第1讲 实数-【鹰击道道清】2026年天津中考数学冲关知识手册

第一讲 实数 【教材链接：《人教版》七上第一章∥七下第 六章】 @知识梳理 一、实数的定义及分类 1.正数： 0的数. 2.负数：在正数前加上符号“ 的数. 3.0既不是 ,也不是 经验积累 (1)带负号的数不一定是负数，若a表示 正数时，则一a是 数；当a表 示0时，则一a是 ;当a表示 负数时，一a是 数 (2)正数≠正有理数，所有 0 的数都是正数，例如π是正数但不是正 有理数 4.分类： (1)按实数定义分类 正整数 整数{① 有 理 负整数 实 数 正分数)② 小数 数 分数 负分数或③ 小数 无正无理数 理 ④ 小数 数负无理数 数学 (2)按实数的正负分类 正有理数 正实数 正无理数 实数⑤ 负有理数 负实数 负无理数 经验积累 (1)无理数类型： ①根号型：如√2,7等开方开不尽的数； ②三角函数型：如sin60°，tan30°等； ③构造型（特殊规律型）：如0.101001… (每相邻两个1之间依次多一个0)等； ④与元有关的数：如受π一3等. (2)判断一个数是不是无理数，不要只看 形式，要看化简结果是不是无限不循环 小数，例如8=2，所以8是有理数. 二、实数的有关概念 1.数轴 (1)定义：规定了原点、正方向和单位长 度的 叫做数轴. 原点正方向 -4-3-2-10123 单位长度 (2)①实数和数轴上的点是 对应的关系； ②数轴上右边的数总比左边的数 ③离原点越远的数的绝对值越 中考总复习·数学 ·········…·鹰击道道猜中考仲关模拟分美 2.相反数：只有 不同的两个数 叫做互为相反数，实数a的相反数为 ,0的相反数是 (1)若a,b互为相反数，则a十b= (2)若a,6互为相反数，则号 .(a≠0) 3.倒数：实数a(a 0)的倒数为 没有倒数. 即：若a,b互为倒数，则ab= 4.绝对值：在数轴上，表示数a的点到 的距离，叫做数a的绝对值，记 作|a. (a>0); (1)|al (a=0); (a<0). [a =ala 0); (2)a=-a(a 0)(0是墙头草， 哪边都能倒). 当a≥b时，a-b= (3) 当a≤b时，a-b|= 经验积累 (1)a-b的相反数是 (2)a十b的相反数是 (3)绝对值等于本身的数有 是 (4)相反数等于本身的数有 是 (5)倒数等于本身的数有 是 ·2· 三、数的开方 1.算术平方根：一般地，如果一个 数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正 数x就叫做a的算术平方根，a的算术平 方根记作√a,a叫做被开方数，0的算术平 方根是 2.平方根：一般地，如果一个数的平方等于 a(a≥0)，那么这个数就叫做a的平方 根，记作士√a,求一个数平方根的运算 叫做开平方.一个正数a的平方根有两 个，它们互为 ;0的平方 根是 数没有平 方根. 3.立方根：若x3=a,则x叫做a的立方 根，记为 ,正数的立方根是 ,0的立方根是 ,负 数的立方根是 经验积累 (1)平方根等于本身的数有 个， 是 (2)算术平方根等于本身的数有 个，是 (3)立方根等于本身的数有 是 a(a≥0)， (4)√a=|al= a(a≤0) (5)√a的“双重非负性”，即a≥0，√a≥0. (6)常用非负数形式有：a2,a|,√a (a≥0) (7)a2+|b+√c=0,a=0,b=0,c=0. 四、科学记数法 1.把一个较大或较小的数写成 的 形式，其中1≤|a<10,n为整数. 2.(1)当|a≥10时，n(正整数)=原数的 整数位数 (2)当0<|a<1时，n(负整数)=原数 中左起第一个非0实数前所有0的个数 (含小数点前的0). 经验积累 (1)将含有计数（量）单位的数字用科学 记数法表示时，应先把计数单位转化为 数字，把计量单位转化为题目要求的单 位，再用科学记数法来表示.（2)常考的 计数单位有：1千=103,1万=104， 1亿=108.