第10讲 一次函数-【鹰击道道清】2026年天津中考数学冲关知识手册

5.纵坐标相同横坐标相同 6.(1)(a,-b)(2)(-a,b)(3)(-a,-b) 7.(1)1bl|a√a2+6 (2)l一x2||x-x21y-y2||y-2 (3)√(x1-x2)2+(y1-y2) 8.(x-h,y)(x+h,y)(x,y+k)(x,y-) 二、1.始终不变发生变化 2.变化的唯一确定自变量函数 3.列表图象解析4.零非负 考点速练 1.C2.D3.A4.D5.A6.(2,8)或(2，-10) 7.(W3,-3)8.C9.y=-6x+210.A11.2 12.B13.C14.A 第十讲一次函数 知识梳理 一、y=kx十by=kx 二、1.直线(0,0)(1，) 2.一三增大二四减小 3一、二、三一、三、四一、三增大一、二、四 二、三、四二、四减小 4.=-1 5.(1)y=-kx-b(2)y=-kx+b(3)y=kx-b (4)y=kx十b+m(y=kx十b-m) (5)y=k(x十n)十b(或y=k(x-n)+b) 考点速练 1.C2.A3.D4.B5.(1,0)(0,-1)6.C 7.B8.C9.D10.-111.y=2x-312.B 13.D14.y=2x+10 15.解：(1)240400410550 (2)根据题意，得y甲=0.8x, 当0<x≤200时，yz=x, 当x>200时，yz=200+0.7(x-200), 即yz=0.7x+60. (3)①当y甲=yz时，即0.8x=0.7x十60，解得 x=600, 所以若在甲商场和在乙商场实际购物花费金额 一样多，则在同一商场所购商品原价金额累计为 600元； ②在甲商场实际购物花费：800×0.8=640（元）， ·122 在乙商场实际购物花费：0.7×800+60= 620(元)， 所以若在同一商场购物，商品原价购物金额累计 为800元，则在甲、乙两家商场中的乙商场实际 购物花费金额少； ③令y甲=400，则0.8x=400,解得x=500,即在 甲商场商品原价购物累计金额为500元； 令yz=400,0.7x+60=400,解得x≈485.71，即 在乙商场商品原价购物累计金额为485.71元. 所以若在同一商场实际购物金额为400元，则在 甲、乙两家商场中的甲商场商品原价购物累计金 额多. 故答案为：①600②乙③甲 16.解：(1)12006001500 (2)①1500②4③450④2700 一300x+3000(6≤x≤≤8)， ⑤y=600(8≤x≤12)， 450x-4800(12≤x≤14). 17.解：(1)，点A(1,1)关于x轴的对称点为A', .A'(1,-1), 故答案为：(1，一1) (2)设一次函数的解析式为y=x十b, k+b=-1,,k=1, 则 。。 (4k+b=2.b=-2. .一次函数的解析式为y=x一2. (3)CAPAB=PA+PB+AB,且AB=√10为定值， 只要PA十PB最小. PA=PA',A',P,B三点共线时，A'P十PB 最小.令y=0,则x=2. 故答案为：2， (4)如图，C四边形ACDB=AC+CD十BD+AB= AC+2+BD+√10，∴.只要AC+BD最小. 作BB∥CD,且BB'=CD,连接B'C, y .四边形BBCD为平行四边形， ∴.B'C=BD .'AC=A'C, ∴.AC+BD=A'C+CB'. .A',C,B共线时，AC+BD最小. .B(2,2),A'(1,-1), .直线BA'的解析式为y=3x一4. 当y=0时x=专C(学0）=专 故答案为：号 (5)如图，作A关于y轴的对称点A”,B关于x 轴的对称点B',连接A"B交y轴于N,交x轴 于M, y 3 A -2 此时C四边形ANMB=AB十AN十MN+BM =AB+A'N+MN+B'M, 点A",N,M,B'共线时，A"N+MN+B'M= A"B', 此时C四边形ANMB最小， A(1,1),B(4,2), .A"(-1,1),B(4,-2). ∴直线AB'的函数解析式为y=一号十号 当x=0时y=号当)=0时x=号 ∴N(o,)M(号，o .m+n= 2+2=16 3+515 .S四边形ANMB=2X4 [2×号×号+×2× (4-号)+号×3×1+1x1+号×1×(1-号)] - 故答案为品器 第十一讲 二次函数 知识梳理 一、ax2+bx+c 二、l.y=ax2十bx十c(a,b,c是常数，a≠0) 2.y=a(x一h)2十k(a,h,k是常数，a≠0) 3.y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2是常数，a≠0) 三1上下一品 增大减小减小增大 2.(1)x=-2a b y最值=4ac二b2 (2)x=x2 4a ax22+bx2十cx=x1ax12+bx1十cx=x ax12+bx1十cx=x2ax22+bx2十c 3.③x=1十x2 2 五、1.><小 2x=-品 同号y轴左侧异号y轴右侧 3.><(0,0) 六、1.横坐标2.21没有 [经验积累]a十b十ca-b十c 考点速练 1.C2.B3.D4.D5.A6.A 7.y=2(x十1)2-28.D9.y=3(x-1)2+2 10.②③④11.D12.y=-x2+6x(0<x<6) 13.解：(1)将点A(-4,8)的坐标代入y=ax2, 解得a=抛物线的解析式是y=之2，顶点 坐标是(0,0). 将点B(2,)的坐标代人y-2, 得m=2×4=2. (2)由(1)知，点B的坐标为(2,2)， 则点B关于x轴的对称点P的坐标为(2，一2). ●D 如图，连接AP与x轴的交点为Q,此时AQ+ BQ最小，设直线AP的解析式为y=kx十b,S 4.3 45 45 第十讲 一次函数 【教材链接：《人教版》八下第十九章一 次函数】 ®知识梳理 一、一次函数的定义 一般来说，如果 (k,b是常数， ≠0)，那么y叫做x的一次函数 特别地，当b=0时，一次函数就变为 (k≠0)，这时y叫做x的正比 例函数. …经验积累 正比例函数是一次函数，反之不一定 成立，只有当b=0时，它才是正比例 函数， 二、一次函数的图象与性质 1.一次函数y=kx十b的图象是一条经过 点(0，b)和(-名0)的 .特别 地，正比例函数y=kx的图象是经过点 和 的直线， 数学 经验积累 因为一次函数的图象是一条直线，所以 画一次函数的图象只需选取两个特殊的 点，过这两个点画一条直线即可 2.正比例函数y=kx(k≠0)，当k>0时， 其图象过 象限， 此时y随x的增大而 ;当 <0时，其图象过 象限，此时y随x的增大而 3.一次函数y=kx十b的图象及性质 k,b 大致图象 经过象限 图象性质 符号 k>0 b>0 y随x的 k>0 0 增大而 k>0 6=0 k<0 6>0 y随x的 k<0 增大而 ·31· 中考总复习·数学 ·········…·鹰击道道猜中考仲关模拟分美 4.若直线l1:y=k1x+b1与L2:y=k2x十b2 平行，则1 k2,若k1·k2 ,则11与12垂直. 经验积累 y随x的变化情况，只取决于k的符号， 与b无关，而直线的平移，只改变b的 值，而的值不变 5.已知直线U1:y=kx+b(k,b为常数，且 k≠0) (1)若1,12关于x轴对称，则12的解析 式为 (2)若U1,L2关于y轴对称，则L2的解析 式为 (3)若1,12关于原点对称，则12的解析 式为 (4)直线11向上（向下）平移m个单位得 直线L2,则l2的解析式为 (5)直线l1向左（向右）平移n个单位得 直线12，则l2的解析式为 三、用待定系数法求一次函数解析式 1.设：设函数解析式为y=x十b(k≠0). 2.代：将已知点的坐标代入函数解析式，解 方程或方程组， 3.解：求出k与b的值，得到函数解析式 四、一次函数与一元一次方程、一元一次不 等式和二元一次方程组 1.一次函数与一元一次方程：一元一次方 程x+b=0的根就是一次函数y= kx十b(k,b是常数，k≠0)的图象与x轴 交点的横坐标. 2.一次函数与二元一次方程组：二元一次 ·32· y=k1x十b1, 方程组 的解台两个一次函 y=k2x+b2 数y=k1x十b1和y=k2x十b2图象的交 点坐标， 3.一次函数与一元一次不等式：(1)函数 y=kx十b的函数值y>0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx+b>0的解 集；(2)函数y=x十b的函数值y<0 时，自变量x的取值范围就是不等式 x十b<0的解集， …经验积累 (1)一次函数与三者之间的关系问题一 定要结合图象去解决. (2)在一次函数中讨论交点问题即是讨 论一元一次不等式的解集或二元一次方 程组解的问题， 五、一次函数的应用 1.设出实际问题中的变量； 2.建立一次函数关系式； 3.利用待定系数法求出一次函数解析式； 4.确定自变量的取值范围； 5.利用一次函数的性质求相应的值，对所 求的值进行检验，是否符合实际意义； 6.作答 公素养点拔 例1将直线y=10x向上平移3个单位 长度，平移后直线的解析式为 答案：y=10x十3. 例2若一次函数y=x一3(k为常数， ≠0)的图象经过第二、三、四象限，则k的 值可以是 .(写出一个即可) 【解析】一次函数y=kx一3(k是常数， ≠0)的图象经过第二、三、四象限， k<0 .k可以取一1. 故答案为：一1（答案不唯一）. 例3函数y=kx十b(k,b为常数，k≠0) 的图象如图，则关于x的不等式kx十b>0 的解集为 (2,0) 【解析】kx+b>0是指y>0,即直线在x 轴上方的图象，∴x<2 故答案为：x<2 【考情分析】上述三个题目是天津市中考第 16题考查范围，一次函数的性质，3分.三 个题依次考查了一次函数的平移，利用一 次函数平移的特点：上加下减是解题关键； 根据一次函数图象所经过的象限，可确定 一次项系数、常数项的值的符号，从而确定字 母k的取值范围；一次函数与不等式（组）的 关系及数形结合思想的应用，注意几个关键 点（交点、原点等），做到数形结合， 例4小明骑自行 y/m 车保持匀速从甲地 2000 到乙地，到达乙地 后，休息了一段时 10a 24 x/min 间，然后以相同的速度原路返回，停在甲 地，设小明出发x(min)后，到达距离甲地 y(m)的地方，图中的折线表示的是y与x 之间的函数关系， 数学 (1)甲、乙两地的距离为 ；a (2)求小明从乙地返回甲地过程中，y与x 之间的函数解析式； (3)在小明从甲地出发的同时，小红从乙地 步行至甲地，保持100m/min的速度不 变，到甲地停止，当小明从甲地出发 min时，与小红相距200m. 【解答】(1)由图象可知，甲、乙两地的距离 为2000m;a=24-10=14. (2)设y=kx十b, 把(14,2000)与(24,0)代入，得 14k+b=2000,. k=-200, 解得 24k+b=0. b=4800. 则y=-200x+4800. (3)小明骑自行车的速度为2000÷10= 200(m/min), 根据题意，得(200十100)x=2000一200 或(200+100)x=2000+200或200(x一 4)=4000-200, 解得x=6或x=2号或=23， 31 即小明从甲地出发6min或号min或 23min,与小红相距200m. 【考情分析】天津市中考第23题考查一 次函数的应用，10分，本题型属于中档 题，近几年多考查给出图象进行相关计 算，前几年考查文字型应用题.解答本题 的关键是明确题意，根据图象找出所求 问题需要的条件，利用一次函数的性质 解答问题. ·33· 中考总复习·数学 ··…·····鹰击通通猜中考冲关模拟分美 の考点速练 考点一：一次函数的图象 1.如图，两个不同的一次函数y=ax十b 与y=bx十a的图象在同一平面直角坐 标系的位置可能是( 考点二：一次函数的性质 2.若一次函数y=2x十1的图象经过点 (-3,y1),(4,y2),则y1与y2的大小关 系是() A.y<y2 B.y>y2 C.y1≤y2 D.y1≥y2 考点三：一次函数图象与系数的关系 3.若一次函数y=(k十3)x一1的函数值y随 x的增大而减小，则的值可能是() A.2 c-日 D.-4 4.在一次函数y=一5ax+b(a≠0)中，y 的值随x值的增大而增大，且ab>0,则 点A(a,b)在( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 ·34· 考点四：一次函数图象上点的坐标特征 5.直线y=x一1与x轴交点的坐标为 ,与y轴交点的坐标为 6.已知一次函数y=x一k过点（一1,4）， 则下列结论正确的是() A.y随x增大而增大 B.k=2 C.直线过点(1,0) D.与坐标轴围成的三角形面积为2 7.点P(a,b)在函数y=4x十3的图象上， 则代数式8a一2b十1的值等于() A.5 B.-5C.7 D.-6 8.已知直线y=一x十1与x轴、y轴分别交 于A,B两点，点P是第一象限内的点，若 △PAB为等腰直角三角形，则点P的坐 标为( ) A.(1,1) B.(1,1)或(1,2) C.（1,1)或(1,2)或(2,1) D.(0,0)或(1,1)或(1,2)或(2,1) 考点五：一次函数图象与几何变换 9.在平面直角坐标系中，将函数y=3x十2 的图象向下平移3个单位长度，所得的 函数的解析式是( ) A.y=3x+5 B.y=3x-5 C.y=3x+1 D.y=3x-1 10.将直线y=2x向下平移3个单位得到 的直线经过点(m,一5)，则m的值为 11.将直线y=2x+1向右平移2个单位 得到的直线解析式是 考点六：一次函数与二元一次方程（组）》 12.在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax十b与y=m,x+n(a<m<0)的图 象如图所示.小星根据图象得到如下 结论： ①在一次函数y=mx十n的图象中，y 的值随着x值的增大而增大； x=一3， ②方程组 y-ax=b, 的解为 y-mx=n y=2. ③方程mx十n=0的解为x=2; ④当x=0时，ax十b=-1. 其中，结论正确的个数是() y=ax+b y=mx+n -2 123 A.1 B.2 C.3 D.4 考点七：两条直线相交或平行问题 13.在同一平面直角坐标系中，直线y 4x十1与直线y=-x十b的交点不可 能在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14.一次函数y=kx十b与y=2x十1平 行，且经过点（一3,4），则此函数的解析 式为 考点八：一次函数的应用 15.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相 同的商品.春节期间两家商场都让利酬 数学 宾，其中甲商场所有商品按8折出售， 乙商场对一次购物中超过200元后的 价格部分打7折. 设原价购物金额累计为x元(x>0), (1)根据题意，填写如表： 原价购物 金额累 130 300 500 700 计/元 甲商场实 际购物金 104 560 额/元 乙商场实 际购物金 130 270 额/元 (2)设在甲商场实际购物金额为y甲 元，在乙商场实际购物金额为yz元， 分别写出y甲，yz关于x的函数解 析式； ·35· 中考总复习·数学 ···。鹰击通通猜中考冲关模拟兮巢 (3)根据题意填空： ①若在甲商场和在乙商场实际购物花 费金额一样多，则在同一商场所购商品 原价金额累计为 元； ②若在同一商场购物，商品原价购物金 额累计为800元，则在甲、乙两家商场中 的 商场实际购物花费金额少； ③若在同一商场实际购物金额为400 元，则在甲、乙两家商场中的 商场商品原价购物累计金额多 16.李磊骑自行车上学，当他骑了一段路 时，想起要买三角尺，于是又折回到刚 经过的文具店，买到三角尺后继续去学 校，以下是他本次上学所用的时间与离 家距离的关系示意图， 离家距离y米 学校 1500 1200 900 600 300 家02 468101214时间x1分钟 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 李磊离开家 8 10 14 的时间（分钟 李磊离开家 800 600 的距离（米） (2)填空： ①李磊家到学校的路程是 m; ②李磊在文具店停留了 min; ③李磊从文具店到学校的骑行速度是 米/分钟； ④本次上学途中，李磊一共骑行了 ·36· 米； ⑤当6≤x≤14时，请直接写出y关于 x的函数解析式. 考点九：一次函数综合题 7.如图，在平面直角坐标系中，点A(1, 1),点B(4,2),点A关于x轴的对称点 为A'. 4 2 ●B 1FA· -4-3-2-101234文 1 A -2 -3h =4 (1)点A的坐标为 (2)已知一次函数的图象经过点A'与 B,求这个一次函数的解析式； (3)点P(x,0)是x轴上的一个动点， 当x= 时，△PAB的周长 最小； (4)点C(t,0),D(t+2,0)是x轴上的 两个动点，当t= 时，四边形 ACDB的周长最小； (5)点M(m,0),点N(0,n)分别是x轴 和y轴上的动点，当四边形ANMB的 周长最小时，m十n= ,此时 四边形ANMB的面积为 第十一讲 二次函数 【教材链接：《人教版》九上第二十二章二次 函数】 @知识梳理 一、二次函数的定义 一般来说，如果y= (a,b,c是 常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数. …经验积累 :二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的结构 特征是：①等号左边是y,右边是关于自 变量x的二次三项式，x的最高次数是 2,按二次项、一次项、常数项依次排列； ②强调二次项系数a≠0. 二、二次函数的解析式 1.一般式： ,已知图 象上三点或三对x,y的值，通常选择一 般式， 2.顶点式： ,已知图 象的顶点或对称轴，通常选择顶点式 3.交点式： ,已知图 象与x轴的交点坐标x1,x2,通常选用 交点式 三、二次函数的图象和性质 1.二次函数的图象 图象 y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0 数学 续表 开口 向 向 对称轴 x- 顶点 坐标 当x>- a时y随 当>名时y随x 的增大而 的增大而 减 当x< 会时y随 当<品时，y随z 的增大而 的增大而 经验积累 注意几个特殊形式的抛物线的特点 函数解 顶点 开口方向 对称轴 析式 坐标 y=ax? 当a>0 x=0(y轴) (0,0) 时开口 y=ax+k 向上； x=0(y轴) (0,) y= 当a<0 x-h (h,0) a(x-h)2 时开口 y=a(x- 向下 x=h (h,k) h)2+k 2.二次函数的最值 (1)如果自变量的取值范围是全体实数， 那么函数在顶点处取得最大值（或最小 值)，即当 时， (2)如果自变量的取值范围是x1≤ x≤x2,那么，首先要看 品是否在自变 量取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围 内，则当x=一名时，y=如品”；若 Aa 不在此范围内，则需要考虑函数在≤ x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内， ·37·