第20讲 圆的相关概念及性质-【鹰击道道清】2026年天津中考数学冲关知识手册

第二十讲圆的有关概念及性质 【教材链接：《人教版》九上第二十四章圆】 ®知识梳理 一、圆的定义及性质 1.圆的形成：在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之旋转形成的图形叫做圆.固定的端点 叫 ,线段OA叫做 能够重合的两个圆叫做 2.弦与直径：连接圆上任意两点的 叫做弦，过 的弦叫做直径，直径 是圆内最长的弦， 3.弧：圆上 的部分叫做弧，小N 于半圆的弧叫做 ,大于半圆 的弧叫做 4.圆心角：顶点在 的角叫做圆 心角， 5.圆周角：顶点在 ,并且两边都 与圆 的角叫做圆周角. 6.弦心距： 到 的距 离叫做弦心距， 7.圆的对称性： (1)轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴， 的直 线都是它的对称轴： (2)中心对称性：圆是中心对称图形，对 称中心是 …经验积累 (1)在一个圆中，圆心决定圆的 径决定圆的 (2)圆不仅是中心对称图形，而且具有旋 转 性，即绕圆心旋转任意角 度都与原来的图形重合 数学 二、垂径定理及推论 1.垂径定理：垂直于弦的直径 这 条弦，并且平分弦所对的两条 2.推论： (1)平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且平分弦所对的 (2)弦的垂直平分线经过 ,并 且平分弦所对的 …经验积累 (1)垂径定理及其推论实质是指一条直 线满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分 弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对 的劣孤五个条件中的两个，那么可推出 其余三个，注意解题过程中的灵活运用. (2)圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 (即弦心距). (3)垂径定理常用作计算，在半径、弦 长a、弦心距d和弓高h中已知其中两 个量，根据 可 求另外两个量， 三、圆心角、弧、弦之间的关系 1.定理：在 中，如果两个圆心角、 两条弧、两条弦中有一组量 那么它们所对应的其余各组量都分 别 “经验积累 注意：该定理的前提条件是“ 四、圆周角定理及其推论 1.定理：一条弧所对的 角等于它 所对的 角的一半.（如图a). ·67· 中考总复习·数学 …·。鹰击通通猜中考冲关模拟分巢 图a 图b 图c 2.推论： (1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角 (如图b). (2)直径所对的圆周角是 (如 图c),90°的圆周角所对的弦是 五、圆内接四边形 1.定义：如果一个多边形的所有顶点都在 同一个圆上，这个多边形叫做 ,这个圆叫做 2.性质：圆内接四边形的对角 经验积累 圆内接平行四边形是 ○考点速练 考点一：垂径定理 1.如图，DC是⊙O的直 D 径，弦AB⊥CD于F, 连接BC,DB,则下列结 论错误的是( A.AD=BD B.AF-BF C.OF-CF D.∠DBC=90° 2.如图，AB是⊙O的 直径，∠BAC=42°， 点D是弦AC的中 A 人42 点，则∠DOC的度数 是 ·68· 3.如图，⊙O的半径OD⊥弦 AB于点C,连接AO并延 长交⊙O于点E,连接EC 若AB=8,CD=2,则EC的 长为 考点二：圆心角、弧、弦的关系 4.如图，AB是⊙O的直 径，BC=CD=DE, ∠COD=34°，则∠AEO A 的度数是() A.51° B.56° C.68° D.78 5.如图，MN是⊙O的 直径，点A是半圆上 一个三等分点，点B 是AN的中点，点B 是点B关于MN的对称点，⊙O的半径 为1，则AB的长等于( A.1 B.√2 C.3 D.2 考点三：圆周角定理 6.如图，平行四边形 D ABCD的顶点A,B,D 在⊙O上，顶点C在 ⊙O的直径BE上， ∠ADC=65°，连接AE,则∠AEB的度 数为 7.如图，AB是⊙O的直 B 径，弦CD交AB于点 E,且AE=CD=8, 0 ∠BAC=∠BOD,则 ⊙O的半径为 考点四：圆内接四边形的性质 8.如图，点A,B,C,D都在 ⊙O上，∠COD=84°，CA 平分∠OCD,则∠ABD+ ∠CAD=( ) A.68° B.66° C.60° D.52 第二十一讲与圆有关的位置关系 【教材链接：《人教版》九上第二十四章圆】 ®知识梳理 一、点与圆的位置关系 1.若圆的半径为r,点到圆心的距离为d. (1) 台点在圆内； (2) 台点在圆上； (3) 台点在圆外. 2.过三点的圆 (1)过同一直线上的三点 作圆，过 的 三个点确定一个圆， (2)三角形的外接圆：经过三角形 的圆叫做三角形的外接圆， 这个三角形叫做圆的 叫做三角形的外心. (3)三角形外心的形成：三角形 的交点；外心的性质：到 三角形 相等 …经验积累 锐角三角形的外心在三角形 直角三角形的外心是 ,钝角 三角形的外心在三角形 数学 二、直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 位置 相 相 相 关系 图形 0 0 公共 点个 数 数量 d d 关系 2.切线的性质和判定 (1)切线的性质： ①切线与圆只有一个 ②切线到圆心的距离等于 ③切线垂直于经过切点的 经验积累 根据性质③，在圆中遇到切线时，常常连 接圆心和切点，即可得垂直关系，简称 “见切线，连半径得垂直”。 (2)判定定理：经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线， 经验积累 在切线的判定中，当直线和圆的公共点 标出时，用判定定理证明（即连半径证垂 直)，当公共点未标出时，一般可证圆心 到直线的距离d=r来判定相切（即作垂 直证半径). 3.切线长定理 (1)定义：从圆外一点作圆的切线，这点与 切点之间的 长叫做这点到圆的 切线长 ·69·对角线交点(2)垂直平分 3.(1)平行(2)相等(3)平行且相等(4)互 相平分(5)相等4.底×高相等 [经验积累]相等相等 考点速练 1.A2.225°3.D4.25°5.366.1 7.C8.D 第十九讲 矩形、菱形、正方形 知识梳理 一、1.直 2.(2)直(3)相等互相平分(4)长×宽 3.(2)直(3)相等 [经验积累](1)中心轴对角线交点两 (2)直角等腰 二、1.邻边相等 2.(2)相等(3)垂直平分平分(4)底×高 乘积的一半 3.(2)垂直(3)四边形 [经验积累](1)中心轴两两条对角线所在 的直线(2)直角等腰 三、1.矩形菱形 2.(2)相等直角(3)相等互相垂直平分 平分(4)中心轴四(5)等腰直角等腰 直角 (6)距离(7)边长×边长 3.(2)邻边相等(3)直角 [经验积累](1)边角对角线 考点速练 1.60°2.1：243.44.205.A6.2.47.B 8.√5-19.①②④10.C11.212.√3 第二十讲圆的相关概念及性质 知识梳理 一、1.圆心半径等圆2.线段圆心 3.任意两点间劣弧优弧 4.圆心5.圆上相交 6.圆心弦 7.(1)无数过圆心(2)圆心 [经验积累](1)位置大小(2)任意 二、1.平分弧2.(1)垂直弧(2)圆心弧 1 [经验积累](2)垂线段 (3)r2=+(g)月 r=d+h 三、1.同圆或等圆相等相等 [经验积累]在同圆或等圆中 四、1.圆周圆心2.(1)相等(2)直角直径 五、1.圆内接多边形多边形的外接圆2.互补 [经验积累]矩形 考点速练 1.C2.483.2√134.A5.B6.25°7.5 8.B 第二十一讲与圆有关的位置关系 知识梳理 -、1.(1)d<r(2)d=r(3)d>r 2.(1)不能不在同一直线上(2)三个顶点 内接三角形外接圆的圆心(3)三条边的垂直 平分线三个顶点的距离 [经验积累]内部斜边中点外部 二、1.离切交012>=< 2.(1)①公共点②圆的半径③半径 (2)外端垂直于 3.(1)线段(2)切线长平分 4.(1)相切内心外切三角形(2)三条角平 分线相等内角 [经验积累]内部。十分。 atb-c 2 考点速练 1.C2.A3.(2,1)4.相切5.A6.C7.35 8.解：(1)如图，连接AD, ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90° ∠APC=50°，∠BCD=30°， ∴.∠ABC=∠APC-∠BCD= 50°-30°=20. 图① ∴.∠ADC=∠ABC=20°. ∴.∠CDB=∠ADB-∠ADC=90°-20°=70°. (2)如图，连接OD, ∠BCD=20°， .∠DOB=2∠BCD=40°. OD切⊙O于点D, 26