第23讲 平移、轴对称与旋转-【鹰击道道清】2026年天津中考数学冲关知识手册

中考总复习·数学 ···········鹰击道通猜中考仲关模叔分 第二十三讲平移、轴对称与旋转 【教材链接：《人教版》七上第五章相交线与 平行线∥八上第十三章轴对称∥九上第二 十三章旋转】 @知识梳理 一、平移 1.定义：把一个图形整体沿 移 动，会得到一个新的图形，新图形与原图形 的 和 完全相同，图 形的这种移动叫做平移变换，简称平移。 注意：平移的两要素是平移的 和平移的 2.性质： (1)平移不改变图形的大小和形状，但图 形上的每个点都沿同一方向进行了移动， 平移前后的两个图形是 形； (2)连接各组对应点的线段 (或在 )且 经验积累 (1)平移作图的关键是确定平移的方向 与距离 (2)“对应点所连的线段平行（或在同一 直线上)且相等”，这个基本性质既可作 为平移图形之间的性质，又可作为平移 作图的依据.确定一个图形平移后的位 置所需条件为：①图形原来的位置；②平 移的方向；③平移的距离 二、轴对称 1.定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如 果它能够与另一个图形 ,那 么就说这两个图形关于这条直线成轴对 称，该直线叫做 ,折叠后重合 的点是对应点，叫做 ·74· 2.性质：(1)关于某条直线对称的两个图形 是 形 (2)如果两个图形关于某直线对称，那么 对称轴是对应点连线的 (3)两个图形关于某直线对称，如果它们 的对应线段或延长线相交，那么交点在 上 3.判定：如果两个图形的对应点连线被同 一条直线 ,那么这两个图形 关于这条直线对称. 4.轴对称图形：把一个图形沿着某条直线 折叠，如果直线两旁的部分能够互相 ,那么这个图形叫做轴对称 图形，这条直线就是它的对称轴， 经验积累 (1)轴对称是指两个图形的位置关系，而 轴对称图形是指一个具有特殊形状的图 形.(2)对称轴是直线而不是线段，轴对 称图形的对称轴不一定只有一条.(3)简 单的轴对称图形：①线段：有两条对称 轴：线段所在直线和线段中垂线；②角： 有一条对称轴：该角的平分线所在的直 线；③等腰（非等边）三角形：有一条对称 轴：底边中垂线；④所有的正n边形都是 轴对称图形，且有n条对称轴，如等边三 角形有三条对称轴，是每条边的中垂线. 三、旋转 1.定义：把一个图形绕某一点O转动一个 的图形变换叫做旋转，其中O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角， 注意：旋转三要素是旋转 、旋 转 、旋转 2.性质：(1)旋转前后的图形 (2)对应点到旋转中心的距离 (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角 等于 四、中心对称 1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ,如果旋转后的图形能够 和原来的图形互相重合，那么这个图形 叫做中心对称图形，这个点就是它的 2.性质：(1)关于中心对称的两个图形 是 (2)关于中心对称的两个图形，对称点连线 都经过 并且被对称中心平分. (3)关于中心对称的两个图形，对应线 段 (或在 且 3.判定：如果两个图形的对应点连线都经 过某一点，并且被这一点 ,那 么这两个图形关于这一点对称. 4.中心对称图形：把一个图形绕某一个点 旋转180°，如果旋转后的图形能够和原 来的图形互相 ,那么这个图 形叫做中心对称图形，这个点就是它的 对称中心. :…经验积累 (1)中心对称是指两个图形的位置关系， 而中心对称图形是指一个具有特殊形状 的图形.(2)常见的中心对称图形有线 段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆 等.(3)边数为偶数的正多边形，既是轴 对称图形又是中心对称图形.(4)中心对 称的判定：如果两个点的连线被某一，点M 平分，则这两个点关于点M成中心对称. 数学 (5)简单图形的旋转作图分两种情况： ①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋 转角的大小；②给出绕着旋转的定点和 图形的一个特殊点旋转后的对应点.作 图步骤：①作出图形的几个关键点旋转 后的对应点；②顺次连接各点得到旋转 后的图形.(6)注意图形的各种变换在平 面直角坐标系中的运用 公素养点拔 例1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将 △ABC绕点C逆时针旋转得到△A1B1C, 此时使点A的对应点A,恰好在AB边 上，点B的对应点为B1,A1B1与BC交于 点E,则下列结论一定正确的是( A.AB=EB B.CA=AB C.A1B1⊥BC D.∠CA1A=∠CA1B 【解析】A.将△ABC绕点C逆时针旋转得 到△A1B1C,.AB=A1B1,B1C=BC,不 能得到AB=B1E,故选项A不合题意， B.CA1=CA,不能得到CA1=A1B,故选 项B不合题意. C.旋转角∠ACA1不一定等于∠A, ∴.∠BCB1不一定等于∠A..∠BCB1十 ∠B1不一定等于90°，故选项C不合题意. D.CA1=CA,∴.∠A=∠CA1A.由旋转可 得∠A=∠CA1B1,.∠CA1A=∠CA1B1. 故选项D符合题意， 故选：D. 【考情分析】天津市中考第11题考查图形 变化，3分，本题型属于较难题.本题考查 了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质. ·75· 中考总复习·数学 ··········鹰击道道猜中考仲关模拟分 旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是 解题的关键， 例2在平面直角坐标系中，O为原点，点 A(4,0),点B(0,3),把△ABO绕点B逆 时针旋转得到△A'BO',点A,O旋转后的 对应点为A′，O,记旋转角为α. (1)如图①，若a=90°，求AA'的长； (2)如图②，若α=60°，求点O的坐标； (3)如图③，P为AB上一点，且PA· PB=2:1,连接PO',PA',在△ABO绕点 B逆时针旋转一周的过程中，求△POA 的面积的最大值和最小值（直接写出结果 即可) 图① 图② 图③ 【解答】(1)如图①中， B(0,3),.OB=3. 由旋转的性质可知，BO= BO=3,∠OBO=90°， .O(3,3),A'(3,7) ∴.AA′=√(4-3)2+72= 图① 5√2. (2)如图②中，过点O作O'H⊥OB于 点H, 在Rt△OBH中， BH=OB·cos60°=3 B H0-V3BH=33 0 2； ..OH=OB-BH=3 图② · ·76· (3)△P0A'面积的最大值为，最小值 为梨 【考情分析】天津市中考第24题考查图形 变化的综合题，10分，本题型属于难题.本 题考查了旋转变换，最长、最短问题，三角 形的面积等知识，解题的关键是学会利用 旋转变换的性质解决问题，属于中考常考 题型. O考点速练 考点一：图形的平移 1.如图，将边长为12的正方形ABCD沿 其对角线AC剪开，再把△ABC沿着 AD方向平移，得到△A'BC',当两个三 角形重叠部分的面积为32时，它移动的 距离AA'等于 2.如图，将△ABE向右平移3cm得到 △DCF,已知△ABE的周长是16cm. (1)试判断AD与EF的关系，并证明； (2)求四边形ABFD的周长. 考点二：识别轴对称图形和中心对称图形 3.下面四个图案依次是我国汉字中的“福 禄寿喜”的艺术字图.这四个图案中，是 中心对称图形的是( ① ② ③ A.①② B.②③ C.②④ D.②③④ 4.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴 对称图形的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 考点三：关于轴对称、中心对称的作图与 计算 5.方格纸中的每个小方格都是边长为1个 单位的正方形，在建立平面直角坐标系 后，△ABC的顶点均在格点上，点C的 坐标为(4，一1)： (1)试作出△ABC以C为旋转中心，沿 顺时针方向旋转90°后的图形△A1B1C; (2)以原点O为对称中心，再画出与 △ABC关于原点O对称的△A2B2C2, 数学 并写出点C2的坐标. 考点四：轴对称性质的应用 6.小明是我校手工社团的一员，他在做折 纸手工.如图所示，在矩形ABCD中， AB=6,BC=8,点E是BC的中点，点 F是边CD上的任意一点，△AEF的周 长最小时，则DF的长为( E A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图，矩形ABCD的顶点A,B在x轴上， 点D的坐标为(3,4)，点E在边BC上， △CDE沿DE翻折后点C恰好落在x轴 上的点F处，若△ODF为等腰三角形，点 C的坐标为 0 F B x 考点五：图形的折叠 8.如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为 AB,再把以AB的中点O为顶点的平角 ∠AOB三等分，沿平角的三等分线折 叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶 ·77· 中考总复习·数学 ···········鹰击道通猜中考仲关模拟分美 点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角 形全部展开平铺后得到的平面图形一定 是( B AO B A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 9.如图，在矩形ABCD(AB<AD)中，将 △ABE沿AE对折，使AB边落在对角 线AC上，点B的对应点为点F,同时将 △CEG沿EG对折，使CE边落在EF 所在直线上，点C的对应点为点H. R-- 图① 图② (1)求证：AF∥HG(图①)； (2)如果点C的对应点H恰好落在边 AD上（图②）.判断四边形AECH的形 状，并说明理由. 考点六：旋转性质的应用 10.如图，在△ABC中， ∠CAB=65°，将 △ABC在平面内绕 点A旋转到△AB'C'的位置，使CC∥ AB,则旋转角的度数为( A.35°B.40° C.50° D.65 ·78· 11.四边形ABCD是正 方形，△ADF旋转 一定角度后得到 △ABE,如图所示， 如果AF=4,AB=7, (1)指出旋转中心和旋转角度； (2)求DE的长度； (3)BE与DF的位置关系如何？ 考点七：最短路线问题 12.如图，边长为4的正方A 形ABCD,点P是对角 线BD上一动点，点E 在边CD上，EC=1,则 PC十PE的最小值是 第二十四讲 投影与视图 【教材链接：《人教版》七上第四章∥《人教 版》九下第二十九章】 ®知识梳理 一、投影 1.定义：一般地，用光线照射物体，在某个 平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做 物体的 ,照射光线叫做 ,投影所在的平面叫做 投影线垂直于投影面产生∴.OD⊥DQ, 即∠ODQ=90°. ∴.∠Q=90°-∠DOB=A 90°-40°=50°. .OB=OD,PQ=DQ, ∴.∠ODB=∠OBD= 图② 180°-∠BOD 2 =70°， ∠QPD=∠QDP=180°，∠Q=65. 2 ∴∠CBP=∠QPD-∠BCD=65°-20°=45°. ∴.∠CBD=∠CBP+∠OBD=45°+70°=115°. 9.D10.111.72° 第二十二讲与圆有关的计算 知识梳理 一、1，中心半径中心角360边心距 n 2.等腰2n直角 二 nπR2 360 R 三、1.(1)2πrh(2)2πrh+2πr2(3)πr2h 2.(1)rl(2)rl+xr(3)3x2h [经验积累](1)无数一(2)2=h2+r2 (3)母线 底面圆周长(4)180°120°90° 考点速练 1.42.2m 4.2√35.W3:√2：1 6.2x7.89 6 第二十三讲平移、轴对称与旋转 知识梳理 一、1.某一方向形状大小方向距离 2.(1)全等(2)平行同一直线上相等 二、1.重合对称轴对称点 2.(1)全等(2)垂直平分线(3)对称轴 3.垂直平分4.重合 三、1.角度中心方向角度 2.(1)全等(2)相等(3)旋转角 四、1.180°对称中心 2.(1)全等形(2)对称中心(3)平行同一直 线上相等3.平分4.重合 11 考点速练 1.4或8 2.解：(1)AD∥EF,AD=EF. 证明：由平移性质可知△ABE≌△DCF, ∴.AD=BC,AD∥BC. .'.BE=CF ∴.BC=EF. ∴.AD∥EF,AD=EF (2)四边形ABFD的周长为22cm. 3.C4.B 5.(1)如下图： (2)如下图： 点C2的坐标为(-4,1). 6.D 7.(8,40或3+25,40或（号 8.D 9.(1)证明：由对折（轴对称）性质可得∠AFE= ∠B=90°，∠H=∠BCD=90°， .∠AFH=∠AFE=∠H.∴.AF∥HG (2)解：四边形AECH是菱形.理由如下： .AD∥BC,∠AEB=∠DAE. ∠AEB=∠AEH. ∴.∠DAE=∠AEH..AH=EH ,EC=EH,∴.AH=EC ,AH∥EC,AC⊥EH,∴.四边形AECH是菱形. 10.C 27. 11.(1)旋转中心为点A,旋转角度为90°或270°. (2)DE=3. (3)BE与DF是垂直关系. 12.5 第二十四讲 投影与视图 知识梳理 一、1.投影投影线投影面正投影 2.一组互相平行的射线 3.中心投影灯泡手电简烛光 [经验积累](1)相交于同一点互相平行 (2)正比 二、1.主视图俯视图左视图 2.(1)主视图俯视图左视图（2)长高 长宽高宽 [经验积累](1)实虚(2)长对正高平齐 宽相等 三、(2)矩形两个全等n边形 (3)矩形1 两个全 等的圆(4)扇形 一个圆 考点速练 1.B2.A3.C4.A5.A6.6π 第二十五讲 尺规作图 考点速练 1.42.√53.(-2，-1) 第二十六讲统计 知识梳理 一、1.全体对象2.一部分3.(1)全体对象 (2)每一个(3)个体(4)个体 [经验积累](1)普查抽查 二、1.条形扇形折线频数分布直方 [经验积累](1)条形(2)扇形百分比(3)折线 (4)频数分布直方 三、1，西十x2十…十x n 2.·f十x2·f十+4·f 3.由小到大由大到小中间位置的数 中间两个数据的平均数 4.最多多个没有 [经验积累](1)集中趋势 四、1.最大值最小值 1 2.[(a-+(a,-++(x,-] [经验积累]波动程度越大 考点速练 1.A2.B3.200004.B5.C6.C7.D 8.D9.A10.C 第二十七讲概率 知识梳理 1.必然发生1不会发生0发生不发生0 2.0≤P(A)≤1 4.(1)相等”(2)画树状图列表(4力 n [经验积累](1)面积法列举法(2)画树状图法 列表法 考点速练 1.D2.A3.A4.B5.A6.B7.D 8.解：(1)用列表法表示所有可能出现的结果情况 如下： 转盘 2 6 摸球 1 (2,1) (4,1) (6,1) 3 (2,3) (4,3) (6,3) 5 (2,5) (4,5) (6,5) 共有9种不同结果，即(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4， 1),(4,3),(4,5),(6,1),(6,3),(6,5). (2)公平.理由：列出两次得数之和的所有可能的 结果如下： 转盘 2 6 摸球 1 2+1=3 4+1=5 6+1=7 3 2+3=5 4十3=7 6+3=9 5 2+5=7 4+5=9 6+5=11 共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数” 的有3种，“和为7的倍数”的有3种， 所以P小杰胜)=号=号P小玉胜)=号=号 因此游戏是公平的. 9.B 28·