第11讲 二次函数-【鹰击道道清】2026年天津中考数学冲关知识手册

周长最小时，m十n= ,此时 四边形ANMB的面积为 第十一讲 二次函数 【教材链接：《人教版》九上第二十二章二次 函数】 @知识梳理 一、二次函数的定义 一般来说，如果y= (a,b,c是 常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数. …经验积累 :二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的结构 特征是：①等号左边是y,右边是关于自 变量x的二次三项式，x的最高次数是 2,按二次项、一次项、常数项依次排列； ②强调二次项系数a≠0. 二、二次函数的解析式 1.一般式： ,已知图 象上三点或三对x,y的值，通常选择一 般式， 2.顶点式： ,已知图 象的顶点或对称轴，通常选择顶点式 3.交点式： ,已知图 象与x轴的交点坐标x1,x2,通常选用 交点式 三、二次函数的图象和性质 1.二次函数的图象 图象 y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0 数学 续表 开口 向 向 对称轴 x- 顶点 坐标 当x>- a时y随 当>名时y随x 的增大而 的增大而 减 当x< 会时y随 当<品时，y随z 的增大而 的增大而 经验积累 注意几个特殊形式的抛物线的特点 函数解 顶点 开口方向 对称轴 析式 坐标 y=ax? 当a>0 x=0(y轴) (0,0) 时开口 y=ax+k 向上； x=0(y轴) (0,) y= 当a<0 x-h (h,0) a(x-h)2 时开口 y=a(x- 向下 x=h (h,k) h)2+k 2.二次函数的最值 (1)如果自变量的取值范围是全体实数， 那么函数在顶点处取得最大值（或最小 值)，即当 时， (2)如果自变量的取值范围是x1≤ x≤x2,那么，首先要看 品是否在自变 量取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围 内，则当x=一名时，y=如品”；若 Aa 不在此范围内，则需要考虑函数在≤ x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内， ·37· 中考总复习·数学 ”··········鹰击道通猜中考仲关模拟分到 y随x的增大而增大，则当 时， y最大= ,当 时，y最小三 如果在此范围内，y随x的增大而减小 则当 时，y最大一 当 时，y最小= 3.求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法：y=ar+bc+c=a(r+品)+ 顶点是(-会。 ),对称轴是 Aa 直线x=一b 2a ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解 析式化为y=a(x一h)2+k的形式，得到顶 点为(h,k),对称轴是直线x=h. ③运用抛物线的对称性：由于抛物线是 以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与 抛物线的交点是顶点.若已知抛物线上 两点(x1,y),（x2,y)（即y值相同)，则 对称轴方程可以表示为 四、二次函数图象的平移 左加右减、上加下减 经验积累 二次函数的平移本质可看作是顶，点问题 的平移，因此要掌握抛物线的平移，只要 关键的顶点平移即可 五、二次函数y=ax2十bx十c(a,b,c是常 数，a≠0)中a,b,c的含义 1.a:开口方向向上，则a 0; 开口方向向下，则a 0.a越 大，开口越 2.b:对称轴位置，与a联系一起，用 ·38· 判断，故：①b=0时，对称轴 在y轴：@20（即，b 时，对称轴在 ;③2<0（即 a a,b )时，对称轴在 3.c:与y轴的交点(0，c),交点在y轴正半 轴上，则c 0;负半轴上，则 0；当c=0时，抛物线过 点 六、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象 与x轴交点的 是一元二次方 程ax2十bx十c=0的根， 2.当△=b2一4ac>0时，抛物线与x轴有 个交点； 当△=b2一4ac=0时，抛物线与x轴有 个交点； 当△=一4ac<0时，抛物线与x轴 交点。 经验积累 在抛物线y=ax2十bx十c中，当x=1时， y- ,当x=一1时，y= ,经常根据对应的函数值 判断a十b十c和a一b十c的符号. ☒素养点拔 例1已知抛物线y=ax2十bx+c(a,b,c 为常数，a>0)经过点(1,0)，(0，一1)，其对 称轴在y轴右侧.有下列结论： ①a-b-1=0; ②方程ax2+bx十c=0的一个根为1， 一个根为一1； ③a>1. 其中，正确结论的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为 常数，a>0)经过点(1,0)，(0，一1)， .∴.a+b+c=0,c=-1. ∴.a十b-1=0,结论①错误， 由①知，a+b=1, 设抛物线y=ax2十bx十c(a,b,c为常数， a>0)与x轴的另一交点为(m,0), 则1，m是方程ax2十bx十c=0的两个根， 1+m=-b.m=-1-b=-a+b a a a -结论②正确， ,抛物线过点(1,0)，对称轴在y轴右侧， ∴.另一个交点的横坐标m>一1. 由②可知，m=-1 .-1>-1,a>1.结论③正确. 0 故选：C. 【考情分析】天津市中考第12题考查二次 函数图象和性质，3分，是较难题.本题考 查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性 质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐 一分析三条结论的正误是解题的关键 例2如图，已知抛物线y=一x2+bx+c 与x轴交于点A(一1,0)和点B,与y轴交 于点C(0,3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点， 当△PAC周长最小时，求点P坐标； 数学 (3)将抛物线沿x轴平移h(h>0)个单位， 平移后的抛物线满足：当1≤x≤3时，y有 最大值是2，求h的值. 【解答】(1)，抛物线y=一x2+bx十c与x轴 交于点A(-1,0),与y轴交于点C(0,3), 〔-(-1)2-b+c=0 .b=2, c=3. 0·餐得c=3. .抛物线的解析式为y=一x2十2x十3. .y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴.抛物线的顶点坐标为(1,4) (2)当y=0时， -x2+2x+3=0. 解得x1=3,x2= -1. A B .点B的坐标为 (3,0). 如图，连接BC,交抛物线的对称轴于点P, 此时△PAC的周长最小. 设直线BC的解析式为y=kx十m(k≠0)， 、3k十m=0,k=-1, 解得 m=3. m=3. ∴.直线BC的解析式为y=一x十3. .抛物线y=一x2十2x十3=一(x-1)2十4， '.该抛物线的对称轴为直线x=1, :当x=1时，y=-1十3=2， .点P的坐标为(1,2). ·39· 中考总复习·数学 ···········鹰击道通猜中考仲关模拟分美 (3)抛物线y=一x2十2x十3=一(x一 1)2十4， .抛物线有最大值为4. 将抛物线沿x轴平移h(h>0)个单位， 平移后的抛物线满足：当1≤x≤3时，y有 最大值是2， ∴.在1≤x≤3范围内的图象上不包括 顶点， 即平移后的抛物线在1≤x≤3范围内的 图象在对称轴的左侧或右侧， ①若将原抛物线沿x轴向左平移h个单位 (h>0),平移后的解析式为y=一(x一1+ h)2十4. .在1≤x≤3范围内的图象在对称轴直 线x=1一h的右侧，即1一h<1. .h>0,此时y随x的增大而减小 当x=1时，y取最大值为一(1一1+h)2十 4=2.解得h=士√2..h>0,∴.h=√2. ②若将原抛物线沿x轴向右平移h个单位 (h>0),平移后的解析式为y=一(x-1一 h)2+4. .在1≤x≤3范围内的图象在对称轴直 线x=1十h的左侧，即1+h>3. .h>2,此时y随x的增大而增大. .当x=3时，y取最大值为一(3-1一h)2十 4=2.解得h=2士√2. .'h>2,∴.h=2十√2. 综上所述，h的值为√2或2十√2 【考情分析】天津市中考第25题考查二次 函数综合题，10分，本题型第一问属于基 础题，第二问属于较难题，最后一问属于难 ·40· 题.本题主要考查了二次函数的综合，二次 函数的顶点坐标，最大值.待定系数法是确 定函数解析式的重要方法；利用解析式确 定相应点的坐标是解题的关键， @考点速练 考点一：二次函数的图象 1.已知二次函数y=ax2十bx一c(a≠0)， 其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为 ( 考点二：二次函数的性质 2.已知二次函数y=2x2一4x+5,当函数 值y随x值的增大而增大时，x的取值 范围是( ) A.x<1 B.x>1 C.x<2 D.x>2 3.关于二次函数y=(x一1)2+5，下列说 法正确的是() A.函数图象的开口向下 B.函数图象的顶点坐标是（一1,5） C.该函数有最大值，最大值是5 D.当x>1时，y随x的增大而增大 考点三：二次函数图象与系数的关系 4.二次函数y=ax2+ bx十c(a≠0)的部分 图象如图所示，其对 -2 称轴为直线x= 一号且与x轴的一 个交点坐标为（一2,0）.有下列结论： ①abc>0;②a=b;③2a+c=0;④关于 x的一元二次方程a.x2十bx十c一1=0 有两个相等的实数根， 其中，正确结论的序号是() A.①③ B.②④ C.③④ D.②③ 考点四：二次函数图象上点的坐标特征 5.二次函数y=a.x2十 bx十c的部分图象如 图所示，与y轴交于 (0,一1)，对称轴为直 线x=1.有下列结论： ①abc>0;②a>3;③对于任意实数m, 都有m(am十b)>a十b成立；④若（一2， y),(2),(2,)在该函数图象上，则 <<y;⑤方程|a.x2十bx十cl= k(≥0，k为常数)的所有根的和为4.其 中，正确结论有() A.2个B.3个C.4个 D.5个 考点五：二次函数图象与几何变换 6.将二次函数y=一x2-2x十3沿x轴对 折，再向右平移1个单位，得到的抛物线 必定经过( ) 数学 A.(-1,-3) B.(1,3) C.(2,-0.5) D.(-2,0.5) 7.把二次函数y=2x2的图象向左平移1 个单位长度，再向下平移2个单位长度， 平移后抛物线的解析式为 考点六：二次函数的最值 8.已知二次函数y=2x2一4x-1在0≤ x≤a时，y取得的最大值为15，则a的 值为() A.1 B.2 C.3 D.4 考点七：二次函数的三种形式 9.将二次函数y=3x2一6x十5转化成顶 点式为 考点八：二次函数与不等式（组） 10.如图，抛物线y= ax2+bx十c过点 (1,0)和(0，-1)，下 列说法：①ab>0; ②a>1;③b-4ac 4;④点A(m,y),B(m+1,y2),C(m+2, )在抛物线上，则一定有y十y3>2y2. 其中正确的有 (填序号)， 考点九：根据实际问题列二次函数关系式 11.商店销售一种进价为50元/件的商品， 售价为60元/件，每星期可卖出200 件，若每件商品的售价上涨1元，则每 星期就会少卖10件.每件商品的售价 上涨x元(x为正整数)，每星期销售的 利润为y元，则y与x的函数关系式 为( ) A.y=10(200-10x) B.y=200(10+x) ·41· 中考总复习·数学 ……鹰击道道请中考叶关模拟分美 C.y=10(200-10x)2 D.y=(10+x)(200-10x) 12.矩形的周长为12cm,设其一边长为 xcm,面积为ycm,则y与x的函数 解析式及自变量x的取值范围是 考点十：二次函数综合题 13.已知点A(一4,8)和点B(2,n)在抛物 线y=a.x2上 (1)求该抛物线的解析式和顶点坐标， 并求出n的值； (2)求点B关于x轴对称点P的坐标， 并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB 最短，求此时点Q的坐标； (3)平移抛物线y=ax2,记平移后点A 的对应点为A',点B的对应点为B', 点C(一2,0)是x轴上的定点 ①当抛物线向左平移到某个位置时， A'C+CB最短，求此时抛物线的解析式； ②D(一4,0)是x轴上的定点，当抛物 线向左平移到某个位置时，四边形 A'B'CD的周长最短，求此时抛物线的 解析式（直接写出结果即可）. ·42· 第十二讲反比例函数 【教材链接：《人教版》九下第二十六章反比例 函数】 @知识梳理 一、反比例函数的概念 定义：形如 (k是常数，k≠0)的 函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自 变量的取值范围是 的一切 实数. 经验积累 (1)在反比例函数关系式中：k≠0，x≠0， y≠0；(2)反比例函数的另一种解析式为 y=x1(k是常数，≠0)；(3)反比例函 数解析式可写成xy=(k≠0)，它表明 反比例函数中的自变量x与其对应函数 值y之积，总等于 二、反比例函数的图象和性质 k的 y随x变化 图象 经过象限 符号 的情况 图象经过 每个象限内， 第一、三 函数y的值 k>0 象限(x, 随x的增大 y同号) 而减小 图象经过 每个象限内， 第二、四 函数y的值 k<0 象限(x, 随x的增大 y异号) 而增大 1.反比例函数y= (k≠0)的图象是 ,它有两个分支，关于 对称..四边形BBCD为平行四边形， ∴.B'C=BD .'AC=A'C, ∴.AC+BD=A'C+CB'. .A',C,B共线时，AC+BD最小. .B(2,2),A'(1,-1), .直线BA'的解析式为y=3x一4. 当y=0时x=专C(学0）=专 故答案为：号 (5)如图，作A关于y轴的对称点A”,B关于x 轴的对称点B',连接A"B交y轴于N,交x轴 于M, y 3 A -2 此时C四边形ANMB=AB十AN十MN+BM =AB+A'N+MN+B'M, 点A",N,M,B'共线时，A"N+MN+B'M= A"B', 此时C四边形ANMB最小， A(1,1),B(4,2), .A"(-1,1),B(4,-2). ∴直线AB'的函数解析式为y=一号十号 当x=0时y=号当)=0时x=号 ∴N(o,)M(号，o .m+n= 2+2=16 3+515 .S四边形ANMB=2X4 [2×号×号+×2× (4-号)+号×3×1+1x1+号×1×(1-号)] - 故答案为品器 第十一讲 二次函数 知识梳理 一、ax2+bx+c 二、l.y=ax2十bx十c(a,b,c是常数，a≠0) 2.y=a(x一h)2十k(a,h,k是常数，a≠0) 3.y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2是常数，a≠0) 三1上下一品 增大减小减小增大 2.(1)x=-2a b y最值=4ac二b2 (2)x=x2 4a ax22+bx2十cx=x1ax12+bx1十cx=x ax12+bx1十cx=x2ax22+bx2十c 3.③x=1十x2 2 五、1.><小 2x=-品 同号y轴左侧异号y轴右侧 3.><(0,0) 六、1.横坐标2.21没有 [经验积累]a十b十ca-b十c 考点速练 1.C2.B3.D4.D5.A6.A 7.y=2(x十1)2-28.D9.y=3(x-1)2+2 10.②③④11.D12.y=-x2+6x(0<x<6) 13.解：(1)将点A(-4,8)的坐标代入y=ax2, 解得a=抛物线的解析式是y=之2，顶点 坐标是(0,0). 将点B(2,)的坐标代人y-2, 得m=2×4=2. (2)由(1)知，点B的坐标为(2,2)， 则点B关于x轴的对称点P的坐标为(2，一2). ●D 如图，连接AP与x轴的交点为Q,此时AQ+ BQ最小，设直线AP的解析式为y=kx十b, -4k+b=8, 2k+b=-2, 解得 4 b=3’ 3+4 ·直线AP的解析式是y=-5x 3 、4 令y=0,得x=5’ 即所求点Q的坐标是（告0）片 (3)①：点C(-2,0),点Q的坐标是（等，0， Q=号-(-2)=4 5 故将抛物线y=向左平移号个单位时， A'C+CB最短， 此时抛物线的函数解析式为y=(α+： @y=(x+) 第十二讲 反比例函数 知识梳理 非零 二、1.双曲线(0,0)2.S=yl·|x=|xy|k 号刻 三、k 考点速练 1.C2.B3.(-3,-4)4.y=12 5.B6.D 7.B8.D9.y=-310.C11.D x 12.解：1)设p, 由题意知120= 0.8 所以及=96，故p-9。 (2)当V=1m时，p=96=96(kPa). 1 (3)当p=140kPa时，V=部≈0.69(m). 所以为了安全起见，气体的体积应不小于0.69m. 第十三讲图形初步及相交线、平行线 知识梳理 一、1.一条2.短(1)线段的长度(2)相等 3.直线两一没有4.平分(1)相等 (2)垂直平分线[经验积累](4)n(n) 2 二、1.端点平分线 2.606024 3.90°180°相等相等 4.(1)反向延长线(2)一个(3)互补相等 5.相等平分线 三、1.直角 2.(1)有且只有(2)最短 四、1.不相交相交平行 2.一条平行 3.(1)两直线平行(2)内错角相等(3)同旁内 角互补 4.同位角 内错角互补 五、1.判断 2.真假(1)成立(2)成立 3.真命题 4.推理 5.推理 考点速练 1.1862.403.904.455.B6.D7.B 8.B9.D10.相交11.C12.C13.40° 14.PD≥915.3516.6 第十四讲 三角形与全等三角形 知识梳理 一、1.三条边顶点内角角 2.△ABC三角形ABC 3.(1)等腰三角形(2)直角 4.稳定 5.(1)垂线(2)平分线内心(3)中点重心 (4)①中点②平行 一半 6.(1)大于(2)小于 7.(1)180°(2)①互余②等于③大于 二、1.完全重合两对应对应对应2全等于 2.(1)对应角对应边 3.(1)斜边一条直角边 24