精品解析：宁夏回族自治区银川市唐徕中学西校区2025-2026学年第二学期第一次模拟考试九年级数学试卷

银川市唐徕中学西校区2025-2026学年第二学期第一次模拟考试 初三数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，四个选项中只有一个正确．） 1. 是2026的（ ） A. 倒数 B. 相反数 C. 绝对值 D. 平方根 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则实数c的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 5. 如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 6. 若是的整数部分，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（　　） A. B. C. D. 8. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”．如图，若上海东方明珠塔的塔高为米，为塔的黄金分割点，设，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：_________． 10. 2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为______秒． 11. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 12. 如图，长为6，宽为4的矩形中阴影部分的面积是___________． 13. 如图，等边三角形的顶点在轴上，顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，且轴，则_____________． 14. 如图，四边形内接于，，连接、，则____． 15. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则______． 16. 图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC、支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，则支架BC的长为______cm．（结果精确到1cm，参考数据：，，） 三、解答题（17-22每小题6分，23-24每小题8分，25-26每小题10分） 17. 解不等式组： 18. 先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； （2）任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 19. 如图，点在反比例函数的图象上，仅使用无刻度的直尺作图（不用写作法，只保留作图痕迹）． （1）在图①中画出点关于原点的对称点； （2）点在轴上，在图②中画出点关于原点的对称点． 20. 【问题背景】年4月日是第个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用元购买A种书架的数量比用元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出A，B两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； 21. 某校举办了一次党史知识的竞赛，全校共有1200名学生参加本次活动．为了解学生的答题情况，现随机抽取甲、乙两组各15名学生的测试成绩进行整理分析，过程如下． 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100 乙班15名学生测试成绩中的成绩如下：91，92，94，90，93 【整理数据】 班级 甲 1 1 4 6 乙 1 2 3 5 4 [分析数据] 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 100 93 41.1 乙 90 87 50.2 [应用数据] （1）根据以上信息，可以求出：________，________分； （2）根据以上数据，甲乙两个班级中成绩较稳定的是________班； （3）若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加本次竞赛的1200名学生中，成绩为优秀的学生人数． 22. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 23. 下面是小颖同学数学小论文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 张景中院士说：“代数比算术高明，高明在一个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们大开眼界……‘代’的方法用途很广．它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用．“例如，很多具有特殊结构的正整数中蕴含着有趣的规律，这些数及其蕴含的规律都可以用代数的方法表示．半和数：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为半和数．例如三位正整数234中，所以234是“半和数”；又如369中，所以369也是“半和数”. （1）已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是____________；若它的百位数字为，个位数字为0，则十位数字为____________，这个数为____________（用含的代数式表示） （2）设一个“半和数”的百位数字为，十位数字为，，，，均为整数），个位数字为，则，，的关系式为____________． （3）小颖发现任意一个“半和数”的个位数字（个位数字不为0）和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数！请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 24. 如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，． （1）求证：是的切线； （2）若四边形是平行四边形，，求的长． 25. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 操作判断： （1）用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有_________（填序号）； 性质探究： （2）根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求的长（用含，，的式子表示）； 26. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； （3）当时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市唐徕中学西校区2025-2026学年第二学期第一次模拟考试 初三数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，四个选项中只有一个正确．） 1. 是2026的（ ） A. 倒数 B. 相反数 C. 绝对值 D. 平方根 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数，相反数，绝对值，平方根的定义，判断两个数的关系即可得到答案． 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数，与2026只有符号不同， ∴是2026的相反数， 故选：B． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，同底数幂除法计算，二次根式的加减计算．根据相关计算法则计算即可判断． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看到的图形是俯视图，即可求解． 【详解】解：该几何体的俯视图是 4. 若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则实数c的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．二次函数的图象与x轴个数由判别式Δ决定．当时，图象与x轴有且仅有一个交点． 【详解】解：二次函数，其判别式为： ， 由题意，图象与x轴仅有一个交点，故，即： ， 解得： ， 因此，实数的值为4， 故选：A． 5. 如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是（ ） A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质求解即可．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：与位似，点为位似中心，相似比为， 的周长的周长， ∵的周长为5， 的周长， 故选：C． 6. 若是的整数部分，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题通过估算无理数的大小，确定的取值范围，进而得到它的整数部分，利用平方比较法确定的范围即可求解． 【详解】解：， ，，且， ， ∴， 即， 的整数部分为，即． 7. 若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴， ∴ ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴直线经过第一，三，四象限，反比例函数图象分布在第二、四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系． 8. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”．如图，若上海东方明珠塔的塔高为米，为塔的黄金分割点，设，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的意义，根据黄金分割点的定义列式判断即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵为塔的黄金分割点， ∴，即， ∴． 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：原式＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键． 10. 2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为______秒． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，解题的关键是熟知．根据题意可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可． 【详解】解：根据题意1阿秒是秒可知， 43阿秒秒， 故答案为：． 11. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用频率=红球个数÷总数，计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故答案为：12． 12. 如图，长为6，宽为4的矩形中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可知，阴影部分由两个三角形组成，这两个三角形的底边都在矩形的下边上，且底边之和等于矩形的长，高均等于矩形的宽，利用三角形面积公式及乘法分配律即可求解． 【详解】解：设左边阴影三角形的底为，右边阴影三角形的底为，高为， 由图可知，两个阴影三角形的底边之和等于矩形的长，即， 两个阴影三角形的顶点都在矩形的上边上，底边都在矩形的下边上， 两个阴影三角形的高均等于矩形的宽，即， ． 13. 如图，等边三角形的顶点在轴上，顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，且轴，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，等边三角形的性质等知识点；解题关键是设出A，C的坐标，求出 ，由等边三角形性质和轴表达出，根据求出等边三角形的边长，最后求出． 【详解】解：设，故， 由等边三角形性质知， 轴， ， ， ， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 故，则等边三角形的高为， ． 14. 如图，四边形 内接于，，连接、，则____． 【答案】140 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解： 四边形 内接于， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：140． 15. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则______． 【答案】108 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：108 16. 图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC、支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，则支架BC的长为______cm．（结果精确到1cm，参考数据：，，） 【答案】49 【解析】 【分析】过点C作 于D，则，根据三角函数的定义即可求得结论． 【详解】如图，过点C作 于D 则 ，AC＝40cm 故答案为：49． 【点睛】本题考查了解直角三角形，准确理解题意，能够利用数形结合的思想是解题的关键． 三、解答题（17-22每小题6分，23-24每小题8分，25-26每小题10分） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； （2）任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 【答案】（1）三，分式的基本性质；一；添括号时，括号里面的第二项没有变号； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案； 观察分式化简的步骤可知答案； （2）将分式进行正确的化简，再将代入化简之后的式子即可． 【小问1详解】 解：以上化简步骤中，第三步是通过约分得到的，约分的依据是分式的基本性质， 第一步开始出现错误，这一步错误的原因是添括号时，括号里面的第二项没有变号； 【小问2详解】 解：， ， 当时， ． 19. 如图，点在反比例函数的图象上，仅使用无刻度的直尺作图（不用写作法，只保留作图痕迹）． （1）在图①中画出点关于原点的对称点； （2）点在轴上，在图②中画出点关于原点的对称点． 【答案】（1） 解：连接，并延长交反比例函数的图象于，如图所示， 点即为所求； （2） 点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，无刻度的直尺作图，全等三角形的判定及性质，理解反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，是解决问题的关键． （1）利用反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，连接，并延长交反比例函数的图象于，即可求解； （2）利用反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点，连接，并延长交反比例函数的图象于，连接，，并延长交反比例函数的图象于，，连接，并延长交轴于，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，并延长交反比例函数的图象于， 连接，，并延长交反比例函数的图象于，， 连接，并延长交轴于， ∵反比函数图象为中心对称图形，对称中心为原点， ∴，， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 20. 【问题背景】年4月日是第个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用元购买A种书架的数量比用元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 （1）问题一：求出A，B两种书架的单价； （2）问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； 【答案】（1）B种书架的单价为元，则A种书架的单价为元 （2），最少值为元，购买方案为：购买A种书架8个，B种书架个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设B种书架的单价为元，则A种书架的单价为元，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后求解作答即可； （2）购买a个A种书架，则购买个B种书架，由题意知，，可求得；，即，由，可知当时，最少，最少值为元，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设B种书架的单价为元，则A种书架的单价为元， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且满足要求； ∴B种书架的单价为元，A种书架的单价为元； 【小问2详解】 解：购买a个A种书架，则购买个B种书架， 由题意知，， 解得，； ，即， ∵， ∴当时，最少，最少值为元， ∴费用最少时的购买方案为：购买A种书架8个，B种书架个． 21. 某校举办了一次党史知识的竞赛，全校共有1200名学生参加本次活动．为了解学生的答题情况，现随机抽取甲、乙两组各15名学生的测试成绩进行整理分析，过程如下． 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100 乙班15名学生测试成绩中的成绩如下：91，92，94，90，93 【整理数据】 班级 甲 1 1 4 6 乙 1 2 3 5 4 [分析数据] 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 100 93 41.1 乙 90 87 50.2 [应用数据] （1）根据以上信息，可以求出：________，________分； （2）根据以上数据，甲乙两个班级中成绩较稳定的是________班； （3）若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加本次竞赛的1200名学生中，成绩为优秀的学生人数． 【答案】（1）3，91 （2）甲 （3）成绩为优秀的学生人数约为760人 【解析】 【分析】（1）用15减去其他段的人数，可得a值，利用中位数的求法计算可得b值； （2）比较方差的大小，即可判断． （3）用1200乘以成绩优秀的学生所占的百分比，即可求解； 【小问1详解】 解：人，即， 乙班15名学生测试成绩中，中位数是第8个数，即出现在这一组中的91， ． 故答案为：3，91； 【小问2详解】 解：∵甲班分数的方差为：，乙班分数的方差为：， ， ∴甲乙两个班级中成绩较稳定的是甲班； 【小问3详解】 解：根据题意得： （人， 答：估计成绩为优秀的学生约为760人． 22. 如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点 ，再分别以点， 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线 ，交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：由作图步骤可得，平分， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、尺规作图等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由作图可知，，再由平行四边形的性质得 ，则，则，然后由等腰三角形的判定即可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点；同（2）中方法证明，得，利用是直角三角形求出，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，交的延长线于点，如图； ∵四边形 是平行四边形， ∴ ，，， ∴，， 由作图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 下面是小颖同学数学小论文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 张景中院士说：“代数比算术高明，高明在一个‘代’字上，用字母来代替数，会使我们大开眼界……‘代’的方法用途很广．它可以把已知与未知联系起来，把普遍与特殊联系起来，把复杂的式子变得简单而易于观察，把平凡的事实弄得花样翻新便于应用．“例如，很多具有特殊结构的正整数中蕴含着有趣的规律，这些数及其蕴含的规律都可以用代数的方法表示．半和数：一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为半和数．例如三位正整数234中，所以234是“半和数”；又如369中，所以369也是“半和数”. （1）已知一个三位数是“半和数”，若它的百位数字是7，个位数字是1，则这个数是____________；若它的百位数字为，个位数字为0，则十位数字为____________，这个数为____________（用含的代数式表示） （2）设一个“半和数”的百位数字为，十位数字为，，，，均为整数），个位数字为，则，，的关系式为____________． （3）小颖发现任意一个“半和数”的个位数字（个位数字不为0）和百位数字调换得到一个新“半和数”，然后将新“半和数”与原“半和数”相加，结果都是111的倍数！请你判断这一结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1），， （2） （3） 解：该结论正确，理由如下： 设原“半和数”百位数字为，个位数字为，则十位数字为， ∴原“半和数”为， 新“半和数” 两数之和为， ∵，且都是整数， ∴， 即结果都是111的倍数． 【解析】 【分析】（1）根据给出定义求解； （2）根据给出定义列代数式； （3）根据给出定义假设出“半和数”，然后表示出两个数以及它们的和，可得结论． 【小问1详解】 解：根据定义得，十位数字为， ∴这个数是； 十位数字为， ∴这个数是； 【小问2详解】 解：根据题意得； 【小问3详解】 略 24. 如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦 相交于点F，点D是延长线上的一点，． （1）求证：是的切线； （2）若四边形是平行四边形，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ，， ． ， ． 是的直径， ，即． ， ，即． 为的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等边对等角，推出，根据直径得到，进而得到，继而得到，即，即可得证； （2）由平行四边形的性质得到，根据，得到，求出的长，证明是菱形，得到为等边三角形，进而得到，解，求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2， 四边形是平行四边形， ． 又， ， ． ， 是菱形， ． 为等边三角形， ∴． 在中，． 25. 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 操作判断： （1）用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有_________（填序号）； 性质探究： （2）根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形 是邻等对补四边形，， 是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求 的长（用含，，的式子表示）； 【答案】（1） （2）①，理由： 理由：延长至点 ，使，连接， ∵四边形 是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （）延长至点 ，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； 过作于，根据三线合一性质可求出，由可得，在中，根据余弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：观察图知，图和图中不存在对角互补，图和图中存在对角互补且邻边相等，故图和图中四边形是邻等对补四边形， 【小问2详解】 解：略 过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故 的长为． 26. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线 于点E，点F． （1）求抛物线的解析式； （2）点D是x轴上的任意一点，若是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； （3）当时，求点P的坐标； （4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答； （3）先证明可得，设，则,可得，即，求得可得m的值，进而求得点P的坐标； （4）如图：将线段向右平移单位得到,即四边形是平行四边形，可得,即，作关于对称轴的点,则，由两点间的距离公式可得，再根据三角形的三边关系可得即可解答． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴当时，，即；当时，，即； ∵， ∴设抛物线的解析式为， 把代入可得：，解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴, ∴， 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 综上，点D的坐标为． 【小问3详解】 解：如图：∵轴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∵设，则, ∴， ∴，解得：， 当时，， ∴． 【小问4详解】 解： ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为：直线， 如图：将线段向右平移单位得到, ∴四边形是平行四边形， ∴,即, 作关于对称轴的点,则 ∴, ∵， ∴的最小值为． 故答案为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $