8.3 完全平方公式与平方差公式-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（沪科版·新教材 安徽专版）

77(m2), 所以S小路=(3a+b)(3a-b)-77=9a2-b2-77=9 ×25-4-77=144(m2). 16.解：因为Φ[p,q,-1]×Φ[m,n,-2]=（px2+q.x一 1)(m.x2+n.x-2)=pm.x+（pn+qm)x3+(-2p+ qn-m)x2+(-n-2g)x+2=2x+x8-10x2-x+ 2,所以pm=2,pn十qm=1,-2p十qn-m=一10， -n-2g=-1,所以(4p-2g-1)(2m一n-1)= 8pm-4pn-4p-4gm+2gn+2g-2m+n+1=8pm -4(pn+qm)+2(-2p十q-m)-(-n-2g)+1= 8×2-4×1+2×(-10)-(-1)+1=16-4-20+1 +1=-6. 8.3完全平方公式与平方差公式 第1课时完全平方公式 1.A2.D3.(1)164(2)-6 4.解：(1)原式=x2-4xy十4y2-x2十4.xy=4y2 (2)原式=a2+2ab+b2-(a2-2ab+b2)=a2+2ab+ b2-a2+2ab-b2=4ab. 5.D6.a2-2ab+b2=(a-b)2 7.B【解析】(2k+3)2-4k2=4k2+12k+9-4k2=12k 十9=3(4k十3).因为k为任意整数，所以(2k+3)2一 4k的值总能被3整除. 8.解：因为(x十y)2=12,(x一y)2=4, 所以x2+2xy+y2=12,x2-2xy十y2=4, 所以x2+y2=8,xy=2, 所以x2+3.xy+y2=8+3×2=14. 9.解：(1)因为a+b=2,ab=一1， 所以a2+b2=(a+b)2-2ab =22-2X(一1) =4+2 =6. (2)因为a+b=2,ab=-1, 所以(a-b)2=(a+b)2-4ab =22-4×(-1) =4十4 =8. 10.C【解析】因为(a十b)2=25,所以a2十2ab十b2= 25.因为ab=6,所以a2+b2=13.因为(a一b)2=a2 -2ab十b2,所以(a-b)2=1,所以a-b=士1. 11.A【解析】因为(m-2022)2+(m-2026)=46,所 以(m-2024十2)2+(m-2024-2)2=46,所以(m -2024)2+4(m-2024)+4+(m-2024)2-4(m 2024)+4=46,所以2(m-2024)+8=46,所以 2(m-2024)2=38,所以(m-2024)=19. 变式题17【解析】设m=a-2024,n=a-2027,则 (2024-a)(a-2027)=-mm=-4,即mn=4,所以 原式=m2十n2=(m-n)2+2mn=[(a-2024)-(a -2027)]2+2×4=(a-2024-a+2027)2+8=9+ 8=17. 12.(1)1(2)12 13.解：1)因为(x+)-x2+2+= 所以(-)=-2+-(+ -4=32-4 =5. 2因为(-广=-2+=5… 所以+-(-》广+2=5+2=7 3)因为(x+)=x+2+ =72 所以+(+)-2=-2=4 14.解：(1)① 正确的解题过程： (x+2)2+x(1-x)-9 =x2+4x十4+x-x2-9 =5x-5. (2)因为x2一2x十1=4， 所以(x一1)2=4， 所以x一1=士2， 所以x=3或-1. 当x=3时，A=5.x-5=5×3-5=10: 当x=-1时，A=5x-5=5×(-1)-5=-10. 综上所述，此时A的值为10或-10. 15.解：(1)①2m②6m (2)由(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=6m2,得a2 2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=6m2, 整理，得2(a2+b2+c2)-2(ab+bc十ac)=6m2, 所以ab+bc+ac=(a2+b2+c2)-3m2=2m2-3m =一m2. (3)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2a =a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=2m2+2·(-m2) =0. 所以a+b十c=0. 第2课时平方差公式 1.B2.b2-a 3.解：(1)原式=(-6)2-(2b)2=36-4b2 (2)原式=[(x+2)-3y][(x+2)+3y] =(x+2)2-(3y)2 =x2+4x+4-9y2. (3)原式=x2-4y2-(3y-4y2) =x2-4y2-3y+4y2 =x2-3y. (4)原式=x2-4x十4-3(1-x2) =x2-4x+4-3+3.x8 =4.x2-4.x+1. 4.16【解析】因为m十n=8,m-n=2,所以(m十n)(m -n)=m2-n2=8×2=16,所以S1-S2=(S1+S3) 下册参考答案 13△ -(S2十S,)=m2-n2=16. 5.(1)a2-b (2)a-b a+b (a+b)(a-b) (3)(a+b)(a-b)=a2-b 6.A7.C变式题-6 8.解：(1)原式=(1000+1)×(1000-1)=10002-12= 1000000-1=999999. (2)原式=(30十0.2)×(30-0.2)=302-0.22=900 -0.04=899.96. 9.B【解析】令x+y=m.因为(x十y+1)(x十y一1)= 8,所以(m+1)(m一1)=8，所以m2一1=8，所以m2= 9,所以m=士3，即x十y=士3. 10.B【解析】(a+b)2(a-b)=[(a+b)(a-b)]= (a2-b2)2=42=16. 11.12【解析】设正方形ABCD的边长为a,正方形 DEFG的边长为b,则CG=b一a.因为两个正方形的 面积之差是24，所以b2一a2=24,所以S刷影福分= 76+e6-a）=2w-a)=7×24=12 12.解：(1)原式=[(2a+1)+(1-2a)][(2a+1)-(1 2a)] =2×4a =8a. (2)原式=[(a+1)(a-1)]2(a2+1) =(a2-1)2(a2+1)2 =[(a2-1)(a2+1)]9 =(a4-1)2 =a8-2a1+1. 13.解：(1)原式=a2-b2+a2+2ab+b2-2a2-ab=ab. 当a=号6=时原式=号×号-1. (2)原式=(x-y)(x+7y）-1y=x 格=-（信+0）= 因为x|=|y|=1,所以x=y=1,所以原式=x y'=0. 14.解：(1)a2-1a3+1a-1 (2)a10-1 (3)对于(2)中的式子，当a=3时，(3+1)(3°一3+3 -…-32+3-1)=310-1,所以3°-38十32-…-32 +3-1=30-1 °4，所以3”-3°+3-…-32+3 =310+3 4 第3课时乘法公式的应用 1.D【解析】设正方形A,B的边长分别是a,b,则正方 形A,B的面积之和是a2十b2.根据题意，得图②中阴 影部分的图形是正方形，边长为(a一b),图③中新正方 形的边长为(a十b),图③中阴影部分的面积为(a十b)2 一a2一b2=2ab.因为图②中阴影部分的面积为5，正方 414 七年级数学HK版 形A,B的面积之和为17，所以。十6=17， (a-b)2=5, 所以 1a2+b2-2ab=5, a2+b2=17, 所以2ab=17-5=12,所以(a+b)2 一a2-b2=2ab=12,所以图③中阴影部分的面积 是12. 2.解：设这个正方形原来的边长为xcm,增加后边长为 (x+2)cm. 根据题意，得(x+2)2-x2=24,解得x=5. 故这个正方形原来的边长为5cm. 变式题解：原来的面积为4a·4a=16a2(m), 改造后的面积为(4a-2)(4a+2)=(16a2-4)m2. 因为16a2-(16a2-4)=4(m2), 所以与原来的面积相比减少了，减少了4m. 3.9 4.解：(1)(a-b)2=(a+b)2-4ab (2)因为a-6=56-共 所以(a+b)2=(a-b)2+4ab=25+11=36, 所以a十b=6(负值已舍去). (3)①a3+3a2b+3ab2+b ②因为a十b=6,ab=7, 所以a3+b3=(a+b)3-3ab-3ab2=(a+b)3-3ab(a +b)=63-3×7X6=90. 阶段综合训练整式的运算及化简求值 1.D2.D 3.解：(1)原式=-2x3y2十8x2y2-4xy3. (2)原式=x6+3.x3-2x3-6-x6+x3=2.x3-6. (3)原式=3xy-9.x2-2y2+6xy-(6.x2+2xy-3xy -y2)=3xy-9.x2-2y2+6xy-6x2-2xy+3xy+y =-15x2+10xy-y2. (4)原式=5y2-(3y2+y-6y-2)-2(y2-5y+y 5)=5y2-3y2-y+6y+2-2y2+10y-2y+10= 13y+12 4.解：1①原式=(30+号)厂=30+2×30×号+日 11 1 920 (2)原式=13142-(1314+2)×(1314-2)=13142- (13142-4)=4. 5.解：(1)原式=(100+3)(100-3)-(100-1)2 =1002-9-1002+200-1 =190. (2原式-×（得）”×()”×-8 -25x(×)” =-25×1m =-25.8.3完全平方公式与平方差公式 第1课时完全平方公式 便点梳理 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍，用字母 表示为(a±b)2=a2±2ab十b2 已课内基础闯关 知识点① 完全平方公式 1.计算：(x+2y)2= 甲 A.x2+4xy+4y2 B.x2+2.xy+4y2 b 第5题图 第6题图 C.x2+4xy+2y2 D.x2+4y9 6.如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成 2.(2025合肥长丰月考)若x2十m.x+9是关于 乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得 x的完全平方式，则m的值为 到的等式是 A.3 B.3或-3 知识点③ 完全平方公式的拓展运算 C.6 D.6或-6 7.若为任意整数，则(2k十3)2一4k2的值总 3.根据完全平方公式填空： 能 () (1)x2-8.x+ =(x )2. A.被2整除 B.被3整除 12 9 2x5w522+0 )xy C.被5整除 D.被7整除 8.已知(x+y)2=12,(x-y)2=4,求x2+ +25y2. 3xy+y2的值. 4.化简： (1)(x-2y)2-x(x-4y). (2)(a+b)2-(a-b)2. 9.已知a十b=2,ab=-1,求： (1)a2+b2的值. (2)(a-b)2的值. 知识点②完全平方公式的几何背景 5.如图，正方形中阴影部分的面积为( A.(a-b)2 B.a2-b2 C.(a+b)2 D.a2+62 38 七年级数学HK版 已课外拓展提高 14.以下是某同学作业中的一道题目的解题 过程： 易错点 对完全平方公式的特征理解不 透而致错 化简A=(x+2)2+x1-x)-9=十2z ① 10.已知(a十b)2=25,ab=6,则a-b等 十4十x -x2-9 于 ( ②③ ④ A.1 B.-1 (1)检查该同学的解题过程，在标出的①② C.1或-1 D.以上都不对 ③④的几项中，出现错误的是 请写出正确的解题过程. 11.已知(m-2022)2+(m一2026)2=46，则 (2)若x2一2x十1的值为4，请你求出此时 (m-2024)2的值为 A的值. A.19 B.18 C.23 D.24 变式题本质相同：整体思想 已知(2024-a)(a-2027)=-4,则(a 2024)2+(a- 2027)2的值为 12.已知(x+y)2=12,(x一y)2=8,计算下列 各式的值： (1)xy= (2)(x2+1)(y2+1)= 巴综合能力提升 13.已知x十上-3，求下列各式的值： 15.推理能力已知a一b=b一c=m,a2十b2十 c2=2m2. 1(x-.(2)2+ (3)x (1)填空：①a-c ②(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2= ,(用含m的代数式表示) (2)求ab+bc+ac的值（用含m的代数式 表示) (3)试说明：a+b+c=0. 下册第8章 39△ 第2课时平方差公式 要固梳理 平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，用字母表示为(a十b)(a一b)三a2 b2 课内基础闯关 5.仔细观察图①、图②，回答下列问题： 知识点①平方差公式 1.(2025桐城期中)下列不能用平方差公式计 算的是 ( 图1 图② 第5题图 A.(x+y)(x-y) B.(-x+y)(x-y) (1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 C.(-x+y)(-x-yD.(-x+y)(x+y) (写成两数平方差的形式). 2.计算：(a+b)(b-a)= (2)若将阴影部分剪下来，重新拼成一个长方 3.计算： 形（如图②），则它的宽是 ,长是 (1)(-2b-6)(2b-6). ,面积是 (3)比较图①、图②中阴影部分的面积，可以得 到的乘法公式是 (2)(x-3y+2)(x+3y+2). (用含a,b的等式表示). 知识点③ 平方差公式的拓展运算 6.将202×198变形正确的是 (3)(x+2y)(x-2y)-y(3-4y). A.2002-22 B.2022-22 C.2002+2×200+22D.2002-2×200+22 7.已知a+b=3,a一b=1,则a2一b2的值为 (4)(x-2)2-3(1-x)(x+1). A.1 B.2 C.3 D.8 变式题本质相同：逆向思维 知识点②平方差公式的几何背景 已知a2-b2=12,且a-b=-2,则a+b 4.如图所示的是从某校八年级 两个班级的劳动实践基地抽 8.(教材变式)利用平方差公式计算： 象出来的几何模型：两块边长 (1)1001×999. (2)30.2×29.8. 分别为m,n的正方形，其中 第4题图 重叠部分S3为池塘，阴影部 分S1,S2分别表示八年级这两个班级的基 地面积.若m十n=8,m一n=2,则S1一S2 40 七年级数学HK版 巴课外拓展提高 13.先化简，再求值： 9.若(x十y十1)(x十y一1)=8，则x十y的值 (1)(a+b)(a-b)+(a+b)2-a(2a+b), 为 ( A.3 B.±3 C.-3 D.±5 10.若a2-b2=4,则(a十b)2(a-b)2的值是 ( A.24 B.16 C.8 D.4 11.如图，点A,D,E在同一直线上，大正方形 DEFG与小正方形ABCD的面积之差是 (2)(x+2)(x-2)(+) 24,则阴影部分的面积的大小是 1 6y,其中1x=1y=1. 第11题图 12.利用乘法公式计算： (1)(2a+1)2-(1-2a)2. 已综合能力提升 14.推理能力(1)计算： (a+1)(a-1)= (a+1)(a2-a+1)= (a+1)(a3-a2+a-1)= … (2)猜想：(a十1)(a9-a8十a7-…-a2+a (2)(a+1)2(a-1)2(a2+1)2. -1)= (3)利用上面结论计算：39一38十3一…十 33-32十3的值. 下册第8章 41△ 第3课时 乘法公式的应用 课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点乘法公式的应用 3.如图，赵爽弦图是一个以勾股 米 1.(2025合肥瑶海区期中)如图①，有两个正方 形之弦为边的正方形.图中包 黄实 形A,B.若将B放在A的内部，则得到图 含四个全等的勾股形和一个 实 朱实 ②.若将A,B并列放置后构成新的正方形， 小正方形，其面积称为朱实和 第3题图 则得到图③.若图②中阴影部分的面积为5， 黄实.设每一个勾股形的两条 正方形A,B的面积之和为17，则图③中阴 直角边长分别为a和b.若ab=8,且a2+b2 影部分的面积是 =25,则黄实为 4.用两种不同的方法计算同一图形的面积，可 以得到一个等式，如图①，用长为a、宽为b (a>b)的四个相同的长方形拼成一个大正 方形 图① 图② 图③ 第1题图 (1)用两种不同的方法计算阴影部分（小正 A.6 B.7 C.10 D.12 方形)的面积，可以得到(a一b)2,(a+b)2, 2.一个正方形的边长增加2cm,它的面积增加 ab三者之间的等量关系式： 了24cm2.求这个正方形原来的边长. (2)在(1)的条件下，已知a-b=5,ab=1 求a+b的值， (3)类似地，用两种不同的方法计算同一个 几何体的体积，也可以得到一个等式， ①如图②，观察大正方体的分割，可以得到 变式题求原正方形边长求正方形面积 等式：(a十b)3= 的变化 ②已知a十b=6,ab=7,求a3十b3的值. 广场内有一个边长为4am的正方形花园， 统一规划后，南北方向要缩短2m,东西方 向要加长2m.改造后的长方形花园的面积 与原来的面积相比，是增加了还是减少了？ 图① 图② 增加或减少了多少平方米？ 442 七年级数学HK版