精品解析：山西省2026年初中学业水平测评(二) 数学

山西省2026年初中学业水平测评（二）数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列有理数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数大小比较法则，负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的数反而小比较各数即可． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ， 由此可得四个数的大小关系为 ， 因此最小的数是． 2. 某校为庆祝“青春无问西东，奋斗自成芳华”主题校园文化节的成功，定制了一批各面分别刻有“奋”“斗”“自”“成”“芳”“华”的正方体纪念品．如图是该正方体的一种展开图，则“奋”字所在面的相对面上的汉字是（ ） A. 自 B. 成 C. 芳 D. 华 【答案】D 【解析】 【详解】解：“奋”字所在面的相对面上的汉字是“华” ． 3. 如图，直角三角板角的顶点在直尺（两边缘平行）的边缘上．若，则∠2的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的和差求出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵尺子的两边平行， ∴． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算判别式的值后与0比较大小，即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， 计算根的判别式得， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 表示在数轴上如图所示： 6. 如图，是的中位线，是的中点连接并延长，与边交于点，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形中位线的性质得到，，再由点M是的中点，得到，由得到，根据相似三角形的对应线段成比例即可求解． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∴点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，四边形为的内接四边形，为的直径，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由是直径得到，进而求出，再根据圆的内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴． 8. 体育课上，小强、小刚、小文进行三人传球游戏．游戏规则为：传球时，持球人将手中的球随机传给其他两人中的任意一人．已知开始时，持球人是小强，则经过两次传球后，球回到小强手中的概率为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找出所有可能传球路线，得到等可能的情况总数，再找出球最后回到小强手中的情况数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：所有可能传球路线为∶ 小强→小刚→小文； 小强→小刚→小强； 小强→小文→小刚； 小强→小文→小强； 因此共有4种等可能情况，其中球最后回到小强手中的有2种情况，故概率为． 9. 某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A. 加热到用时 B. 与之间的函数表达式为 C. 加热过程中，水温高于的时间为 D. 小林在8：06可以接到不低于的水 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格数据判断与为一次函数关系，求出函数表达式和停止加热时的通电时间，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由表格数据可知，通电时间x每增加，水温增加，因此是的一次函数． 设， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴ 当时，，解得， ∵加热到，养生壶自动停止加热， ∴， ∴与的函数表达式为． 对各选项逐一判断： A选项：当时，，解得，即用时，故本选项错误； B选项：函数表达式为，不是，故本选项错误； C选项：当时，，解得， ∵， ∴水温高于的时间为，故本选项错误； D选项：∵8∶00接通电源，8∶06接水， ∴通电时间为， 当时，， ∵ ∴小林在8：06可以接到不低于的水，故本选项正确． 10. 如图，是的直径，点，在上，，过点作的切线交的延长线于点．若，则图中阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，由圆周角定理得到，，在中解直角三角形得到，再求得，根据扇形面积公式求出．由是切线得到，解直角三角形求出，从而根据求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是直径， ∴ ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵是切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】运用完全平方公式，结合二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：． 12. 如图是甲、乙两名运动员最近10次百米跑测试成绩（单位：s）的折线统计图．已知两名运动员这10次测试成绩的平均数相同，若从中选择一名发挥较稳定的运动员参加市级百米跑比赛，则应选择_____运动员．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】根据统计图，得到乙的数据波动小，求解即可． 【详解】解：根据题意，得乙的数据波动小，故选乙． 13. 随着科技的发展，智能手表逐渐成为人们关注的电子产品．若某品牌智能手表原售价为元/个．现进行促销活动，先打八折，再优惠元，那么该智能手表现在的售价为_____元/个．（用含，的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】先求出原售价打八折后的价格，再减去优惠的金额，即可得到现在的售价． 【详解】解：原售价为元/个，打八折后的售价为元/个，再优惠元， 因此现在的售价为元/个． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，顶点的坐标为，对角线轴．若，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合点在轴上及轴，利用中点坐标公式确定点的横坐标．过点作轴的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求出点的纵坐标即可求解． 【详解】解：设点的坐标为 四边形是平行四边形 对角线与互相平分 点的坐标为，轴 点的横坐标为3 点在轴上 点的横坐标为0 设与的交点为，则点为的中点 点的横坐标为 又点为的中点 点的横坐标为 ， 解得 过点作轴于点 点的坐标为 在中，， 由勾股定理得： 点在第一象限 点的坐标为． 15. 如图，在中，为边上一点，，为边的中点，连接．若，，，则的长为_____． 【答案】 ## 【解析】 【分析】过点作于点，利用锐角三角函数及勾股定理求出的长，根据三角形外角的性质及已知条件证明为等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质得出，证明，利用相似三角形的对应边成比例求出的长． 【详解】解：过点作于点， 在中，， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得(负值舍去)， ， ， ， 在中，， 是的外角， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 又， ， ， 为的中点，， ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算和解方程组 （1）； （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值，立方根，括号内的加法，再计算乘法，最后计算加减即可． （2）运用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 17. 现有两种热门文创产品：青铜器书签和青花瓷钥匙扣．某校决定购买这两种文创产品作为运动会的奖品．已知购买4个青铜器书签的费用与购买5个青花瓷钥匙扣的费用相同，用320元购买青铜器书签的数量比用320元购买青花瓷钥匙扣的数量少2个．求青铜器书签和青花瓷钥匙扣的单价． 【答案】青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元． 【解析】 【分析】设青铜器书签的单价为x元，则青花瓷钥匙扣的单价为元，根据数量差列方程并 解方程即可． 【详解】解：设青铜器书签的单价为x元，则青花瓷钥匙扣的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：青铜器书签的单价为40元，则青花瓷钥匙扣的单价为32元． 18. 随着人工智能的快速发展，对于中学生来说，大模型辅助学习应该定位为一个“启发式助教”或“知识伙伴”，其核心目标是利用激发学生的好奇心、辅助理解难点，同时严防其对自主思考和基础能力造成冲击．某校研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，抽取了该校50名学生一周使用大模型辅助学习的时间（单位：），将所得数据分组整理，得到如下不完整的频率分布表与扇形统计图． 一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 AI大模型辅助学习时间 频率 A B C D E 请根据以上信息，完成下列问题： （1）表格中_____，其中D组的人数为_____，B组所在扇形圆心角的度数为_____． （2）若将A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取，，，，，请求这50名学生一周使用大模型辅助学习时间的平均数． （3）若学校规定：一周使用大模型辅助学习的时间低于90min比较合理．根据本次调查的数据结果，请对该校学生大模型辅助学习的情况作出评价，并提出一条合理化建议． 【答案】（1）；10； （2） （3） 解：学生使用大模型辅助学习超过了规定时间，应予以管理； 建议学生合理安排使用大模型辅助学习，避免过度依赖，把时间控制在合理范围内． 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1，频数等于样本容量乘以频率，圆心角的计算办法，求解即可． （2）根据加权平均数的定义求解即可． （3）根据学习的需要去解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，, 故； D组的人数为； B组所在扇形圆心角的度数为． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ． 【小问3详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴的正半轴上，且的面积为24，反比例函数的图象经过的中点． （1）求的值． （2）若点，在反比例函数的图象上，且点，的横坐标分别为2，6，请直接写出直线的表达式和的面积． 【答案】（1）12 （2）；16 【解析】 【分析】（1）设点，点，根据题意，得，，求解即可； （2）根据反比例函数解析式，确定P、Q的坐标，利用待定系数法，分割法求解即可； 【小问1详解】 解：设点，点， 的面积为24，反比例函数的图象经过的中点， ，， ，， ． 【小问2详解】 解：根据题意，得反比例函数的解析式为， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． 如图，过点P作轴于点N，过点Q作轴于点M，令交于点G， ∴， ， 根据反比例函数的性质，得， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树(如图1)的高度，下面是测量该松树高度的实践报告． 主题 测量松树的高度 测量过程 如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B 的仰角∠BPO，并测得斜坡PA 的坡度i，然后他沿着斜坡PA行走至点A，在坡顶A 处又测量松树顶 B 的仰角． (图中所有点均在同一竖直平面内) 示意图 测量数据 ∠BPO=45°，∠BAC=55°，AP=13m，坡度 参考数据 请你根据以上实践报告；求出松树的高度 BC（结果保留整数）． 【答案】23m 【解析】 【分析】过点A作 ，延长交于点E，利用三角函数得出，利用坡比的概念，进而即可求解． 【详解】解：过点A作 ，延长交于点E，则四边形是矩形， ∵的坡度，， ∴设， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，即，解得： 答：松树 的高度约为． 21. 阅读与思考 下面是小欣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 垂等四边形 【概念理解】 对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形． 例如，图1中的四边形的对角线与满足关系：，且，则四边形是垂等四边形． 【问题解决】 问题1：如图2，在垂等四边形中．对角线与交于点．若，，，则对角线的长为 ▲ ． 问题2：如图3，在四边形中，，，且．求证：四边形是垂等四边形． 证明：如图3，过点作的垂线，交的延长线于点． ，， ． 又， …… 任务： （1）请直接写出问题1中“▲”处空缺的内容为_____． （2）请补全问题的证明过程． （3）智慧小组进行了探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动．如图4，在中，已知是弦，，是半径．求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）10 （2） 证明：如图，过点作的垂线，交的延长线于点． ，， ． 又， 四边形是平行四边形， ． ， ， ， ， ， 故四边形是垂等四边形． （3） 解：作的垂直平分线，交于点G，并在此垂直平分线上，截取， 则，根据，得到， ， 延长分别交圆于点C，D， 连接， 则， 故， 故， 故四边形是垂等四边形． 则四边形即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据，求得，等量代换求解即可． （2）根据定义证明即可． （3）根据圆的性质，定义作图即可； 【小问1详解】 解：在垂等四边形中．对角线与交于点． ，且， ，，， ， 解得 故对角线的长为10． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 综合与实践 问题背景： 为贯彻落实相关精神，各地市近年来普遍提升了中考体育的分值，某市自2026年起实施新的中考体育方案，总分由原来的60分提升至70分，其中掷实心球是该市中考体育考试选考项目之一． 相关数据： 根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球落地点到起点的水平距离大于或等于时，即可获得满分． 数据收集： 体育课上，小明投掷实心球，并利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的数据如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 数学建模： 建立如图所示的平面直角坐标系，根据表中的数据描点、连线，小明发现，实心球的运动路径是二次函数图象的一部分． （1）求实心球运动路径对应的函数表达式，并求出其运动过程中的最大高度． 问题解决： （2）投掷实心球后，在实心球运动的过程中，当实心球的竖直高度为时，求实心球到起点的水平距离． （3）根据该市中考体育考试评分标准（男生版），判断小明在此次投掷中是否能得到满分，请说明理由． 