专题07 正方形重难点题型汇编（九大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

**基本信息** 以九大题型为框架，系统整合正方形性质应用、判定证明及“十字架”“半角”模型，形成从基础到综合的解题方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用（角度/线段/面积）|约5题/题型|性质直接应用、旋转转化|从边/角/对角线性质到计算，构建量关系推理链| |坐标与判定|约4题/题型|坐标系数形结合、判定定理应用|结合图形位置关系，强化定义与判定的逻辑推导| |综合与最值|约5题/题型|对称变换、将军饮马模型|性质与动态问题结合，培养空间观念与模型意识| |“十字架”“半角”模型|约5题/题型|垂直构造全等、旋转法|提炼模型辅助线策略，提升复杂问题迁移能力|

专题07 正方形重难点题型汇编 （九大题型） 【题型1 利用正方形的性质求角度】....................................................................................1 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】.........................................................................4【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】.........................................................................9 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】...............................................................12 【题型5 正方形的判定证明】............................................................................................16 【题型6 正方形的性质与判定综合】..................................................................................20 【题型7 求正方形形中最值问题】.....................................................................................26 【题型8 正方形中“十字架”模型】.................................................................................32 【题型9 正方形中“半角”模型】.....................................................................................41 【题型1 利用正方形的性质求角度】. 1．如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，交对角线于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，再求出，根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：在正方形中，，， ， ． 2．如图，在正方形中，点E为上一点，连接，是由旋转得到的，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，从而得到，，，进而判断出为等腰直角三角形，求出，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， 是由旋转得到的， ， ，，， 点在上， ， 是等腰直角三角形， ， ． 3．如图，正方形中，，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可证明，得到，推出，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ． 4．如图，正方形中，，直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，进而根据三角形内角和及角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴． 5．如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由正方形的性质可知，，，，再结合平行的性质和等边对等角，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 正方形， ，，， ， ， ， ， ， ． 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 1．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转的性质可得，，由勾股定理可求的长． 【详解】解：由旋转可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵正方形中， ∴. 2．如图，四边形是边长为的正方形，取边的中点，连接，将沿折得到，延长交边于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形性质可得，，通过折叠性质可知，，，然后证明，所以，设，则，，由勾股定理得，即，然后求出的值即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是中点， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴的长为． 3．如图，在正方形中，，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】在中，由勾股定理得，证明，推出，从而得到为直角三角形，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即是直角三角形， 点为的中点， ． 4．如图，点E在正方形内，连接、，，于点F，若，，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，得出，，根据线段间的数量关系，求出的长． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 5．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用等腰三角形“三线合一”性质及全等三角形判定证明，从而得出，进而求出的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵将边绕点逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴线段的长为． 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 1．如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 【答案】B 【分析】利用勾股定理，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 2．正方形的一条对角线长为8，则正方形的面积是（　　） A．16 B．64 C．32 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质和菱形面积公式，解题的关键是掌握菱形面积公式（对角线乘积的一半）．根据正方形是特殊菱形的性质，利用菱形面积公式计算即可． 【详解】解：∵ 正方形是特殊的菱形，对角线相等且互相垂直， ∴ 正方形面积 ， 故选：C． 3．如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则这个正方形的面积是（    ） A．34 B．36 C．40 D．44 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，图形面积，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据勾股定理得到正方形边长，再根据正方形面积公式即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得中，，， ∴， 四边形是正方形， ． 故选：A． 4．如图，两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则两个正方形中的阴影部分甲和乙的面积差为（   ） A．28平方厘米 B．4平方厘米 C．17平方厘米 D．14平方厘米 【答案】D 【分析】本题考查正方形和三角形面积公式，数形结合是解题的关键． 根据阴影部分甲和乙同时加上空白小三角形面积再作差，差值不变作答即可． 【详解】解：由题意得：（平方厘米）． 故选D． 5．正方形的一条对角线长为，则正方形的周长是（　　） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的计算，设正方形的边长为a，根据勾股定理即可求出边长，从而求出周长． 【详解】解：设正方形的边长为a， 正方形的一条对角线长为， 根据勾股定理， 解得：或（舍去）， 则正方形的周长是， 故选：C． 6．如图，正方形的边长为，以为斜边在正方形的外部作等腰直角三角形，连接、，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，掌握相关的知识是解题关键．过作于点，交于点，根据正方形的性质得，由等腰直角三角形得，从而得，在中，由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，交于点， 四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的周长为， 故选：A． 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为(0，2)，点的坐标为(4，0)，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点C作CE⊥x轴，垂足为E，证明△AOB≌△BEC，得到BE=AO，EC=OB，计算OE的长即可． 【详解】如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E． ∵四边形ABCD是正方形，点A（0，2），B（4，0）， ∴AB=BC，∠ABC=90°，AO=2，OB=4， ∴∠AOB=∠BEC= 90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE， ∴△AOB≌△BEC， ∴BE=AO=2，EC=OB=4， ∴OE=OB+BE=2=4=6， ∴点C（6，4）， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，线段与坐标的关系，熟练掌握正方形的性质，准确理解线段与坐标的关系是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，且坐标原点为的中点，点的坐标为．将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、旋转的性质，正确的识别图形并找到规律是解题的关键． 找到前四次旋转后的图形即可找到规律，进而求解． 【详解】解：如图：正方形绕点每次顺时针旋转，前四次旋转后得到的正方形分别为、、、，    可以发现，第四次旋转后正方形回到起点，依此规律旋转下去，有 第次旋转后的正方形应为，其中点对应点， ∴此时．   故选：B ． 3．如图，在平面直角坐标系中放置了一个面积为5的正方形，点B在y轴上，且坐标为，点C在x轴上，则点D的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，过点D作轴于点E，证明，解答即可． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E， 四边形是面积为5的正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系中，点、、在坐标轴上，是的中点，四边形是矩形，四边形是正方形，若点的坐标为，则点的坐标为__________ 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平面直角坐标系中点的坐标，矩形的性质等知识的综合运用．过点作轴，垂足为，利用证明，可得，，由是的中点，可求解，的长，进而可求解点坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为， ， 四边形为正方形， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和和中， ， ， ，， 为的中点， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【题型5 正方形的判定证明】 1．如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定定理判断四边形是矩形；再结合等腰直角三角形中是中点，利用等腰直角三角形的性质推导，进而根据正方形的判定定理证明该四边形为正方形． （2）因为四边形是正方形，所以与正方形的边长有关；先根据和等腰直角三角形的性质、中点的性质求出正方形的边长，再利用正方形的对角线公式计算的长度． 【详解】（1）证明：∵ ，，， ∴ ， ∴四边形是矩形． 连接，如图， ∵等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形． （2）解：∵ ，∴ ， 由（1）可知是中点、是中点， ∴ ，． 在中，，由勾股定理得． 2．已知：如图，在中，，、的平分线相交于点，，，垂足分别为、．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】先根据三个直角证明四边形是矩形，再利用角平分线的性质证明邻边相等，从而根据有一组邻边相等的矩形是正方形完成证明． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． 过点作于点， ∵平分，，， ∴． ∵平分，，， ∴． ∴， ∴矩形是正方形． 3．如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形与正方形的判定、全等三角形的判定与性质，掌握矩形中一组邻边相等即可判定为正方形是解题的关键． 通过已知角的关系推导出，再结合和公共边，证明，从而得到，进而判定矩形为正方形． 【详解】证明：∵，，， ∴． 在和中： ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 4．如图，点在直线上，过的中点作的平行线，分别交的平分线和的平分线于点． (1)试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)当与的位置关系为____时，四边形是正方形． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，平行线的性质的应用，注意：对角线互相平分且相等四边形是矩形． （1）根据角平分线定义和平行线推出，推出，同理，即可得出答案； （2）根据矩形的性质和正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 证明：∵平行， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：当与的位置关系为时，四边形是正方形． 证明：由（1）得四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 1．如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析（2）6 【分析】（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形； （2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x−2）2＋（x−3）2＝52，求出AD＝x＝6． 【详解】（1）证明：由对折的性质可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°， ∴四边形AEGF为矩形， ∵AE＝AD，AF＝AD， ∴AE＝AF， ∴矩形AEGF是正方形； （2）解：根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3， 设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x， 则BG＝EG−BE＝x−2，CG＝FG−CF＝x−3， 在Rt△BCG中，根据勾股定理可得：（x−2）2＋（x−3）2＝52， 解得：x＝6或−1（舍去）． ∴AD＝6． 【点睛】本题考查了对折的性质，全等三角形和勾股定理，以及正方形的判定，解本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形． 2．如图，点是正方形边上一点（不与点，重合），连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）在上取一点F，使，连接，由正方形的性质就可以得出，就可以得出，根据就可以得出的值，就可以求出的值． 【详解】（1）解：补全图形如下图： （2）解：在上取一点F，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，点分别在正方形的边上，，点在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识的综合，掌握正方形的性质是关键． （1）根据题意证明，即可求解； （2）根据题意证明，在中，运用勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：由，得， ∴， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 4．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度； 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）过点作于点，于点，利用正方形对角线平分对角的性质，得出，结合垂直关系证明两个直角三角形全等，从而得到； （2）由（1）的结论，且四边形为矩形，可知矩形是正方形．利用正方形的性质，通过证明与全等，将转化为已知长度的线段，从而求得的长度． 【详解】（1）证明：过点作于点，于点， 四边形是正方形，是对角线， ． 又 ，， ，四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ． ； （2）四边形是正方形， ， ． ， ， 四边形是矩形，， 矩形是正方形， ， ， ， ， ， ， 又 ， 在和中， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形性质、勾股定理，余角的性质，角平分线的性质，通过辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型7 求正方形形中最值问题】 1．如图，正方形中，E、F分别为边上的动点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接，，证明，求得，则，推出当共线时，取得最小值，最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当共线时，取得最小值，最小值为的长， ∴． 2．如图，正方形的边长为8，点在上且，是上的一动点，则的最小值是（   ） A．8 B．10 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的应用，正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出图形得到的最小值即为线段的长． 连结交于点N，根据轴对称的性质，得到，的最小值即为线段的长，根据勾股定理，即可求得的长． 【详解】解：连接交于点N， ∵正方形的边长为8，点在上且， ∴，，点D与点B关于对称， ∴， ∵， ∴， ∵点D与点B关于对称， ∴， ∴,最小． 故选：B． 3．如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为(   )                                         A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等．过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形，证得当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长，过点作于点，设与相交于点，证明，得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形， ， ， 当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长， 过点作于点，设与相交于点， 四边形是正方形，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得， ， 即的最小值为． 故选：D． 4．如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】在上取点F，使，连接，根据角平分计算，可得，得，得取得最小值为，当时，取得最小值，求出,即得，即得的最小值． 【详解】解：在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点Q在上时， ，取得最小值， 当时，取得最小值， ∵正方形的边长是6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理——最短路线问题．熟练掌握正方形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，垂线段性质，根据题意作出辅助线，是解答此题的关键． 5．如图，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、、．当的最小值为时，则正方形的边长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】连接，，根据证明得，根据“两点之间线段最短”，当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长，则，过E点作交的延长线于F，由题意求出，设正方形的边长为，在中，根据勾股定理列方程求得正方形的边长为． 【详解】解：如图，连接，，当M点位于与的交点处时，的值最小． ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 根据“两点之间线段最短”可知，与的交点即为所求M点，使得取得最小值，最小值为， ∴， 过E点作交的延长线于F， ∴， 设正方形的边长为，则 ，， 在中， ∵， ∴， 解得，（舍去负值）， ∴正方形的边长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质；会利用含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理进行计算；待定系数法，会运用两点之间线段最短解决有关线段的和的最小值问题，解本题的关键是找出取最小值时M的位置． 【题型8 正方形中“十字架”模型】 1．如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）由正方形的性质，结合同角的余角相等，证明，即可证得结论； （2）延长、，交于点，由三角形全等的性质，可得，证明，可得点是的中点，由直角三角形斜边中线的性质，即可得线段与之间的关系． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，理由： 在正方形中，，， 延长、，交于点，则， ∴， 由（1）得， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， 又∵， ∴． 2．如图，是正方形对角线，的交点，平分，交于点，于点，分别交，于点，． (1)证明； (2)是等腰三角形吗？请说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）只需要利用证明即可； （2）由角平分线的定义得到，由正方形的性质得到，再由三角形外角的性质证明，即可证明，即是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即是等腰三角形． 3．图1，四边形是一个边长为2的正方形，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图2，当点运动到中点时， ①求的长； ②连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，利用定理证明； （2）①根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出； ②延长交于点，证明得，然后根据直角三角形斜边中线的性质得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解∶∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴； ②证明：如图，延长交于点， 由（1）得， ， ， ， ， 又∵ ， ， ， ， ． 4．（1）如图1，在正方形中，、相交于点O，且，则和的数量关系为_____． （2）如图2，在正方形中，E、F、G分别是边、、上的点，，垂足为H．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）证明即可证明结论； （2）过点E作于点M，得出四边形为矩形，则，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）在正方形中，， ， ， ， ， ； （2）过点E作于点M， ， 则四边形为矩形． ， 在正方形中，， ． ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． 5．如图①，在正方形中，P为线段上的一个动点，线段于点E，交线段于点M，交线段于点N． (1)求证：； (2)如图②，若线段垂直平分线段，分别交，于点E，F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作 交于，则，根据平行四边形和正方形的性质求证，然后根据三角形全等的性质即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和正方形的性质求得，然后根据等边对等角和等量代换求得，根据直角三角形斜边中线的性质得到 ，结合（1）问结论即可求证． 【详解】（1）证明：如图①，过点B作交于点H，则． 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ． ，即， ∴四边形为平行四边形， ， ； （2）证明：如图②，连接，，． 正方形是轴对称图形，F为对角线上的一点， ，． 垂直平分， ， ， ． ， ， ， ， ． 由（1），知， ， ． 【题型9 正方形中“半角”模型】 1.已知四边形是正方形，M、N分别是边，上的动点，正方形的边长为． (1)如图①，O是正方形对角线的交点，若，求四边形的面积； (2)如图②，若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形性质得出，，，求出，得证，得出四边形的面积等于的面积，根据正方形的面积求出即可； （2）延长到Q，使，连接，得证，求出，，求出，得证，推出，根据三角形的周长得出的周长等于，代入求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴ 故四边形的面积是． （2）解：延长到Q，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵在和中， ∴， ∴， ∴的周长是：． 【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是考查学生的推理能力，题目具有一定的代表性，是一道综合性比较强的题目，有一定的难度． 2．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，请补充完整． 原题：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．∵，∴，点共线． 易证______其判断理由是______，可得． (2)类比引申如图2，四边形中，，，点E、F分别在边上，．若、都不是直角，则当与满足什么等量关系____时，仍有，并说明理由． (3)联想拓展如图3，在中，，，点均在边上，且．则满足_____，若，则的最小值是_____． 【答案】(1)， (2) (3)；的最小值为 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．当时，，由，然后根据非负数的性质和不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图1， ， ，点、、共线， 则，，， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：时，；理由如下： ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示： ，， ，， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， ， ， （3）解：猜想：．理由如下： 把绕点逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则，， ．，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ． 当时，， ， ， ， 当时，的最小值， 的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 正方形重难点题型汇编 （九大题型） 【题型1 利用正方形的性质求角度】....................................................................................1 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】.........................................................................2【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】.........................................................................4 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】.......................................................。........5 【题型5 正方形的判定证明】..............................................................................................6 【题型6 正方形的性质与判定综合】...................................................................................7 【题型7 求正方形形中最值问题】.......................................................................................9 【题型8 正方形中“十字架”模型】.................................................................................10 【题型9 正方形中“半角”模型】.....................................................................................13 【题型1 利用正方形的性质求角度】. 1．如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，交对角线于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，点E为上一点，连接，是由旋转得到的，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，正方形中，，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形中，，直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用正方形的性质求线段长度】 1．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是边长为的正方形，取边的中点，连接，将沿折得到，延长交边于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，，，，交于点，点为的中点，连接，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 4．如图，点E在正方形内，连接、，，于点F，若，，则的长为（   ）    A．1 B． C． D． 5．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长为（） A． B． C． D． 【题型3 利用正方形的性质求面积、周长】 1．如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 2．正方形的一条对角线长为8，则正方形的面积是（　　） A．16 B．64 C．32 D．4 3．如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则这个正方形的面积是（    ） A．34 B．36 C．40 D．44 4．如图，两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则两个正方形中的阴影部分甲和乙的面积差为（   ） A．28平方厘米 B．4平方厘米 C．17平方厘米 D．14平方厘米 5．正方形的一条对角线长为，则正方形的周长是（　　） A．4 B． C．8 D． 6．如图，正方形的边长为，以为斜边在正方形的外部作等腰直角三角形，连接、，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【题型4 求正方形在平面直角坐标系中的坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点的坐标为(0，2)，点的坐标为(4，0)，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，且坐标原点为的中点，点的坐标为．将正方形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中放置了一个面积为5的正方形，点B在y轴上，且坐标为，点C在x轴上，则点D的坐标为______． 4．如图，在平面直角坐标系中，点、、在坐标轴上，是的中点，四边形是矩形，四边形是正方形，若点的坐标为，则点的坐标为__________ 【题型5 正方形的判定证明】 1．如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 2．已知：如图，在中，，、的平分线相交于点，，，垂足分别为、．求证：四边形是正方形． 3．如下图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，，．求证：四边形ABCD是正方形． 4．如图，点在直线上，过的中点作的平行线，分别交的平分线和的平分线于点． (1)试判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)当与的位置关系为____时，四边形是正方形． 【题型6 正方形的性质与判定综合】 1．如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长． 2．如图，点是正方形边上一点（不与点，重合），连接，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形． (2)求的度数． 3．如图，点分别在正方形的边上，，点在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长度； 【题型7 求正方形形中最值问题】 1．如图，正方形中，E、F分别为边上的动点，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为8，点在上且，是上的一动点，则的最小值是（   ） A．8 B．10 C．15 D．18 3．如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为(   )                                         A．5 B． C． D． 4．如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（    ） A．3 B．6 C． D． 5．如图，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、、．当的最小值为时，则正方形的边长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【题型8 正方形中“十字架”模型】 1．如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由． 2．如图，是正方形对角线，的交点，平分，交于点，于点，分别交，于点，． (1)证明； (2)是等腰三角形吗？请说明理由； 3．图1，四边形是一个边长为2的正方形，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)如图2，当点运动到中点时， ①求的长； ②连接，求证：． 4．（1）如图1，在正方形中，、相交于点O，且，则和的数量关系为_____． （2）如图2，在正方形中，E、F、G分别是边、、上的点，，垂足为H．求证：． 5．如图①，在正方形中，P为线段上的一个动点，线段于点E，交线段于点M，交线段于点N． (1)求证：； (2)如图②，若线段垂直平分线段，分别交，于点E，F．求证：． 【题型9 正方形中“半角”模型】 1.已知四边形是正方形，M、N分别是边，上的动点，正方形的边长为． (1)如图①，O是正方形对角线的交点，若，求四边形的面积； (2)如图②，若，求的周长． 2．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，请补充完整． 原题：如图1，点分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理∵，∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．∵，∴，点共线． 易证______其判断理由是______，可得． (2)类比引申如图2，四边形中，，，点E、F分别在边上，．若、都不是直角，则当与满足什么等量关系____时，仍有，并说明理由． (3)联想拓展如图3，在中，，，点均在边上，且．则满足_____，若，则的最小值是_____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $