第5讲 一次方程(组)及其应用-【鹰击道道清】2026年天津中考数学冲关知识手册

第五讲一次方程（组）及其应用 【教材链接：《人教版》七上第三章一元一次 方程∥七下第八章二元一次方程组】 @知识梳理 一、方程及一元一次方程的相关概念 1.方程：含有 的等式叫做方程. 2.方程的解：使方程左右两边的值 的未知数的值叫方程的解， 方程的解也叫做方程的 3.一个方程左右两边都是关于未知数的 ,这样的方程叫做整式方程. 4.解方程：求方程的 的过程叫 做解方程。 5.一元一次方程：只含有 未知 数，未知数的最高次数为 ,并 且两边都为整式的方程，叫做一元一次 方程. (1)一元一次方程的标准形式：a.x+b=0 (其中x是未知数，a,b是已知数，a≠0) (2)一元一次方程的最简形式：ax=b (其中x是未知数，a,b是已知数，a≠0) 二、等式的性质 1.性质1：等式两边 (或 )同一个数（或式子），结果仍 .若a=b,那么a士c=b士c. 2.性质2：等式两边 同一个数，或 同一个不为0的数，结果仍 相等 若a=b,那么有a·c=b·c或2 (c≠0>. 数学 经验积累 (1)用等式性质进行等式变形，必须注意 “都”，不能漏项 (2)等式两边都除以一个数或式时必须 保证它的值不能是零 三、解一元一次方程的一般步骤 1.去分母； 3.移项； 4. 5.未知数系数化为1. …经验积累 (1)一元一次方程的解法的各个步骤的 依据分别是等式的性质和合并同类项法 则，要注意灵活运用 (2)特别提醒：去分母时应注意不要漏乘 项，移项时要注意变号 四、相关概念 1.二元一次方程：含有 个未知数， 并且含未知数的项的次数都是 ,像这样的方程叫做二元一次 方程.一般形式是a.x十by=c(a≠0，b≠0). 2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次 方程两边的值相等的未知数的 叫做二元一次方程组的解. 3.二元一次方程组：方程组中有 个未知数，含有未知数的项的次数都是 ,并且一共 个方 程，像这样的方程组叫做二元一次方 程组. 4.三元一次方程：含有 个未知 ·13· 中考总复习·数学 ······鹰击通通猜中考冲关模拟分巢 数，并且含有未知数的项的次数都是 的 方程. 5.三元一次方程组：方程组中有 个未知数，含有未知数的项 的次数都是 ,并且一共 个方程，像这样的方程组叫 做三元一次方程组， 6.方程组的解：一般地，方程组中所有方程 的 解叫做这个方程组的解。 五、二元一次方程组的解法 1.消元思想：将未知数的个数由多化 ,逐一解决的想法，叫做消元 思想 2.代入法：将一个未知数用含有另一个未 知数的 表示出来，再代入另 一个方程，实现消元，进而求得这个二元 一次方程组的解，这种方法叫做代入消 元法，简称代入法. 3.加减法：当两个方程中同一未知数的系 数相等或 时，将两个方程的 两边分别相加或相减，就能消去这个未 知数，这种方法叫做加减消元法，简称加 减法， … 经验积累 (1)一个二元一次方程的解有无数组，我 们通常在实际应用中要求其正整数解. (2)二元一次方程组的解应写成 x=a, 的形式 ly=b 六、列方程（组）解应用题 1. 题：分析题意，弄清哪些是已 知的，哪些是未知的，它们之间的数量 ·14· 关系； 2. 未知数：根据题中的数量关 系设出未知数； 3.根据已知条件找出 的 关系； 4. 出方程组； 5. 方程组； 6. 并写出 语. 经验积累 (1)列方程解应用题的关键是：符号化 (2)几个常用的等量关系： ①行程问题：距离=速度·时间；速 时调：时间=距离 度 距 速度 ②工程问题：工作量=工效·工时； 工时；工时=工作量 工效=工作量 工效 ③比率问题：部分=全体·比率；比 部分 部分 举—全林话之、 ④顺逆流问题：顺流速度=静水速 度十水流速度；逆流速度=静水速 度一水流速度； ⑤商品价格问题：售价=定价X折扣； 利润（一件商品）=售价一成本；利润 率（一件商品）=售价成本X100%; 成本 ⑥周长、面积、体积问题：C圆=2πR, S国=元R2,C长方形=2(a十b),S长方形= ab,C正方形=4a,S正方形=a2,V长方体= abc,V正方依=a3,V国挂体=元Rh, 3πRh. 公素养点拨 /x+2y=14, 例题 方程组 的解是() 2x+y=16 「x=6, x=5, A. B. y=4 (y=6 x=3, （x=2, C.3 D. (y=6 y=8 【解析】+2y=14,@ 2x+y=16,② ①×2-②，得3y=12.獬得y=4. 把y=4代入①，得x+8=14. 解得x=6. x=6, 则方程组的解为 y=4. 故选：A. 【考情分析】二元一次方程组是天津市中考 的高频考点，2017一2021年都考了一道选 择题，3分，本题型属于容易题.此题考查 了解二元一次方程组，利用了消元的思想， 消元的方法有：代入消元法与加减消元法， ○考点速练 考点一：辨别一元一次方程 1,方程3x-y=2,x+1-2=0,2x Γ2 x2一2x一3=0中一元一次方程有(） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.方程(a-2)xa-1十3=0是关于x的一 元一次方程，则a= 考点二：等式的性质应用 3.已知等式3a=2b+5,则下列等式中不 一定成立的是() 数学 A.3a-5=2b B.3a+1=2b+6 C3ac-2版c+5Da-3b+号 4.下列运用等式的性质，变形正确的是() A.若x=y,则x-5=y十5 B.若a=b,则ac=bc C.若8-名则2a=36 D.若x=y,则2=义 考点三：一元一次方程的解 5.已知x=1是方程x+2a=一1的解，那 么a的值是( A.-1 B.0 C.1 D.2 6.若关于x的方程2x+m一3(m-1)=1十x 的解为负数，则m的范围是 考点四：一元一次方程的应用 7.某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支 圆珠笔的售价为2元.该店举行文具优惠 售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠 笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出 60支，卖得金额87元.若设铅笔卖出x 支，则依题意可列得的一元一次方程为 () A.1.2×0.8x+2×0.9(60+x)=87 B.1.2×0.8x+2×0.9(60-x)=87 C.2×0.9x+1.2×0.8(60+x)=87 D.2×0.9x+1.2×0.8(60-x)=87 8.某件商品的标价是330元，按标价的八 折销售可获利10%，则这种商品的进价 为 元 ·15· 中考总复习·数学 ·…···。鹰击通通清中考冲关模拟分美 考点五：二元一次方程的定义 9.方程2.x=0,3x十y=0,2x十xy 1,3x+y-2x=1,x2-x+1=0中，二 元一次方程的个数是() A.5 B.4 C.3 D.2 10.若关于x,y的方程x2m-1十2ym-m=5是 二元一次方程，则m十n= 考点六：二元一次方程组的解 x+y=5, 11.二元一次方程组 的解为( 2x-y=4 4.1, x=2, B. （y=4 (y=3 （x=3, x=4, C. D. (y=2 y=1 12.如图，在一个三角形三个顶点和中心处 的每个“○”中各填有一个式子，如果图 中任意三个“○”中的式子之和均相等， 那么a的值为( A.1 B.2 C.3 D.0 考点七：解含字母系数的二元一次方程组 13.如果关于x,y的二元一次方程组 3x+y=1+a, 的解满足x十y<2,那 x十3y=3 么a的取值范围是 2x+3y=1, 14.若方程组 的 (m-1)x+(m+1)y=4 ·16· 解中x与y相等，则m的值为() A.0B.10 C.20 D.3 考点八：解三元一次方程组 15.已知a+b=16,b十c=12,c+a=10,则 a+b+c等于() A.19B.38 C.14 D.22 3a-b+c=7,① 16.解方程组：2a十3b=-2,② a+b+c=-1.③ 考点九：一次方程组的应用 17.如图，7个大小、形状完全相同的小长 方形组成1个周长为68的大长方形， 则大长方形的面积为 18.某工会推出“世界葡萄博览园畅游优惠 活动”.活动期间，工会会员成人票优惠 价每张48元，学生门票每张20元，某 天共售出门票3000张，共收入68400 元，这天售出成人票和学生票各多 少张？-2易2 x-9 =(x+3)(x-3) .x+3)(z-3) =x一9 x, 当=6时，原式-6.9=一合 6 18解421小 -Gdtn =(+)×出 =-zxx+1= -x x+1x-1x-1' -x≤1， 解不等式组 2x-1<4, 得-1长多， 当x=2时，原式= 2-7-2. 2 第四讲二次根式 知识梳理 一、1.√a(a≥0)2.(1)分母(2)能开得尽方 3.相同4.化去5.不含 1.a 2.lal a-a 3.va.4.Ya 三、l.最简二次根式同类二次根式2.√ab 3√号 最简二次根式 考点速练 1.B2.A3.C4.√25.16.B7.D8.2 9.D10.311.C12.4 13.(1)n+1-√m(2)√n+I-1 14.5 第五讲一次方程（组）及其应用 知识梳理 一、1.未知数2.相等根3.整式4.解 5.一个1 二、1.加减相等2.乘除以 三、2.去括号4.合并同类项 四、1.两12.值3.两1两4.三1整 5.三1三6.公共 五、1.少2.式子3.相反 六、1.审2.设3.相等4.列5.解6.检验 答 考点速练 1.A2.-23.C4.B5.A6.m<17.B 8.2409.D10.211.C12.A13.a4 14.B15.A fa=2, 16.b=-2,17.280 c=-1. 18.成人门票300张，学生门票2700张. 第六讲。 一元二次方程 知识梳理 一、1.一个2整式2.ax2+bx+c=0(1)整式 (2)1(3)23.值根 二、1.一元一次方程2.(1)直接开平方(2)配方 ⑤无(3)求根 -b±W6-4ac 2a (4)因式分解 三、b-4ac 1.两个不相等 -b+62-4ac 2a -b-B2-4ac 2a 2.两个相等= 名3设有 四、-名日 五、1.（1)原来量2.(1)售价(2)单件利润销量 (3)利润 考点速练 1.C2.33.C4.C5.A6.D7.D8.7 9.512 10.解：(1)设4,5两月平均每月降价的百分率是x, 则根据题意，得14000(1-x)2=11340, 解得x=10%. (2)会.理由：11340(1-10%)2=9185.4<10000， 所以7月份该市的商品房成交价会跌破 10000元/m2. 11.解：(1)10+x500-20x (2)由题意，得(10十x)(500-20x)=6000. 解得x1=5,x2=10. 120·