【答案】（1）；； （2） （3）不能得到满分，理由 当时，得， 整理，得， 解得， 因为实心球到起点的距离是一个正数， 舍去， 故， 因为， 故， 故， 由实心球落地点到起点的水平距离大于或等于时，即可获得满分． 故小明在此次投掷中不能得到满分． 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入两个点的坐标，求解即可； （2）根据题意，得，解方程即可． （3）当时，得，求得实心球到起点的水平距离，与满分成绩对比，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故抛物线的解析式为， ， 故抛物线有最大值，且当时，函数取得最大值，且最大值为； 【小问2详解】 解：根据题意，当时，得， 整理，得， 故或， 解得或， 因为实心球到起点的距离是一个正数， 舍去， 故， 答：实心球的竖直高度为时，实心球到起点的水平距离为． 【小问3详解】 略 23. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师带领同学们进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 初步探究： （1）如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明． 拓展探究： （2）“逐梦组”改变四边形的形状继续探究．如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．若，，求的值．（用含，的代数式表示） 深入探究： （3）在（2）的基础上，若，，为射线上一点，且，请直接写出的长． 【答案】（1） 解：，理由： 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又， ，即， ， ； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点分别作，的垂线，垂足分别为，，证明 ． 四边形为矩形，得到．根据求解即可． （3）分两种情况讨论：①当点在边上时；可求，证明，求出，．在中，解直角三角形求出，设，则，在中，根据勾股定理得出，解方程即可求解； ②当点在的延长线上时，过点作于点，同理①可求，进而可得出，根据直角三角形斜边上中线的性质求出根据勾股定理求出，根据等面积法求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点分别作，的垂线，垂足分别为，，如解图1． ，, ， ． ，， ． ． ，，， 故四边形为矩形， ． ． 的值为． 【小问3详解】 解：①当点在边上时，如解图2， ， 为等腰直角三角形， ． 由（2），知， 又， ， ， ． ，， ． 由（2），知， 设，则． 在中，，即， 解得（负值已舍去）． ②当点在的延长线上时，过点作于点，如解图3， 同理①，易得， ， ， 为等腰直角三角形． ． ． ， ． ． ． ，即， 解得． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2026年初中学业水平测评（二）数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列有理数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 2. 某校为庆祝“青春无问西东，奋斗自成芳华”主题校园文化节的成功，定制了一批各面分别刻有“奋”“斗”“自”“成”“芳”“华”的正方体纪念品．如图是该正方体的一种展开图，则“奋”字所在面的相对面上的汉字是（ ） A. 自 B. 成 C. 芳 D. 华 3. 如图，直角三角板角的顶点在直尺（两边缘平行）的边缘上．若，则∠2的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的中位线，是的中点连接并延长，与边交于点，则的值为（） A. B. C. D. 7. 如图，四边形为的内接四边形，为的直径，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 体育课上，小强、小刚、小文进行三人传球游戏．游戏规则为：传球时，持球人将手中的球随机传给其他两人中的任意一人．已知开始时，持球人是小强，则经过两次传球后，球回到小强手中的概率为（） A. B. C. D. 9. 某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A. 加热到用时 B. 与之间的函数表达式为 C. 加热过程中，水温高于的时间为 D. 小林在8：06可以接到不低于的水 10. 如图，是的直径，点，在上，，过点作的切线交的延长线于点．若，则图中阴影部分的面积为（） A. B. C. D. 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 计算：______． 12. 如图是甲、乙两名运动员最近10次百米跑测试成绩（单位：s）的折线统计图．已知两名运动员这10次测试成绩的平均数相同，若从中选择一名发挥较稳定的运动员参加市级百米跑比赛，则应选择_____运动员．（填“甲”或“乙”） 13. 随着科技的发展，智能手表逐渐成为人们关注的电子产品．若某品牌智能手表原售价为元/个．现进行促销活动，先打八折，再优惠元，那么该智能手表现在的售价为_____元/个．（用含，的代数式表示） 14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，顶点的坐标为，对角线轴．若，则点的坐标为_____． 15. 如图，在中，为边上一点，，为边的中点，连接．若，，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算和解方程组 （1）； （2） 17. 现有两种热门文创产品：青铜器书签和青花瓷钥匙扣．某校决定购买这两种文创产品作为运动会的奖品．已知购买4个青铜器书签的费用与购买5个青花瓷钥匙扣的费用相同，用320元购买青铜器书签的数量比用320元购买青花瓷钥匙扣的数量少2个．求青铜器书签和青花瓷钥匙扣的单价． 18. 随着人工智能的快速发展，对于中学生来说，大模型辅助学习应该定位为一个“启发式助教”或“知识伙伴”，其核心目标是利用激发学生的好奇心、辅助理解难点，同时严防其对自主思考和基础能力造成冲击．某校研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，抽取了该校50名学生一周使用大模型辅助学习的时间（单位：），将所得数据分组整理，得到如下不完整的频率分布表与扇形统计图． 一周使用大模型辅助学习时间频率分布表 组别 AI大模型辅助学习时间 频率 A B C D E 请根据以上信息，完成下列问题： （1）表格中_____，其中D组的人数为_____，B组所在扇形圆心角的度数为_____． （2）若将A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取，，，，，请求这50名学生一周使用大模型辅助学习时间的平均数． （3）若学校规定：一周使用大模型辅助学习的时间低于90min比较合理．根据本次调查的数据结果，请对该校学生大模型辅助学习的情况作出评价，并提出一条合理化建议． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴的正半轴上，且的面积为24，反比例函数的图象经过的中点． （1）求的值． （2）若点，在反比例函数的图象上，且点，的横坐标分别为2，6，请直接写出直线的表达式和的面积． 20. 在一次综合实践活动中，小亮同学想要测量山坡上一棵松树(如图1)的高度，下面是测量该松树高度的实践报告． 主题 测量松树的高度 测量过程 如图2，小亮在斜坡P处测量松树顶B 的仰角∠BPO，并测得斜坡PA 的坡度i，然后他沿着斜坡PA行走至点A，在坡顶A 处又测量松树顶 B 的仰角． (图中所有点均在同一竖直平面内) 示意图 测量数据 ∠BPO=45°，∠BAC=55°，AP=13m，坡度 参考数据 请你根据以上实践报告；求出松树的高度 BC（结果保留整数）． 21. 阅读与思考 下面是小欣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 垂等四边形 【概念理解】 对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形． 例如，图1中的四边形的对角线与满足关系：，且，则四边形是垂等四边形． 【问题解决】 问题1：如图2，在垂等四边形中．对角线与交于点．若，，，则对角线的长为 ▲ ． 问题2：如图3，在四边形中，，，且．求证：四边形是垂等四边形． 证明：如图3，过点作的垂线，交的延长线于点． ，， ． 又， …… 任务： （1）请直接写出问题1中“▲”处空缺的内容为_____． （2）请补全问题的证明过程． （3）智慧小组进行了探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动．如图4，在中，已知是弦，，是半径．求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 22. 综合与实践 问题背景： 为贯彻落实相关精神，各地市近年来普遍提升了中考体育的分值，某市自2026年起实施新的中考体育方案，总分由原来的60分提升至70分，其中掷实心球是该市中考体育考试选考项目之一． 相关数据： 根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球落地点到起点的水平距离大于或等于时，即可获得满分． 数据收集： 体育课上，小明投掷实心球，并利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的数据如下表： 0 1 2 3 4 5 6 7 数学建模： 建立如图所示的平面直角坐标系，根据表中的数据描点、连线，小明发现，实心球的运动路径是二次函数图象的一部分． （1）求实心球运动路径对应的函数表达式，并求出其运动过程中的最大高度． 问题解决： （2）投掷实心球后，在实心球运动的过程中，当实心球的竖直高度为时，求实心球到起点的水平距离． （3）根据该市中考体育考试评分标准（男生版），判断小明在此次投掷中是否能得到满分，请说明理由． 23. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师带领同学们进行了如下讨论，请阅读并完成下列问题． 初步探究： （1）如图1，在正方形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明． 拓展探究： （2）“逐梦组”改变四边形的形状继续探究．如图2，在矩形中，为边上一动点（不与点，重合），过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接，过点作的垂线，交的延长线于点．若，，求的值．（用含，的代数式表示） 深入探究： （3）在（2）的基础上，若，，为射线上一点，且，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $