10.2.2 第2课时加减消元法(2)（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）

第2课时 A知识分点练 夯基础、 知识点1 加减消元法—相同未知数的系数成 整数倍关系 2x+3y=1,① 1.用加减消元法解方程组 下列运 3x-6y=7,② 算能消去y的是 A.①X2-② B.①X3-②X2 C.①×2+② D.①×3+②×2 5x+y=4,① 2.用加减消元法解方程组 时， 7x+2y=-9② ①X2-②，得 ( A.3x=-1 B.-2x=13 C.17x=-1 D.3x=17 5x+2y=25,① 3.用加减消元法解方程组： 3x+4y=15.② 知识点2加减消元法—相同未知数的系数不 成整数倍关系 2x-3y=4,① 4.用加减消元法解方程组 下列解 3x+2y=3,② 法正确的是 A.①×3+②×2消去x B.①×3-②×2消去y C.①×2+②×3消去y D.①×2+②×3消去x 5.用加减消元法解下列方程组： 2x+4y=9,① 5x-6y=9,① (1) (2) 3x-5y=8;② 7x-4y=-5.② 58 数学7年级下册RJ版 加减消元法(2) 知识点3用加减消元法解二元一次方程组的简 单应用 6.(2025·成都)中国古代数学著作《九章算术》中 记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百； 恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问 善、恶田各几何？其大意：今有良田1亩价值 300钱；劣田7亩价值500钱.今合买良、劣田1 顷(100亩)，价值10000钱.问良田、劣田各有 多少亩？（钱、亩：古代计量单位）设良田有x 亩，劣田有y亩，则可列方程组为 () x+y=100, A. 500 300x+7y=10000 x+y=100, B 500 300y+7x=10000 x+y=100, C. 300x+500y=10000 x+y=100, D. 300y+500x=10000 7.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中 记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉. 下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉.问上、下禾实 一秉各几何？”其大意：3捆上等谷子结出的粮 食，再加上6斗，相当于10捆下等谷子结出的 粮食；5捆下等谷子结出的粮食，再加上1斗， 相当于2捆上等谷子结出的粮食.（秉、斗：古代 计量单位)问：每捆上等谷子和下等谷子各能 结出多少斗粮食？ B能力综合练 练思维、 8.【一题多解】若关于x,y的方程组 3x-2y=4k-5, 的解满足x+y=10,则 2x-3y=k 的值为 [变式]若关于x,y的方程组 4x-3y=5k-2, 的解满足x十y=2,则的 3x+10y=2k-5 值为 9.用加减消元法解下列方程组： 2(x+2)-3y=12, (1) 3x-4(y-2)=19; 3s,2t31 4 T5201 (2) 2s 3t 8 35-15 10.某机电公司生产的A,B两种产品在市场热 销.今年第一季度这两种产品的销售总额为 2060万元，总利润为1020万元（利润= 售价一成本).A,B两种产品的成本和售价信 息如下表： 产品 A B 成本/（万元/件） 2 售价/（万元/件） 5 该公司A,B两种产品的销售数量分别是 多少？ C拓展探究练 提素养 11.【新考法·阅读理解】阅读下列解方程组的方 法，然后解答问题， 14x+15y=16,① 在解方程组 时，由于x,y 17x+18y=19② 的系数及常数项的数值较大，因此用常规的 代入消元法、加减消元法求解，计算量大，且易 出现运算错误，而采用下面的解法，则比较 简单. ②-①，得3x+3y=3,即x+y=1.③ ③×14，得14x+14y=14.④ ①-④，得y=2. 把y=2代入③，得x=-1. x=-1, 所以原方程组的解是 y=2. （1)请你运用上述方法解方程 2020x+2021y=2022,① 组： 2023x+2024y=2025;② 1996x+1997y=1998, (2)方程组 的解 2023x+2024y=2025 是 (3)猜测关于x,y的二元一次方程组 [mx+(m+1)y=m+2, (m≠n)的解是什 nx+(n+1)y=n+2 么，并用方程组的解加以验证 温馨提示：学习至此，建议使用周周清小卷6(10.1~ 10.2) 第十章二元一次方程组59 10.3实际问题与 第1课时实际问题与 A基础过关练 夯基础 1.一种饮料有大盒、小盒两种包装，5大盒、3小盒 共装150瓶；2大盒、6小盒共装100瓶.大盒与 小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装 y瓶，则可列方程组为 ( 5.x+2y=150, 5.x+2y=150, A. B. 3.x+6y=100 3y+6x=100 5x+3y=150, 5x+3y=150, C. D (2y+6x=100 2x+6y=100 2.(2025·盐城)我国古代数学著作《算法统宗》中 记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又 绫七尺，绢二尺，共价六钱八分.问：绫、绢各价 若干？”其大意是三尺绫和四尺绢共值四钱八 分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，问：绫、绢每 尺各值多少？（钱、分：古代货币单位；尺：古代 长度单位)已知一钱等于十分，则每尺绢的价 格是 分 3.某校食堂计划采购甲、乙两种大米，购进甲种 大米500千克和乙种大米300千克需花费 11000元；购进甲种大米200千克和乙种大米 600千克需花费9200元.求每千克甲种大米和 每千克乙种大米的价格. 4.乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创 业某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用 新技术种植A,B两种农作物，种植这两种农 作物每公顷所需人数和投人资金如下表： 60数学7年级下册RJ版 二元一次方程组 二元一次方程组(1) 每公顷所需 每公顷所需 农作物品种 人数 投入资金/千元 A 4 B 3 9 已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一 种农作物的种植，投入资金共6万元，问：A,B 这两种农作物的种植面积各为多少公顷？ 5.某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费 1720元，其中甲种水果的进价为13元/千克， 乙种水果的进价为16元/千克.6月份，这两种 水果的进价上调为甲种水果15元/千克，乙种 水果20元/千克，该店6月份购进这两种水果 的数量与5月份相同，却多支付货款280元.求 该店6月份购进甲、乙两种水果各多少千克. B综合提升练 练思维 6.(2025·兰州)《九章算术》是中国传统数学最重 要的数学著作之一，“方程章”第11题的大意是 两匹马一头牛总价超过1万钱，超过部分等于 半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万 钱，不足部分等于半头牛的价格问一匹马、一头 牛的价格分别是多少？若设一匹马的价格为x, 一头牛的价格为y,则可列方程组为() 1 2x+y-10000=2x, 1 10000-(x+2y)= 2 1 10000-(2x+y)=2x, B. 1 x+2y-10000=2y 1 x+2y-10000= 2x, C. 1 10000-(2x+y)= 1 2x十y= 2t, D 1 x+2y=2y 7为加强公民节电意识，某市将居民用电量分为 两个阶梯，月用电量不超过150kW·h按第一 个阶梯收费，超过150kW·h,超出的部分按 第二个阶梯收费.该市居民小明家2025年3月 和4月的用电量和所交电费如下表： 月份 电量/(kW·h) 电费/元 3 175 110 4 195 126 求该市居民用电第一阶梯和第二阶梯的电费 分别为多少 8.北京时间2024年6月25日，嫦娥六号返回器 准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正 常，标志着我国探月工程嫦娥六号任务取得圆 满成功，实现世界首次月球背面采样返回，这 是一项了不起的成就！某超市为了满足广大 航天爱好者的需求，计划购进A,B两种航天 飞船模型进行销售据了解，2件A种航天飞船 模型和3件B种航天飞船模型的进价共计130 元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞 船模型的进价共计120元. (1)求A,B两种航天飞船模型每件的进价分 别为多少元； (2)若该超市计划用220元购进以上两种航天 飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你 写出所有购买方案. 第十章二元一次方程组61 第2课时 实际问题 A基础过关练 夯基础、 1.由两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而 成的图形如图所示.设小长方形的宽为x,长为 y,则可列方程组为 () x+y=7, x+y=7, A. B. x一y=3 y-x=3 x十y=3, x十y=3, C. D. y-x=7 x-y=7 2.为加快建设轨道交通8号线，某承包商原在甲 地段分配23人施工，在乙地段分配17人施工 现在又调来20人，分配在甲、乙两个地段，要求 调配后甲地段施工人数是乙地段施工人数的2 倍.设调至甲地段x人，调至乙地段y人，则可 列方程组为 ( x+y=20, x+y=20, A. B. 23+x=2(17+y) 23+x=17+2y c2+y=20, x+y=20, D. 2(23+x)=17+y 23+2x=17+y 3.现用190张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做 8个盒身或22个盒底，且1个盒身和2个盒底 能配成一个完整的盒子.问：用多少张铁皮做盒 身，多少张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正 好配套？设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒 底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程 组是 x+2y=190, x+y=190, A. B. 8x=22y 2×8x=22y C+2y=190, x+y=190, D. 2×8x=22y 2×22y=8x 4.几个人共同购买一件物品，若每人出9元，则多 出3元；若每人出7元，则还差5元.设人数为 62数学7年级下册RJ版 与二元一次方程组(2) x,购买费用为y元，则可列方程组为 5.【新情境·传统文化】如图，在东北大秧歌的踩 高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍， 高跷与腿重合部分的长度为28cm,演员踩在 高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm.设 演员的身高为xcm,高跷的长度为ycm,则 2x十y的值是 x cm 224cm 28cm: v cm 6.如图，两摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面 上，请根据图中所给信息，求一个碗的高度是 多少厘米。 10.5 cm 12 cm B能力综合练 练思维 7.(2025·自贡)某小区人行道地砖铺设的图案如 图所示.用10块相同的小平行四边形地砖拼 成一个大平行四边形.若大平行四边形短边 的长为40cm,则小平行四边形地砖短边的 长为 () A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm 8.(教材P103练习T3变式)某景区为打造风光带，现 将一段长为350米的河边道路整治任务交由 A,B两个工程队先后接力完成.已知A工程队 每天整治河边道路15米，B工程队每天整治河 边道路10米，两个工程队工作时间之和为 30天. (1)根据题意，小明、小强两位同学分别列出了 如下不完整的方程组： x+y=□， x十y=□， 小明： 办通质信D 15.x+10y=☐； 根据小明、小强两位同学所列的方程组，请分 别指出其中未知数x表示的意义： 小明：x表示 小强：x表示 (2)从小明、小强两位同学所列的方程组中任选 一组，将其补全，并利用此方程组求出A,B两 个工程队分别整治河边道路多少米. 9幻方的历史很悠久，传说最早起源于夏禹时代 的“洛书”.三阶幻方的填写规则是将9个不同 的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角 线上的三个数之和都相等 (1)在如图1所示的幻方中，求x的值. (2)在如图2所示的幻方中，求a,b的值. (3)在如图3所示的幻方中，若m,n均为正整 数，共有多少种填法？请在图3填写其中一种. 4b-2 12 2a+1 7 x+3 1 2x-4 3b-3 2a 图1 图2 11 12 13 2m+2 3n 图3 第十章二元一次方程组63 第3课时 实际问题 A基础过关练 夯基础、 1.(2025·浙江)手工社团的同学制作两种手工艺 品A和B,需要用到彩色纸和细木条，单个手 工艺品的材料用量如下表： 类别 彩色纸/张 细木条/捆 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，那 么他们制作的两种手工艺品各有多少个？设 手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x 和y满足的方程组是 () 5x+3y=17, 5x+3y=10, A. B. 2x+y=10 2x+y=17 5x+2y=17, 5x+2y=10, C. D 3x+y=10 3x+y=17 2.健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复 训练配制营养品，已知每克甲原料含0.4单位 蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位 蛋白质和0.8单位铁质.如果一个运动员每餐 需要32单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐 含甲、乙两种原料各多少克恰好能满足运动员 的需要？ 3.一艘轮船从甲码头顺流而下到乙码头用了2小 时，从乙码头逆流而上到甲码头用了2.5小时， 已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时， 求水流的速度和甲、乙两码头相距多少千米. 64数学7年级下册RJ版 二元一次方程组(3) 4.七(1)班小明同学通过《测量硬币的厚度与质 量》实验得到了每枚硬币的厚度和质量，数据 如表所示.他从储蓄罐中取出一把5角和1元 的硬币，已知这把硬币总的金额为15元，他把 这些硬币叠起来，用尺量出它们的总厚度为 35mm,请你帮助小明算出这把硬币的总质量 为多少克。 1元硬币 5角硬币 每枚厚度/mm 1.8 1.7 每枚质量/g 6.1 3.8 5.某旅行团组织游客到风景区参观，所有游客都 从下表所列的两种参观方式中选择了一种，其 中去程有26人搭乘缆车，回程有18人搭乘缆 车.已知本次搭乘缆车的总费用为7200元，那 么这个旅行团一共有多少名游客？ 参观方式 缆车费用/元 去程及回程均搭乘缆车 300 单程搭乘缆车，单程步行 200 B能力综合练 练思维 6.(教材P104练习T3变式)从甲地到乙地有一段上 坡与一段平路.如果保持上坡每小时走3km,平 路每小时走4km,下坡每小时走5km,那么从 甲地到乙地需54min,从乙地到甲地需42min. 设从甲地到乙地上坡与平路分别为xkm,ykm. 依题意，所列方程组正确的是 ( ) 后+- +y-4 3 4601 A B. 460 +号 =54, =54, 4 341 C. D. +-42 7.七(1)班的数学老师要求同学们列二元一次方 程组解决以下问题： 甲、乙两地相距1500km,一辆慢车从甲地出 发，以75km/h的速度开往乙地，一辆快车从 乙地出发，沿同样的路线以100km/h的速度 开往甲地，相遇时两车一共行驶了18h. (1)张红同学根据题意列出两个二元一次方程， 但等号后面忘记写数据，于是得到了一个不完 十9=， 整的二元一次方程组 张红同学 75p+100g=, 列出的这个不完整的方程组中未知数p表示 的是 ,未知数q表示的是 将张红同学所列的方程组补充完整应该 是 (2)李芳同学的思路是设相遇时慢车共行驶了 xkm,快车共行驶了ykm.请你按照李芳同学 的思路，求相遇时慢车、快车行驶的时间分别 是多少 8.(教材P103探究3变式)如图，A,B两地由公路和 铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B 地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从 A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有 损耗)卖到B地，两次运输（第一次：A地→食 品厂，第二次：食品厂→B地)共支出公路运费 15600元，铁路运费20600元.已知公路运费为 1.5元/（千米·吨），铁路运费为1元/（千米·吨）. (1)该食品厂到A地、B地的铁路距离分别是 多少千米？ (2)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000 元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800 元，则卖出的食品每吨售价是多少元？（利润= 总售价一总成本一总运费) 食品厂 公路20千米铁路100千米 公路30千来 第十章二元一次方程组65 *10.4三元一次方程组的解法 第1课时解三元一次方程组 A知识分点练 夯基础 [a-b+c=0,① (2)3a+b+c=-4,② 知识点1三元一次方程组的有关概念 9a+3b+c=0.③ 1.下列方程组中，是三元一次方程组的是（ x十y十之=3， x+y十之=0， A.y+之+3w=4,B.y+2yz=10, x+之+w=5 x-2x=11 x+y=3, x十y十之=3， 1 B能力综合练 练思维 C.x-y+z=0, D.y+=4, x=x十4 4.若x+2y+3z=5,4x+3y+2x=10,则x+ x+之=5 y十之的值为 [a+b+c=0, [变式]若2a+5b+4c=0,3a+b-7c=0, 2.方程组2a一b十c=-5,的解是 则a十b一c的值是 3a-b-c=-4 5.解下列三元一次方程组： a=0, [a=-1, A.b=1, B.b=2, 05-言-0 c=-1 c=-1 4x+2y+之=36；② a=-1, a=1, C.b=1, D.b=-2, c=-2 c=3 知识点2三元一次方程组的解法 3.解下列三元一次方程组： x=y十之，① (1)3x+y=18,② x+3y+2z=3,① x+y+之=10；③ (2)2x-3y-之=-2，② 4x+3y-3z=-2.③ 66数学7年级下册RJ版 第2课时 三元 A基础过关练 夯基础、 1.小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品. 当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时，显示 的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件 乙、4件丙时，显示的价格为580元.购买甲、乙、 丙各2件时应付款 () A.200元 B.400元 C.500元 D.600元 2.在y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=0;当 x=一1时，y=6;当x=2时，y=3.求a,b,c 的值 3.某单位职工在植树节时分成甲、乙、丙三个小 组去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50棵，乙 组植树的数量是甲、丙两组和的，甲组植树的 数量恰好是乙组与丙组的和，则每组各植树多 少棵？ 次方程组的应用 4.某学校组织了一次掷飞镖的游戏：每位同学朝 特制的靶子上各掷三支飞镖，当飞镖落在不同 区域内时得分不同如图，小明、小君、小红的成 绩分别是29分、43分和33分，求小华的成绩， ● 小明 小君 小红 小华 5.某届足球联赛前12轮（场）比赛后，前三名球队 的比赛成绩如下表： 胜/场 平/场 负/场 积分 A队 P 2 2 26 B队 6 6 1 23 C队 5 7 0 22 每队胜一场、平一场、负一场各得多少分？ 温馨提示：学习至此，建议使用周周清小卷7(10.3~ 10.4) 第十章二元一次方程组 67里的位置 10.B 11.(1)A(-2,4),B(-6,2),C(-9,7) (2)B1(-2,-1),C1(-5,4) (3)13 第十章二元一次方程组 10.1二元一次方程组的概念 1.B2.C3.D4.A5.-1 6.②④③④④ 7.解：(1) -2 -10 23 yo -6 -3 0 3 6 9 9 5 6 19 -8 -1 2 2 x=2, (2) y=6. 8.A9.B10.2+y=20, 11.012.A13.B 5x+2y=67 14.(1)4x+7y=76(2)4(3)5个 (40/z=5,=12,x=19, y=8,y=4,y=0 15.a=4,b=2 变式微专题2与二元一次方程（组）的解有关的 参数问题 【例】4【变式1】2【变式2】13 【变式3】13 10.2消元—解二元一次方程组 10.2.1代入消元法 第1课时代入消元法(1) 1.A 2.(1)5-x(2)1-3x(3)11-2y 3.B4.A5.B 6.-2x+42(-2x+4)33③-2 x=3, y=-2 7.(1/=1, y=,o/-0 y=3 8.A9.7-2x 10解：(1)等式的性质3y十1 2x=3y+1,① (2)(方法不唯一) 4x+y=9.② 把①代入②，得2(3y+1)+y=9,解得y=1. 把y=1代入①，得2x=3+1,解得x=2. (x=2, 所以原方程组的解为 y=1. 1.(1)/=2, x=3, y=1 y=2 ·答案 12.解：由①，得3x-2y=1.③ 把③R入@，得2告+y-2,解得y-行 7 7 7 10 把)=6代入③，得3x一2×6=1，解得x=g 10 x=9 所以原方程组的解为 7 y=6 第2课时代入消元法(2) 1.D2.(3) 3.4=22= y=-1 y=2 (3)m=-3, n=-4 x+y=320, 4.A5. 2x-y=40 6.购买1个足球需30元，购买1个篮球需50元 7.(11,5)8.23 3 19 9.1)=2’ (2) x=2 y=-2 y=0 10.解：(1)-110 (2)设x-y=p,2x+y=q. + 原方程组可化为{ 解得p6, 9=3, 2g-2=3, 即 |x-y=6, 2x+y=3, 解得 x=3, y=-3. x=3, 所以原方程组的解为 y=-3. 10.2.2加减消元法 第1课时加减消元法(1) x=一3， 1.A2.②-①y 8 y=- 5 3./2, y=1 4.C5.①十②②-①（或①-②） x=2, 6.31 y=2 7.A8.3,29.4-2 x=3, 13 x=6' 10.(1) 7(2) p=2 1 y=-2 第2课时加减消元法(2) 1.c2.D3./r=5, 4.C y=0 7· 、7 2, (x=一3， 5.(1) (2) 1 y=2 y=-4 6.A 7.每捆上等谷子能结出8斗粮食，每捆下等谷子能结 出3斗粮食 8.5【变式】3 x=1, s=1, 9.(1) y=-2 (2) t=2 10.A,B两种产品的销售数量分别是160件、180件 1解：0)z=1,2) x=一1， y=2 (y=2 x=一1， (3)方程组的解是{ y=2. 验证：花，代入方程mx十(m十)y=m+2 y=2 得-m+(m+1)×2=-m十2m十2=m+2, x=一1， y=2 是方程mx十(m十1)y=m十2的解； 区=-1，代入方程r+(n+1Dy=n+2, 把 y=2 得-n+(n+1)×2=-n+2n十2=n+2, .口=一1'是方程nx十(n十1)y=n+2的解。 y=2 故原方程组的解是下=一1， y=2. 10.3实际问题与二元一次方程组 第1课时实际问题与二元一次方程组(1) 1.D2.6 3.每千克甲种大米的价格是16元，每千克乙种大米 的价格是10元 4.A种农作物的种植面积为3公顷，B种农作物的种 植面积为4公顷 5.该店6月份购进甲种水果120千克，购进乙种水果 10千克 6.A 7.该市居民用电第一阶梯的电费为0.6元/(kW·h), 第二阶梯的电费为0.8元/(kW·h) 8.(1)A种航天飞船模型每件的进价为20元，B种航 天飞船模型每件的进价为30元 (2)共有3种购买方案： ①购进8件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船 模型； ②购进5件A种航天飞船模型和4件B种航天飞船 模型； ③购进2件A种航天飞船模型和6件B种航天飞船 模型 ·答多 第2课时实际问题与二元一次方程组(2) 9x-y=3, 1.B2.A3.B4. 5.4206.6cm (y-7x=5 7.B 8.解：(1)A工程队工作的时间 A工程队整治河边道路的总长度 x十y=30, (2)补全小明的方程组： 15x+10y=350, x=10, 解得 y=20, ∴.15x=150,10y=200. 答：A,B两个工程队分别整治河边道路150米和 200米. x+y=350, 或补全小强的方程组：了x, y 15+i0=30, 解得 /x=150, y=200. 答：A,B两个工程队分别整治河边道路150米和 200米. 9.解：(1)5(2)a=4,b=3 (3)由题意，得13+12十11=13+2m+2+3n, 六2m+3n=21,即m= 21-3n 2 m,n均为正整数， ∴.当n=1时，m=9;当n=3时，m=6;当n=5时， m=3. 故共有3种填法.（填写以下任意一种即可） 当n=1,m=9时，幻方填写完整如下： 21 4 11 2 12 22 13 20 当n=3,m=6时，幻方填写完整如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当n=5,m=3时，幻方填写完整如下： 9 16 11 14 12 10 13 8 15 第3课时 实际问题与二元一次方程组(3) 1.c 2.每餐含甲原料30克，乙原料20克恰好能满足运动 员的需要 8·