例如：230万=2.3×102× 104=2.3×106 五、实数的大小比较 1.(1)正数 0 (选填 “>”或“<”或“=”)负数. (2)两个正数，绝对值大的数较 两个负数，绝对值大的数反而 2.数轴比较法：数轴上的两个点表示的数， 右边的数总比左边的数 3.差值比较法：对于任意实数a,b, 若a-b>0→a>b; 若a-b<0台a<b; 若a-b=0台a=b. 4.平方比大小：（主要用于无理数估算） (a)2>(b)2则√a>√b. 数学 5.作商比大小： 若号>1(6>0)，则a>b: 若4>1(b<0),则a<b: 若8-1，则a=6 6.倒数比大小： a,6同号，若>石则u< 六、实数的运算 1.运算法则 (1)加法法则： 同号两数相加：取相同的符号，并把 绝对值相加.异号两数相加：绝对值 不相等的异号两数相加，取绝对值较 大加数的符号，并用较大的绝对值减 去较小的绝对值，互为相反数的两数 相加得0. 一个数同0相加，仍得这个数， (2)减法法则：减去一个数，等于加上这 个数的 数. (3)乘法法则：两数相乘，同号得 ,异 号得 ,并把绝对值相 ,任何 数与0相乘仍得 (4)除法法则：除以一个不为0的数，等 于乘以这个数的 数. (5)乘方：a"=a·a·…·a(n个a相 乘)，a叫做 ,n叫做 负数的偶次幂是 数，负数的 奇次幂是 数；正数的任何次 幂都是 数；0的任何正整数 次幂都为 ·3 中考总复习·数学 …···。鹰击通通清中考冲关模拟分类 ①当n为正奇数时：（一a)"=一a”或 (a-b)m=-(b-a)m. ②当n为正偶数时：（一a)n=a或 (a-b)"=(b-a)". 一1，n为奇数； ③一1的整数次幂：（一1）”= 1,n为偶数 (6)零次幂：a°= (a≠0). ()负整数指数幂：a”-a≠0，p为 正整数)，a1=二(a≠0). 2.运算律 (1)加法运算律 加法交换律：a十b 加法结合律：(a十b)+c=a十( (2)乘法运算律 乘法交换律：ab= 乘法结合律：(ab)·c=a·( 分配律：a(b十c)= 3.实数的混合运算顺序 ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算从左到右依次计算； ③有括号的先算括号内的运算，按小 括号、中括号、大括号依次进行； ④同级运算按照从左到右的顺序进行 公素养点拨 例1计算（一3）一（一6）的结果等于() A.3 B.-3 C.9 D.18 【解析】原式=一3十6=3. 故选：A. 【考情分析】天津市中考第1题考查有理数 运算，3分，本题型属于容易题.此题考查 ·4 了有理数减法，熟练掌握有理数运算法则 是解答本题的关键， 例2将139000000用科学记数法表示为 A.1.39×10 B.1.39×108 C.1.39×109 D.13.9×10 【解析】139000000=1.39×108. 故选：B 【考情分析】天津市中考第3题考查科学记 数法，3分，本题型属于容易题.此题考查 了较大数字的科学记数法，科学记数法的 表示形式为aX10”的形式，其中1≤ |a<10,n为整数，表示时关键要正确确 定a的值以及n的值， 例3估计√35一2的值( ) A.在4和5之间 B.在3和4之间 C.在2和3之间 D.在1和2之间 【解析】.25<35<36， .5<√/35<6， .3<√35-2<4. ∴.√35-2的值在3和4之间. 故选：B. 【考情分析】天津市中考第6题考查无理数 估值，3分，本题型属于容易题.此题考查 了估算无理数的大小，用了逼近法， O考点速练 考点一：实数的分类 1.给出四个实数√5,2,0，一1，其中负数是 ( ) A.√5 B.2 C.0 D.-1 2.下列各数是正数的是() A.0B.5 c.-2 D.-√2 考点二：数轴 3.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图 所示，下列结论正确的是() -3-2-1012 A.ab B.a>-6 C.-a>b D.-a<6 4.实数a,b,c满足a>b且ac<bc,它们在 数轴上的对应点的位置可以是( ) c6.0&a601 A B C D 考点三：比较大小、估值 5.估计√10+1的值应在() A.3和4之间B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间 6.下列各数中，小于一2的数是( A.-√5B.-√3 C.-√2D.-1 考点四：相反数、倒数、绝对值 7.一8的绝对值是() A.8 B吉 C.-8 D.一8 8.号的倒数是( AB- c-号 D.3 考点五：实数的运算 9.计算：(-2)×-27+11-31-(). 数学 10.计算：32+（π一5）0-√4+（一1）-1 考点六：科学记数法 11.数据274.8万用科学记数法表示为( ) A.2.748×102 B.274.8×104 C.2.748×106 D.0.2748×10 12.将数据123000000用科学记数法表示 为() A.12.3×10 B.1.23X108 C.1.23X109 D.0.123×109 13.绿色植物靠吸收光量子来进行光合作 用，已知1纳米=0.000000001米，每 个光量子的波长约为688纳米，则每个 光量子的波长可用科学记数法表示为 ()米 A.688×10-9B.68.8×10-8 C.6.88×10-7D.6.88×10-6 第二讲整式 【教材链接：《人教版》七上第二章整式的加 减∥八上第十四章整式的乘法与因式分解】 @知识梳理 一、整式的有关概念 1.单项式：数或字母的 叫做单 项式.单独的一个数字或字母也是单项 式，如一3x,mn,2,a. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的 指数的 叫做这个单项式的次数. ·5.÷此时当=8时，折叠后重合部分的面积有 5 D点的坐标为(0,2g)或(0，-2) 最大值为g9 (3)由C(0,2),A(-2,0),B(1,0), 得BC=√5， :2345 5, 设直线AC的解析式为y=x十b',则有 3 0=-2k+b, 六折叠后重合部分面积的最大值为43 51 2=b, b=2, 25.解：(1)将C(0,2),对称轴直线x=一 代入y 解得k=1, -x2+bx+c, 即AC的解析式为y=x十2， c=2, 同理BC的解析式为y=一2x十2， 得 b 1 2×(-1)=-2, 点M在抛物线上且在直线y=c(即y=2)上方， b=-1, 设M横坐标为m, 解得 c=2, 有M(m,-m2-m十2)，-1<m<0. y=-r-z+2=-(+2》+是， MN⊥AC,得直线MN的解析式为y=-x- m2+2. 即p(-是)， ,MN交BC于N,联立 令y=0,得-x2-x+2=0, y=-x-m2+2, 解得x1=一2，x2=1, y=-2x+2, .A(-2,0),B(1,0); 得N(m2,-2m2+2), (2)如图，当点D在y轴正半轴上时，连接B'A. 则Q(0,-2m2+2), 有MN-2√2QN= √Gt-m)2+[(-2t+2)-(-t-m+2)下-2√2mt =√2(m2-m)-2√2m2 =-√2m2-√2m ,△ABD沿AD所在直线翻折得到△AB'D, =(m+》}'+g, AB=AB-3,对称轴直线x=一合与x轴交 即当m=一2时， 于点H,则H(-7,0,AH= MN-2EQN有最大值经， 在Rt△AHB中， 即当m=一时， cos∠HAB'=AH=1 AB=2 有∠HAB'=60°，则∠HAD=30°， CB-MN+2V2QN有最小值v5-2. 在Rt△ADO中， D0=A0·tan∠HAD=23 3, D点的坐标为(0,2)： 0 同理，当D点在y轴负半轴上时，D点的坐标为 图② (0,-2g) ·118·