精品解析：广东省清远市2025届高三教学质量检测（二）数学试题

高三数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解不等式得集合，再根据补集定义求解. 【详解】∵， ， ∴. 故选：C． 2. 设为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用除法法则得到，利用模长公式得到答案 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B． 3. 已知，，且，则 （ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线的坐标运算列式求解 值. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故选：B. 4. 已知随机变量服从正态分布，下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 随机变量落在与落在的概率相等 【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的对称性可得A错误，D正确；由方差的性质可得B错误；由正态分布期望的表示可得C错误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，由正态分布密度曲线可知，故C错误； 对于D，由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与落在的概率相等，故D正确． 故选：D． 5. 已知等差数列的前 项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. 11 B. 13 C. 19 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质由等差数列的求和公式和等差中项可得，再由等比中项可得，两式联立可得和，然后求出数列的通项可得. 【详解】，即， 又因为，，成等比数列，则， 即，整理可得， 再与联立可得 ，， 所以，， 故选：C． 6. 已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的图象与性质列出不等式求解即可. 【详解】因为， 且当时，， 因为函数在内恰有3个最值点和3个零点， 所以，解得， 故选：D． 7. 设曲线在处的切线与 轴交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案. 【详解】由，可得， 所以曲线在处的切线方程是， 令得，所以 . 故选：A． 8. 已知抛物线 的方程为，直线 与 交于 ， 两点， ， 两点分别位于 轴的上下两侧，且，其中 为坐标原点．过抛物线 的焦点向 作垂线交 于点，动点的轨迹为，则的方程和直线斜率的最大值分别为（ ） A. （除去点）， B. （除去点）， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先由题设，，利用求出，接着设直线 的方程为，利用韦达定理求出直线l方程和方程所过定点即可得动点的轨迹和直线斜率最大值时的情况，进而可求解. 【详解】由题可设，，则，解得或者（舍）， 设直线 的方程为，与抛物线方程联立得， 所以，故，故直线 的方程为， 所以直线 过定点， 又因为，由圆的定义可知动点的轨迹是以为直径的圆， 因为中点坐标为， 所以点的轨迹方程为（除去点）， 过原点的直线和在第一象限内相切时，斜率最大， 所以直线斜率的最大值为． 故选:B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，方差为2.8 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意举例判断即可. 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A正确； 对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B正确； 对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差，故平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C错误； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：，方差为，可以出现点数6，故D正确． 故选：ABD 10. 如图，在直棱柱中，底面 是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面与平面 所成角的余弦值为 C. 若，则点轨迹的长度为 D. 若点在直线上，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过线面垂直可判断线线垂直，判断A的真假；利用投影面积法求二面角的余弦，判断B的真假；弄清点的轨迹，再求其长度，可判断C的真假；利用表面展开，转化为两点之间，直线段最短求的最小值，判断D的真假. 【详解】如图1，连接，由菱形 可得 ． 再由直棱柱，可得底面 ． 又因为底面 ，所以， 而平面，所以平面， 又因为平面，所以，故A正确； ，，，所以为直角三角形，且， 其在底面投影的三角形的面积为， 由投影面积法可得平面和平面 所成角的余弦值为，故B正确； 如图2，动点在侧面内（包含边界），过作，垂足为 ， 由直棱柱， 所以平面平面，平面平面，平面， 且，所以平面. 而侧面，即有，由菱形 边长为2，，可得， 再由勾股定理得：，则点的轨迹是以 为圆心， 以为半径的圆弧（如图3中），则由侧面正方形， 可知，，可得，所以点轨迹的长度为，故C正确； 由为直角三角形，且为等腰直角三角形， 将与展开成一个平面图，如图4，则； 由余弦定理得：， 即，故的最小值为，故D错误． 故选：ABC 11. 我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．已知，且，，若把 位 进制中的最大数记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得，可判定A正确；由，，可判定B错误；由，，结合，可判定C正确；根据等比数列求和，求得和，令，求得，得到在上单调递减，进而求得，可判定D正确． 【详解】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由， ，可得，所以B错误； 对于C中，由， ， 因为，可得，即，所以C正确； 对于D中，由 ， 又由 ， 函数，可得，所以在上单调递减， 当时，，则，即， 因此，即， 则，所以D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项，然后赋值求得，即可求解常数项. 【详解】展开式的通式为， 令，得，所以常数项为． 故答案为： 13. 已知函数，若，，且，则的最小值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性和单调性，结合函数性质可得 的关系，再利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为， 所以， ， 所以函数为奇函数且为增函数，. 由可得，即为. 因为，所以．当且仅当，时取等号． 故答案为：4 14. 一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点的跳法共有________种．（用数字作答） 【答案】9450 【解析】 【分析】结合题意先分三类，每类由乘法原理结合组合数计算，再由分步加法原理求和. 【详解】 质点第10秒末到达点共跳了10次，可分三类情况讨论： 第一类，向右跳4次，向上跳4次，向下跳2次，有种； 第二类，向右跳5次，向左跳1次，向上跳3次，向下跳1次，有种； 第三类，向右跳6次，向左跳2次，向上跳2次，有种； 根据分类计数原理得，共有（种）． 故答案为：9450. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知． （1）求 ； （2）若， 外接圆的半径为2，求 的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和的正弦展开式结合特殊角的余弦值计算可得； （2）由正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为，且， 所以， 所以． 又因为，所以，故， 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，则， 由余弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以， 故 的面积． 16. 已知数列的首项为，且满足． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前 项和． 【答案】（1）证明：数列满足，即， ， 即， 又， , 数列表示首项为，公比为的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由递推公式变形得，利用等比数列的定义即可证明是等比数列. （2）由（1）得，再利用分组求和法及等比数列前 项和公式求和即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ， ， 当 为偶数时，可得； 当 为奇数时，可得； 综上可得， 17. 已知椭圆 ：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆 上． （1）求椭圆 的方程； （2）已知过点的直线 交椭圆 于 ， 两点，当的面积最大时，求此时直线 的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率求得，将代入椭圆方程得，即可求解椭圆方程. （2）设直线 的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，求得，然后利用基本不等式求解最值，即可求解，进而求解直线方程. 【小问1详解】 椭圆 的离心率为，则，解得. 又因为在椭圆 上，代入方程得， 又因为，可得. 故椭圆 的方程为. 【小问2详解】 由题意，设直线 的方程为， 联立，得， 设，， 则，， ， 当且仅当即时取等号． 故所求直线 的方程为或． 18. 如图，在正四棱锥中，， ，分别为，的中点．设平面平面． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与棱交于点 ，求的值． 【答案】（1） 连接，在中，因为 ，分别为，的中点， 所以，又因为平面 ，平面 ， 所以平面 ， 又因为平面，平面平面，所以， 又因为，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由线线平行证明线面平行，再由线面平行的性质得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可； （3）根据平面的法向量与平面内直线垂直，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，连接， 因为为正四棱锥，所以 为正方形 的中心， 所以，平面 ． 以 为原点， ，，所在直线分别为 轴， 轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可知，，，，，，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 连接，设，所以， 因为，所以， 由（2）知平面的法向量为， 所以平面的法向量为， 由平面，可知， 即，解得． 即． 19. 在几何学中常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从 沿曲线段运动到 时， 点的切线也随着转动到 点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则曲线的弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当 越接近 ，即越小， 就越能精确刻画曲线 在点 处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线 在点 处的曲率．（其中，分别表示在点 处的一阶，二阶导数） （1）求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； （2）求抛物线在处的曲率； （3）定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，若且，处的“柯西曲率”相同，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义求解即可； （2）由函数新定义先求一阶导数，再求二阶导数，然后代入公式计算可得； （3）先由函数新定义得到令，，则，再设，则，然后构造函数，求导分析单调性，再次构造函数，求导后三次构造函数，求导分析单调性得到最小值即可得出结果. 【小问1详解】 易知单位圆上圆心角为的圆弧，， 所以． 【小问2详解】 由题意，因为在第一象限，所以， ，， 故，，故． 【小问3详解】 ，， 故，其中， 令，，则， 设，则， 令，， 时，，在上递减， 时，，在上递增， 故； 令， ， 令， 则，当时，恒成立， 故在上单调递增， 可得，即， 故有， 则在上递增， 故， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知，，且，则 （ ） A. 4 B. C. D. 4. 已知随机变量服从正态分布，下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 随机变量落在与落在的概率相等 5. 已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. 11 B. 13 C. 19 D. 17 6. 已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知抛物线的方程为 ，直线与交于，两点，，两点分别位于轴的上下两侧，且，其中为坐标原点．过抛物线的焦点 向作垂线交于点 ，动点 的轨迹为，则的方程和直线斜率的最大值分别为（ ） A. （除去点）， B. （除去点）， C. ， D. ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.4 D. 中位数为3，方差为2.8 10. 如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点 为的中点，动点 在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面与平面所成角的余弦值为 C. 若，则点 轨迹的长度为 D. 若点 在直线上，则的最小值为 11. 我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．已知，且，，若把 位进制中的最大数记为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为______． 13. 已知函数，若，，且，则的最小值是________． 14. 一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点的跳法共有________种．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记 的内角，，的对边分别为 ，， ，已知． （1）求； （2）若， 外接圆的半径为2，求 的面积． 16. 已知数列的首项为，且满足． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和． 17. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）已知过点的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求此时直线的方程． 18. 如图，在正四棱锥中，， ， 分别为，的中点．设平面平面． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面与棱交于点 ，求的值． 19. 在几何学中常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则曲线的弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率．（其中，分别表示在点处的一阶，二阶导数） （1）求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； （2）求抛物线在处的曲率； （3）定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，若且 ， 处的“柯西曲率”相同，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $