01cm3 特殊对应：1L=1dm3 1L 1000 1ml 1ml=1cm3 的 注意：计算容积要从里面测量 趣味学习