专题05 矩形重难点题型汇编（十二大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

专题05 矩形重难点题型汇编 （十二大题型） 【题型1 利用矩形的性质求角度】.......................................................................................1 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】................................................................................2 【题型3 利用矩形的性质求面积】.......................................................................................3 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】.....................................................................4 【题型5 矩形与折叠综合应用】...........................................................................................5 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】.............................................................................6 【题型7 添加条件对矩形的判定】......................................................................................7【题型8 矩形的判定-证明题】............................................................................................8【题型9 矩形的性质与判定综合】.........................................................................................9 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】..........................................................................11 【题型11 求矩形中最小值问题】..........................................................................................12 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】................................................................................13 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图所示，在矩形中，对角线与相交于点，且，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 5．如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 6．如图，矩形中，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为（　　） A． B． C．5 D． 8．如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，点在上，已知矩形的长为，宽为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 9．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 11．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 12．如图，在矩形中，，，为的中点，点，G分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为（　　） A．18 B．14 C．16 D．12 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 14．如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．    15．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是_______． 16．平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A(10，0)，点C(0，4)，点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当OP=OD时，点P的坐标为______． 【题型5 矩形与折叠综合应用】 17．矩形中，，，点E是上一点，翻折，得，点落在上，则的值是________． 18．如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为___________． 19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，将该矩形沿翻折，点A的对应点为E，交x轴于点F．已知，，则点E的坐标为________． 20．如图，在矩形中，，将矩形分别沿，折叠，点与点恰好重合于点．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为_______． 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 21．如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 22．如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，，，为边的中点，为边上一点．若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 24．如图，在中，，，于点，于点，为的中点，为的中点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【题型7 添加条件对矩形的判定】 25．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 26．下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 27．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 28．如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【题型8 矩形的判定-证明题】 29．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 30．如图，的对角线、相交于点O，． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论． 31．如图，在中，对角线、相交于点，，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点．求证：四边形是矩形． 32．如图，在中，对角线，E为的中点，分别延长和交于点F；连接、．求证：四边形是矩形． 【题型9 矩形的性质与判定综合】 33．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 34．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 35．如图，在四边形中，是对角线交点，，．是延长线上一点，连结，，若，． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求的长． 36．如图所示，在矩形中，E为的中点，N为对角线的中点．连接，M为的中点，连接． (1)求证：． (2)连接，若，求的面积． 37．如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 38．如图，在中，．将沿向右平移，使平移的距离等于线段的长，得到．连接，，，，其中与相交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求线段的长度． 39．如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 40．如图，，的顶点A在射线上，顶点B在射线上，已知，，连接．则的最大值是_______． 41．如图，在矩形中，，，点E是延长线上的动点，连接，交的延长线于点F，连接，则的最大值为_____． 42．如图，在四边形中，，，且，则的最大值为_______． 【题型11 求矩形中最小值问题】 43．如图，在中，，，，P为边上的一个动点，D为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 44．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 45．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 46．如图，是矩形的对角线上一点，于点于点，连接，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 47．如图，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 48．如图，在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中： ①当时，四边形为矩形； ②当时，四边形为平行四边形； ③当时，或； ④当时，或． 正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 50．如图，在长方形中，，．点E从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点F从点C出发，以每秒的速度沿线段方向向点D运动．已知动点E、F同时发，当点E运动到点C时，E、F停止运动，设运动时间为t． (1)当E运动到B点时，求出t的值； (2)在点E、点F的运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 51．如图，在四边形中， ，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设点，运动的时间为 (1)边的长度为___________，的取值范围为___________． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)从运动开始，当取何值时，？ 52．如图，在矩形中，，，动点从开始沿边以每秒的速度向运动；动点从点开始沿边以每秒的速度向运动，如果、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． 则： (1)当秒时，四边形的面积是______ (2)当为几秒时，四边形为矩形？ 53．如图，在梯形中，，，，，，动点从点出发沿方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点、分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设、的运动时间为．    (1)当为何值时，四边形为矩形； (2)当为何值时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 矩形重难点题型汇编 （十二大题型） 【题型1 利用矩形的性质求角度】.......................................................................................1 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】................................................................................4 【题型3 利用矩形的性质求面积】.......................................................................................7 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】......................................................................10 【题型5 矩形与折叠综合应用】...........................................................................................13 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】.............................................................................17 【题型7 添加条件对矩形的判定】......................................................................................20 【题型8 矩形的判定-证明题】............................................................................................23 【题型9 矩形的性质与判定综合】......................................................................................27 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】.........................................................................35 【题型11 求矩形中最小值问题】..........................................................................................37 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】................................................................................43 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图所示，在矩形中，对角线与相交于点，且，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形的性质求得，，，推出是等边三角形，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，对角线，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 2．如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，先由矩形得出，然后结合三角形的外角性质列式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ，， ， ， 故选：A． 3．如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，，证明是等边三角形，进而求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质，得到，等边对等角得到，三角形的内角和定理，求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 5．如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ． 6．如图，矩形中，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴的垂线，垂足为点，可得，，进而求得，结合，，即可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为点， ∵， ∴，． 根据勾股定理可得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 故选：D． 7．如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理． 由矩形的性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 故选：A． 8．如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，点在上，已知矩形的长为，宽为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，由全等图形的性质可证，即得到，，进而可得是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵矩形和矩形全等， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 9．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 10．如图，已知矩形在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是； 故选B． 11．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．首先求出，因为矩形的对角线、互相平分，则为中点，所以，因为点为的中点，所以，进而求解即可． 【详解】解：由条件可知， ∵矩形的对角线、互相平分， ∴为中点， ∴， 点为的中点， ． 故选：A． 12．如图，在矩形中，，，为的中点，点，G分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为（　　） A．18 B．14 C．16 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质及等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是能够利用等腰三角形的性质证得两三角形全等． 首先根据等腰直角三角形的性质证得，从而得到，，然后根据梯形面积公式求得结论即可． 【详解】解：为等腰直角三角形，，， ， 四边形是矩形，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，，为的中点， ，， ， ， 故选：C． 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 一、系统分组_加入顺序 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． 14．如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， ∴， 作于点E，如图， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是_______． 【答案】（，0） 【分析】利用勾股定理求出OB的长度，同圆的半径相等即可求解． 【详解】由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1， ∵OB＝＝＝， ∴OP＝， ∴点P的坐标为（，0）． 故答案为：（，0）． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方． 16．平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A(10，0)，点C(0，4)，点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当OP=OD时，点P的坐标为______． 【答案】（3，4） 【分析】根据点A（10，0），点C（0，4），点D是OA的中点，得OD=OP=OA=5，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由已知得OD=OP=OA=5，OC=4， 由勾股定理得CP==3， 则点P的坐标为（3，4）， 故答案为：（3，4）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，正确的识别图形是解题的关键． 【题型5 矩形与折叠综合应用】 17．矩形中，，，点E是上一点，翻折，得，点落在上，则的值是________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， 在中，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ． 18．如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为___________． 【答案】/ 【分析】根据题意，得，设，则，构造方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 设，则， ， ， 解得， 故． 19．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，将该矩形沿翻折，点A的对应点为E，交x轴于点F．已知，，则点E的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换，理解题意是解题的关键． 过点作，交于点，由翻折的性质和矩形的性质可得：，，，，通过平行线的性质结合相等的角度可得，根据勾股定理可求出线段的长度，再根据等面积法求出线段的长度，最后再根据勾股定理可求出线段的长度，由此即可得到点的坐标． 【详解】解：过点作，交于点， 由题意可知：，，，， ， ， ， 设，则， 在中， ， 解得：， 则， ， ， 解得：， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 20．如图，在矩形中，，将矩形分别沿，折叠，点与点恰好重合于点．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为_______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可知，，，，， ，从而得出， ，然后通过勾股定理和直角三角形性质即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠的性质可知，，，，，，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵四边形是矩形 ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴折叠后的图案（阴影部分）面积为． 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 21．如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得． 【详解】解：的垂直平分线经过点， ， ，是的中点， ． 22．如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，结合平分，可以推出，在中，先使用勾股定理计算出斜边的长，再用直角三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 23．如图，在中，，，为边的中点，为边上一点．若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明是含角的直角三角形，得出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴． 24．如图，在中，，，于点，于点，为的中点，为的中点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一，连接，，根据直角三角形的性质可得，，又为的中点，则，，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， ∵，， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【题型7 添加条件对矩形的判定】 25．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟记矩形的判定定理，并会灵活运用． 根据矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：选项A：对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A错误，不符合题意； 选项B：两组对边分别相等得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误，不符合题意； 选项C：对角线是否互相垂直不能判定四边形为矩形，故C错误，不符合题意； 选项D：根据四边形内角和定理，三个角是直角，则另一个角也是直角，即四个角均为直角，可判定四边形为矩形，故D正确，符合题意； 故选D． 26．下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 根据矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），该选项说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项说法错误，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 27．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据题意，四边形是平行四边形，利用矩形的判定定理，即可求解． 【详解】四边形是平行四边形，， 四边形ABCD是菱形，故A不符合题意； 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形ABCD是菱形，故B不符合题意； 四边形是平行四边形，， 四边形ABCD是矩形，故C符合题意； 四边形是平行四边形， ，故D不符合题意； 故选：C． 28．如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可． 【详解】解：添加条件为：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 【题型8 矩形的判定-证明题】 29．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，则四边形是平行四边形，再由，可推四边形是矩形； （2）由，，，根据勾股定理可求得，则，再利用角平分线证明，根据等角对等边求出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 于点，点在上， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长为5． 30．如图，的对角线、相交于点O，． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，证明见解析 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理即可证明； （2）利用对角线相等的平行四边形是矩形判定即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 即：， 在和中， ； （2）矩形，理由如下： 证明：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 31．如图，在中，对角线、相交于点，，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质和三角形中位线定理，推出，即可证明结论． 【详解】证明：， ，， ， ，即， 点是的中点，， 是的中位线， ， ， ， ， 四边形是矩形． 32．如图，在中，对角线，E为的中点，分别延长和交于点F；连接、．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】要证明四边形是矩形，需先证明其为平行四边形，再证明有一个内角为直角．利用平行四边形的对边平行且相等性质，结合三角形全等得到对边相等且平行以证平行四边形；再依据及平行线的性质得到直角，从而完成矩形的证明． 【详解】证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴，（平行四边形对边平行且相等）． 又∵ 点在的延长线上， ∴， ∴，（两直线平行，内错角相等）． ∵ E为的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴ 四边形是平行四边形． ∵， ∴． 又∵（平行四边形性质）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵ 四边形是平行四边形，且， ∴ 四边形是矩形． 【题型9 矩形的性质与判定综合】 33．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 34．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 35．如图，在四边形中，是对角线交点，，．是延长线上一点，连结，，若，． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一得到，即可证得，从而根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，先判定为平行四边形，再由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可证得结论； （2）作于点，根据矩形的性质可知，，可得为的中位线，从而得到和，即可根据勾股定理求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为矩形． （2）解：作于点， 矩形， ， ， ， ， ． 36．如图所示，在矩形中，E为的中点，N为对角线的中点．连接，M为的中点，连接． (1)求证：． (2)连接，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是正确构造三角形中位线进行求解． （1）连接，延长交于点H，可得是的中位线，是的中位线，再证明四边形为矩形，则，而，即可证明； （2）先由求出，然后证明出，即可求解，再证明，即可运用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：连接，延长交于点H， ∵四边形是矩形 ∴ 又 ∵点M、E、N分别为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴ 故； （2）解：由（1）得四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴的面积． 37．如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的定义即可判定四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， 、分别为、中点， 是的中位线， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 38．如图，在中，．将沿向右平移，使平移的距离等于线段的长，得到．连接，，，，其中与相交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求线段的长度． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）明：将沿向右平移，使平移的距离等于线段的长，得到． ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形； （2）解：四边形为矩形，，，， ，， ， ， ， ， ， 由平移可知． 39．如图，在中，点是边的中点，过点作直线，的平分线和外角的平分线分别交于点，． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质与判定、矩形的判定；熟练掌握平行线的性质和矩形判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由已知得到两对内错角相等，再由、分别平分和，根据等量代换可推出，，分别根据“等角对等边”得出的，点是的中点时，则由，根据对角线互相平分且相等的四边形为矩形得证； （2）由已知和（1）得到的结论，可得，根据勾股定理求出边即可． 【详解】（1）证明：， ，， 又平分，平分， ，， ，， ，， ， 点是的中点， ， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ 四边形是矩形； （2）由（1）知，四边形是矩形， ∴， 又∵为的平分线 四边形的面积=． 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 40．如图，，的顶点A在射线上，顶点B在射线上，已知，，连接．则的最大值是_______． 【答案】7 【分析】过点C作于点D，连接，则，在中，有，当O，D，C三点共线时，的值最大． 【详解】解：如图，过点C作于点D，连接， ， ， ∴，点是的中点， ∵， ∴， ∵在中，， 当O，D，C三点共线时，值最大， ∴的最大值为． 41．如图，在矩形中，，，点E是延长线上的动点，连接，交的延长线于点F，连接，则的最大值为_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的三边关系以及勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．设的中点为，连接，，先求出，，再根据三角形的三边关系求出的最大值． 【详解】解：设的中点为，连接，． ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵，的中点为， ∴， 在中，． ∴， ∴当，，三点共线时，取得最大值． 故答案为：． 42．如图，在四边形中，，，且，则的最大值为_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形三边关系，取的中点O，连接，根据斜边中线的性质结合三角形性质得出当且仅当A、O、C三点共线时，取最大值求得答案即可； 【详解】解：∵，，， ∴， ， 解得：， 取的中点O，连接， 在中，， 在中，， 当且仅当A、O、C三点共线时，取最大值， 此时，， 故答案为：． 【题型11 求矩形中最小值问题】 43．如图，在中，，，，P为边上的一个动点，D为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形三边关系等知识，根据，得，则，取的中点E，连接，，利用勾股定理求出的长，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点E，连接，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故选：D． 44．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 45．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：，，， ， 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ， 即线段的最小值为， 故选：A． 46．如图，是矩形的对角线上一点，于点于点，连接，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解决直角三角形，连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当A，P，C三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， 当A，P，C三点共线时，的值最小，且为的长度， ∵四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 47．如图，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段最短的计算，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键． 如图所示，过点G作于点H，作，交于点M，交于点N，可证，得到，当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，再得到四边形，四边形都是矩形，则，，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点G作于点H，作，交于点M，交于点N， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，如图所示， 当点重合时，线段的值最小， 根据作图，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故选：B． 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 48．如图，在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中： ①当时，四边形为矩形； ②当时，四边形为平行四边形； ③当时，或； ④当时，或． 正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】用含t的式子表示出，的长度，当四边形为矩形时，根据列方程；当四边形为平行四边形时，根据列方程；当时分两种情况：一是四边形为平行四边形，二是四边形为等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， 当四边形为矩形时，， 即， 解得，故①错误； 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得，故②错误； 当时分两种情况： 当四边形为平行四边形时，； 当四边形为等腰梯形时，过点M作于点G，过点C作于点H，如图所示， 则， ，， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有1个． 49．已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 【答案】(1)从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形 (2)从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用平行四边形的性质． （1）设经过，，根据平行四边形的性质进行解答即可得； （2）当时，四边形是矩形．建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动秒，由已知得，， ， ，当时，四边形是平行四边形． ，解得， 答：从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形． （2）解： ，，当时，四边形是矩形． ， 解得． 即从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形． 50．如图，在长方形中，，．点E从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点F从点C出发，以每秒的速度沿线段方向向点D运动．已知动点E、F同时发，当点E运动到点C时，E、F停止运动，设运动时间为t． (1)当E运动到B点时，求出t的值； (2)在点E、点F的运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值是秒 (2)存在，t的值是秒 【分析】（1）根据题意得出方程，求出方程的解即可； （2）画出符合条件的两种情况，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 即当E运动到B点时，t的值是秒； （2）解：当时，如图1，过E作于，则， 由勾股定理得：， 解得：； 当时，如图2， 由勾股定理得：， 此方程无解； 即在点E、点F的运动过程中，存在某一时刻，使得，此时t的值是秒． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，能得出关于t的方程是解此题的关键，注意：矩形的对边相等，矩形的每一个角都是直角． 51．如图，在四边形中， ，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设点，运动的时间为 (1)边的长度为___________，的取值范围为___________． (2)从运动开始，当取何值时，四边形为矩形？ (3)从运动开始，当取何值时，？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）作辅助线，构建矩形，利用勾股定理可得的长，根据两动点，运动路程和速度可得的取值范围； （2）根据矩形的性质可得，列方程即可求解； （3）根据列方程可得时；由；根据，可得，可得出结论； 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 点从点出发，以的速度向点运动，， 点运动到的时间为：， 同理得：点运动到点的时间为：， ； 故答案为：，； （2）解：如图所示当是矩形时 ， ， 解得：； （3）解：如图，过点作于，过点作于， 当时， ， ， ， 四边形矩形， ， ，即， ， 如图，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ， 即当时，，此时； 综上所述，当或时，； 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形、矩形、勾股定理，直角三角形的性质等知识，利用分类讨论和数形结合是解题的关键 52．如图，在矩形中，，，动点从开始沿边以每秒的速度向运动；动点从点开始沿边以每秒的速度向运动，如果、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． 则： (1)当秒时，四边形的面积是______ (2)当为几秒时，四边形为矩形？ 【答案】(1)46 (2)当t为4时，四边形APQD是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的性质及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）先分别计算出的长，再计算四边形的面积； （2）根据矩形的对边相等得到，再列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当秒时，， ， 四边形的面积是， 故答案为：46； （2）解：由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． 当四边形是矩形时，则有， ∴ 解得． ∴当t为4时，四边形是矩形． 53．如图，在梯形中，，，，，，动点从点出发沿方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点、分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．设、的运动时间为．    (1)当为何值时，四边形为矩形； (2)当为何值时，． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据矩形的性质可得，列出方程，解方程即可求解； （2）分两种情况讨论即可求解．①当为平行四边形时，．②当为等腰梯形时，． 【详解】（1）解：依题意：， ∵四边形为矩形 ∴，即： ∴ ∴当时，四边形为矩形． （2）①当为平行四边形时，． ∵， ∴，即： ∴． ②当为等腰梯形时，． 如图：过点作于点，过点作于点． 则 ∵，， ∴， 在等腰梯形中 ， ， 故 解得 综合①、②得：当或时，．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $