第15讲 等腰三角形与直角三角形-【鹰击道道清】2026年天津中考数学冲关知识手册

第十五讲 等腰三角形与直角三角形 【教材链接：《人教版》八上第十三章轴对 称∥八下第十七章勾股定理】 ®知识梳理 一、等腰三角形 1.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两腰相等，底角相等， 即AB=AC→∠B=∠C,(简称 ）； (2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上 的中线和底边上的高互相重合（简称 )； (3)等腰三角形是轴对称图形，它有 条对称轴，是 (或 或 )所在的直线； (4)等腰直角三角形的两个底角相等且 等于 (5)等腰三角形的 角只能为 锐角，不能为钝角（或直角），但 角可为钝角（或直角）； (6)等腰三角形的三边关系：设腰长为 a,底边为b,则 ； (7)等腰三角形的三角关系：设顶角为 ∠A,底角为∠B,∠C,则∠A= ,∠B=∠C= 2.等腰三角形的判定 (1)定义法：有两边相等的三角形是等腰 三角形； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么 这两个角所对的边也相等（简称 数学 这个判定定理常用于证明同一个三角形 中的边相等， 经验积累 (1)等腰三角形的性质还有：等腰三角形 两腰上的 相等，两腰上的 相等，两底角的 也相等 (2)因为等腰三角形和底角的特殊性，所 以在题目中常常出现对边和角的讨论问 题，讨论边时应注意保证 ,讨论角时应注意底 角只能为 角. 二、等边三角形 1.等边三角形的性质： (1)等边三角形的每个内角都 都等于 (2)等边三角形也是 对称图 形，它有 条对称轴； 2.等边三角形的判定： (1)三个角都 的三角形是等 边三角形； (2)有一个角是 的 三角形是等边三角形， …经验积累 等边三角形具备等腰三角形的所有 性质 三、直角三角形 1.勾股定理和它的逆定理 勾股定理：两直角边a,b的平方和等于 斜边c的平方，即 勾股定理的逆定理：若一个三角形的三 边a,b,c满足 ,则这个三角 形是直角三角形， ·53· 中考总复习·数学 …·…。鹰击通通清中考冲关模拟分类 经验积累 (1)勾股定理在几何证明和计算中应用 非常广泛，要注意和二次根式的结合变 形，如c=√a2十b2,a=√c2一b2等， (2)勾股定理的逆定理是判断一个三角 形是直角三角形或证明线段垂直的主要 依据： (3)记住常见的几个勾股数组，如(5,12， 13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17)等. 2.直角三角形的性质 (1)直角三角形两锐角 (2)在直角三角形中如果有一个锐角是 30°，那么它所对的 边等于 边的一半； (3)直角三角形斜边上的中线长等于 边长的一半. 3.直角三角形的判定 (1)有一个角是 的三角形是 直角三角形； (2)如果三角形一条边的中线等于这条 边的 ,那么这个三角形是直 角三角形； (3)勾股定理逆定理； (4)有两个内角和为 的三角 形是直角三角形， の考点速练 考点一：等腰三角形的性质 1.如图，AB∥CD,点ED 在线段BC上，CD= CE.若∠ABC=30°，B 则∠D的度数为( ) A.85° B.75° ·54· C.65° D.30° 2.如图，在△ABC中， AB=BC,由图中的尺 规作图痕迹得到的射 线BD与AC交于点 E,点F为BC的中点，连接EF,若BE= AC=2,则△CEF的周长为() A.√3+1 B.√5+3 C.√5+1 D.4 3.若(a一3)2+√b-5=0,则以a,b为边 长的等腰三角形的周长为 考点二：等边三角形的判定与性质 4.如图，△ABC和 △DEC都是等边 三角形，D是BC 延长线上一点， AD与BE相交于点P,AC,BE相交于点 M,AD,CE相交于点N.有下列结论： ①AD=BE;②∠BMC=∠ANC; ③∠APM=60°；④AN=BM; ⑤△CMN是等边三角形. 其中，正确的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.如图，O是等边三角 形ABC内任意一点， 过点O作OD∥AB, OE∥AC,OF∥BC, B 分别交AC,BC,AB于点G,H,I,已知等 边三角形ABC的周长18，则OD+OE+ OF- 考点三：含30度角的直角三角形 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A= 60°，BD=12cm,BD平分∠ABC交AC 于点D,DE⊥AB,则AD+DE的长为 A.(3√2+√6)cm B.(9√2-5√6)cm C.6 cm D.12 cm 考点四：直角三角形斜边上的中线 7.如图，在等边△ABC中，AB=6, ∠AFB=90°，则CF的最小值为( A.3 B.√3 C.6√3-3 D.3√3-3 考点五：勾股定理 8.如图，在平面直角 坐标系中，点A和 点B的坐标分别 A 是A(-2,1), -3-2-10123 B(2,3).那么线段AB的长度是( A.√13 B.2√5 C.5 D.5 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 5,BC=12,D为AB的中点，则CD的长为 A.2.5B.5 C.6 D.6.5 数学 考点六：勾股定理的应用 10.如图，一架2.5m长 的梯子，斜立在一竖 直的墙上，这时梯子 的底部距墙底端 B B 0.7m,如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4m,那么梯子的底部将平滑( A.0.9m B.1.5m C.0.5m D.0.8m 考点七：等腰直角三角形 11.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°， AB=AC,点D为 BC中点，点E为 BA延长线上一点，连接DE,作DF⊥ DE,与AC的延长线相交于点F,若 S△AcE=4,SADGF=20,则AB的长 为 第十六讲 解直角三角形 【教材链接：《人教版》九下第二十八章锐角 三角函数】 @知识梳理 一、锐角三角函数 1.如图，在Rt△ABCB 中，∠C=90°，∠A, ∠B,∠C的对边分 别为a,b,c. 正弦：sinA= 余弦：cosA= 正切：tanA= 它们统称为∠A的锐角三角函数， ·55·4.位置形状大小(1)平移(2)对称(3)旋转 考点速练 1.C2.B3.A4.B5.C6.C7.A8.A 第十五讲等腰三角形与直角三角形 知识梳理 一、1.(1)等边对等角(2)三线合一(3)一等腰 三角形的顶角平分线底边上的中线底边上 的高(4④45°”(6)底顶(6)台<a(7)180- 2∠B 180°-∠A 2 2.(2)等角对等边 [经验积累](1)高中线平分线(2)1两边之 差|<第三边<两边之和锐 二、1.(1)相等60°(2)轴三 2.(1)相等(2)60°等腰 三、1.a2+b=c2a2+b2=c2 2.(1)互余(2)直角斜(3)斜 3.(1)90°(2)一半(4)90° 考点速练 1.B2.C3.11或134.D5.66.A7.D 8.B9.D10.D11.8 第十六讲解直角三角形 知识梳理 一、1.∠A的对边 a ∠A的邻边 b 斜边 斜边 ∠A的对边 a ∠A的邻边 b [经验积累](1)角的大小边长(2)010 10 二，[经验积累](2)增大减小(3)①1 sin A cos A ②cosB1 三、2.(1)a2+b2=c2（2)90°cos(90°-A) sin(90°-A)(3)abab b a 3.(2)北偏东60°南偏东45°正东方向 南偏西209 考点速练 1C2B8.4D5.是6.D7.50 8.解：过点A作AH⊥BC,垂足为H. 1 由题意，得∠ACH=67°，∠B=37°，AB=20. 在Rt△ABH中， 'sin B=AH AB' .AH=AB·sin∠B=20Xsin37°≈12. casB-器 ∴.BH=AB·cos∠B=20Xcos37°≈16. 在Rt△ACH中， tan∠ACH=AH CH ..CH= AH 12 tan∠ACHtan67≈5， .BC=BH+CH≈16+5=21<25， .巡逻艇能在1小时内到达渔船C处。 北 第十七讲 相似图形 知识梳理 、1.成比例∽相似于相似比3.(1)相等 成比例(2)相似比相似比的平方(3)相似比 二、1都经过同一个点位似中心位似比2.距离 考点速练 1.B2.B3.A4.D5.C6.A7.38.D 9.-2a+3) 第十八讲 多边形与平行四边形 知识梳理 一、1.(1)首尾顺次 封闭(2)(n-3)(n-2) n(n-3) 2 2.(1)(n-2)×180° (2)360° 3.(2)180°-360°360° (4)轴对称轴对称 n n 中心对称 二、1.平行口☐ABCD平行四边形ABCD 2.(1)平行相等(2)相等互补(3)平分 (4)中心轴[经验积累](1)中心对角线交点 5