精品解析：湖北鄂州市人教版2025-2026学年八年级数学下学期期中考试模拟拔尖卷

湖北省鄂州市人教版2025-2026学年八年级数学下学期期中考试模拟拔尖卷 （测试范围：第十九章到第二十一章） 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可. 【详解】解： 故A，C，D不符合题意； 是最简二次根式，故B符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是最简二次根式的含义，掌握“最简二次根式的定义判断最简二次根式”是解本题的关键. 2. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( ) A. 1，2，3 B. 1，1，2 C. 5，12，15 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】A、C、D根据勾股定理的逆定理，求出两个数字小的边的平方和，再求出大边的平方，看是否相等来求解，B根据三角形三边关系来求解． 【详解】解：A．因为 ，所以三角形不是直角三角形，故选项不符合题意； B．，不能组成三角形，故选项不符合题意； C．因为 ，所以三角形不是直角三角形，故选项不符合题意； D．因为，所以三角形是直角三角形，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了对勾股定理的逆定理的运用，勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边分别是a、b、c（c最大）满足，则三角形是直角三角形． 3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别相等 B. 两组对边分别平行 C. 两条对角线相等 D. 两条对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案． 【详解】解：矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分， 所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形和菱形的性质，解题的关键是掌握矩形的对角线相等且平分、菱形的对角线垂直且平分． 4. 如图，在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　） A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12， 则CDAB12＝6， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是直角三角形斜边中线的性质，掌握其性质是解题的关键． 5. 如图，数轴上的点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用勾股定理求出斜边长，再加上即可． 【详解】解：点A所表示的数是． 6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 7. 如图，在四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可以得到EF是△ABC的中位线，则BC＝2EF即可求解． 【详解】解：∵点E，F分别是AB，AO的中点， 则BC＝2EF＝8，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 8. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理即可得出答案． 【详解】解：， 四边形是平行四边形 只有C选项符合题意，其他的不成立． 故选：C． 9. 如图所示，在正方形中，点、分别在上，且，连接相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质逐一判断即可. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，A选项正确； ∵， ∴， ∴，B选项正确； ∵ ∴即：， ∴，C选项正确； ∵，， ∴D选项不正确． 10. 如图，已知正方形的边长为2，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为4；③一定是等腰三角形；④；⑤EF的最小值为．其中正确结论的序号为（　　） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中，，求得；②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为4； ③根据P的任意性可以判断不一定是等腰三角形；④由②可知，四边形为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明；⑤当最小时，最小，的最小值等于． 【详解】解：①如图，∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴．故①正确； ②∵， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长，故②正确； ③∵点P是正方形的对角线上任意一点，， ∴当或或时，是等腰三角形， 除此之外，不是等腰三角形，故③错误； ④连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵正方形为轴对称图形， ∴， ∴，故④正确； ⑤由， ∴当最小时，最小， 则当时，即时，的最小值等于，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，在解答时要认真审题． 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11. 函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：x≥0，x-4≠0， 解得：x≥0且x≠4， 故答案为：x≥0且x≠4． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 12. 如图，点M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若MN=2，则BC=________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理解答． 【详解】解：∵M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点， ∴BC＝2MN＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 13. 如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F处，如果∠AEF ＝75°，那么∠BAF ＝_______°． 【答案】60 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得∠AFE=∠D=90°，∠EAF=∠DAE，再由∠AEF ＝75°，可得∠EAF=15°，从而得到∠DAF =30°，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠AFE=∠D=90°，∠EAF=∠DAE，∠BAD=90°， ∵∠AEF ＝75°， ∴∠EAF=90°-∠AEF=15°， ∴∠DAE=15°， ∴∠DAF=∠DAE+∠EAF=30°， ∴∠BAF=∠BAD-∠DAF=60°． 故答案为：60 【点睛】本题主要考查了折叠问题，直角三角形两锐角互余，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 14. 已知菱形的两条对角线，，则菱形的面积为__________． 【答案】30 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线，， ∴． 故答案为：30． 【点睛】本题考查菱形的性质，记住菱形的面积公式是解题的关键． 15. 如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】在AOB中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出AP的长，得到P表示的实数． 【详解】解：如图，在Rt△AOB中，OA=1，OB=3， 根据勾股定理得：AB==， ∴AP=AB=， ∴OP=AP-OA=-1， 则P表示的实数为1-． 故答案为：1-． 【点睛】此题考查了勾股定理，以及实数与数轴，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 16. 如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．在运动过程中： （1）斜边中线的长度是否发生变化 ___________（填“是”或“否”）； （2）点D到点O的最大距离是 ___________． 【答案】 ①. 否 ②. ## 【解析】 【详解】（1）直接运用直角三角形斜边中线定理即可证明； （2）当D、Q、O三点共线时，此时，取得最大值，则有，由勾股定理求出即可得长度． 【解答】解：（1）如图，设斜边中点为Q，在运动过程中，斜边中线． 长度不变，故不变， 故答案为：否； （2）设斜边中点为Q，在矩形的运动过程当中，有， 当D、Q、O三点共线时，则有，此时，取得最大值，如图所示， 为中点， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了斜边中线定理，三角形三边关系，勾股定理，矩形的性质，找出最大时D、Q、O三点的位置是解题关键． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的运算，负整数指数幂，零指数幂，绝对值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的乘法进行运算，然后把各二次根式化简为最简二次根式后合并即可； （2）先把二次根式化为最简二次根式，化简负整数指数幂，绝对值，零指数幂，再合并同类项即可； 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：， 18. 有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】先由勾股定理求解，然后利用折叠的性质得到，再由面积法得到，据此求解即可． 【详解】解：∵有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， 解得． 【点睛】对于本题，重点把握折叠的不变性，勾股定理的应用，以及面积思想的应用，也可以通过设，再对运用勾股定理建立方程求解． 19. 如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处． （1）求线段的长； （2）连接，求证： 【答案】（1） （2） 证明：如图，由折叠可得． 【解析】 【分析】对于本题，重点掌握折叠的不变性，即对应边相等，以及正确利用方程的思想解决问题． （1）根据折叠得到，，再设，然后对运用勾股定理建立方程求解； （2）直接根据折叠得到对应边相等即可证明． 【小问1详解】 解：由题意得，， 设，则， 四边形是正方形， ， ， 落在边的中点处， ， ， 解得：， ； 【小问2详解】 略 20. 如图，矩形中，延长到，使，延长到，使，连接，，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）解：四边形是菱形． 理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，即， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，再由矩形的性质得到，从而由菱形的判定得证； （2）由菱形性质、含的直角三角形性质即勾股定理得到相关线段长度，最后由菱形面积公式代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，，， ， ． ， ． ． ，． 菱形的面积为：． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定、矩形的性质、菱形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理及菱形面积公式等知识，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 21. 先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于，即，， ∴． 仿照上例，回答问题： （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子． （1）根据范例，利用完全平方公式求解即可； （2）根据范例，把每个二次根式里面的式子化为完全平方的形式，再开方并计算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F． （1）求证：△ABE≌△CBE； （2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CB，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABE＝∠CBE＝∠ADB＝×90°＝45°， 在△ABE和△CBE中， , ∴△ABE≌△CBE（SAS）； （2）65° 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBE； （2）由全等三角形的性质可求∠CEB=70°，由三角形的外角的性质可求解． 【详解】（1）略 （2）∵△ABE≌△CBE， ∴∠AEB=∠CEB， 又∵∠AEC=140°， ∴∠CEB=70°， ∵∠DEC+∠CEB=180°， ∴∠DEC=180°-∠CEB=110°， ∵∠DFE+∠ADB=∠DEC， ∴∠DFE=∠DEC-∠ADB=110°-45°=65°． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是本题的关键． 23. 如图，在正方形的外侧，以为边作等边，线段与线段相交于点F． （1）求，的度数； （2）求证：； （3）求的值． 【答案】（1）， （2） 连接， 同法（1）可得：， ∵正方形，等边， ∴ ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，等边三角形的性质，得到为等腰三角形，利用等边对等角求出的度数，利用外角的性质求出的度数； （2）连接，求出，即可得证； （3）连接，交于点，易得，进而得到，根据，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵正方形，等边， ∴，， ∴， ∴； ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，交于点， 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，是解题的关键． 24. 在中，，对角线、交于点，过点作的垂线交于点， （1）如图1，连接，若，求的度数； （2）如图2，点在线段的延长线上，连接、，若，求证：； （3）如图3，点在线段上，连接，，的角平分线交线段于点，若，，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 证明 ：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵，点在线段的延长线上，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，将绕点逆时针旋转得，则在线段上，连接， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据角度的比值得到，根据平行四边形的性质，垂直的定义得到是的垂直平分线，可得，，结合三角形的外角的性质即可求解； （2）根据平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质得到，，如图所示，将绕点逆时针旋转得，则在线段上，连接，可证是等边三角形，，，，是等边三角形，，结合图形，由线段的和差计算，等量代换即可求解； （3）过点分别作的垂线，垂足为，连接，过点作的垂线，垂足为，连接，证明，则，得到平分，而平分，，那么，然后求出，设，再由面积法得到，据此求出，再由性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形，是对角线，交于点， ∴，即点是中点， 又， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点分别作的垂线，垂足为，连接，过点作的垂线，垂足为，连接， 由（1）知是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质以及判定，线段的垂直平分线的性质，角直角三角形的性质，二次根式的化简等知识点，难度大． 25. 如图，在边长为的正方形中， （1）如图1，，垂足为点，求证：； （2）如图2，垂直平分，且，求的长； （3）如图3，，点、和分别为、和的中点，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据垂直平分线的性质得出，，，设，可得，，可求出，设，则，利用勾股定理得出，解方程求出值即可； （3）如图，过点作于点，连接，并延长交于点，连接，可证明四边形是矩形，得出，，即可证明，根据可得出，，，，证明，得出，，利用勾股定理求出，利用中位线的性质即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵垂直平分，且， ∴，，， 设， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∴ 解得：，即． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，连接，并延长交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合，涉及全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的性质及矩形的判定与性质，合理作出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省鄂州市人教版2025-2026学年八年级数学下学期期中考试模拟拔尖卷 （测试范围：第十九章到第二十一章） 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是( ) A. 1，2，3 B. 1，1，2 C. 5，12，15 D. 6，8，10 3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别相等 B. 两组对边分别平行 C. 两条对角线相等 D. 两条对角线互相垂直 4. 如图，在中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（　　） A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 5. 如图，数轴上的点A所表示的数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 7. 如图，在四边形中，点、分别是、的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在正方形中，点、分别在上，且，连接相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形的边长为2，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为4；③一定是等腰三角形；④；⑤EF的最小值为．其中正确结论的序号为（　　） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11. 函数中，自变量的取值范围是________． 12. 如图，点M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若MN=2，则BC=________． 13. 如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F处，如果∠AEF ＝75°，那么∠BAF ＝_______°． 14. 已知菱形的两条对角线，，则菱形的面积为__________． 15. 如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是__________． 16. 如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．在运动过程中： （1）斜边中线的长度是否发生变化 ___________（填“是”或“否”）； （2）点D到点O的最大距离是 ___________． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 19. 如图，将边长为4的正方形沿着折痕折叠，使点B落在边中点G处． （1）求线段的长； （2）连接，求证： 20. 如图，矩形中，延长到，使，延长到，使，连接，，，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 21. 先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于，即，， ∴． 仿照上例，回答问题： （1）计算：； （2）计算：． 22. 如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F． （1）求证：△ABE≌△CBE； （2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数． 23. 如图，在正方形的外侧，以为边作等边，线段与线段相交于点F． （1）求，的度数； （2）求证：； （3）求的值． 24. 在中，，对角线、交于点，过点作的垂线交于点， （1）如图1，连接，若，求的度数； （2）如图2，点在线段的延长线上，连接、，若，求证：； （3）如图3，点在线段上，连接，，的角平分线交线段于点，若，，求线段的长度． 25. 如图，在边长为的正方形中， （1）如图1，，垂足为点，求证：； （2）如图2，垂直平分，且，求的长； （3）如图3，，点、和分别为、和的中点，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $