精品解析：广东清远市2026届普通高中毕业班供题综合测试(二) 数学试题

2026届普通高中毕业班供题综合测试（二） 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以 2. 已知复数满足（是虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， 则的共轭复数是，故选项C正确. 3. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（ ） 3 4 6 7 20 40 80 A. 50 B. 60 C. 70 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】求出样本中心，代入回归方程求解即可. 【详解】因为， 又因为所有回归方程都过样本中心， 所以将点代入回归方程， 得， 解得. 4. 已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对两边平方，得出与的关系，再根据向量投影向量的计算公式求解在方向上的投影向量. 【详解】由题意，已知，两边同时平方可得， 化简得，即， 根据向量投影向量的计算公式， 可得在方向上的投影向量为. 5. 生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知在环境温度为时， 的体重为、脉搏率为210次， 故， 的脉搏率是105次，设其体重为t kg，则， 则，即，解得（kg）. 6. 已知函数的图象与轴的交点为，若将的图象上的所有点先向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数与的交点求出，从而得到的表达式，根据三角函数的图像变换规则求出，根据求出. 【详解】的图象与轴的交点为， ，， ，，， 将的图象上的所有点先向右平移个单位长度， 得到， 再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象， 则， ，，，故选项A正确. 7. 已知实数，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解. 【详解】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 8. 已知定义域为的函数满足，且对于任意的，当时，都有．设，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断的奇偶性和单调性，设，判断其奇偶性和单调性，再结合复合函数的性质，判断的奇偶性和单调性，利用其奇偶性将不等式变形，再利用单调性转化为关于的一元二次不等式，进而求解的取值范围. 【详解】由题意知定义域为的函数满足，故为奇函数， 对于任意的，当时，都有， 故在上单调递增； 设，由于，故的定义域为， 又， 故为奇函数； 的定义域为， ，即为奇函数； 当时，单调递增，则也单调递增， 故在上单调递增，结合为奇函数，可知在上单调递增， 且，故在上单调递增， 又，故， 所以，解得，即实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意可得直线的斜率， 设直线方程为， 因为直线与圆相切，所以， 所以直线的方程为或. 10. 已知函数满足对且，若数列满足，则（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，令，可得，正确； 对于B，令，则， 由和可得，正确； 对于C，因为，令， 则，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故错误； 对于D，所以. 11. 已知函数，设，则下列说法正确的是（ ） A. 用表示不大于的最大整数，若，则恒成立 B. 若关于的方程与的实数根相同，则 C. 若存在两个零点，则 D. 若方程在上无解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，恒成立，所以单调递减， 又， 所以有唯一的实数根， 因为方程与的实数根相同 所以， 所以， 令，则， 所以当时恒成立，所以单调递减， 所以，而，所以， 即，故B错误； 对于C，，即有两个解， 所以函数的图象与函数的图象有两个交点，如图 由图可知，不妨取， ，所以，所以，C正确； 对于D，即， 当时，单调递增，值域为， 当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 又当时，，当时，， 所以当时，的值域为， 所以在上的值域为， 所以方程在上无解，则的取值范围是，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列中，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出数列是等差数列，求出其首项和公差，再利用公式求和即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以数列是等差数列，首项为6，公差为3， 所以 13. 在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别计算正三棱台上下底面的面积，再根据侧棱与底面所成角为求出棱台的高，最后代入棱台体积公式计算最终结果. 【详解】∵ 正三棱台上底面边长，下底面边长， ∴ 上底面面积，下底面面积. 设上下底面的中心分别为，，则为正三棱台的高， 侧棱与底面所成角为. ∵ 正三角形外接圆半径， ∴下底面外接圆半径，上底面外接圆半径. 过作于点，则， 可得四边形为矩形，故. ∵ 在中，， ∴ . 代入棱台体积公式， 得， ∴ . 14. 某科技公司有研发，芯片制造，软件编程三类项目，每个项目各有8个任务名额，现要将这些名额全部分配给两个团队，每个团队每类项目至少分得一个任务名额．若团队所得到的三类任务名额的个数的乘积与团队所得到的三类任务名额的个数的乘积相等，则这样的分配方法有_____种． 【答案】19 【解析】 【分析】法1：干已知名额分配、乘积相等的条件列出等量关系，通过枚举，去掉重复的分类解决此题分配方法的总数问题.法2：首先分析出,,中有两个数大于一个数小于4或者两个数小于4一个数大于4，再利用对称性分类讨论即可. 【详解】法1：团队分配到的名额分别为，，，团队分配到的名额为，，， 其中，，，，，均为正整数， 则，，. 因为团队所得到的三类任务名额的个数的乘积与团队所得到的三类任务名额的个数的乘积相等， 所以，即， 化简得， 所以， 因此该等式右边为的倍数，则等式左边是的倍数. 若，，均不为4，则它们只能从，，， ， ，这几个数中取值， 要使为的倍数，则乘积中必须含有，而以上几个数中只有和 中含有因数2， 因此必须至少同时取到两个偶数（或 ）. 若取两个和一个，则，解得，非整数，不合题意； 若取两个 和一个，则，解得，非整数，不合题意； 若取一个、一个 和一个，则，解得，与均不为矛盾，不合题意. 因此，，，中必有一个4存在. 若，则，所以，则， 化简得，又，，且，为正整数， 所以满足的，共有组，即，，，，，，； 同理，当和当时，也各有组， 以上类分法中均有，，被重复计算次， 所以满足的分法共有种. 法2：设团队三类任务名额数分别为,,， 则团队三类任务名额数分别为，其中． 由题知，， 若,,均不为4，则,,中有两个数大于一个数小于4或者两个数小于4一个数大于4， 由对称性，不妨考查,均小于,大于4，则，， 则， 所以，当时，则， 因为，等式不成立； 当时，则，因为， 此时，则，又，不合题意； 当时，则， 因为，此时， 若时，则，此时， 若，此时， 若，则，此时，均不合题意； 所以,,中至少有一个为4，不妨设，则， 由，可得，则， 当时，只有1种情况， 当为1,4,7或2,4,6或3,4,5的一个排列时，各有6种情况． 综上，符合条件的分配方法种数为19种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在 中，角的对边分别为，若． （1）求角； （2）若 为 边上的高，，且 的外接圆的面积为，求 的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合诱导公式、两角和的正弦公式变形后可求得； （2）由正弦定理求得，由得，化简得，然后由余弦定理求得，再由面积公式得三角形面积. 【小问1详解】 因为 中，，所以由正弦定理得， 所以， 所以， 中，，所以，所以，从而； 【小问2详解】 设 的外接圆半径为，则，， 由正弦定理得，所以, 因为， 为 边上的高， 所以， 即， 化简得， 由余弦定理得， 所以，， 所以. 16. 如图，在六面体中， 为 的中点，四边形为矩形，且，． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：由四边形为矩形，得，又，平面， 则平面，而平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）由余弦定理求出 ，并利用勾股定理逆定理证得，再建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在 中，， 由余弦定理得， 则，于是，由（1）得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得，又D为 的中点， 则， 于是，设平面的法向量为， 则，取，得，， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的余弦值. 17. 一个袋子中有3个红球，个绿球，已知从中一次摸出的2个球都是红球的概率为． （1）求的值； （2）从袋中依次随机摸出2个球作为样本（一次只摸出一个球），设采用有放回和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为． （i）求的分布列与数学期望； （ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． 【答案】（1）3 （2）（i）分布列： 0 1 2 ； （ii）有放回摸球对应概率为，不放回摸球对应概率为，不放回摸球的概率更大，说明相同样本量下，不放回抽样的估计精度更高，更适合用于总体参数估计. 【解析】 【分析】（1）结合古典概型概率公式与组合数运算构造关于的方程，求解得到的值. （2）（i）判断有放回摸球时服从二项分布，计算各取值对应概率得到分布列，代入二项分布期望公式求期望. （ii）将误差条件转化为绿球个数的取值范围，分别计算有放回、不放回摸球时对应概率，比较大小并说明实际意义. 【小问1详解】 ∵ 袋子中共有个球，一次摸出2个球的总情况数为，摸出2个红球的情况数为. 由古典概型概率公式得. 代入，，得，整理得. 即，解得或. 又，故. 【小问2详解】 （i） 由（1）得袋子中共有6个球，其中绿球3个，故每次有放回摸球时，摸到绿球的概率为. 的可能取值为0,1,2，且. ∵ ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 数学期望. （ii） 总体中绿球的比例为，样本中绿球比例为（为摸出的绿球个数），误差的绝对值不超过0.2等价于. 解不等式得，又为整数，故. ① 有放回摸球时，所求概率为. ② 不放回摸球时，服从超几何分布，，故所求概率为. ∵ ，故不放回摸球时误差绝对值不超过0.2的概率更大. 实际意义：相同样本量下，不放回抽样对总体比例的估计精度更高，更适合用于抽样调查中估计总体参数. 【点睛】方法归纳：求解抽样相关的概率问题时，先准确判断抽样类型对应分布：有放回抽样对应二项分布，不放回抽样对应超几何分布，再结合题设条件转化为随机变量的取值问题，代入对应概率公式计算即可. 易错归纳：转化误差条件时注意样本比例与随机变量的对应关系，避免取值范围求解错误导致概率计算偏差. 18. 设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2．过点作轴的垂线与交于两点，． （1）求的方程； （2）若直线与的右支交于不同的两点，求的取值范围； （3）过作一条不垂直于轴的射线与的左支在第二象限交于点，过作与平行的一条射线与在第一象限交于点 ，证明：成等差数列． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由条件结合双曲线定义列关于的方程，解方程，可得到双曲线方程； （2）将直线方程与双曲线方程联立，消去得到关于的一元二次方程，所以需满足二次项系数不为0，且判别式，因为交点在右支，所以利用韦达定理得到两根之和大于0、两根之积大于0，联立不等式求解的取值范围； （3）设，点关于原点的对称点记为，此时，，由，可得 ，， 三点共线，且可设直线的方程为， 将直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得的关系式，设直线的倾斜角为，从而可得，的表达式，利用等差数列的性质可证明. 【小问1详解】 由题可得. 由双曲线定义知，则. 因为，所以， 又，所以， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 联立，所以， 由题知：， 所以，解得或， 即. 【小问3详解】 设，点关于原点的对称点记为， 此时，， 因为，，所以， 因为，所以，即， 所以 ，， 三点共线，且， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时且，，， 因为，所以， 且， 则，所以， 设直线的倾斜角为，此时，， 所以， 同理可得， 所以， 所以，，成等差数列. 19. 已知函数． （1）若，求在点处的切线方程； （2）若． （i）证明：存在唯一的极值点且为极小值点； （ii）当恒成立时，证明：． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到，进而计算，可得到切线斜率，再利用点斜式写出切线方程； （2）(i)代入得到的表达式；对求导得到，分类讨论分析的单调性和零点情况；进而判断g(x)的极值点情况；(ii)结合（2）(i)的结论，利用的极小值建立关于的不等式；先通过不等式求出的范围，再构造函数，利用函数单调性证明不等式. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以，， 所以在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 （i）， 当时，，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以为函数的唯一极值点且为极小值点； 当时：， 当时，，，所以， 所以在上单调递增，无极值点. 当时，， 设，恒成立，所以在上单调递增， 令得，所以， 所以，所以， 设，易知在上单调递增， ， 令，设，， 当时，，单调递减，所以，所以， 而，根据函数零点存在定理可知，存在唯一的， 使得，所以， 当时，，所以，当时，，所以， 故是函数唯一的极值点且为极小值点， 综上所述，存在唯一的极值点且为极小值点； （ii）设的极小值点为，由（i）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 又，所以，所以， 若恒成立，则， 令，则，要证， 即证， 设，，，在上单调递减， 所以， 令，则， 令，因为， 仅当时，“”成立，所以单调递增， 所以当时，，单调递增，，所以， 所以， 所以，所以在上单调递增，所以， 所以，所以成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届普通高中毕业班供题综合测试（二） 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（是虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知线性相关的两个变量的取值如表所示，如果其线性回归方程为，则（ ） 3 4 6 7 20 40 80 A. 50 B. 60 C. 70 D. 75 4. 已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次， 的脉搏率是105次，则 的体重为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象与轴的交点为，若将的图象上的所有点先向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知实数，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 8. 已知定义域为的函数满足，且对于任意的，当时，都有．设，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数满足对且，若数列满足，则（ ） A. B. C. 数列是等比数列 D. 11. 已知函数，设，则下列说法正确的是（ ） A. 用表示不大于的最大整数，若，则恒成立 B. 若关于的方程与的实数根相同，则 C. 若存在两个零点，则 D. 若方程在上无解，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列中，，则___________． 13. 在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 14. 某科技公司有研发，芯片制造，软件编程三类项目，每个项目各有8个任务名额，现要将这些名额全部分配给两个团队，每个团队每类项目至少分得一个任务名额．若团队所得到的三类任务名额的个数的乘积与 团队所得到的三类任务名额的个数的乘积相等，则这样的分配方法有_____种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，若． （1）求角； （2）若为边上的高，，且的外接圆的面积为，求的面积． 16. 如图，在六面体中，为的中点，四边形为矩形，且，． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值． 17. 一个袋子中有3个红球，个绿球，已知从中一次摸出的2个球都是红球的概率为． （1）求的值； （2）从袋中依次随机摸出2个球作为样本（一次只摸出一个球），设采用有放回和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为． （i）求的分布列与数学期望； （ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． 18. 设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2．过点作轴的垂线与交于两点，． （1）求的方程； （2）若直线与的右支交于不同的两点，求的取值范围； （3）过作一条不垂直于轴的射线与的左支在第二象限交于点，过作与平行的一条射线与在第一象限交于点，证明：成等差数列． 19. 已知函数． （1）若，求在点处的切线方程； （2）若． （i）证明：存在唯一的极值点且为极小值点； （ii）当恒成立时，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $