8.3完全平方公式与平方差公式（第1课时） 同步训练2025-2026学年 沪科版数学七年级下册

8.3完全平方公式与平方差公式（第1课时） 同步训练 沪科版数学七年级下册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 3．若，则N为（    ） A． B．3xy C． D．xy 4．利用完全平方公式计算，得（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，能根据图形中的面积说明的乘法公式是（） A． B． C． D． 6．已知，，则的值为（    ） A．31 B．25 C．19 D．15 7．对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（     ） A． B． C． D． 8．若，，则（    ） A．14 B．12 C．8 D．6 9．已知，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 10．问题探究  求代数式的最小值． 可对变形为， 当，即时，取最小值． 类比迁移，代数式的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则_________． 12．计算：的结果是_______ 13．若，，则________． 14．新定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，有一种新的运算：如果，那么________． 三、解答题 15．计算：． 16．利用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 17．先化简，再求值：，其中． 18．若，且． (1)求的值； (2)求的值； 19．观察下列等式： ①；②；③；④． (1)根据上面四个算式的规律写出第⑤个算式； (2)若设两个连续的奇数分别为和（n为正整数），猜想第n个等式，并证明． 20．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《8.3完全平方公式与平方差公式（第1课时） 同步训练 沪科版数学七年级下册》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A D B C C D C B 1．B 【分析】本题考查完全平方式的判定，依据完全平方公式结构特征分析，关键是准确把握 的形式，易错点是对中间项系数和常数项的判断不准确； 解题思路是根据完全平方公式的结构，逐一分析选项是否符合 的形式即可． 【详解】解：完全平方式必须能表示为 ， 选项 A：，若 , ，则 ，不符合题意； 选项 B：，可化为 ，符合题意； 选项 C：，若 ,，则 ，不符合题意； 选项 D：，常数项为负，不符合题意； 故选 B． 2．A 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方公式． 直接利用完全平方公式计算． 【详解】解：， 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的加减，利用完全平方公式，结合整式的加减化简即可求解，解题的关键是掌握运算法则． 【详解】解：， ， 故选： A． 4．D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式解答即可． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义，熟练掌握完全平方公式的几何推导方法是解题的关键．通过计算大正方形的面积和分割后四个小区域的面积之和，利用面积相等的关系来推导对应的乘法公式，从而选出正确选项． 【详解】解：∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为 ∵大正方形被分割为四个部分，面积分别为、、、， ∴四个部分的面积之和为 ∵大正方形的面积等于四个部分的面积之和， ∴ 故选：B． 6．C 【分析】本题考查完全平方公式的运用． 由可得，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了整式的混合运算；根据新定义的运算规则代入，再利用完全平方公式展开化简即可． 【详解】解：∵☆， ∴☆， ∵， ∴， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式变形计算即可. 【详解】解：∵，又∵，， ∴； 故选D 9．C 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．设，，则，，利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴ ． 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，类比题干中的方法，将代数式通过完全平方公式变形，利用平方的非负性求最小值即可． 【详解】解：∵， 当时，取最小值． 故选：B． 11． 【分析】本题考查了完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了完全平方公式，应用完全平方公式进行展开计算． 【详解】解：． 故答案为． 13．6 【分析】利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：， ， ， ∴， 故答案为：6. 【点睛】本题考查了完全平方公式，正确展开并进行运算是解题的关键. 14．4 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据定义的新运算，结合完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 15．． 【分析】本题考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式：“”是解题的关键．运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 16．(1) (2)400 (3)100 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 17． 【分析】本题考查多项式的展开与化简，乘法公式，去括号法则，正确计算是解题的关键．利用乘法公式，完全平方公式展开并合并同类项完成化简，再代入进行计算求解． 【详解】解：， ， ， ； 当时，原式． 18．(1)3 (2)10 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则得，又因为，故，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵ ∴ ． 19．(1) (2)，见解析 【分析】此题考查了数字的变化类，完全平方公式， （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律，并利用完全平方公式进行证明即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③；④，…， ∴第⑤个算式为：； （2）解：由（1）知，第n个等式可表示为：， 证明： 所以此等式成立． 20．(1) 12 (2) 4 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）将，代入完全平方公式，即可得的值； （2）由，，可得，结合完全平方公式，即可得的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴的值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $