第三单元 因数与倍数（举一反三讲义）知识梳理+十八大考点讲练+真题演练+难度分层练 共61题-2025-2026学年苏教版数学五年级下册重难点讲义

第三单元 因数与倍数 【导图+知识精讲+考点讲练+真题演练+难度分层练 共61题】 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系。 知识点三：奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四：质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 高频考点一：因数和倍数的认识 【典例精讲】（25-26五年级上·福建泉州·期末）如图是朝阳社区“健身挑战赛”的相关信息。 朝阳社区举办了一场为期30天的“健身挑战赛”。共有23名青少年和46名中老年人报名参与。活动结束后，“阳光之家”获得积分45分，“和睦之家”获得积分27分，社区决定对表现优异的家庭进行表彰。此外，为鼓励参与，社区还设立了“幸运奖”，获奖积分条件为13分。 关于横线上的数，下面说法错误的是（    ）。 A．27和23除了1以外没有其它公因数 B．13是13的最大因数 C．23是46的因数 D．30和45的最大公因数是5 【变式训练】（25-26五年级上·浙江金华·期末）A，B，C都是非0自然数，如果A是B的倍数，C是B的因数，那么A和C的关系是（    ）。 A．A是C的因数 B．A是C的倍数 C．A是倍数，C是因数 D．无法确定 高频考点二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广东梅州·期末）一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 【变式训练】．（25-26五年级上·广东深圳·期末）因数。鹏鹏尝试用不同的方法找出36的全部因数，其中方法（    ）是不正确的。 A．思考面积是36平方厘米的长方形，其长和宽可能是多少（长和宽均为整数厘米） B．写出积是36的所有整数乘法算式，两个乘数即为36的因数 C．写出被除数是36且没有余数的所有整数除法算式，除数和商即为36的因数 D．思考周长是36厘米的长方形，其长和宽可能是多少（长和宽均为整数厘米） 高频考点三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】 （24-25五年级下·山东菏泽·期中）为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？ 【变式训练】（24-25五年级下·江苏·假期作业）把48个球装在若干个盒子里，如果每个盒子里装的数量一样多，有多少种装法？每种装法各需要多少个盒子？每个盒子里装几个？ 高频考点四：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广东深圳·期末）课间游戏。翩鹊和同学们玩“抱团”游戏，口令为几，就几个人抱成一团。同学们发现当抱团口令为6或8时，每个人都可以抱团成功。抱团游戏的人数在20和30人之间，有( )人在玩游戏。 【变式训练】（25-26五年级上·辽宁营口·期末）一个数的最大因数和最小倍数的和是30，这个数是（    ）。 A．6 B．15 C．30 D．45 高频考点五：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）某水果店进行促销活动，园园买了一些赣南脐橙和南丰蜜橘。请你帮园园判断找回的钱对不对，并说明理由。 【变式训练】（23-24五年级下·河北保定·期中）100，98，96，94，…，6，4，2这些数都是( )的倍数，其中第20个数是( )。 高频考点六：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏连云港·期末）青青鲜花店鲜花销售价格如下，小华的妈妈在该鲜花店购买了一些康乃馨和郁金香，付给售货员50元，找回了13元。请你运用因数和倍数的有关知识，帮小华的妈妈判断找回的钱对不对，请说明理由。 鲜花销售价格 玫瑰3元/枝 康乃馨10元/枝 郁金香5元/枝 【变式训练】（23-24五年级下·山东潍坊·期中）清明节是二十四节气之一，也是中国民间的传统节日，有的地区素有吃青团的习俗。清明前一天，五（1）班的师生一起包青团，一共包了100多个，若每人分5个、3个或2个都刚好分完，则他们最少包了( )个，最多包了( )个。 高频考点七：2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级上·辽宁大连·期末）187至少减去( )就是2的倍数，至少减去( )就是5的倍数，至少加上( )就是3的倍数，至少加上( )就是2和5的共同倍数。 【变式训练】（25-26五年级上·广东深圳·期末）倍数。一个三位数，同时是2、3、5的倍数，关于这个数，下列说法正确的是（    ）。 ①一定是30的倍数。         ②个位上只能是0。 ③十位上的数不可以是7。       ④百位、十位、个位上的数字之和是3的倍数。 A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 高频考点八：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（2026五年级下·全国·专题练习）如图是一个六等分的转盘（转盘上的数字为 1、2、3、4、5、6，每个区域面积相等），游戏规则：指针指向奇数时青青赢，指向偶数时乐乐赢。这个游戏（    ）。 A．对青青有利 B．对乐乐有利 C．是公平的 D．无法判断 【变式训练】（25-26五年级上·天津河西·期末）哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。请在下面写出两个不同的算式，符合这一猜想。 ( )＝( )＋( )( )＝( )＋( ) 高频考点九：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广东深圳·期末）长白山矿泉水储量丰富，流量稳定。初步统计，已发现的矿泉点日涌水量达100多万吨。在已通过省级或国家级鉴定的48处矿泉水水源地中，适合建设大型矿泉水生产基地的水源有15处、适合建设中型矿泉水生产基地的水源有6处、适合建设小型矿泉水生产基地的水源有29处。在这些数中，( )是质数，( )同时是2、5的倍数，( )是( )的倍数，( )再加上1就是3的倍数，15和6的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【变式训练】（25-26四年级上·河北邢台·期末）从下面4张卡片中选两张组成一个两位数，( )是3的倍数；( )既是2的倍数，又是3的倍数；( )既是3的倍数，又是5的倍数。（各写出一个即可） 高频考点十：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西宝鸡·期末）437至少减少（    ），同时是2，3，5的倍数。 A．4 B．5 C．7 D．17 【变式训练】（24-25五年级上·广东深圳·期末）倍数。按要求在括号里填上一个数字。 (1)使这个两位数同时是2和3的倍数：( )2。 (2)使这个两位数同时是2、3和5的倍数：3( )。 高频考点十一：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·山东潍坊·期末）a÷b＝13（a、b都是非零自然数），那么b是a的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质数 D．合数 【变式训练】（25-26四年级上·河北承德·期末）在括号里填上合适的质数。 9＝( )＋( ) 15＝( )＋( ) 21＝( )＋( )  39＝( )＋( )    40＝( )＋( )＝( )＋( ) 高频考点十二：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级下·重庆綦江·期末）小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，（    ）数对了。 A．小明 B．小华 C．小敏 D．都对 【变式训练】（2025五年级下·全国·专题练习）张叔叔在花圃里种了几行玫瑰，每行的棵数相同。欢欢、笑笑和乐乐到张叔叔的花圃数了数玫瑰的总棵数。 他们谁数得对？为什么？ 高频考点十三：质因数的含义 【典例精讲】（24-25四年级下·山东泰安·期末）在42＝2×3×7中，2，3，7是42的( )数。 【变式训练】（24-25六年级下·山东济宁·期末）认真阅读材料，回答问题。 济宁市博物馆（北湖馆区）位于济宁市太白湖新区文化中心，由世界著名建筑设计大师马里奥·博塔主持设计，总建筑面积27237.73平方米，结构形式为框架架构，层数为地上4层，建筑高度29.3米。截至2022年末，济宁市博物馆藏品有161111件（套），珍贵文物有501件（套）。 济宁市博物馆（北湖馆区）总建筑面积27237.73平方米，这个数读作( )，精确到十分位约是( )。截至2022年末，藏品有161111件（套），161111省略万位后面的尾数约是( )万。博物馆地上4层，4是( )数（填“质”或“合”），它的因数有( )，其中( )是它的质因数。 高频考点十四：分解质因数 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【变式训练】（24-25五年级上·陕西西安·期末）若A＝2×3×5，B＝2×2×2×3，则A和B的最大公因数是（    ）。 A．6 B．12 C．10 D．15 高频考点十五：公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级上·广东深圳·期末）学校购置了36条跳绳和24个足球，要平均分给一些班级，且都没有剩余。若这些班级个数在10到15之间。那么，这些班级有( )个，每班分得( )根跳绳，每班分得( )个足球。 【变式训练】（24-25五年级下·北京通州·期末）甲、乙两个数的乘积是18，这两个数的最大公因数是3，这两个数的最小公倍数是( )。 高频考点十六：用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）学校买来长度分别为14m和10m的两根绳子，打算截成等长的跳绳。如果正好截完并且没有剩余，那么截成的跳绳最长是 m，此时一共能截成 根。空白处应该填（    ）。 ①2    ②5    ③7    ④12 A．①；④ B．②；④ C．①；③ D．③；④ 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）把一张长32cm、宽24cm的长方形纸剪成若干同样大小的正方形（纸无剩余），剪成的正方形的边长最长是多少厘米？ 想一想，要使剪成的正方形的边长最长，实际上是求32和24的（        ）。 32和24的最大公因数是（    ），所以剪成的正方形的边长最长是（    ）cm。 高频考点十七：公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（25-26五年级上·广东深圳·期末）跑步。爸爸和妈妈在环形跑道上跑步，他们同时从起点出发，爸爸跑一圈需要4分钟，妈妈跑一圈需要6分钟。至少经过（    ）分钟后，两人会再次在起点相遇。 A．3 B．4 C．12 D．24 【变式训练】（25-26五年级上·辽宁营口·期末）爸爸和笑笑在同一个环形跑道上跑步，爸爸跑一圈用4分，笑笑跑一圈用6分。两人从同一起点同时同方向起跑，他们( )分后可以在起点第一次相遇，这时爸爸跑了( )圈。 高频考点十八：用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（25-26五年级上·福建宁德·期末）甲、乙两人都参加了少年宫活动，甲每2天去训练一次，乙每5天去训练一次。若12月28日这天他们两人在少年宫碰面，则他们下一次在少年宫碰面是（    ）。 A．1月3日 B．1月5日 C．1月6日 D．1月7日 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）少年宫是12路和17路公共汽车的始发站，12路公共汽车每10分钟发一次车，17路公共汽车每12分钟发一次车。这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是什么时候？ 【演练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）10以内所有质数的积，减去既是2、3的倍数，又有因数5的最小三位数，差是( )。 【演练2】2025·四川绵阳·小升初真题）甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。如果2019年1月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们一起到图书馆相遇是( )月( )日。 【演练3】（2025·湖南长沙·小升初真题）在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数是__________。 【演练4】（2025·湖北武汉·小升初真题）参加跳绳比赛的学生分组进行计数，可以6人一组，也可以9人一组，学生总人数在40人以内，最多是( )人。 【演练5】（2025·重庆渝北·小升初真题）一次宴会后，要求男、女宾客不同桌，但每桌都按要求尽量坐满。如果要求8人一桌，则共需15桌；如果要求9人一桌则恰好坐满，如果要求10人一桌，则男宾客比女宾客多3桌。那么这次宴会中女宾客有______人。 基础夯实 能力提升 1．（25-26六年级·全国·随堂练习）1是所有非零自然数的（    ）。 A．公因数 B．公倍数 C．倍数 D．质因数 2．（25-26五年级上·吉林长春·期末）14和7的最大公因数是（    ）。 A．1 B．2 C．7 D．14 3．（25-26五年级上·安徽六安·期末）算式4×7＝28，下面说法正确的是（    ）。 A．4是因数 B．4和7的最小公倍数是28 C．4是28的倍数 D．4和7的最大公因数是7 4．（25-26五年级下·全国·课后作业）在四位数21□0的□里填入一个数字，使它同时是2，3，5的倍数，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26五年级下·全国·课后作业）按要求选择合适的数填在圈内。 1  2  5  8  10  24  46  59  415  672  320  458  15 发现：（              ）的数是2的倍数；（              ）的数是5的倍数；（          ）的数既是2的倍数，又是5的倍数。 6．（2025·四川绵阳·小升初真题）a÷b＝c（a、b、c均为整数，且b≠0），那么a和b的最小公倍数是( )。 7．（25-26五年级上·陕西汉中·期末）因为2.4÷0.4＝6，所以2.4是0.4的倍数。( )（判断对错） 8．（24-25五年级下·山东枣庄·期中）求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 36和60        54和72          27和72           44和77 9．（25-26五年级上·陕西榆林·期末）“快递连接你我他，快递进入寻常百姓家。”现在大部分小区有智能快递柜，解决了社区居民取快递最后“100米”的烦恼，这天，张阿姨收到一条取件码信息，取件码为ABCD四位数字，则张阿姨的取件码是多少？ 取件码ABCD中： A是一位数中最大的奇数； B是最小的合数； C是一位数中同时是2和3的倍数； D是比最小的质数大1的数。 10．（25-26五年级上·河南驻马店·期中）虎头帽，是以老虎为形象的，中国民间儿童服饰中比较典型的一种童帽样式，王奶奶做了42顶虎头帽，如果每2顶装一袋，能正好装完吗？如果每5顶装一袋，能正好装完吗？为什么？ 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25五年级上·吉林长春·期末）一个车牌号是吉A•XX△〇□（△、□、〇分别代表一位数）根据如图的信息，确定这个车牌号是吉A•XX（    ）。 A．3、2、1 B．1、3、1 C．9、2、1 D．9、4、1 2．（25-26五年级下·全国·课后作业）正方形的边长是一个质数，它的面积一定是（    ）。 A．奇数 B．合数 C．质数 D．偶数 3．（25-26五年级下·全国·课后作业）新趋势 数学文化  古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1，2，3，6，除6本身之外，还有1，2，3三个因数，，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中，是“完全数”的是（    ）。 A．40 B．36 C．28 D．12 4．（25-26五年级下·全国·课后作业）在方框里填上合适的数字。 (1)29□和55□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以填( )。 (2)14□同时是2和3的倍数，□里可以填( )。 (3)581□和29□既是2的倍数，又有因数3，□里可以填( )。 (4)42□同时是2，3和5的倍数，□里可以填( )。 5．（25-26五年级下·全国·课后作业）找出下面每组数的最小公倍数。 8和9 （    ）   6和24 （     ） 12和10  （       8和40（     ） 11和77  （   ）  9和10 （     ）  24和36  （    ）   30和45（     ） 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个三位数是3的倍数，如果去掉它的末位数，所得的两位数是19的倍数，这样的三位数中，最大的是( )。 7．（24-25五年级上·山东聊城·期末）在1～50的数中，如果质数有m个，则合数有个。( )（判断对错） 8．（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①7和12        ②45和30        ③28和14 9．（25-26五年级上·甘肃天水·期末）有一块长方形木板，长80厘米，宽60厘米。把它锯成最大的面积相等的小正方形木板，不许有剩余，可以锯成多少个小正方形？ 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）我国明代数学家程大位在《算法统宗》中记载了一个有趣的数学问题：山上有一座古寺叫“都来寺”，在这座寺庙里，3个和尚合吃1碗饭，4个和尚合喝1碗汤，他们一共用了364只碗，请问一共有多少个和尚？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 因数与倍数 【导图+知识精讲+考点讲练+真题演练+难度分层练 共61题】 同学你好，该份讲义用于苏教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系。 知识点三：奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四：质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 高频考点一：因数和倍数的认识 【典例精讲】（25-26五年级上·福建泉州·期末）如图是朝阳社区“健身挑战赛”的相关信息。 朝阳社区举办了一场为期30天的“健身挑战赛”。共有23名青少年和46名中老年人报名参与。活动结束后，“阳光之家”获得积分45分，“和睦之家”获得积分27分，社区决定对表现优异的家庭进行表彰。此外，为鼓励参与，社区还设立了“幸运奖”，获奖积分条件为13分。 关于横线上的数，下面说法错误的是（    ）。 A．27和23除了1以外没有其它公因数 B．13是13的最大因数 C．23是46的因数 D．30和45的最大公因数是5 【答案】D 【思路引导】A．分别列举27和23的因数，找出公因数并验证该选项是否正确。 B．根据因数的性质，一个数的最大因数就是它本身，所以13是13的最大因数。由此判断该选项是否正确。 C．因为，商是整数且没有余数，满足因数的定义。由此判断该选项是否正确。 D．先分别列出30和45的因数，再找出它们的最大公因数。由此判断该选项是否正确。 【规范解答】根据分析： A．23是质数，因数为1、23；27的因数为1、3、9、27。它们的公因数只有1，因此该表述是正确的。 B．一个数的最大因数是它本身。13的因数为1、13，所以13是13的最大因数，表述正确。 C．，商为整数且无余数，满足因数定义。因此23是46的因数，表述正确。 D．分解质因数：，。公共质因数为3和5，最大公因数为，不是5。因此该表述是错误的。 故答案为：D 【变式训练】（25-26五年级上·浙江金华·期末）A，B，C都是非0自然数，如果A是B的倍数，C是B的因数，那么A和C的关系是（    ）。 A．A是C的因数 B．A是C的倍数 C．A是倍数，C是因数 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】倍数和因数的关系：若非0自然数a＝ b×k（k为自然数），则a是b的倍数，b是a的因数。 A是B的倍数，则存在自然数m，使得A＝B×m；C是B的因数，则存在自然数n，使得B＝C×n。将B＝C×n代入A＝B×m，得到：A＝C×n×m。因为n、m都是自然数，所以n×m也是自然数，由此得出：A能被C整除，即A是C的倍数。 【规范解答】A．A＝C×（n×m）（n、m为自然数），A是C的倍数而非因数；举例：A＝12、C＝2，12不是2的因数，错误。 B．A＝C×（n×m），A是C的倍数；举例：A＝12、C＝2，12是2的倍数，正确。 C．倍数和因数是相互依存的概念，必须成对说明“谁是谁的倍数/因数”，不能单独定义，错误。 D．代入推导和具体数字验证，都能明确A与C的倍数关系，不存在无法确定的情况。 故答案为：B 高频考点二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广东梅州·期末）一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 32 4 【思路引导】求一个数的所有的因数的方法：有序地写出以这个数为积的所有整数乘法算式，算式中的每个因数都是该数的因数。 求一个数的倍数的方法：列乘法算式找，用这个数依次与正整数1，2，3，…相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【规范解答】32的因数：1、2、4、8、16、32； 4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32… 其中既是32的因数，又是4的倍数的数有：4、8、16、32。 所以这个数最大是32，最小是4。 【变式训练】．（25-26五年级上·广东深圳·期末）因数。鹏鹏尝试用不同的方法找出36的全部因数，其中方法（    ）是不正确的。 A．思考面积是36平方厘米的长方形，其长和宽可能是多少（长和宽均为整数厘米） B．写出积是36的所有整数乘法算式，两个乘数即为36的因数 C．写出被除数是36且没有余数的所有整数除法算式，除数和商即为36的因数 D．思考周长是36厘米的长方形，其长和宽可能是多少（长和宽均为整数厘米） 【答案】D 【思路引导】如果a×b＝c（a、b、c均为正整数），那么a和b是c的因数，或者如果a÷b＝c（a、b、c均为正整数），那么b和c是a的因数。根据因数的概念，分析各个选项中找因数的方法，即可解答。 【规范解答】A．长方形面积＝长×宽，在方格纸上长和宽都取整数时，长和宽是长方形面积的因数，方法正确。 B．整数乘法算式中，两个乘数都是积的因数，方法正确。 C．整数除算式中，除数和商是被除数的因数，方法正确。 D．长方形周长＝（长＋宽）×2； 如：长是13厘米，宽是5厘米。 （13＋5）×2 ＝18×2 ＝36（厘米） 13和5不是36的因数。 所以周长是36厘米的全部长方形中，长和宽不是周长的因数，方法错误。 高频考点三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】 （24-25五年级下·山东菏泽·期中）为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？ 【答案】 1行、2行、4行、8行、16行、32行；6种 【思路引导】每行的方格数和行数必须均为32的因数。通过列举32的所有因数，即可确定符合条件的行数。 【规范解答】32＝32×1＝16×2＝8×4 32的因数有：1、2、4、8、16、32，共6个。 答：可以排1行、2行、4行、8行、16行、32行，有6种不同的排法。 【变式训练】（24-25五年级下·江苏·假期作业）把48个球装在若干个盒子里，如果每个盒子里装的数量一样多，有多少种装法？每种装法各需要多少个盒子？每个盒子里装几个？ 【答案】10种；1盒，48个；2盒，24个；3盒，16个；4盒，12个； 6盒，8个；24盒，2个； 16盒，3个；12盒，4个；8盒，6个；48盒，1个 【思路引导】盒子个数与每盒球的个数都是总数48的因数，因此直接考虑48的因数有哪些即可。 【规范解答】48的因数：1、48、2、24、3、16、4、12、6、8。 48＝1×48所以装1盒，每盒装48个； 48＝2×24所以装2盒，每盒装24个； 48＝3×16所以装3盒，每盒装16个； 48＝4×12所以装4盒，每盒装12个； 48＝6×8所以装6盒，每盒装8个； 48＝8×6所以装8盒，每盒装6个； 48＝12×4所以装12盒，每盒装4个； 48＝16×3所以装16盒，每盒装3个； 48＝24×2所以装24盒，每盒装2个； 48＝48×1所以装48盒，每盒装1个； 答：有10种装法；装1盒，每盒装48个；装2盒，每盒装24个；装3盒，每盒装16个；装4盒，每盒装12个；装6盒，每盒装8个；装8盒，每盒装6个；装12盒，每盒装4个；装16盒，每盒装3个；装24盒，每盒装2个；装48盒，每盒装1个。 高频考点四：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广东深圳·期末）课间游戏。翩鹊和同学们玩“抱团”游戏，口令为几，就几个人抱成一团。同学们发现当抱团口令为6或8时，每个人都可以抱团成功。抱团游戏的人数在20和30人之间，有( )人在玩游戏。 【答案】24 【思路引导】“同学们发现当抱团口令为6或8时，每个人都可以抱团成功”说明抱团游戏的人数既是6的倍数又是8的倍数，因为抱团游戏的人数在20和30人之间，找到在20到30之间两个数共同的倍数即是抱团游戏的人数。 【规范解答】6的倍数：6、12、18、24、30、36……； 8的倍数：8、16、24、32、40、48……； 抱团游戏的人数在20和30人之间； 所以，有24人在玩游戏。 【变式训练】（25-26五年级上·辽宁营口·期末）一个数的最大因数和最小倍数的和是30，这个数是（    ）。 A．6 B．15 C．30 D．45 【答案】B 【思路引导】解答这道题需明确：一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的。所以，一个数最大的因数和最小的倍数都是它本身。一个数的最大因数和最小倍数的和是30，用30除以2即可得到这个数。 【规范解答】根据分析： 所以，这个数是15。 故答案为：B 高频考点五：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）某水果店进行促销活动，园园买了一些赣南脐橙和南丰蜜橘。请你帮园园判断找回的钱对不对，并说明理由。 【答案】找回的钱不对。理由见解析。 【思路引导】根据赣南脐橙和南丰蜜橘的单价，分析购买这两种水果所花费的钱数的个位数字特征，进而判断找回钱数是否正确。 【规范解答】找回的钱不对。 理由：赣南脐橙10元/份，南丰蜜橘5元/份，10和5都是5的倍数，所以购买这两种水果所花费的钱数一定是5的倍数，那么花费钱数的个位数字一定是0或5。 园园给了50元，50是5的倍数，个位是0，花费钱数个位是0或5，那么找回的钱数个位上一定是5或0，而实际找回12元，个位是2，所以找回的钱不对。 【变式训练】（23-24五年级下·河北保定·期中）100，98，96，94，…，6，4，2这些数都是( )的倍数，其中第20个数是( )。 【答案】 2 62 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 观察100，98，96，94，…，6，4，2，发现它们都是2的倍数，相邻两个数相差2，从100开始递减排列；所以第20个数与100相差了19个2，据此求出第20个数。 【规范解答】100，98，96，94，…，6，4，2这些数都是2的倍数； 100－（20－1）×2 ＝100－19×2 ＝100－38 ＝62 其中第20个数是62。 高频考点六：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏连云港·期末）青青鲜花店鲜花销售价格如下，小华的妈妈在该鲜花店购买了一些康乃馨和郁金香，付给售货员50元，找回了13元。请你运用因数和倍数的有关知识，帮小华的妈妈判断找回的钱对不对，请说明理由。 鲜花销售价格 玫瑰3元/枝 康乃馨10元/枝 郁金香5元/枝 【答案】 不对，过程见详解 【思路引导】已知康乃馨10元/枝，郁金香5元/枝。10是5的倍数，5本身是5的倍数，所以不管购买几枝康乃馨和郁金香，花费的总金额一定是5的倍数。小华妈妈付给售货员50元，找回13元，则花费的金额为50−13＝37元。37不是5的倍数，这与前面分析的 “花费总金额一定是5的倍数” 相矛盾。 【规范解答】50－13＝37（元） 设购买康乃馨a枝，郁金香b枝， 则总共花费：10a＋5b＝5×（2a＋b） 5×（2a＋b）有因数5，所以妈妈买花的钱必是5的倍数。 37÷5＝7……2，因此37不是5的倍数。 答：实际花费37元不符合总花费的倍数性质，因此找回的13元不正确。 【变式训练】（23-24五年级下·山东潍坊·期中）清明节是二十四节气之一，也是中国民间的传统节日，有的地区素有吃青团的习俗。清明前一天，五（1）班的师生一起包青团，一共包了100多个，若每人分5个、3个或2个都刚好分完，则他们最少包了( )个，最多包了( )个。 【答案】 120 180 【思路引导】求出5、3、2的最小公倍数，再找最接近100且大于100的这个最小公倍数的倍数，最接近200且小于200的这个最小公倍数的倍数，即可解答。 【规范解答】5、3、2的最小公倍数是5×3×2＝30 30×4＝120（个） 30×6＝180（个） 清明节是二十四节气之一，也是中国民间的传统节日，有的地区素有吃青团的习俗。清明前一天，五（1）班的师生一起包青团，一共包了100多个，若每人分5个、3个或2个都刚好分完，则他们最少包了120个，最多包了180个。 高频考点七：2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级上·辽宁大连·期末）187至少减去( )就是2的倍数，至少减去( )就是5的倍数，至少加上( )就是3的倍数，至少加上( )就是2和5的共同倍数。 【答案】 1 2 2 3 【思路引导】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数。 3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数的数是3的倍数。 2和5的共同倍数特征：个位是0的数是2和5的共同倍数。 【规范解答】187的个位是7，要变成2的倍数，需要减去1，使个位变为6，即187－1＝186，186是2的倍数。 187的个位是7，要变成5的倍数，需要减去2，使个位变为5，即187－2＝185，185是5的倍数。 187各位数字之和为1＋8＋7＝16，比16大且最接近的3的倍数是18，所以需要加上18－16＝2，即187＋2＝189，189是3的倍数。 187的个位是7，要变成个位为0的数，需要加上3，即187＋3＝190，190是2和5的共同倍数。 所以187至少减去1就是2的倍数，至少减去2就是5的倍数，至少加上2就是3的倍数，至少加上3就是2和5的共同倍数。 【变式训练】（25-26五年级上·广东深圳·期末）倍数。一个三位数，同时是2、3、5的倍数，关于这个数，下列说法正确的是（    ）。 ①一定是30的倍数。         ②个位上只能是0。 ③十位上的数不可以是7。       ④百位、十位、个位上的数字之和是3的倍数。 A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【思路引导】一个数同时是2、3、5的倍数，需要同时满足两个条件： 第一个条件：个位是0，即满足2和5的倍数特征； 第二个条件：各位数字之和是3的倍数，即满足3的倍数特征； 【规范解答】①2、3、5的最小公倍数为2×3×5＝30，因此同时是这三个数倍数的数一定是30的倍数，说法正确； ②同时是2和5的倍数，个位只能是0，说法正确； ③例如270是2、3、5的倍数，且十位是7，说法错误； ④是3的倍数的数，各位数字之和必须是3的倍数，说法正确。 因此，正确的说法为①②④ 故答案为：B 【考点剖析】综合运用2、3、5的倍数特征，以及最小公倍数的概念来判断说法的正确性。 高频考点八：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（2026五年级下·全国·专题练习）如图是一个六等分的转盘（转盘上的数字为 1、2、3、4、5、6，每个区域面积相等），游戏规则：指针指向奇数时青青赢，指向偶数时乐乐赢。这个游戏（    ）。 A．对青青有利 B．对乐乐有利 C．是公平的 D．无法判断 【答案】C 【思路引导】根据题意，转盘被六等分，每个区域面积相等，数字为1、2、3、4、5、6。我们可以先分别数出其中奇数和偶数的个数，结合六等分的条件，说明每个数字被指针指向的机会相同，通过比较奇数和偶数的个数是否相等来判断游戏是否公平，据此解答。 【规范解答】转盘被六等分，共6个数字区域。 奇数有1、3、5，共3个； 偶数有2、4、6，共3个。 因为奇数和偶数的个数一样，且每个区域被指向的机会相同，所以青青和乐乐赢的机会相同，游戏是公平的。 故答案为：C 【变式训练】（25-26五年级上·天津河西·期末）哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。请在下面写出两个不同的算式，符合这一猜想。 ( )＝( )＋( )( )＝( )＋( ) 【答案】 8 3 5 10 3 7 【思路引导】根据题意，首先明确哥德巴赫猜想（偶数情形）的定义：任何不小于4的偶数，都可以表示为两个质数相加的形式。 确定偶数：选择两个不小于4的不同偶数，比如8和10。 寻找质数组合： 偶数8，先列出小于8的质数：2、3、5、7。再从中找出两个质数相加等于8的组合，例如3＋5＝8。 偶数10，列出小于10的质数：2、3、5、7。再从中找出两个质数相加等于10的组合，例如3＋7＝10。据此解答。 【规范解答】选择偶数8：质数3与5相加：3＋5＝8 选择偶数10：质数3与7相加：3＋7＝10 综上所述可得，8＝3＋5；10＝3＋7（答案不唯一） 高频考点九：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广东深圳·期末）长白山矿泉水储量丰富，流量稳定。初步统计，已发现的矿泉点日涌水量达100多万吨。在已通过省级或国家级鉴定的48处矿泉水水源地中，适合建设大型矿泉水生产基地的水源有15处、适合建设中型矿泉水生产基地的水源有6处、适合建设小型矿泉水生产基地的水源有29处。在这些数中，( )是质数，( )同时是2、5的倍数，( )是( )的倍数，( )再加上1就是3的倍数，15和6的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 29 100 48 6 29 3 30 【思路引导】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【规范解答】15＝3×5、6＝2×3 2×3×5＝30 长白山矿泉水储量丰富，流量稳定。初步统计，已发现的矿泉点日涌水量达100多万吨。在已通过省级或国家级鉴定的48处矿泉水水源地中，适合建设大型矿泉水生产基地的水源有15处、适合建设中型矿泉水生产基地的水源有6处、适合建设小型矿泉水生产基地的水源有29处。在这些数中，29是质数，100同时是2、5的倍数，48是6的倍数，29再加上1就是3的倍数，15和6的最大公因数是3，最小公倍数是30。 【变式训练】（25-26四年级上·河北邢台·期末）从下面4张卡片中选两张组成一个两位数，( )是3的倍数；( )既是2的倍数，又是3的倍数；( )既是3的倍数，又是5的倍数。（各写出一个即可） 【答案】 24； 24 45 【思路引导】2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数。由此写出符合题意的数即可。 【规范解答】，则24是3的倍数（答案不唯一）； ；（答案不唯一）则24既是2的倍数，又是3的倍数； ，，则45既是3的倍数，又是5的倍数。 高频考点十：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级上·陕西宝鸡·期末）437至少减少（    ），同时是2，3，5的倍数。 A．4 B．5 C．7 D．17 【答案】D 【思路引导】同时是2，3，5的倍数特征：个位数字是0，且各个数位上的数字之和能被3整除。要使437的个位数字是0，用437－7＝430，而430中，各个数位上的数字之和为4＋3＋0＝7，7不能被3整除，可将十位上的数字减少1即将430减少10变成420，此时各个数位上的数字之和为4＋2＋0＝6，6÷3＝2，即6是3的倍数，所以420同时是2，3，5的倍数。所以437至少减少437－420＝17，同时是2，3，5的倍数。 【规范解答】根据分析： 437－7＝430 430－10＝420 437－420＝17 437至少减少17，同时是2，3，5的倍数。 故答案为：D 【变式训练】（24-25五年级上·广东深圳·期末）倍数。按要求在括号里填上一个数字。 (1)使这个两位数同时是2和3的倍数：( )2。 (2)使这个两位数同时是2、3和5的倍数：3( )。 【答案】(1)1/4/7 (2)0 【思路引导】2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8； 3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数； 5的倍数的特征：个位上的数字是0或5； （1）同时是2和3的倍数：个位上是0、2、4、6、8且各个数位上的数的和是3的倍数；已知个位上是2，满足2的倍数的特征，只需十位上的数加上2的和是3的倍数即可； （2）同时是2、3和5的倍数：个位上是0，且各个数位上的数字和是3的倍数。 【规范解答】（1）1＋2＝3，3是3的倍数，则十位上可以填1； 4＋2＝6，6是3的倍数，则十位上可以填4； 7＋2＝9，9是3的倍数，则十位上可以填7； 所以，使这个两位数同时是2和3的倍数：12、42、72。 （2）要使这个两位数同时是2、3和5的倍数，个位数字必须是0，3＋0＝3，3是3的倍数； 所以，使这个两位数同时是2、3和5的倍数：30。 高频考点十一：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级上·山东潍坊·期末）a÷b＝13（a、b都是非零自然数），那么b是a的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质数 D．合数 【答案】B 【思路引导】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的。质数：大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数。合数：大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他因数。据此解答。 【规范解答】因为a÷b＝13（a、b都是非零自然数），所以b是a的因数。 故答案为：B 【变式训练】（25-26四年级上·河北承德·期末）在括号里填上合适的质数。 9＝( )＋( ) 15＝( )＋( ) 21＝( )＋( )  39＝( )＋( )    40＝( )＋( )＝( )＋( ) 【答案】 2 7 2 13 2 19 2 37 3 37 11 29 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。50以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。 （1）经过尝试可知，9可以分成质数2和质数7，即9＝2＋7。 （2）经过尝试可知，15可以分成质数2和质数13，即15＝2＋13。 （3）经过尝试可知，21可以分成质数2和质数19，即21＝2＋19。 （4）经过尝试可知，39可以分成质数2和质数37，即39＝2＋37。 （5）经过尝试可知，40可以分成质数3和质数37，还可以分成质数11和质数29，即40＝3＋37＝11＋29。 【规范解答】9＝2＋7；15＝2＋13 21＝2＋19；39＝2＋37 40＝3＋37＝11＋29（答案不唯一） 高频考点十二：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级下·重庆綦江·期末）小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，（    ）数对了。 A．小明 B．小华 C．小敏 D．都对 【答案】B 【思路引导】根据题意，银杏树的总棵数应能被行数和每行棵数整除，即总棵数为合数。判断71、78、79是否为质数：71和79是质数，无法分解为两个大于1的整数相乘；78是合数，符合条件。因此小华数对了。 【规范解答】根据分析可知，小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，小华数对了。 故答案为：B 【变式训练】（2025五年级下·全国·专题练习）张叔叔在花圃里种了几行玫瑰，每行的棵数相同。欢欢、笑笑和乐乐到张叔叔的花圃数了数玫瑰的总棵数。 他们谁数得对？为什么？ 【答案】笑笑；理由见详解 【思路引导】先根据质数和合数的意义，分析43、47、48是质数还是合数，质数不可能有几行，且每行的棵数相同；合数才可能有几行，且每行的棵数相同。据此解答。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【规范解答】43的因数：1，43； 48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 47的因数：1，47； 43、47是质数，不可能有几行，且每行的棵数相同； 48是合数，有可能种了2行，每行24棵；或种了3行，每行16棵；或种了4行，每棵12棵；或种了6行，每行8棵；或种了8行，每行6棵；或种了12行，每行4棵；或种了16行，每行3棵；或种了24行，每行2棵。 答：笑笑数对了。43、47都是质数，不可能有几行，且每行的棵数相同；48是合数，才可能有几行，且每行的棵数相同。 高频考点十三：质因数的含义 【典例精讲】（24-25四年级下·山东泰安·期末）在42＝2×3×7中，2，3，7是42的( )数。 【答案】质因 【思路引导】如果一个整数的因数是质数，为质数的因数就叫做这个数的质因数；所谓质因数就是，当我们把一个整数写成若干个整数的积的时候，如果每个因数都是质数，那么这些因数都叫原数的质因数，据此解答。 【规范解答】由分析可知，在42＝2×3×7中，2，3，7是42的质因数。 【变式训练】（24-25六年级下·山东济宁·期末）认真阅读材料，回答问题。 济宁市博物馆（北湖馆区）位于济宁市太白湖新区文化中心，由世界著名建筑设计大师马里奥·博塔主持设计，总建筑面积27237.73平方米，结构形式为框架架构，层数为地上4层，建筑高度29.3米。截至2022年末，济宁市博物馆藏品有161111件（套），珍贵文物有501件（套）。 济宁市博物馆（北湖馆区）总建筑面积27237.73平方米，这个数读作( )，精确到十分位约是( )。截至2022年末，藏品有161111件（套），161111省略万位后面的尾数约是( )万。博物馆地上4层，4是( )数（填“质”或“合”），它的因数有( )，其中( )是它的质因数。 【答案】 二万七千二百三十七点七三 27237.7 16 合 1、2、4 2 【思路引导】小数的读法：整数部分按照整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分按顺序依次读出每一位上的数字。运用“四舍五入”法精确到十分位，看百分位上的数，大于等于5向十分位进1，小于5直接舍去；省略万后面的尾数要看千位上的数，根据四舍五入法的原则，若千位上的数字大于等于5，就向万位进1；若千位上的数字小于5，就舍去千位及其后面数位上的数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。如果一个整数的因数是质数，则称它为这个数的质因数。据此解答。 【规范解答】27237.73读作：二万七千二百三十七点七三 27237.73≈27237.7 161111≈16万 4＝1×4＝2×2 所以4的因数有：1、2、4，其中2是质数，所以2是4的质因数。 综上可得：济宁市博物馆（北湖馆区）总建筑面积27237.73平方米，这个数读作二万七千二百三十七点七三，精确到十分位约是27237.7。截至2022年末，藏品有161111件（套），161111省略万位后面的尾数约是16万。博物馆地上4层，4是合数（填“质”或“合”），它的因数有1、2、4，其中2是它的质因数。 高频考点十四：分解质因数 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）动物救助站的叔叔阿姨们想把69袋猫粮和50条鱼干分次全部平均分给救助站的小猫，每只小猫分到的猫粮和鱼干都要相同。结果分完后发现猫粮还缺3袋，鱼干剩下了2条。动物救助站最多有多少只小猫？ 【答案】 24只 【思路引导】已知猫粮有69袋，分完缺3袋，所以实际需要的猫粮袋数用加法为72袋； 鱼干有50条，分完剩2条，所以实际可分的鱼干条数＝总鱼干数－剩余条数，即48条； 对72和48分解质因数，72 和48最大公因数为24，所以最多有24只小猫。 【规范解答】（袋） （条） 答：动物救助站最多有24只小猫. 【考点剖析】先根据已知条件求出实际可平均分的猫粮袋数和鱼干条数，再通过求这两个数的最大公因数确定小猫的最多数量。 【变式训练】（24-25五年级上·陕西西安·期末）若A＝2×3×5，B＝2×2×2×3，则A和B的最大公因数是（    ）。 A．6 B．12 C．10 D．15 【答案】A 【思路引导】已知A＝2×3×5，B＝2×2×2×3，对比A和B的质因数，能发现两者都包含的质因数是2和3，这两个就是它们的公有质因数。最大公因数就是所有公有质因数的乘积，即2×3＝6，因此A和B的最大公因数是6。 【规范解答】2×3＝6 所以A和B的最大公因数是6。 故答案为：A 高频考点十五：公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级上·广东深圳·期末）学校购置了36条跳绳和24个足球，要平均分给一些班级，且都没有剩余。若这些班级个数在10到15之间。那么，这些班级有( )个，每班分得( )根跳绳，每班分得( )个足球。 【答案】 12 3 2 【思路引导】利用短除法求出跳绳的条数36和足球的个数24的公因数，在10到15之间的公因数即为班级的个数，平均每个班级分跳绳的根数等于跳绳的总根数除以分的班级个数；平均每个班级分足球的个数等于足球的总个数除以分的班级个数。 短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。 把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 【规范解答】 36和24的最大公因数是2×2×3＝12，这些班级有12个； 36÷12＝3（根） 24÷12＝2（个）。 这些班级有12个，每班分得3根跳绳，每班分得2个足球。 【变式训练】（24-25五年级下·北京通州·期末）甲、乙两个数的乘积是18，这两个数的最大公因数是3，这两个数的最小公倍数是( )。 【答案】6 【思路引导】两数乘积即为两个数的最大公因数和两个数的最小公倍数的乘积，据此解答。 【规范解答】18÷3＝6 这两个数的最小公倍数是6。 高频考点十六：用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）学校买来长度分别为14m和10m的两根绳子，打算截成等长的跳绳。如果正好截完并且没有剩余，那么截成的跳绳最长是 m，此时一共能截成 根。空白处应该填（    ）。 ①2    ②5    ③7    ④12 A．①；④ B．②；④ C．①；③ D．③；④ 【答案】A 【思路引导】要将两根绳子截成等长且无剩余的跳绳，最长跳绳长度是两根绳子长度的最大公因数；利用分解质因数法求出最大公因数，再通过每根绳子长度除以最大公因数，得到各自的段数，相加即为总段数。 【规范解答】求最长跳绳长度（最大公因数）： 分解质因数：，，两者的公共质因数是2，因此最长跳绳长度是2m。 计算总段数：（根），（根）， 总段数：（根） 截成的跳绳最长是2m，此时一共能截成12根。 故答案为：A 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）把一张长32cm、宽24cm的长方形纸剪成若干同样大小的正方形（纸无剩余），剪成的正方形的边长最长是多少厘米？ 想一想，要使剪成的正方形的边长最长，实际上是求32和24的（        ）。 32和24的最大公因数是（    ），所以剪成的正方形的边长最长是（    ）cm。 【答案】最大公因数；8；8 【思路引导】把一张长32cm、宽24cm的长方形纸剪成若干同样大小的正方形，且剪成的正方形的边长最长，实际上是求32和24的最大公因数，把32和24进行分解质因数，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数。由此解答即可。 【规范解答】 所以32和24的最大公因数是：。 想一想，要使剪成的正方形的边长最长，实际上是求32和24的最大公因数。 32和24的最大公因数是8，所以剪成的正方形的边长最长是8cm。 高频考点十七：公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（25-26五年级上·广东深圳·期末）跑步。爸爸和妈妈在环形跑道上跑步，他们同时从起点出发，爸爸跑一圈需要4分钟，妈妈跑一圈需要6分钟。至少经过（    ）分钟后，两人会再次在起点相遇。 A．3 B．4 C．12 D．24 【答案】C 【思路引导】爸爸跑一圈要4分钟，妈妈跑一圈要6分钟，两人再次在起点相遇的时间，就是4和6的最小公倍数。我们可以用列举法来求出这个最小公倍数，从而得到答案。 【规范解答】4的倍数：4，8，12，16，20… 6的倍数：6，12，18，24… 4和6的最小公倍数是12 所以至少经过12分钟后，两人会再次在起点相遇。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查最小公倍数的实际应用，关键是理解“再次在起点相遇”的时间就是两人跑一圈所用时间的最小公倍数。 【变式训练】（25-26五年级上·辽宁营口·期末）爸爸和笑笑在同一个环形跑道上跑步，爸爸跑一圈用4分，笑笑跑一圈用6分。两人从同一起点同时同方向起跑，他们( )分后可以在起点第一次相遇，这时爸爸跑了( )圈。 【答案】 12 3 【思路引导】两人从同一起点同时同方向起跑，要在起点第一次相遇，意味着爸爸和笑笑都刚好跑了整数圈，所用时间必须是爸爸跑一圈时间（4分钟）和笑笑跑一圈时间（6分钟）的公倍数，而“第一次相遇”对应的就是最小公倍数。先把4和6分解成质数相乘的形式，取公有的质因数一次，再乘上各自独有的质因数，相乘就是它们的最小公倍数。求出相遇时间后，用总时间除以爸爸跑一圈需要的时间，求出爸爸跑的圈数。 【规范解答】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3 ＝4×3 ＝12 所以最小公倍数是12，即他们12分后可以在起点第一次相遇。 12÷4＝3（圈） 所以这时爸爸跑了3圈。 高频考点十八：用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（25-26五年级上·福建宁德·期末）甲、乙两人都参加了少年宫活动，甲每2天去训练一次，乙每5天去训练一次。若12月28日这天他们两人在少年宫碰面，则他们下一次在少年宫碰面是（    ）。 A．1月3日 B．1月5日 C．1月6日 D．1月7日 【答案】D 【思路引导】甲每2天去一次，乙每5天去一次，两人要再次相遇，经过的天数必须是2和5的公倍数，求“下一次”相遇，就是求它们的最小公倍数。因为2和5是互质数（只有公因数1），所以最小公倍数 ＝2×5＝10，即两人再过10天会再次相遇。12月是大月，有31天。从12月28日到12月31日，经过的天数：31－28＝3天。总共需要等10天，已经过了3天，还需要等：10－3＝7 天。因此，相遇日期就是次年的1月7日。 【规范解答】求2和5的最小公倍数：2×5＝10（天），即再过10天相遇。 12月有31天，31－28＝3（天） 剩余天数：10－3＝7（天），即次年1月7日。 所以他们下一次在少年宫碰面是1月7日。 故答案为：D 【变式训练】（24-25五年级下·全国·课后作业）少年宫是12路和17路公共汽车的始发站，12路公共汽车每10分钟发一次车，17路公共汽车每12分钟发一次车。这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是什么时候？ 【答案】7：00 【思路引导】用枚举法，不重复不遗漏有序列举出12路车与17路车每一次发车时间后，比较得出下一次同时发车时间。 【规范解答】10分钟发一次车，12路车发车时间：6：00、6：10、6：20、6：30、6：40、6：50、7：00、7：10…… 12分钟发一次车，17路车发车时间：6：00、6：12、6：24、6：36、6：48、7：00、7：12、7：24…… 12路车与17路车下次同时发车时间是：7：00。 答：这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是7：00。 【演练1】（2025·四川绵阳·小升初真题）10以内所有质数的积，减去既是2、3的倍数，又有因数5的最小三位数，差是( )。 【答案】90 【思路引导】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数； 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】10以内所有质数为：2、3、5、7， 10以内所有质数的积为2×3×5×7＝210 既是2、3的倍数，又有因数5的最小三位数的个位为0，1＋2＝3，则这个最小三位数为120； 210－120＝90 则10以内所有质数的积，减去既是2、3的倍数，又有因数5的最小三位数，差是90。 【演练2】2025·四川绵阳·小升初真题）甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。如果2019年1月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们一起到图书馆相遇是( )月( )日。 【答案】 3 18 【思路引导】根据题意可知，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。他们于2019年1月5日这一天在图书馆相遇，那么距离下一次他们一起到图书馆相遇的天数应该是6、8、9的最小公倍数。即找到6天，8天，9天的最小公倍数，即可知道他们一起到图书馆是几天之后，用1月5日加上这个天数即可求得下一次他们一起到图书馆相遇的时间。 【规范解答】6＝2×3； 8＝2×2×2； 9＝3×3； 2×2×2×3×3＝72（天） 31－5＝26（天） 2019÷4＝504……3，则2019年是平年，2月有28天。 26＋28＝54（天） 72－54＝18（天） 即下一次他们一起到图书馆相遇是3月18日。 【演练3】（2025·湖南长沙·小升初真题）在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数是__________。 【答案】 258，259，260 【思路引导】分别能被3和7整除的最小两个连续自然数是6和7，下一个连续自然数是8。3和7的最小公倍数是21，所以考虑8加上21的整数倍所得的数能被13整除。因为要求的三个连续自然数在200至300之间，所以只有21×12＋8＝260能被13整除，那么258、259、260这三个连续自然数依次分别能被3、7、13整除。 【规范解答】根据分析： 21×12＋8 ＝252＋8 ＝260 260÷13＝20，能被13整除，符合题意； （260－1）÷7 ＝259÷7 ＝37，能被7整除，符合题意； （259－1）÷3 ＝258÷3 ＝86，能被3整除，符合题意。 在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数是258，259，260。 【演练4】（2025·湖北武汉·小升初真题）参加跳绳比赛的学生分组进行计数，可以6人一组，也可以9人一组，学生总人数在40人以内，最多是( )人。 【答案】36 【规范解答】由题意可知，这些学生的总人数应是6和9的公倍数，先求出6和9的最小公倍数，再结合这些学生的总人数在40人以内解答即可。 【解答】6＝2×3 9＝3×3 6和9的最小公倍数为：2×3×3＝18 18×2＝36（人） 则最多是36人。 所以，如果这些学生的总人数在40人以内，最多是36人。 【演练5】（2025·重庆渝北·小升初真题）一次宴会后，要求男、女宾客不同桌，但每桌都按要求尽量坐满。如果要求8人一桌，则共需15桌；如果要求9人一桌则恰好坐满，如果要求10人一桌，则男宾客比女宾客多3桌。那么这次宴会中女宾客有______人。 【答案】45 【思路引导】每桌都是8人，如果最后两桌坐男女各1人，男、女总人数最少（15－2）×8＋1＋1＝13×8＋1＋1＝104＋1＋1＝106（人）；让15桌都坐满，人数最多为15×8＝120（人）。总人数范围为106~120人。 每桌9人，恰好全部坐满，说明男、女宾客数都是9的倍数，那么总人数也是9的倍数，在106~120中只有108和117，所以共有108人或117人。 每桌10人，男宾客比女宾客多3桌，这样男、女至少相差（3－1）×10＋1＝2×10＋1＝20＋1＝21（人），最多相差9＋3×10＝9＋30＝39人。相差量在21~39人，同时差量也是9的倍数，只能是27或36。 根据和与差具有相同的奇偶性，得到两种情况：总宾客人数是奇数117人，相差27人；或者宾客总人数为偶数108人，相差36人。 若男、女宾客共108人，男宾客比女宾客多36人，得到男宾客有（108＋36）÷2＝144÷2＝72人，女宾客有（108－36）÷2＝72÷2＝36人。如果8人一桌，男宾客有72÷8＝9桌，女宾客有36÷8＝4（桌）……4（人），即有5桌。共9＋5＝14桌，不满足条件。 若男、女宾客共117人，男宾客比女宾客多27人。得到男宾客有（117＋27）÷2＝72（人），女宾客有（117－27）÷2＝90÷2＝45（人）。如果8人一桌，男宾客有72÷8＝9桌，女宾客有45÷8＝5（桌）……5（人），即有6桌。共9＋6＝15桌，满足条件。 【规范解答】每桌都是8人： （15－2）×8＋1＋1 ＝13×8＋1＋1 ＝104＋1＋1 ＝106（人） 15桌都坐满：15×8＝120（人） 总人数范围为106~120人。 每桌9人，恰好全部坐满，总人数是9的倍数，所以共有108人或117人。 每桌10人，男、女至少相差： （3－1）×10＋1 ＝2×10＋1 ＝20＋1 ＝21（人） 最多相差： 9＋3×10 ＝9＋30 ＝39（人） 相差量在21～39人，差量也是9的倍数，只能是27或36。 （108＋36）÷2 ＝144÷2 ＝72（人） （108－36）÷2 ＝72÷2 ＝36人。 72÷8＝9桌，36÷8＝4（桌）……4（人），4＋1＝5（人），9＋5＝14（桌），不满足条件。 （117－27）÷2 ＝90÷2 ＝45（人） （117＋27）÷2 ＝144÷2 ＝72（人） 72÷8＝9（桌），45÷8＝5（桌）……5（人），5＋1＝6（桌），9＋6＝15（桌），满足条件。 所以这次宴会中女宾客有45人。 【考点剖析】本题需先确定人数范围，运用倍数关系计算男女生人数的差量。核心是通过不同桌数要求锁定总人数范围，结合倍数和男女生桌数差推导女宾客人数。 基础夯实 能力提升 1．（25-26六年级·全国·随堂练习）1是所有非零自然数的（    ）。 A．公因数 B．公倍数 C．倍数 D．质因数 【答案】A 【思路引导】需明确各概念的定义，结合“1与非零自然数的关系”判断。公因数：能同时整除多个数的数；公倍数：多个数公有的倍数；倍数：一个数是另一个数的几倍；质因数：既是质数又是某个数的因数。 【规范解答】A．1能整除所有非零自然数，因此1是所有非零自然数的公因数，符合定义。 B．1是最小的数，不是其他非零自然数的倍数，因此不是公倍数。 C．1不是其他非零自然数的倍数（如2的倍数是2、4等），因此不是倍数。 D．1不是质数，因此不能作为质因数。 故答案为：A 2．（25-26五年级上·吉林长春·期末）14和7的最大公因数是（    ）。 A．1 B．2 C．7 D．14 【答案】C 【思路引导】存在倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数。据此解答。 【规范解答】14是7的倍数，14＞7，所以14和7的最大公因数是7。 故答案为：C 3．（25-26五年级上·安徽六安·期末）算式4×7＝28，下面说法正确的是（    ）。 A．4是因数 B．4和7的最小公倍数是28 C．4是28的倍数 D．4和7的最大公因数是7 【答案】B 【思路引导】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 公因数是一个能被若干个整数同时整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。 全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【规范解答】A．由4×7＝28可知，4和7是28的因数，因数不是独立存在的，原说法错误； B．由4×7＝28可知，4和7的最小公倍数为28，原说法正确； C．由4×7＝28可知，28是4的倍数，原说法错误； D．由4×7＝28可知，4和7的最大公因数是1，原说法错误。 故答案为：B 4．（25-26五年级下·全国·课后作业）在四位数21□0的□里填入一个数字，使它同时是2，3，5的倍数，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数能被2整除； 3的倍数特征：一个数各个位上的数字之和是3的倍数，这个数能被3整除；5的倍数特征：一个数的末尾是0或5，能被5整除。的末尾是0，所以它是2、5的倍数，因为的和是3的倍数，据此分析即可。 【规范解答】，且里只填一个数字，有如下几种情况： 当时，，3是3的倍数； 当时，，6是3的倍数； 当时，，9是3的倍数； 当时，，12是3的倍数； 所以在四位数的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有4种填法。 故答案为：C 5．（25-26五年级下·全国·课后作业）按要求选择合适的数填在圈内。 1  2  5  8  10  24  46  59  415  672  320  458  15 发现：（              ）的数是2的倍数；（              ）的数是5的倍数；（          ）的数既是2的倍数，又是5的倍数。 【答案】； 个位上是0，2，4，6，8；个位上是0或5；个位上是0 【思路引导】奇数是不能被2整除的整数，偶数是能被2整除的整数，据此进行分类； 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数，所以依据这些特征把数分别填入2的倍数、5的倍数的圈内，其中个位是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数，据此解答。 【规范解答】根据分析可得： 发现：（个位上是0，2，4，6，8）的数是2的倍数；（个位上是0或5）的数是5的倍数；（个位上是0）的数既是2的倍数，又是5的倍数。 6．（2025·四川绵阳·小升初真题）a÷b＝c（a、b、c均为整数，且b≠0），那么a和b的最小公倍数是( )。 【答案】a 【思路引导】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。两数成倍数关系时，最大公因数是两个数中最小的那个数，最小公倍数是两数之中最大那个数。 【规范解答】在a÷b＝c中，a是b的倍数，则a和b的最小公倍数是a。 7．（25-26五年级上·陕西汉中·期末）因为2.4÷0.4＝6，所以2.4是0.4的倍数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据倍数的定义，一个整数能被另一个整数整除，则这个整数是另一个整数的倍数。倍数的概念要求两个数均为整数。 【规范解答】在算式2.4÷0.4＝6中，被除数2.4和除数0.4均不是整数，不符合倍数的定义。因此，2.4不是0.4的倍数，题干表述错误。 故答案为：× 8．（24-25五年级下·山东枣庄·期中）求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 36和60        54和72          27和72           44和77 【答案】36和60：最大公因数12，最小公倍数180；54和72：最大公因数18，最小公倍数216；27和72：最大公因数9，最小公倍数216；44和77：最大公因数11，最小公倍数308 【思路引导】求两个数的最大公因数和最小公倍数，可使用分解质因数法。先把每个数分解成若干个质数相乘的形式，最大公因数是两个数公有的质因数的乘积；最小公倍数是两个数公有的质因数与各自独有的质因数的乘积。 36和60，分解质因数：36＝2×2×3×3，60＝2×2×3×5。公有的质因数为2、2、3，36独有的质因数是3，60独有的质因数是5。 54和72，分解质因数：54＝2×3×3×3，72＝2×2×2×3×3。公有的质因数为2、3、3，54独有的质因数是3，72独有的质因数是2、2。 27和72，分解质因数：27＝3×3×3，72＝2×2×2×3×3。公有的质因数为3、3，27独有的质因数是3，72独有的质因数是2、2、2。 44和77，分解质因数：44＝2×2×11，77＝7×11。公有的质因数为11，44独有的质因数是2、2，77独有的质因数是7。 【规范解答】36和60：36＝2×2×3×3，60＝2×2×3×5 最大公因数：2×2×3＝12 最小公倍数：2×2×3×3×5＝180 54和72：54＝2×3×3×3，72＝2×2×2×3×3 最大公因数：2×3×3＝18 最小公倍数：2×2×2×3×3×3＝216 27和72：27＝3×3×3，72＝2×2×2×3×3 最大公因数：3×3＝9 最小公倍数：2×2×2×3×3×3＝216 44和77：44＝2×2×11，77＝7×11 最大公因数：11 最小公倍数：2×2×7×11＝308 36和60最大公因数12，最小公倍数180。 54和72最大公因数18，最小公倍数216。 27和72最大公因数9，最小公倍数216。 44和77最大公因数11，最小公倍数308。 9．（25-26五年级上·陕西榆林·期末）“快递连接你我他，快递进入寻常百姓家。”现在大部分小区有智能快递柜，解决了社区居民取快递最后“100米”的烦恼，这天，张阿姨收到一条取件码信息，取件码为ABCD四位数字，则张阿姨的取件码是多少？ 取件码ABCD中： A是一位数中最大的奇数； B是最小的合数； C是一位数中同时是2和3的倍数； D是比最小的质数大1的数。 【答案】9463 【思路引导】个位上是1、3、5、7、9的数是奇数，一位数中最大的奇数是9； 除了1和本身，还有别的因数的数是合数，最小的合数是4； 同时是2和3的倍数，就是2和3的最小公倍数，即2×3＝6； 只有1和本身的数是质数，最小的质数是2，D比最小的质数大1，那么D是3。据此填空。 【规范解答】一位数中最大的奇数是9，所以A＝9； 最小的合数是4，所以B＝4； 一位数中同时是2和3的倍数的数是2×3＝6，所以C＝6； 最小的质数是2，所以D＝2＋1＝3。 答：张阿姨的取件码是9463。 10．（25-26五年级上·河南驻马店·期中）虎头帽，是以老虎为形象的，中国民间儿童服饰中比较典型的一种童帽样式，王奶奶做了42顶虎头帽，如果每2顶装一袋，能正好装完吗？如果每5顶装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】每2顶装一袋能正好装完；每5顶装一袋不能正好装完；理由见详解 【思路引导】根据2、5的倍数特征进行判断，如果虎头帽的总数是2、5的倍数，就能正好装完；如果不是2、5的倍数，就不能正好装完 。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【规范解答】42的个位是2，则42是2的倍数，不是5的倍数。 答：如果每2顶装一袋，能正好装完，因为42是2的倍数；如果每5顶装一袋，不能正好装完，因为42不是5的倍数。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25五年级上·吉林长春·期末）一个车牌号是吉A•XX△〇□（△、□、〇分别代表一位数）根据如图的信息，确定这个车牌号是吉A•XX（    ）。 A．3、2、1 B．1、3、1 C．9、2、1 D．9、4、1 【答案】C 【思路引导】9的最大因数是9，偶数中唯一的质数是2，1既不是质数也不是合数，所以△、〇、□分别是9，2，1。 【规范解答】由分析可知：△、□、〇分别代表一位数，△、〇、□分别是9，2，1。 确定这个车牌号是吉A•XX921。 故答案为：C 2．（25-26五年级下·全国·课后作业）正方形的边长是一个质数，它的面积一定是（    ）。 A．奇数 B．合数 C．质数 D．偶数 【答案】B 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。根据正方形的面积＝边长×边长，举例解答。 【规范解答】根据分析： 例如：正方形的边长是质数2，则面积是：，4是合数，也是偶数；正方形的边长是质数5，则面积是：，25是合数，也是奇数；正方形的边长是质数7，则面积是：，49是合数，也是奇数；所以一个边长是质数的正方形，它的面积一定是合数。 故答案为：B 3．（25-26五年级下·全国·课后作业）新趋势 数学文化  古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1，2，3，6，除6本身之外，还有1，2，3三个因数，，恰好是所有因数之和，所以6就是“完全数”。下面的数中，是“完全数”的是（    ）。 A．40 B．36 C．28 D．12 【答案】C 【思路引导】根据“完全数”的概念，先找出选项中数的所有因数，再将除去本身的因数相加，和本身比较即可。 【规范解答】A.40所有的因数有1、2、4、5、8、10、20、40，除40以外，还有1、2、4、5、8、10、20七个因数，，所以40不是“完全数”； B.36所有的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，除36以外，还有1、2、3、4、6、9、12、18八个因数，，所以36不是“完全数”； C.28所有的因数有1、2、4、7、14、28，除28以外，还有1、2、4、7、14五个因数，，所以28是“完全数”； D.12所有的因数有1、2、3、4、6、12，除12以外，还有1、2、3、4、6五个因数，，所以12不是“完全数”； 故答案为：C 4．（25-26五年级下·全国·课后作业）在方框里填上合适的数字。 (1)29□和55□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以填( )。 (2)14□同时是2和3的倍数，□里可以填( )。 (3)581□和29□既是2的倍数，又有因数3，□里可以填( )。 (4)42□同时是2，3和5的倍数，□里可以填( )。 【答案】(1)0 (2)4 (3)4 (4)0 【思路引导】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位上是0、5的数是5的倍数；一个数各数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此解答。 【规范解答】（1）是5的倍数，又是2的倍数，所以个位是0。 29□和55□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以填0。 （2）2的倍数，个位可以是0、2、4、6、8，各数位上的数的和分别是：、、、、，其中9是3的倍数，所以个位上是4。 14□同时是2和3的倍数，□里可以填4。 （3）2的倍数，个位可以是0、2、4、6、8，各数位上的数的和分别是： 、 、 、 、 ，其中18、15是3的倍数，所以个位上是4。 581□和29□既是2的倍数，又有因数3，□里可以填4。 （4）是5的倍数，又是2的倍数，所以个位是0，，6是3的倍数，所以个位上是0。 42□同时是2，3和5的倍数，□里可以填0。 5．（25-26五年级下·全国·课后作业）找出下面每组数的最小公倍数。 8和9 （    ）   6和24 （     ） 12和10  （       8和40（     ） 11和77  （   ）  9和10 （     ）  24和36  （    ）   30和45（     ） 【答案】72；24；60；40；   77；90；72；90 【思路引导】两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积为最小公倍数；如果两个数为倍数关系，较大的那个数为最小公倍数；如果两个数为互质关系，最小公倍数为两个数的乘积，据此解答。 【规范解答】8和9 8和9为互质关系，最小公倍数为； 6和24 6和24为倍数关系，最小公倍数为24； 12和10 12和10的最小公倍数为； 8和40 8和40为倍数关系，最小公倍数为40； 11和77 11和77为倍数关系，最小公倍数为77； 9和10 9和10为互质关系，最小公倍数为； 24和36 24和36的最小公倍数为 30和45 30和45的最小公倍数为。 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个三位数是3的倍数，如果去掉它的末位数，所得的两位数是19的倍数，这样的三位数中，最大的是( )。 【答案】957 【思路引导】先确定去掉末位数后所得两位数的最大19的倍数，再根据3的倍数特征确定末位数，从而得到最大的三位数。 【规范解答】两位数中19的最大倍数是95，即所求的数前两位是95。又知这个三位数是3的倍数，即95□是3的倍数，□里可以填1，4，7，当□里填7时，这个三位数最大，是957。 所以，一个三位数是3的倍数，如果去掉它的末位数，所得的两位数是19的倍数，这样的三位数中，最大的是957。 【考点剖析】判断最大的19的倍数，再通过3的倍数特征求得这个满足条件的最大的数。 7．（24-25五年级上·山东聊城·期末）在1～50的数中，如果质数有m个，则合数有个。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】在1～50的数中，包括质数、合数和1。1既不是质数也不是合数。总数为50，质数有m个，则合数个数应为总数减去质数个数再减去1，即个。试题中给出的个包含了1，因此错误。 【规范解答】在1～50的自然数中，总共有50个数。根据质数和合数的定义，质数是大于1且只有1和它本身两个因数的数；合数是大于1且有超过两个因数的数；1既不是质数也不是合数。因此，。设质数有m个，则合数个数为但试题中给出的合数个数为，这比实际合数个数多1，因为它未排除1。因此，该说法不正确。 故答案为：× 8．（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①7和12        ②45和30        ③28和14 【答案】 ①1；84；②15；90；③14；28 【思路引导】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积；当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【规范解答】①7和12是互质数，所以7和12的最大公因数是1，最小公倍数是7×12＝84； ②45＝3×3×5，30＝2×3×5 45和30的最大公因数是：3×5＝15； 45和30的最小公倍数是：2×3×3×5＝90； ③28和14是倍数关系，所以28和14的最大公因数是14，最小公倍数是28。 9．（25-26五年级上·甘肃天水·期末）有一块长方形木板，长80厘米，宽60厘米。把它锯成最大的面积相等的小正方形木板，不许有剩余，可以锯成多少个小正方形？ 【答案】12个 【思路引导】根据题意，要锯成最大的面积相等的小正方形木板且没有剩余，小正方形的边长必须是长方形的长和宽的最大公因数。因此，需要求出长80厘米和宽60厘米的最大公因数，作为小正方形的边长。然后，计算长边和宽边分别能锯成的段数，相乘即得总个数。据此解答。 【规范解答】80＝2×2×2×2×5 60＝2×2×3×5 所以80和60的最大公因数是： 2×2×5 ＝4×5 ＝20 （80÷20）×（60÷20） ＝4×3 ＝12（个） 答：可以锯成12个小正方形。 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）我国明代数学家程大位在《算法统宗》中记载了一个有趣的数学问题：山上有一座古寺叫“都来寺”，在这座寺庙里，3个和尚合吃1碗饭，4个和尚合喝1碗汤，他们一共用了364只碗，请问一共有多少个和尚？ 【答案】624个 【思路引导】根据“3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合喝一碗汤”，能知道12个和尚要3个汤碗和4个饭碗，计7只碗，把他们12个和尚要7只碗作为一组，现在一共用了364只碗，可以分成52组，每组12人，共来了624个和尚。 【规范解答】3和4的最小公倍数是12 （只），（只），（只） （组） （个） 答：都来寺里有624个和尚． 【考点剖析】12个和尚要3个汤碗和4个饭碗，计7只碗，把他们12个和尚要7只碗作为一组。 第 1 页 共 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