第6讲 一元二次方程-【鹰击道道清】2026年天津中考数学冲关知识手册

第六讲 一元二次方程 【教材链接：《人教版》九上第二十一章一元 二次方程】 @知识梳理 一、一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式， 只含有 未知数（一元），并且未 知数的最高次数是 (二次)的 方程，叫做一元二次方程， 2.一元二次方程的一般形式为： (其中x是未知数，a,b,c是已知数，a≠0)， 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是 一次项，b是一次项系数；c是常数项 注意：一元二次方程必须具备三个条件： (1)必须是 方程； (2)必须只含有 个未知数； (3)所含未知数的最高次数是 3.一元二次方程的解：使方程左右两边相 等的未知数的 就是这个一元 二次方程的解，一元二次方程的解也叫 做一元二次方程的 经验积累 (1)一元二次方程的一般形式要特别注 意强调a≠0这一条件. (2)将一元二次方程化为一般形式时要 按二次项、一次项、常数项排列，且二次 项系数为正 二、一元二次方程的解法 1.解一元二次方程的基本思想：降次 转化思想，即把一元二次方程转化为 来求解， 数学 2.解一元二次方程的方法 (1) 法：利用平方根的定义 直接开平方求一元二次方程的解的方 法，可解形如(x十a)2=b的一元二次方 程.即当b≥0时，x十a=土6，当b<0 时，方程没有实数根， (2) 法：ax2十bx十c=0(a≠ 0)变形得x2十x=-配方得(x十 a a )=-+（会月 ①先将已知方程化为一般形式； ②化二次项系数为1； ③常数项移到右边； ④方程两边都加上一次项系数的一半的 平方，使左边配成一个完全平方式； ⑤变形为(x十)2=g的形式，如果q≥0， 方程的根是x=一p士√q;如果q<0,方程 实根. (3)公式法：利用 公式解一元 二次方程的解的方法，叫做公式法.它是 解一元二次方程的一般方法， 注意：一元二次方程的求根公式为x= (b-4ac≥0) (4) 法：利用因式分解，求出一 元二次方程的解。 这种方法简单易行，是解一元二次方程 最常用的方法。 ①若一元二次方程形如x2十（p十q)x十 q=0,则可将原方程化为(x十p)(x十 q)=0,即x+=0,或x十q=0,从而得 方程的两根x1=一p,x2=一9； ·17. 中考总复习·数学 ”··········鹰击道通猜中考冲关模拟分美 ②若一元二次方程形如ax2十bx 0(a≠0)，则可将原方程化为x(ax+ b)=0,即x=0,或ax十b=0,从而得方 程的两根1=0,2=一b …经验积累 一元二次方程的四种解法应根据方程的 特点灵活选用，较常用到的是因式分解 法和公式法 三、一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的根 的判别式为：△= 1.当△>0时，方程有 的实数 根，1= x2= 2.当△=0时，方程有 的实 数根，x x2= 3.当△<0时，方程 实数根. 经验积累 在使用根的判别式解决问题时，如果二 次项系数中含有字母一定要保证二次项 系数不为零， 四、一元二次方程的根与系数的关系 若x1,x2是一元二次方程ax2十bx十c=0 的两个根，那么：x1十x2= x1·x2= 注意：以两个数x1,x2为根的一元二次方 程（二次项系数为1）是x2一（x1十x2)x十 x1x2=0. 五、一元二次方程的实际应用 解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、 设、列、解、验、答六步进行， 1.平均增长率问题 ·18- （1)增长率=现在量（）X100%; 原来量 (2)设a为原来量，m为平均增长率，n 为增长次数，b为增长后的量，则a(1+ m)"=b; 当m为平均下降率，则a(1一m)”=b. 2.利润问题 (1)利润= 一成本； (2)总利润= (3)利润率=成本X100%: 成本 注意：商品利润问题中，要注意折扣这一 条件. 3.几何图形的面积、体积问题：按面积、体 积的计算公式列方程. …经验积累 因为通常情况下一元二次方程有两个 根，所以解一元二次方程的应用题一定 要验根，检验结果是否符合实际问题或 是否满足题目中隐含的条件， 公素养点拨 例题一元二次方程x(x一2)=x一2的 解是() A.x=1 B.x1=1,x2=2 C.x1=3+ 2 7,a=3-,☑ 2 D.x1=-1,x2=2 【解析】.x(x一2)=x一2， .x(x一2)一(x-2)=0, 即(x-2)(x-1)=0. ∴.x-2=0,或x-1=0. 解得x1=1,x2=2. 故选：B. 【考情分析】2022年天津市中考第9题考 查解一元二次方程，3分，本题型属于容易 题.本题主要考查解一元二次方程的能力， 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方 法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配 方法，结合方程的特点选择合适、简便的方 法是解题的关键。 @考点速练 考点一：一元二次方程的判断 1.下列方程是关于x的一元二次方程的 是() Ax+是=0 B.ax2+bx+c=0 C.(x+1)(x-2)=0 D.3x2-2xy-5y2=0 2.关于x的方程(m+1)xm-1山十m,x一1 0是一元二次方程，则m= 考点二：一元二次方程的解法 3.一元二次方程x2一25=0的解是( A.x=5 B.x=-5 C.x1=5,x2=-5 D.x1=√5，x2=-√5 4.方程2x2-3x十1=0化为(x十a)2=b 的形式，正确的是() A.(x-8)=16 B2(x-)}=后 数学 c(e-)》=8 D.以上都不对 5.已知a≥2，m2-2am+2=0,n2-2an+2= 0,则(m一1)2十(n一1)2的最小值是() A.6 B.3 C.-3D.0 考点三：根的判别式 6.关于x的一元二次方程x2-(k-1)x k=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.总有实数根 考点四：根的系数的关系 7.已知，x2是一元二次方程3x2=6一2x 的两根，则x1一x2十x2的值是() A.-青 B.S C-gD号 8.已知一元二次方程x2一7x一1=0的两个 实数根为a,B,则(a-1)(B-1)的值 为 考点五：一元二次方程的实际应用 9.有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64人患了流感，若每轮传染中平均每个 人传染的人数相同，那么第三轮过后，共 有 人患有流感， 10.在国家的宏观调控下，某市的商品房成 交价由今年3月份的14000元/m2下 降到5月份的11340元/m2 (1)4,5两月平均每月降价的百分率是 多少？ (2)如果房价继续回落，按此降价的百 ·19. 中考总复习·数学 ···……。鹰击随通猜中考冲关模拟分巢 分率，你预测到7月份该市的商品房成 交均价是否会跌破10000元/m?请 说明理由. 11.某水果批发商经销一种高档水果，如果 每千克盈利10元，每天可售出500千 克.经市场调查发现，在进货价不变的 情况下，若每千克涨价1元，日销售量 将减少20千克，现该商场要保证每天 盈利6000元，同时又要使顾客得到实 惠，那么每千克应涨价多少元？ (1)设每千克应涨价x元，根据问题中 的数量关系，用含x的代数式填表： 每千克 每天销 每天 盈利（元） 售量（千克） 盈利（元） 涨价前 10 500 5000 涨价后 6000 (2)列出方程，并求问题的解. ·20· 第七讲分式方程 【教材链接：《人教版》八上第十五章分式】 @知识梳理 一、分式方程的概念 定义：分母中含有 的方程叫做分 式方程. …经验积累 分母中是否含有未知数是区分分式方程 和整式方程的根本依据。 二、分式方程的解法 1.解分式方程的基本思想是将“分式方程” 通过去分母转化为“ 方程”. 2.最简公分母：通常取各分母系数的 与字母因式的 的积作公 分母，这样的公分母叫做最简公分母. (1)如果各分母都是单项式，那么最简公 分母就是各系数的最小公倍数，相同字 母的最高次幂，所有不同字母都写在 积里。 (2)如果各分母都是多项式，就可以将各 个分母 ,取各分母数字系数 的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母 的整式)为底数的幂的因式都要取最高 次幂 3.分式方程的一般解法 (1)去分母：方程两边同时乘以 将分式方程化为整式方程； (2)解所得的整式方程：按解整式方程的 步骤求出未知数的 (3)验 :将所得的根代入最简 公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；-2易2 x-9 =(x+3)(x-3) .x+3)(z-3) =x一9 x, 当=6时，原式-6.9=一合 6 18解421小 -Gdtn =(+)×出 =-zxx+1= -x x+1x-1x-1' -x≤1， 解不等式组 2x-1<4, 得-1长多， 当x=2时，原式= 2-7-2. 2 第四讲二次根式 知识梳理 一、1.√a(a≥0)2.(1)分母(2)能开得尽方 3.相同4.化去5.不含 1.a 2.lal a-a 3.va.4.Ya 三、l.最简二次根式同类二次根式2.√ab 3√号 最简二次根式 考点速练 1.B2.A3.C4.√25.16.B7.D8.2 9.D10.311.C12.4 13.(1)n+1-√m(2)√n+I-1 14.5 第五讲一次方程（组）及其应用 知识梳理 一、1.未知数2.相等根3.整式4.解 5.一个1 二、1.加减相等2.乘除以 三、2.去括号4.合并同类项 四、1.两12.值3.两1两4.三1整 5.三1三6.公共 五、1.少2.式子3.相反 六、1.审2.设3.相等4.列5.解6.检验 答 考点速练 1.A2.-23.C4.B5.A6.m<17.B 8.2409.D10.211.C12.A13.a4 14.B15.A fa=2, 16.b=-2,17.280 c=-1. 18.成人门票300张，学生门票2700张. 第六讲。 一元二次方程 知识梳理 一、1.一个2整式2.ax2+bx+c=0(1)整式 (2)1(3)23.值根 二、1.一元一次方程2.(1)直接开平方(2)配方 ⑤无(3)求根 -b±W6-4ac 2a (4)因式分解 三、b-4ac 1.两个不相等 -b+62-4ac 2a -b-B2-4ac 2a 2.两个相等= 名3设有 四、-名日 五、1.（1)原来量2.(1)售价(2)单件利润销量 (3)利润 考点速练 1.C2.33.C4.C5.A6.D7.D8.7 9.512 10.解：(1)设4,5两月平均每月降价的百分率是x, 则根据题意，得14000(1-x)2=11340, 解得x=10%. (2)会.理由：11340(1-10%)2=9185.4<10000， 所以7月份该市的商品房成交价会跌破 10000元/m2. 11.解：(1)10+x500-20x (2)由题意，得(10十x)(500-20x)=6000. 解得x1=5,x2=10. 120· 要使顾客得到实惠， .x=5. 答：每千克应涨价5元. 第七讲分式方程 知识梳理 一、未知数 二、1.整式 2.最小公倍数最高次幂(2)因式分解 3.(1)最简公分母(2)值(3)根 三、1.审2.设3.相等4.列5.解6.检验 答 考点速练 1.D2.B3.C4.B5.x=36.x=47.A 8.A9.C 10.解：(1) 速度（千米/时）所用时间（时）所走的路程（千米） 骑自 2 10 10 行车 乘汽 2x 10 车 2 (2)根据题意，列方程，得10-10+1 x2x3 解这个方程，得x=15. 经检验，x=15是原方程的根. 答：骑车同学的速度为15千米/时， 11.解：设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每 个B型扫地机器人的进价为(2x一400)元， 依题意，得96000=168000 2x-4001 解得x=1600, 经检验，x=1600是原方程的解，且符合题意， 2x-400=2×1600-400=2800. 答：每个A型扫地机器人的进价为1600元，每 个B型扫地机器人的进价为2800元. 第八讲不等式与不等式组 知识梳理 一、1.大小2.值3.解4.一个15.未知数 6.公共部分 二、[经验积累](1)加上减去(2)乘以除以 (3)负数 12 三、1.(2)去括号(4)合并同类项 2.解集公共部分 3.(1)x>b(2)x<a(3)a<x<b(4)无解 四、2.设4.列6.答 考点速练 1.C2.A3.D 4.b<c<a5.A6.x≥17.A 8.解：去分母得2(x-1)≥3(x-3)十6. 去括号，得2x-2≥3x-9+6. 移项，得2x-3x≥-9十6十2. 合并同类项，得-x≥-1. 系数化为1，得x≤1. -4-3-2-1012345* 9.D10.C11.A 12.x>-2 x≤3 -3-2-1012345 -2<x≤3 13.解：(1)设甲物资采购了x吨，乙物资采购了y吨， x+y=540, x=300, 依题意，得 解得 3x+2y=1380. y=240, 答：甲物资采购了300吨，乙物资采购了240吨. (2)设安排A型卡车m辆， 则安排B型卡车(50一m)辆， (7m+5(50-m)≥300， 依题意，得 3m+7(50-m)≥240. 解得25≤m≤27之： m为正整数， .m可以为25,26,27. .共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡 车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车， 24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车， 23辆B型卡车. 第九讲平面直角坐标系与函数 知识梳理 一、1.(1)互相垂直(2)一一对应 2.>><><<>< 4.相等互为相反数