期中考点通关训练（解答题篇）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦八年级下册期中核心考点，以解答题为载体，系统覆盖三角形证明、不等式应用及图形变换三大模块，题型从基础到综合，注重推理意识与几何直观的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形的证明及其应用|8题|含全等证明、角平分线性质、垂直平分线应用及旋转综合题|从基本性质证明到复杂图形变换，构建“性质-判定-应用”逻辑链| |不等式与不等式组|7题|涵盖解不等式(组)、含参问题及实际应用|遵循“解法-解集-应用”递进，强化模型意识与运算能力| |图形的平移与旋转|7题|包括作图、性质应用及综合探究|从变换作图到性质应用，培养空间观念与转化思想|

期中考点通关训练（解答题篇）2025-2026学年 北师大版八年级下册 板块一：三角形的证明及其应用 1.如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 2.如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F． （1）求证：∠AEF＝∠AFE； （2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数． 3．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，求证：PM＝PN 4.如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)若，，求的度数． 5.如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由． 6.如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 7.已知：如图，点P是等边内的一点，连接、、，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)若∠，，，求的面积． 8.如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为________； (2)判断点O是否在的垂直平分线上； (3)若，求的度数． 板块二：不等式与不等式组 1．解不等式： （1）； （2）． 2．解不等式组，并把解集表示在数轴上． 3.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 4．已知关于的不等式组 (1)当时，求该不等式组的整数解； (2)若原不等式组的整数解只有7，8，求的取值范围． 5.阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题： (1)不等式的解集为______； (2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集． 6．随着人们环保意识的增强，油电混动汽车也成了广大消费者的宠儿，因为油电混动汽车既可以用纯油模式行驶，也可以切换成纯电模式行驶，若某型号油电混动汽车从甲地行驶，到乙地，纯电模式行驶，纯油模式行驶，电费、油费一共花费35元；纯电模式行驶，纯油模式行驶，电费、油费一共花费50元． (1)求该汽车行驶中每千米需要的电费和油费分别是多少元 (2)若该汽车从甲地到乙地，部分路段使用纯电模式行驶，其余路段采用纯油驱动，若所需的油、电费用合计不超过44元，求至少需要在纯电模式下行驶多少千米？ 7.某经销商计划购进A，B两种农产品.已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． (1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5160元购进A，B两种农产品40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 板块三：图形的平移与旋转 1.如图，在网格图中，平移三角形使点A平移到点D，且B，C的对应点分别为E，F． (1)画出平移后的三角形； (2)连接，则线段与的关系是______________． 2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-1，0），B（-4，1），C（-2，2）． (1)直接写出点B关于点C对称的点的坐标：___________； (2)平移△ABC，使平移后点A的对应点的坐标为（2，1），请画出平移后的△； (3)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△． 3.如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合． (1)写出它的旋转中心； (2)旋转角至少是多少度？ (3)______（填“＞”或“＝”或“＜”）． 4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-1，0），B（-4，1），C（-2，2）． (1)直接写出点B关于点C对称的点的坐标：___________； (2)平移△ABC，使平移后点A的对应点的坐标为（2，1），请画出平移后的△； (3)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向三角形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，若AB＝4，AC＝2． （1）求∠ADE的度数； （2）AD的长． 6.图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 7.如图，在中，，点在上，且． (1)画出将绕点逆时针旋转后的三角形； (2)若，求的长． 【答案】 期中考点通关训练（解答题篇）2025-2026学年 北师大版八年级下册 板块一：三角形的证明及其应用 1.如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 2.如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F． （1）求证：∠AEF＝∠AFE； （2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数． 【答案】 解：（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C， ∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C， ∴∠AEF＝∠AFE； （2）∵FE平分∠AFG， ∴∠AFE＝∠GFE， ∵∠AEF＝∠AFE， ∴∠AEF＝∠GFE， ∴FG∥AC， ∵∠C＝30°， ∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°． 3．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，求证：PM＝PN 【答案】证明： 为 的平分线， ， 在 和 中， ， ， ， 点 在 上， ， ， . 4.如图，在四边形中，对角线与交于点，已知，，． (1)试说明：是等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ， ∴； （3）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5.如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由． 【答案】略 【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N 则∠CMD＝∠BND＝90°， ∵AD是∠EAF的平分线， ∴DM＝DN， ∵∠ACD+∠ABD＝180°， ∠ACD+∠MCD＝180°， ∴∠MCD＝∠NBD， 在△CDM和△BDN中， ∠CMD＝∠BND＝90°， ∠MCD＝∠NBD， DM＝DN， ∴△CDM≌△BDN， ∴CD＝DB． 6.如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：证明如下： ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 7.已知：如图，点P是等边内的一点，连接、、，以为边作等边，连接． (1)求证：； (2)若∠，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：作交的延长线于． 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ． 8.如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为________； (2)判断点O是否在的垂直平分线上； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上 (3)． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； 故答案为：； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 板块二：不等式与不等式组 1．解不等式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）∵， ∴， 则； （2）∵， ∴， ， ， ， 则． 2．解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，作图见解析 【解析】 解：由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集是， 在数轴上表示为： 3.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】 【详解】解：， 得：， 整理得：， 得：， ∵， ∴， 由③可得：， 由④可得：， ∴m的取值范围为：． 4．已知关于的不等式组 (1)当时，求该不等式组的整数解； (2)若原不等式组的整数解只有7，8，求的取值范围． 【答案】(1)5 (2) （1）解：当m=10时，关于的不等式组即为解不等式①得：解不等式②得： ∴该不等式组的解集为： ∴该不等式组的整数解为：5 （2）解：解不等式①得：解不等式②得： ∵原不等式组的整数解只有7，8∴解不等式③得：解不等式④得： ∴即m的取值范围是． 5.阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题： (1)不等式的解集为______； (2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集． 【答案】(1)； (2)，． 【详解】（1）解：的解集是， 不等式的解集为：． 故答案为：； （2）解：的解集是， 求的解集是， 可化为， 求的解集实质上是求不等式组， 解得． 故答案为：． 6．随着人们环保意识的增强，油电混动汽车也成了广大消费者的宠儿，因为油电混动汽车既可以用纯油模式行驶，也可以切换成纯电模式行驶，若某型号油电混动汽车从甲地行驶，到乙地，纯电模式行驶，纯油模式行驶，电费、油费一共花费35元；纯电模式行驶，纯油模式行驶，电费、油费一共花费50元． (1)求该汽车行驶中每千米需要的电费和油费分别是多少元 (2)若该汽车从甲地到乙地，部分路段使用纯电模式行驶，其余路段采用纯油驱动，若所需的油、电费用合计不超过44元，求至少需要在纯电模式下行驶多少千米？ 【答案】(1)汽车行驶中每千米需要的电费是0.1元，每千米需要的油费是0.4元 (2)至少需要纯电模式下行驶120千米 【详解】（1）设汽车行驶中每千米需要的电费是x元， 每千米需要的油费是y元，则， 解之得 答：汽车行驶中每千米需要的电费是0.1元，每千米需要的油费是0.4元． （2）设汽车用电行驶了m千米，则用油行驶了千米； 由题意得， 解之得． 答：至少需要纯电模式下行驶120千米． 7.某经销商计划购进A，B两种农产品.已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元． (1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？ (2)该经销商计划用不超过5160元购进A，B两种农产品40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】(1)A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元 (2)购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多 【详解】（1）解：设A种农产品的每件价格是x元，B种农产品每件的价格是y元， 依题意得： ， 解得：， 答：A种农产品每件的价格是120元，B种农产品每件的价格是150元； （2）解：设该经销商购进A种农产品m件，则购进B种农产品件， 依题意得：， 解得：， m为正整数， m可取28，29，30， 当购进A种农产品28件，则购进B种农产品件， 则 （元）， 当购进A种农产品29件，则购进B种农产品件， 则 （元）， 当购进A种农产品30件，则购进B种农产品件， 则 （元）， ， 购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多， 答：购进A种农产品28件，则购进B种农产品件时获利最多． 板块三：图形的平移与旋转 1.如图，在网格图中，平移三角形使点A平移到点D，且B，C的对应点分别为E，F． (1)画出平移后的三角形； (2)连接，则线段与的关系是______________． 【答案】(1)见解析 (2)， 【详解】（1）解：如图即为平移后的三角形； （2）解：线段与的关系是：，． 故答案为：，． 2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-1，0），B（-4，1），C（-2，2）． (1)直接写出点B关于点C对称的点的坐标：___________； (2)平移△ABC，使平移后点A的对应点的坐标为（2，1），请画出平移后的△； (3)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△． 【答案】（1） 解：点B关于点C对称的点的坐标为（0，3）； 故答案为：（0，3）； （2） 解：如图所示，△即为所求； ； （3） 解：如图所示，△即为所求． 3.如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合． (1)写出它的旋转中心； (2)旋转角至少是多少度？ (3)______（填“＞”或“＝”或“＜”）． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：逆时针旋转后能够与重合：旋转中心是点． （2）逆时针旋转后能够与重合：旋转角至少是； （3）∵正方形， ∴， 由旋转可得：， ∴． 4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（-1，0），B（-4，1），C（-2，2）． (1)直接写出点B关于点C对称的点的坐标：___________； (2)平移△ABC，使平移后点A的对应点的坐标为（2，1），请画出平移后的△； (3)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△． 【答案】（1） 解：点B关于点C对称的点的坐标为（0，3）； 故答案为：（0，3）； （2） 解：如图所示，△即为所求； ； （3） 解：如图所示，△即为所求． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向三角形外作等边三角形△BCD，把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，若AB＝4，AC＝2． （1）求∠ADE的度数； （2）AD的长． 【答案】解：（1）∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD， ∴∠ADE＝60°； （2）∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD， ∴∠ADE＝60°，AD＝DE， ∴△ADE是等边三角形， 四边形ABDC中，∠BAC＝120°，∠BDC＝60°， ∠ABD+∠ACD＝360°﹣120°﹣60°＝180°， ∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD， ∴∠ECD＝∠ABD， ∴∠ECD+∠ACD＝180°，即∠ACE＝180°， ∴A、C、E三点共线， 即E和E′重合， ∵把△ABD绕D点按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，AB＝4，AC＝2， ∴EC＝AB＝4，AD＝DE，∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE＝2+4＝6． 6.图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)， (2)或 (3)448 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方单位． 故答案为：． （3）解：如图4，长方形的长为，宽为，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． 故答案为：448． 7.如图，在中，，点在上，且． (1)画出将绕点逆时针旋转后的三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)5 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，如上图所示： ∵，， ∴， ∴， 又 ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $