第八章 平行线的有关证明课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）七年级数学下册

第八章 平行线的有关证明 6 三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理的证明 1 01 典例示范 【例】 如图，在中, ， ，平分 ， 于点，于点，求 的度数. 【解答】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 [答案] 在中， ， ， . 平分 ， . ， . . . ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 【跟踪训练】 （泰安东平县期末）已知在 中， ，且，则 为( ) C A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 02 分层训练 知识点 三角形内角和定理 第1题图 1.如图，在中， , ,则 ( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5 第2题图 2.（教材习题变式）如图，在中，点在 上，点在上，.若 ， ,则 的大小为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 第3题图 3.如图，在中，平分交 于点 ， ， ，则 的度数 是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 4.如图，，交于点，于点.若 ，则 _____. 第4题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 5.（北京中考）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方 法，选择其中一种，完成证明. ____________________________________ 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 . 已知：如图，，求证： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 方法一 证明：如图，过点作 ____________________________________________ 方法二 证明：如图，过点作 _____________________________________________________ 续表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 证明：方法一： ， ， . ， . 方法二： ， ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 易错点 直角三角形中的直角不确定导致漏解 6.【分类讨论思想】如图，已知 ， 是射线上的一个动点.在点 的运动过程中， 恰好是直角三角形，则此时 所有可能的度 数为___________. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 第8题图 8.（东营利津县期末改编）如图，在 中， ， ，是的高， 是的角平分线，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 9.如图，为的角平分线，于点.若 ， ，则 的度数为_____. 第9题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 10.如图，已知，和 的平分线 交于点.求证： . 证明： ， . 和的平分线相交于点 ， ， . . ，即 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 11.新考向 综合实践如图1，线段 ，相交于点，连接 ， ， 我们把形如图1的图形称之为 “8字形”.如图2，在图1的条件下， （1）在图1中，请直接写出，，， 之间的数量关系： ____________________； 和的平分线和相交于点，并且与， 分别相 交于点， .试解答下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 （2）在图2中，若 ， ，试求 的度数； 解： ， ， ， . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 （3）如果图2中和 为任意角 时，其他条件不变，试问 与 ， 之间存在着怎样的数量关 系，直接写出结论. 解：由（1）知， ， , . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 $ 【教材母题】 ［教材P63复习题 （1）］如图， 直线.求证： . 【解答】 1 2 1 [答案] 过点作 ， 则 . 又 ， . ， 即 . 1 2 2 变式1 当点在平行线间 的右侧时 如图，直线，，， 之间的关系是______________ __________________. 1 2 3 变式2 当点 在平行线的外边时 已知，为， 之外任意一点. （1）如图1，，， 之间的关系是__________________； 图1 1 2 4 （2）如图2，，， 之间的关系是__________________. 图2 1 2 5 解决平行线的拐点问题，常用方法为：根据题目中已知的平行线 和“拐点”的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行 线的性质得到相应的结论 （泰安肥城市期末）已知 直线分别与直线， 相 交于点， ，且 . 1 2 7 （1）如图1，求证： ； 证明：， ， . . 1 2 8 （2）如图2，点在直线， 之间，连接， ，求证： ； 证明：过点作 . ， . ， . . 1 2 9 （3）如图3，在（2）的条件下，射线是的平分线，在 的延长线上取点，连接.若， ， 求 的度数. 1 2 10 解：设 ， ，则 ， . 射线是 的平分线， . . ， . 1 2 11 . 过点作 . 则 ， ， ， . ， . . 1 2 . . 1 2 $第八章 平行线的有关证明 6 三角形内角和定理 第2课时 三角形的外角 1 01 典例示范 【例】 如图，在中，是高， 是角平分线， ，交于点， ， ，求 和 的度数. 【解答】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 [答案] 在中， ， ， . 平分 ， . . 是的高， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 【跟踪训练】 . 如图，点在边的延长线上，.若 ， ，则 的度数是_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 02 分层训练 知识点1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 1.（1）如图1,是中 边延 长线上一点, , , 则 _______； （2）如图2,已知 , ,则_____, _____； （3）如图3,已知 ,则 ______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 2.如图,是的外角,平分.若 , , 则 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 3.如图,平面上直线,分别经过线段两端点（数据如图）,则, 相 交所成的锐角是______. 第3题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 4.将一副三角板如图所示叠放在一起,则 ____度. 75 第4题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 5.如图,是的边延长线上一点. , , ,求 的度数. 解：在 中, , . , , . 在中, , , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 6.一个零件的形状如图所示,按规定应等于 , ，应分别是 ， ,李叔叔量得 ,就判定这个零件不合格,你能说出 其中的道理吗？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 解：连接并延长至点 , , , , , . , 这个零件不合格. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 知识点2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 7.下列各图中,大于 的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 8.如图,是的边延长线上的一点,是 上一 点,连接.求证： . 证明：是的外角, . 是 的外角, . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 易错点 对三角形外角相关性质理解不透彻 9.下列命题正确的是( ) C A. 三角形的一个外角等于该三角形的两个内角之和 B. 三角形的一个外角大于任何一个内角 C. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 D. 三角形的任意两个外角都不可能相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 第10题图 10.（淄博中考）将含 角的直角三角板按如图所示 的方式放置到一组平行线中.若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第11题图 11.如图,将一张三角形纸片的一角折叠,使点 落在 外的处,折痕为.如果 , , ,那么下列式子中正确的是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 12.将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上， ， 则 的度数为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 13.如图,在中,, ,且 ,求 的度数. 解：, , . 又 , . , . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 14.如图,平分,且与的延长线交于点 . （1）若 , ,则 _______; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 （2）小明经过改变, 的度数进行多次探究,得 出,, 三个角之间存在固定的数量关系,请 你用一个等式表示出这个关系,并进行证明. 解：关系式为 . 理由：平分 , . , , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 $第八章 平行线的有关证明 3 基本事实与定理 1 01 典例示范 【例】 求证：邻补角的角平分线互相垂直. 如图， 和是邻补角，，分别是和 的平分线. 求证： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 证明： 和 是邻补角， . ，分别是和 的平分线， ， . ， ，即 . 【解答】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 证明的一般步骤：①根据题意，画出图形；②根据命题的条件和 结论，结合图形，写出已知和求证；③经过分析，找出由已知求出求 证的途径，写出证明过程. 【跟踪训练】 请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，点在上，且平分 ， .求证： . 证明：平分 , ___ ______（________________）. （已知）, ______（__________）. （________________________）. 2 角平分线的定义 等量代换 内错角相等，两直线平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 02 分层训练 知识点1 公理、定理 1.在证明过程中可以作为推理根据的是( ) B A. 命题、定义、公理 B. 定理、定义、公理 C. 命题 D. 真命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 2.下列语句中，属于定理的是( ) D A. 在直线上取一点 B. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C. 同位角相等 D. 同角的补角相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 3.下列所学过的真命题中，不是公理的是( ) A A. 对顶角相等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 三边分别相等的两个三角形全等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 4.某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么 公理可以说明这样做能缩短路程( ) C A. 直线的公理 B. 直线的公理或线段最短公理 C. 线段最短公理 D. 平行公理 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 5.“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”是 ______（填“定义”“公理”或“定理”）. 定理 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 知识点2 证明 6.下面关于“证明”的说法正确的是( ) C A. “证明”是一种命题 B. “证明”是一种定理 C. “证明”是一种推理过程 D. “证明”就是举例说明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 7.如图，直线,被直线 所截，下列说法正确的是( ) D A. 当时，一定有 B. 当时，一定有 C. 当时，一定有 D. 当 时，一定有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 8.已知 , ,则 ,理由是_______ _________. 同角的补角相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 9.如图，已知，为垂足，是 上一点，并且 .试问：与 有何位置关系？请说明理由. 解： .理由： ， . ， . ，即 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 10.下列命题可以作定理的有( ) 与6的平均值是8；②能被3整除的数字能被6整除； 是方程 的根；④三角形内角和是 ；⑤等式两边加上同一 个数仍是等式. A A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.填空： 如图，已知，，则可推得 ，理由如下： （已知）， ___ （__________________________）. （已知）， ___ （__________）. （__________________________）. 两直线平行，同旁内角互补 等量代换 同旁内角互补，两直线平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 12.如图，如果，那么 ，这个命题是 真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题 成为真命题，并说明理由. 解：不是，添加 . 理由： , . , . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 13.【整体思想】请你完成命题“邻补角的角平分线互相垂直”的证明 （画出图形，写出已知、求证，并完成证明）. 解：已知：如图， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 ，相交于点，,分别平分， . 求证： . 证明：平分， 平分, . ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 14.新考向 开放性问题在数学课上，林 老师在黑板上画出如图所示的图形 （其中点，，， 在同一直线上）， 并写出四个条件： ； ；； . 请你从这四个条件中选出三个作为条 ①②③ ④ 件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明.条件________； 结论____（填序号）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 证明： ， ，即 . 在和 中， . .（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 $第八章 平行线的有关证明 回顾与思考（二） 平行线的有关证明 1 01 山东考点针对练 考点1 命题 1.（泰安期中）下列命题中，真命题是( ) B A. 三角形的一个外角大于三角形的每一个内角 B. 两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直 C. 如果，那么 D. 同位角相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.（淄博临淄区期中改编）把命题“同角的补角相等”写成“如果……那 么……”的形式为__________________________________________. 如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 考点2 平行线的性质与判定 第3题图 3.（泰安期末）如图，点在 的延长线上，下列 条件中，； ； ； .能判断 的有( ) B A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 第4题图 4.（泰安中考）把一块直角三角板和一把直尺按如图 所示的方式放置.若 ，则 的度数等于 ( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.（泰安新泰市期中）如图，若 ， ， ， 则 _____. 第5题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 6.如图，把一张长方形纸条沿折叠.若 ，则 _____. 第6题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 7.（泰安期中）某学生上学路线如图所示，他总共拐了三次弯，最后 行车路线与开始的路线相互平行，已知第一次转过的角度为 ， 第三次转过的角度为 ，则第二次转过的角度（即 的度数）是 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 8.（东营期末）如图，已知点，在直线上，点在线段 上， 与交于点， ， . （1）试判断与 之间的数量关系，并说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 解： ，理由如下： . . . 又 ， . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 （2）若 ， ，求 的 度数. 解：由（1）知， ， . 由（1）知， ， . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 考点3 三角形的内角和定理及其推论 9.在中， ，则这个三角形是______三角形 （填“锐角”“直角”或“钝角”）. 钝角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 10.（东营中考）如图，，点在线段 上 （不与点，重合），连接.若 ， ，则 ( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 11.（泰安新泰市期中）如图1、图2， ， ， ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 12.（泰安新泰市期末）如图，与 的位置如图所示，， 在同一条直线上， ，连接.若 ， ， ，平分，求 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 解：， ， . ， . 平分 ， . ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，在中， ，点 在边 上，点在边上，且，连接 . （1）当 ，求 的度数； 解：， ， . ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 （2）当点在边（点，除外）上运动时，直接写出 与 的数量关系. 解： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 14.如图，在中，， 平分 ，为线段上的一个动点， 交 直线于点 . （1）若 ， ，求 的度数； 解： ， ， . 平分 ， . . 又 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 （2）当点在线段上运动时，求证： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 证明： ， . 平分 ， . . ， . . ，即 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 02 核心素养提升练 15.（潍坊中考）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架 与吊线平行，灯杆与底部支架 所成锐角 .顶部支架与灯杆所成锐角 ，则 与 所成锐角的度数为( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 $第八章 平行线的有关证明 4 平行线的判定定理 1 01 典例示范 【例】 如图，，，求证: . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 证明： ， . . ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 判定两条直线平行的方法：①利用同位角、内错角相等或同旁内角 互补证明平行；②在同一平面内，都垂直于同一条直线的两直线平行. 【跟踪训练】 （泰安肥城市期中）如图， 点在的延长线上，下列条件： ； ；； .其中能判定 的是________（填序号）. ①②③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 02 分层训练 知识点1 同位角相等，两直线平行 第1题图 1.（吉林中考改编）如图，如果 ，那么 ，其依据可以简单说成___________________ _____. 同位角相等，两直线平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 第2题图 2.（台州中考）如图，已知 ， 为保证两条铁轨平行，添加的下列条件 中，正确的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 3.如图，与互余，与互余.求证： . 证明：与互余，与 互余， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 知识点2 内错角相等，两直线平行 4.如图，将两个形状相同的三角板的最长边靠在一起，上下滑动，直 角边 ，根据是________________________. 内错角相等，两直线平行 第4题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 第5题图 5.（教材习题变式）如图，已知 ， ， ，完成下列推理过程： 证明：， （已知）， ______________ （垂直定义）. 又 （已知）， ____（等式的性质）， 即 . ____（内错角相等，两直线平行）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 知识点3 同旁内角互补，两直线平行 6.结合图形，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推 理形式： ________________， . 第6题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 7.如图，若 ，则当____ 时， . 50 第7题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 8.如图，已知 , , .求证： . 证明： , , . , . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 知识点4 平行线的判定的综合运用 9.如图，直线，被直线 所截，若满足__________________________ _____________，则， 平行. 或或 等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 10.如图，根据下列条件，分别可以判定哪两条直线平 行，并说明判定的根据是什么？ （1） ； 解：如果，那么 （同位角相等，两直线平行）. （2） ； 解：如果，那么 （内错角相等，两直线平行）. （3） . 解：如果 ，那么 （同旁内角互补，两直线平 行）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 11.（临沂中考）在同一平面内，过直线外一点作的垂线 ，再过点 作的垂线，则直线与 的位置关系是( ) C A. 相交 B. 相交且垂直 C. 平行 D. 不能确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 12.如图，直线与直线交于点，与直线 交于点 ， ， .若使直线与直线 平行， 则可将直线绕点 逆时针旋转( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 第13题图 13.如图，下列条件：； ； ； ，其中能判定直线 的有( ) C A. 1个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 14.如图，把三角板的直角顶点放在直线上.若 ，则当 ____ 时， . 50 第14题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 15.如图，已知平分，平分，且 与 互余.求证： . 证明：与 互余， . 平分,平分,, . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 16.如图，已知 ， ， ，试确 定与 的位置关系，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 解： . 理由：过点作 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 ， . 又 ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 $第八章 平行线的有关证明 1 定义与命题 1 01 典例示范 【例1】 请说出下列命题的条件和结论各是什么. （1）两直线平行，同位角相等； [答案] 条件为两直线平行，结论为同位角相等. （2）平行于同一条直线的两条直线平行. 【解答】 [答案] 条件为两条直线都与第三条直线平行，结论为这两条直线平行. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 2 【跟踪训练1】 把命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……” 的形式是______________________________________. 如果两个角是等角的补角，那么它们相等 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 3 【例2】 命题“若，则 ”是____（填“真”或“假”）命题. 假 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 4 【跟踪训练2】 请给假命题“两个锐角的和是钝角”举一个反例： ______________________________________________________. ， ， （答案不唯一） 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 5 02 分层训练 知识点1 定义与命题的概念 1.下列语句中，是命题的为( ) B A. 在线段上任取一点 B. 对顶角相等 C. 过点作直线 D. 锐角都相等吗？ 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 6 2.下列属于定义的是( ) C A. 两点确定一条直线 B. 同角或等角的余角相等 C. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D. 两直线平行，内错角相等 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 7 知识点2 命题的结构 3.如果，，那么 .这个命题的条件是_______ _____________，结论是_________. ， 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 4.（泰安肥城市期中）把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”， 写成“如果……那么……”的形式：_______________________________ ___________________________. 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 9 知识点3 命题的分类 5.判断下列命题是真命题，还是假命题.如果是假命题，举一个反例. （1）若，则 ； 解：假命题,如：,但 . （2）同旁内角互补，两直线平行； 解：真命题. （3）一个角的余角小于这个角. 解：假命题,如： 角的余角是 ,而 . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 10 6.下列命题错误的是( ) C A. 所有的实数都可用数轴上的点表示 B. 等角的补角相等 C. 无理数包括正无理数，0，负无理数 D. 两点之间线段最短 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 11 7.判断下列命题是真命题，还是假命题，是假命题的举反例加以说明. （1）如果，那么是 的中点； 解：假命题，如：当点在的延长线上，且时， 不是 的中点. （2）三条线段长分别为,,，如果 ，那么这三条线段一定 能组成三角形； 解：假命题，如：当，，时， ，但线段长 为5，1，3的三条线段不能组成三角形. （3）三角形的内角和等于 ； 解：真命题. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 12 （4）如果,那么 . 解：假命题，如：当,时，，但 . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 13 $第八章 平行线的有关证明 5 平行线的性质定理 1 01 典例示范 【例1】 （陕西中考）如图，， . 若 ，则 的大小为( ) B A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 【跟踪训练1】 如图，， ， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 【例2】 如图，，于点，于点 ，试 判断与 的关系，并说明理由. 【解答】 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 [答案] . 理由： ， （同位角相等，两直线平行）. （两直线平行，内错角相等）. ， （已知）， （在同一平面内，垂直于同一直线的两条 直线平行）. （两直线平行，同位角相等）. （等量代换）. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 【跟踪训练2】 （郴州中考）如图，直线，且直线， 被直线 ，所截，则下列条件不能判定直线 的是( ) C A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 02 分层训练 知识点1 两直线平行，同位角相等 第1题图 1.如图，直线，被直线所截.若， ， 则 的度数是( ) C A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 第2题图 2.（淄博中考）如图，直线， ， 则 等于( ) C A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 知识点2 两直线平行，内错角相等 第3题图 3.如图，某人沿路线行走，与 方向相同， ，则 ( ) C A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 第4题图 4.（营口中考）如图，直线， 的顶 点，分别在，上.若 ，则 的大小为( ) C A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 知识点3 两直线平行，同旁内角互补 5.（湖北中考）如图，一条公路的两侧铺设了， 两条平行管道， 并有纵向管道连通.若 ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 6.如图，//，.若 ，则 的度数是( ) C 第6题图 A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 知识点4 平行线的性质与判定的综合运用 第7题图 7.如图，已知 ，则 的度数是 ( ) C A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 8.（武汉中考）如图，在四边形中，， . （1）求 的度数； 解： ， . ， . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）平分交于点， .求证： . 证明：平分， . ， . ， . . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 易错点 无法准确画出图形致误 9.【分类讨论思想】如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相 平行，那么这两个角的关系是____________. 相等或互补 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 第10题图 10.（东营中考）已知，直线//，把一块含有 角 的直角三角板如图放置， ，三角板的斜边所 在直线交于点，则 ( ) B A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 第11题图 11.（东营中考）如图，，于点 . 若 ，则 ( ) D A. B. C. D. 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 18 12.如图，已知直线，，相交于点 ， ，， .求证： . 证明： , . , ， ，即 . . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 19 13.（淄博周村区期末）如图，已知 ， 且 ，是射线 上一动点 （不与点重合），，分别平分 和，交射线于点， . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 20 （1）求 的度数； 解：， . ， . ，分别平分和 ， ， . . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 21 （2）当点运动到使 时，求 的度数； 解：， . ， . . 由（1），得 ，， . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 22 （3）在点运动过程中，与 之间是否存在一定的数量关系？ 若存在，请直接写出它们之间的数量关系；若不存在，请举出反例. 解：存在， . 1 1 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 23 $第八章 平行线的有关证明 2 证明的必要性 1 01 典例示范 【例】 在学习中，小明发现：当，2，3时， 的值都是 负数.于是小明猜想：当为任意正整数时， 的值都是负数.小 明的猜想正确吗？请简要说明你的理由. 【解答】 [答案] 不正确. 解法一：（利用反例证明）例如：当时， ； 解法二：，当时， . 1 2 3 4 5 6 2 【跟踪训练】 字母，，， 各代表正方形、线段、正三角形、圆 四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三 种组合与连接的对应表，由此可推断图形 的连接方式为_______. 组合 _____________________ ____________________ __________________ 连接 ____________________ __________________ ____________________ 1 2 3 4 5 6 3 02 分层训练 知识点1 生活中的推理 1.下列结论推理合理的是( ) D A. 王强和小明体重看起来不等，那么它们一定不等 B. 因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题 C. 因为小强的妈妈是老师，所以小强学习成绩一定很好 D. 因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多 1 2 3 4 5 6 4 2.小红前五次数学单元测试都是优秀，第六次单元测试小红也一定是 优秀，这个判断是______的.（填“正确”或“错误”） 错误 1 2 3 4 5 6 5 知识点2 数学中的推理 3.通过观察，你能肯定的是( ) C A. 图形中线段是否相等 B. 图形中线段是否平行 C. 图形中线段是否相交 D. 图形中线段是否垂直 1 2 3 4 5 6 6 4.下列结论正确的是( ) A A. 全等三角形的对应角相等 B. 对应角相等的两个三角形全等 C. 有两条边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 两个角相等，则这两个角一定是对顶角 1 2 3 4 5 6 7 5.下列说法正确的是( ) D A. 经验、观察或实验完全可判断一个数学结论的正确与否 B. 推理是科学家的事，与我们没有多大的关系 C. 对于自然数, 一定是质数 D. 有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少 于2个 1 2 3 4 5 6 8 6.小聪、小玲、小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题， 每题10分，每题有A,B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的 答案和得分如下表.试问：这五道题的正确答案（按第1～5题的顺序排 列）是___________. 选手 题号 得分 1 2 3 4 5 小聪 B A A B A 40 小玲 B A B A A 40 小红 A B B B A 30 B,A,B,B,A 1 2 3 4 5 6 9 $类型1 两个内角平分线的夹角 【例1】 如图，平分，平分 .试确定 和 的数量关系. 【解答】 [答案] 平分，平分 ， . ， . 1 2 3 1 三角形的两个内角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于 加上第三角度数的一半. 如图，在中，与的平分线相交于点 ，则 类型2 一个内角平分线与一个外角平分线的夹角 【例2】 如图，平分， 平分外角 .试确定和 的数量关系. 【解答】 [答案] 平分，平分 ， ， . , , . 1 2 3 3 三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一点，所形成的 夹角的度数等于第三角度数的一半. 如图，在中，，分别平分， ，则 . 类型3 两个外角平分线的夹角 【例3】 如图，平分外角，平分外角.试确定 和 的数量关系. 【解答】 1 2 3 5 [答案] 平分，平分 ， ， . ， ， . ， . 1 2 3 6 三角形的两个外角平分线交于一点，所形成的夹角的度数等于 减去第三角度数的一半. 如图，在中，，分别是外角， 的 平分线，则 . $