专题02 期中真题百练通关（安徽专用，二次根式、一元二次方程及其应用、勾股定理及其逆定理）（60题7压轴题型）（高效培优期中专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题02 期中真题百练通关（60题7压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 求值问题 题型5 二次根式规律与阅读材料类综合题 题型2 多结论问题 题型6 一元二次方程的综合应用 题型3 双空题 题型7 勾股定理及逆定理综合应用 题型4 多解问题 题型1 求值问题 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 2．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，O为的三边垂直平分线的交点，连接，若，，，则的长为（   ） A．5 B． C．4 D． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中，（为正数），若点的坐标是，的坐标是，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽·期中）如图，在直角三角形中，，的垂直平分线交于D，交的角平分线于E，连接，若，的周长为12，则的长度是（　　） A． B． C． D．10 题型2 多结论问题 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列说法：①对于一元二次方程（），若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程也有两个不相等的实根；③若方程（）的一个根为，则方程的两根分别是和；④已知两实数，满足，，且，则．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程下列说法，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若有两个不相等的实数根，则有两个不相等实数根； ⑤若有两个不相等的实数根，则也有两个不相等的实数根； A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知一元二次方程的两根分别为、． （1）值为_________； （2）写出一个以、为根的一元二次方程：_________． 8．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______． 题型3 双空题 9．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图，在等腰直角中，，点和点将斜边三等分，且， （1）若点在边上移动，则的最小值等于______； （2）若点在的边上移动，则满足的点的个数是______． 10．（23-24八年级下·安徽池州·期中）如图，是等边三角形外一点， （1）当等边三角形的边长为4时，等边三角形的面积为_________． （2）已知，，当长最大时，等边三角形的面积为_________． 11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）在中，点在边上运动，点在边上运动． ①若，，，则点到直线的距离为_______． ②若，，，则的长为______． 12．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，中，，，是的角平分线，是上的动点． （1）若，则的长度为______； （2）若是边上的动点，则的最小值为______． 13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知为一元二次方程的一个根，且为有理数，则_______，_______，此时若，且，则的最小值为_______． 14．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，平分交于点． （1）若，则______； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，.则的最小值为______． 15．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，点为边的中点，点，分别为边，上的点，且，，连接，，． （1）_____°； （2）若，则_____． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点为边上的动点，点为边上的动点． （1）则的最小值为______． （2）则的最小值为______． 17．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，． （1）若，则_______________． （2）点D和点E是上的点且，若，则_________________． 18．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在长方体盒子中，已知，，，长为的细直木棒恰好从小孔处插入，木棒的一端与底面接触，且端点可以在长方形内及边界上任意运动．    （1）长度的最大值为_____； （2）长度的最小值为_____． 19．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在三角形纸片中，，，． （1）如图，在中，斜边长为_____． （2）如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是_____． 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则______； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是________． 21．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则______； （2）若，则实数x的值为______． 22．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的方程有两个不相等的实数根．①求a的取值范围为_________________②若关于的方程的解为整数且满足①中条件的所有a值的和为______________， 23．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是___________（填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为___________． 24．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）实数a，b，c满足． （1）当时，则_______ ； （2）实数a的取值范围是___________ ． 25．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列等式： 根据上述规律，解决下列问题： （1） ________（填“”、“”或“”）； （2）填空： _________． 26．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题： （1）若，且均为正整数，则______； （2）化简的正确结果为_______． 27．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”． （1）的“还原方程”是______； （2）若，则代数式______． 28．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）如图，D是等边外一点，，，则的最大值是____，此时的面积为_____． 29．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图所示，点和点分别为轴与轴上一点，且，为直线上一点，作交轴于点． （）若点的横坐标为，则 ______； （）若为线段中点，连接，则的最小值为______． 30．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）在中，． （1）若，则_____； （2）若，点，分别是线段上的两个三等分点，点是腰上一点，则的最小值为_____． 31.（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，平分交于点． （1）若，则________________°； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，．则的最小值为_______________． 32．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则__________； （2）经过 ____________________秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 题型4 多解问题 33．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，已知． （1）的长为______． （2）点，分别是，上一点，沿着直线将折叠，得到，已知点落在边上，若是直角三角形，则的长为______（注：） 34．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为______； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为______． 35．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，， （1）______； （2）将沿着折叠，使点B的对应点落在边上的D点处，若是以为腰的等腰三角形，则______． 36．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是________；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为________． 37．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是______（填序号） ①；②；③；④． （2）若方程是“自然方程”，n的值为______ 38．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求_____． （2）过点作于点．在点的运动过程中，当_____时，能使． 39．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，B点的坐标是，，点C在线段上，是靠近点A的三等分点，点P是y轴上的点，当是等腰三角形时，点P的坐标是__________. 40．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知在中，； （1）边上的高为______； （2）将沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原不全等的新三角形，则折痕的长为_____． 41．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，长方形（长方形的对边相等，每个角都是），，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为． （1）当点和点距离是时，__________． （2）当__________，为直角三角形（）． 题型5 二次根式规律与阅读材料类综合题 42．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 43．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 题型6 一元二次方程的综合应用 44．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）对于实数a，b，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元二次方程的两个根，求的值． 45．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 46．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）项目式学习主题：用几何方法解一元二次方程 项目 背景 八年级上册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米用不同的构图方法解一元二次方程．下面以解一元二次方程即的两种几何解法为例： 材料1 赵爽构图 可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个这样的矩形构造出图1形状的大正方形． 材料2 阿尔·花拉子米构图 用一个边长为的正方形和两个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个图3的大正方形．通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程：． 【问题解决】 (1)任务1：在材料一中，大正方形面积可以表示为_________（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于__________，故可得到方程_______． (2)任务2：根据材料二中的构图方法，画图说明的几何解法（在图上标上相关数据），并求出方程的解． 【拓展应用】 (3)任务3：一般地，对于形如：的一元二次方程可以通过构图方法来解．已知图4是由4个面积为6的相同矩形构造出的大正方形，中间围成的小正方形面积为25．请直接写出_______，_______． 题型7 勾股定理及逆定理综合应用 47．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)画一个一边是有理数，另外两边是无理数的直角三角形； (2)画一个一边长为，面积为6的等腰三角形． 48．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）[探究] （1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比] （2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 49．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，为底边上的高线，E是上一点，连接交于点F，且．    (1)求证：； (2)如图1，若，，求的长； (3)如图2，若，以，和为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由． 50．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题：    (1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标） (2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标） (3)求出代数式+的最小值． 51．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）（1）【问题呈现】在学习等边三角形的知识时，老师提出了这样一个问题： 如图①，在中，，，那么和有何数量关系？ 请证明你的猜想． 在老师提出问题后，同学们都进行了积极的探索并试着进行证明．下面是小曼同学的部分解答． 猜想：． 证明：把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上．（请补全小曼后面的证明过程） （2）【拓展变式】把（）中条件改为“如图②，在中，，”，则 ． （3）【能力迁移】通过以上问题的解决，我们发现：翻折可以探索一些图形的性质．请利用翻折解决下面的问题． 如图③，是内一点，且平分，若，，探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 52．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）问题发现：如图1，在中，，为边所在直线上的一动点（不与点、重合），连接，以为边作，且，则与的数量关系为______，位置关系为______ （1）探究证明：如图2，在和中，，，且点在边上滑动（点不与点、重合），连接． 求证：； （2）如图3，在四边形中，，若，，求的长． 53．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，动点从点出发，按的路径运动（回到点停止），且速度为每秒个单位，设运动时间为秒． (1)在中边上的高长为______；边上的高长为______； (2)当时，求的值； (3)如图，若是等腰三角形，直接写出所有满足条件的的值． 54．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，于点，平分，交于点E，过E作于点F，交于点G．    (1)求证：； (2)若，求的长． 55．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 56．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在和中，的顶点在直线上，连接、． (1)_____(直接填写度数)； (2)(i)如图1，当点在线段上时，若，求的值； (ii)如图2，当点在射线上时，若，求的面积． 57．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 58．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图1，中，，，．动点从点出发沿着射线移动． (1)在点移动过程中，的最小值是多少？ (2)在点移动过程中，若，长为多少？ (3)如图2，点在延长线上，，另一动点从点处出发沿着与垂直的射线移动，点与点同时同速移动，连接．当点移动到某一位置，使得，此时长为_________． 59．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．    (1)请你利用图1验证勾股定理； (2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值； (3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积． 60．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图①，直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，利用图①可以拼出图②和图③． (1)“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图②所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．根据图形，我们可以得到等式：___________，___________，___________． (2)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，已知， ①求出的值； ②求证：关于的方程必有两个不相等的实根； ③若第②问中的方程有一根是4，求出方程的另一个根． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期中真题百练通关（60题7压轴题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 求值问题 题型5 二次根式规律与阅读材料类综合题 题型2 多结论问题 题型6 一元二次方程的综合应用 题型3 双空题 题型7 勾股定理及逆定理综合应用 题型4 多解问题 题型1 求值问题 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【详解】解：∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又是的平分线， ． ， 即， ， 是的平分线，点为上动点，作点关于的对称点，则在点在上， ． 过点作交于点H， ∴ 当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，O为的三边垂直平分线的交点，连接，若，，，则的长为（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：延长交于，连接、，过作交于，过作交于， O为的三边垂直平分线的交点， ， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解答：； 故选：D． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中，（为正数），若点的坐标是，的坐标是，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察图形可知，点的位置是个点一个循环， ∴与的位置都在第一象限，且在直线上， ∴点的纵坐标为， ∵第一个等腰直角三角形的直角边， 第二个等腰直角三角形的边长， 第三个等腰直角三角形的边长， ， ∴第个等腰直角三角形的边长， ∴第个等腰直角三角形的边长， ∴点的横坐标为， ∴的坐标为， 故选：． 4．（24-25八年级下·安徽·期中）如图，在直角三角形中，，的垂直平分线交于D，交的角平分线于E，连接，若，的周长为12，则的长度是（　　） A． B． C． D．10 【答案】A 【详解】解：∵垂直平分， ∴, ，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵的周长为12， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型2 多结论问题 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列说法：①对于一元二次方程（），若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程也有两个不相等的实根；③若方程（）的一个根为，则方程的两根分别是和；④已知两实数，满足，，且，则．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①对于， 当时，， ∴是方程的根，方程有实数根， ，故①正确； ②若有两个不相等的实根，则其判别式， 对于方程，其判别式， ，， ，方程有两个不相等的实根，故②正确； ③令，则方程可化为，与原方程形式相同， 原方程一个根为，设另一根为，原方程整理得， 可得，即， ∴的根为和， ， ∴两根为和，故③正确； ④，将两边同除以，整理得， ，且， 可得和都满足方程， 得，即，故④正确； 综上，正确的结论有个． 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程下列说法，正确的个数是（   ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若有两个不相等的实数根，则有两个不相等实数根； ⑤若有两个不相等的实数根，则也有两个不相等的实数根； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：一元二次方程的判别式为， ，， 故①正确； 是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， 故②正确； 是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 故③正确； 有两个不相等的实数根， ， ∵一元二次方程的判别式为： ， ∴方程有两个不相等实数根， 故④正确； 由有两个不相等的实数根， ， 令，得， ， 故有两个不相等的实数根， 故也有两个不相等的实数根； 故⑤正确； 7．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知一元二次方程的两根分别为、． （1）值为_________； （2）写出一个以、为根的一元二次方程：_________． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：（1）一元二次方程的两根分别为、， ，， ； （2）由（1）可知，，， 设符合条件的方程为， ，， ，， 符合条件的方程可以为（答案不唯一）． 8．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是______． 【答案】①②④ 【详解】①∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确， ②连接， 由①中证明， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，故②正确， ③如图，设与的交点为G， ∵，， ∴，， ∴，故③不正确， ④：∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 题型3 双空题 9．（23-24八年级下·安徽六安·期中）如图，在等腰直角中，，点和点将斜边三等分，且， （1）若点在边上移动，则的最小值等于______； （2）若点在的边上移动，则满足的点的个数是______． 【答案】 6 【详解】解：（1）如图，作点F关于的对称点，连接交于点N，连接交于点H，连接、、、，则，   点E，F将对角线三等分，且 ， 点M与点F关于对称， ， 即 ∴的最小值等于； 故答案为：； （2）由（1）知在线段存在点H到点E和点F的距离之和最小为 在点H右侧，当点P与点C重合时，则 点P在上时，，有一个点P使 在点H左侧，当点P与点B重合时， ，， 点P在上时，有一个点P使， 在线段上的左右两边各有一个点P使 同理在线段、上也都存在两个点使 即共有6个点P满足； 故答案为：6． 10．（23-24八年级下·安徽池州·期中）如图，是等边三角形外一点， （1）当等边三角形的边长为4时，等边三角形的面积为_________． （2）已知，，当长最大时，等边三角形的面积为_________． 【答案】 【详解】解：（1）如图，为等边三角形，，过A作于D，    则：， ∴， ∴的面积为：； 故答案为：； （2）以为边作等边，连接． ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴的最大值为5， ∴当A，D，E三点共线时，的值最大，且为5， 如图，过点C作，垂足为F，过点B作交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据等边三角形的性质可得，， ∴中边上的高， ∴的面积为， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）在中，点在边上运动，点在边上运动． ①若，，，则点到直线的距离为_______． ②若，，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：①过点作交于点，如图： ∵，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． ②过点作交于点，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，中，，，是的角平分线，是上的动点． （1）若，则的长度为______； （2）若是边上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：（1）∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，，即最小，最小值为的值， ∴此时有， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知为一元二次方程的一个根，且为有理数，则_______，_______，此时若，且，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，为有理数， ∴，也为有理数， 故当时候，只有，， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值即为点到点和的距离之和的最小值， ∵点关于轴的对称点为， ∴当、、三点共线时，点到点和的距离之和取得最小值， 最小值为 故答案为：，， 14．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，平分交于点． （1）若，则______； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，.则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：（1）∵，平分交于点 ∴ ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴ 在取点F，使，连接，，过点F作于H， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，点为边的中点，点，分别为边，上的点，且，，连接，，． （1）_____°； （2）若，则_____． 【答案】 45 【详解】解：（1）在中，， ． ，， ，． ． ． 故答案为：45； （2）如答图，延长至点，使，连接，． 点为的中点， ． 又，， ． ，． 又，， ． ， ． ． ，， ，，． ． ． ． （负值舍去）． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点为边上的动点，点为边上的动点． （1）则的最小值为______． （2）则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：（1）由题意知，当时，取得最小值， 此时，，， ． 故答案为：． （2）取点关于的对称点，过点作于点，连接交于点， 可知当点与点重合时，点与点重合时， ，为最小值． ，， ，． ，， 在中，， ∴， ， 的最小值为． 故答案为：． 17．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，． （1）若，则_______________． （2）点D和点E是上的点且，若，则_________________． 【答案】 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）将绕点旋转，得到，连接，如图： 则：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：． 18．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在长方体盒子中，已知，，，长为的细直木棒恰好从小孔处插入，木棒的一端与底面接触，且端点可以在长方形内及边界上任意运动．    （1）长度的最大值为_____； （2）长度的最小值为_____． 【答案】 5 【详解】解：（1）当最小时，最大，当I运动到点C时，最小， 此时长度的最大值为， 故答案为：5； （2）当最大时，最小，当I运动到点A时，最大， 此时， 而， ∴， ∴长度的最小值为． 故答案为：． 19．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在三角形纸片中，，，． （1）如图，在中，斜边长为_____． （2）如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是_____． 【答案】 【详解】解：（1）在中，，根据勾股定理： ， 故答案为：； （2）由折叠的性质可知： ，，， 在中，， ， ， 设，则，因此， 在中，根据勾股定理：， 代入，得：， 解得，． 故答案为：． 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则______； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是________． 【答案】 6 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为6． 故答案为：6． 21．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则______； （2）若，则实数x的值为______． 【答案】 3 2 【详解】解：（1）当，，可知， ∴． （2）当时，， 即． 解得．（舍去）； 当时，， 解得（舍去）， ∴x的值为2． 22．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的方程有两个不相等的实数根．①求a的取值范围为_________________②若关于的方程的解为整数且满足①中条件的所有a值的和为______________， 【答案】 且 【详解】∵关于的方程有两个不相等的实根， 且， 解得且； 把关于的方程去分母得， 解得， ， ∴，解得， ∵为整数， ， ， 而且， ∴的值为， ∴满足条件的所有整数的和是． 故答案为：且；． 23．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是___________（填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为___________． 【答案】 两个不相等实根 【详解】解：（1）∵， ∴故该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． （2）设方程的两个根为：， 则，， ∴， ∴ ∴ 故答案为． 24．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）实数a，b，c满足． （1）当时，则_______ ； （2）实数a的取值范围是___________ ． 【答案】 【详解】解：（1）把代入，得： ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴可以看作是一元二次方程的两个根， ∴， 解得：； 故答案为：． 25．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列等式： 根据上述规律，解决下列问题： （1） ________（填“”、“”或“”）； （2）填空： _________． 【答案】 2025 【详解】解：（1）根据题意：， ∵， ∴， 故答案为：； （2）原式 ， 故答案为：． 26．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题： （1）若，且均为正整数，则______； （2）化简的正确结果为_______． 【答案】 3 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：3． （2） ． 故答案为：． 27．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”． （1）的“还原方程”是______； （2）若，则代数式______． 【答案】 4 【详解】解：（1）， 去分母得：， 移项得：， 两边平方得：， 整理得：， ∴的“还原方程”是， 故答案为：； （2）当时， ， 故答案为：4． 28．（23-24八年级下·安徽宿州·期中）如图，D是等边外一点，，，则的最大值是____，此时的面积为_____． 【答案】 5 【详解】解：以为边作等边，连接． ，，， ， 在和中， ， ， 在中， ，， ， ， 当点A、D、E三点共线时，最大， 的最大值为5， 的最大值为5． 当取最大值时，则点A、D、E三点共线，如图， 过点A作，交延长线于F，过点B作于G， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得 ∴ ∵等边， ∴， ∴ ∴ 故答案为：5；． 29．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图所示，点和点分别为轴与轴上一点，且，为直线上一点，作交轴于点． （）若点的横坐标为，则 ______； （）若为线段中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：（）∵点和点分别为轴与轴上一点，， ，， 为直线上一点，点的横坐标为， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 交轴于点， 设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 故答案为：； （）由（）知，，， 为线段中点， ， 作轴于点，轴于点， 点在直线上，， ， ，， ， 在与中， ， （）， ， 作点关于直线的对称点，连接则的长即为所求， ， ， 故答案为：． 30．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）在中，． （1）若，则_____； （2）若，点，分别是线段上的两个三等分点，点是腰上一点，则的最小值为_____． 【答案】 9 【详解】解：（1）∵， ∴， 则， 过点作， 在中， ∴， 故答案为：9； （2）∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则， ∵点，分别是线段上的两个三等分点， ∴， 当点在时，作点关于的对称点，连接， ∴ ∵点是腰上一点， ∴连接交于一点， 当点与点G重合时， 则， 即的最小值为， ∵点关于的对称点， ∴， 即 在中， 即的最小值为， 当点在时， 同理得的最小值为， 综上：的最小值为， 故答案为：． 31.（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，平分交于点． （1）若，则________________°； （2）已知，点是边上一点，且，点是上一动点，连接，．则的最小值为_______________． 【答案】 100 【详解】解：（1）∵，平分交于点 ∴ ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴ 在取点F，使，连接，，过点F作于H， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 32．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则__________； （2）经过 ____________________秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 【答案】 【详解】解：（1）动点从点出发，沿向终点以的速度移动， 经过秒，， ． 故答案为：； （2），，． 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 故答案为：． 题型4 多解问题 33．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，已知． （1）的长为______． （2）点，分别是，上一点，沿着直线将折叠，得到，已知点落在边上，若是直角三角形，则的长为______（注：） 【答案】 或 【详解】（1）在中，，则， ； 故答案为：． （2）如图1，当时，由折叠可知． 设，由，得， 则， ， ， ． 如图2，当，，则， ， ． 故答案为：或． 34．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为______； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为______． 【答案】 ； 或 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 35．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，， （1）______； （2）将沿着折叠，使点B的对应点落在边上的D点处，若是以为腰的等腰三角形，则______． 【答案】 8 4或4 【详解】（1）解：在中，，，， ； （2）解：在中，， 由折叠的性质知，，， 设，则、， 是以为腰的等腰三角形， 分两种情况讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时，， 、， 、， ， ， ， 点与重合， 如图： ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 综上所述，的长为4或． 36．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是________；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为________． 【答案】 ② 2或0 【详解】解：① ， ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ② ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该方程是“自然方程”； ③ ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； 故答案为：② （2）， ∴， ∴， ∴， ∵方程是“自然方程”， ∴， ∴或0． 故答案为：2或0 37．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是______（填序号） ①；②；③；④． （2）若方程是“自然方程”，n的值为______ 【答案】 ②④ 0或2 【详解】解：（1）①， ， ， 解得，， ∵， ∴方程不是“自然方程”； ②， ， 解得，， ∵， ∴方程是“自然方程”； ③ ， 解得，， ∵， ∴方程不是“自然方程”； ④， ， ， 解得，， ∵， ∴方程是“自然方程”； 故答案为：②④； （2）， ， 解得， ∵， ∴， 解得或． 故答案为：0或2． 38．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求_____． （2）过点作于点．在点的运动过程中，当_____时，能使． 【答案】 5或11 【详解】解：（1）由题意得：当秒时，， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：； （2）①当点P在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使． 故答案为：5或11． 39．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，B点的坐标是，，点C在线段上，是靠近点A的三等分点，点P是y轴上的点，当是等腰三角形时，点P的坐标是__________. 【答案】或或或 【详解】解：∵B点的坐标是，， ∴，由勾股定理得， ∵点C在线段上，是靠近点A的三等分点， ∴， 作， ∴， ， 则点C的坐标为， 设点P坐标为， 当时， ， 解得，或， 点P坐标为或； 当时， ， 解得，（舍去）或， 点P坐标为； 当时， ， 解得，， 点P坐标为； 故答案为：或或或． 40．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知在中，； （1）边上的高为______； （2）将沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原不全等的新三角形，则折痕的长为_____． 【答案】 或 【详解】解：（1）设边上的高为，垂足为G， 设，则， 由勾股定理得 ，， ， 代入得 ， 解得． ． （2）分两种情况讨论∶ ① 当折痕过点A，且为边上的高时，剪开后两个直角三角形可拼成与原不全等的新三角形，如图， ，， ． 由勾股定理得 ． ② 当折痕过点B，且为边上的中线时，剪开后两个三角形可拼成与原不全等的新三角形，如图， 为中点，， ． 由（1）得 ，， ． 由勾股定理得 ； ③当折痕过点C，且为边上的中线时，剪开后两个三角形可拼成与原不全等的新三角形，如图，同② 可求， 综上，折痕的长为或． 41．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）如图，长方形（长方形的对边相等，每个角都是），，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为． （1）当点和点距离是时，__________． （2）当__________，为直角三角形（）． 【答案】 或 或或2 【详解】解：（1）如图1，作于， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：， 如图2，作于， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， 解得：， 综上：或． （2）如图， 点P，Q，D为顶点的三角形是直角三角形且． 当， ，， 由（1）可知， ， ， 解得：或； 如图，当时， ，， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或或2时，为直角三角形． 题型5 二次根式规律与阅读材料类综合题 42．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：， ， ， 请利用你所发现的规律． (1)写出第4个式子______； (2)写出第个式子______，并证明其正确性（用含的等式表示，为正整数）． (3)计算． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：根据题干中的规律，可得 第4个式子为：； （2）解：根据题干中的规律，可得 第个式子为：； 证明： 左边 右边， 等式成立； （3）解： ，，   原式 ． 43．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； (2)的算术平方根为_________________； (3)若，且、、均为正整数，求的值； (4)化简：． 【答案】(1)； (2) (3)的值为或 (4) 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：；； （2）解：∵， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或； （4）解：∵ ， ∴． 题型6 一元二次方程的综合应用 44．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）对于实数a，b，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：解方程得或， 当，时，∵， ∴； 当，时，∵， ． ∴的值为或． 45．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】(1) (2) (3)这四个连续正整数为1，2，3，4 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 46．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）项目式学习主题：用几何方法解一元二次方程 项目 背景 八年级上册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米用不同的构图方法解一元二次方程．下面以解一元二次方程即的两种几何解法为例： 材料1 赵爽构图 可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个这样的矩形构造出图1形状的大正方形． 材料2 阿尔·花拉子米构图 用一个边长为的正方形和两个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个图3的大正方形．通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程：． 【问题解决】 (1)任务1：在材料一中，大正方形面积可以表示为_________（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于__________，故可得到方程_______． (2)任务2：根据材料二中的构图方法，画图说明的几何解法（在图上标上相关数据），并求出方程的解． 【拓展应用】 (3)任务3：一般地，对于形如：的一元二次方程可以通过构图方法来解．已知图4是由4个面积为6的相同矩形构造出的大正方形，中间围成的小正方形面积为25．请直接写出_______，_______． 【答案】(1)；； (2) (3)； 【详解】（1）在材料一中，大正方形面积可以表示为，另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于，故可得到方程； （2）由，可得， 仿照材料二构图如下： 由图形面积关系可得：，即， ， 或（舍去）， 方程的解为； （3）一元二次方程，即， 由题意得，，解得：， 中间围成的小正方形面积为， 小正方形的边长为， 若矩形的长为，宽为，则，解得， 若矩形的长为，宽为，则，解得， ． 题型7 勾股定理及逆定理综合应用 47．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)画一个一边是有理数，另外两边是无理数的直角三角形； (2)画一个一边长为，面积为6的等腰三角形． 【详解】（1）解：（答案不唯一） 根据，可以画一个斜边是有理数2，另外两边是无理数的直角三角形，画图如下： 该三角形即为所求； （2）解：如图，底边长为，底边上的高为的等腰三角形． ∴， ∴所画三角形即为所求． 48．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）[探究] （1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________； ②据此求出的最小值； [类比] （2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________． 【答案】（1）①，；②； （2） 【详解】和是直角三角形，， 在中，，， ， 在中，，， ， 故答案为：，． ②如图所示，过点做的平行线交延长线于点， ∴，， 当点，，三点共线时，有最小值， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）如图所示，，，，，，设，则， ∴，， 当，，三点共线时，的值最小， ∴由上证明可得，，， ∴在直角中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 49．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，为底边上的高线，E是上一点，连接交于点F，且．    (1)求证：； (2)如图1，若，，求的长； (3)如图2，若，以，和为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为3.5 (3)以，和为边，能围成直角三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：在中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴； （2）解：由（1）可知， 在中，由勾股定理得，， ∵在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的长为3.5； （3）解：能围成直角三角形，理由如下： 如图，在上取一点H，使，连接，，    ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴以，和为边，能围成直角三角形． 50．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读材料： 例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解：． 几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为． 根据以上阅读材料，解答下列问题：    (1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标） (2)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标） (3)求出代数式+的最小值． 【答案】(1)或； (2)； (3)最小值为10． 【详解】（1）∵原式化为的形式， ∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点或的距离之和， 故答案为或； （2）∵原式化为的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和， 故答案为：． （3）如图所示：设点A关于x轴的对称点为，则，    ∴的最小值，只需求的最小值，而点、B间的直线段距离最短， ∴的最小值为线段的长度， ∵ ∴，， ∴ ， ∴代数式的最小值为10． 51．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）（1）【问题呈现】在学习等边三角形的知识时，老师提出了这样一个问题： 如图①，在中，，，那么和有何数量关系？ 请证明你的猜想． 在老师提出问题后，同学们都进行了积极的探索并试着进行证明．下面是小曼同学的部分解答． 猜想：． 证明：把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上．（请补全小曼后面的证明过程） （2）【拓展变式】把（）中条件改为“如图②，在中，，”，则 ． （3）【能力迁移】通过以上问题的解决，我们发现：翻折可以探索一些图形的性质．请利用翻折解决下面的问题． 如图③，是内一点，且平分，若，，探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【详解】(1)证明∶把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上． 又∵，， ∴为等边三角形． ∴． (2)解：如图所示，把沿着翻折，得到，连接． 由折叠可得 ，，，． ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． (3)．理由如下： 如图，把沿边翻折得到，连接，，则，， ，． ∵平分，， ∴． ∴． 又∵ ，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． 在中，， 又∵，， ∴． 52．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）问题发现：如图1，在中，，为边所在直线上的一动点（不与点、重合），连接，以为边作，且，则与的数量关系为______，位置关系为______ （1）探究证明：如图2，在和中，，，且点在边上滑动（点不与点、重合），连接． 求证：； （2）如图3，在四边形中，，若，，求的长． 【答案】问题发现：，；（1）详见解析；（2） 【详解】解：（1）， 证明：， 即 在和中 ，， 在中，， ． ． （2）证明：， 即 在和中 ， 又和中，， 中，， （3）如图，作，，连接，， 则是等腰三角形 ， 即 在和中 ， 53．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，动点从点出发，按的路径运动（回到点停止），且速度为每秒个单位，设运动时间为秒． (1)在中边上的高长为______；边上的高长为______； (2)当时，求的值； (3)如图，若是等腰三角形，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)为秒或秒或秒或秒． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：如下图所示，过点作， ， ， 在中，， ， ； （3）解：如下图所示， 当时，是等腰三角形， 过点作， 由可知， ， ， ， 秒； 当点运动到点时，， ， 秒； 如下图所示，当时， ， ， ， 秒； 如下图所示，当时， 过点作，则， 由可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：； ， ， 秒； 综上所述，若是等腰三角形，的值为秒或秒或秒或秒． 54．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，于点，平分，交于点E，过E作于点F，交于点G．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【详解】（1）解：在中，，于点D， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵平分 ∴ （2）如图，作于M，于N． ∵平分， ∴， ∴、均为等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，解得． ∵为等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴．    55．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由； (3)已知的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足，求的斜边的长． 【详解】（1）证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ； 又∵ ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点A作交延长线于H，设， 在中，， 在中，， ∴， 化简得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， ∵ ∴， ∴， 解得，， ∵ ∴， ∴（负值舍去） ∴的斜边的长为． 56．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）在和中，的顶点在直线上，连接、． (1)_____(直接填写度数)； (2)(i)如图1，当点在线段上时，若，求的值； (ii)如图2，当点在射线上时，若，求的面积． 【答案】(1)45° (2)； 【详解】（1）和都是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， （2）(i)由（1）得： ， ， 是直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即 ， (舍去负值) (ii)如图，过点作，垂足为 ， ， ， ，即， 又， ∴， ， ， ， ， ∴． 57．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图1，在中，，点是中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，线段交边于点． (1)如图2，当落在上时，证明：为直角三角形； (2)若为直角三角形，求长； (3)线段的最小值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)6或 (3) 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （2）解：在中，∵， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 当时，此时， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过点E作交于点G，连接，则， ∴， 设，则， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为6或； （3）解： 如图，连接， 根据题意得：， 即当点在上时，取得最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为： 58．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图1，中，，，．动点从点出发沿着射线移动． (1)在点移动过程中，的最小值是多少？ (2)在点移动过程中，若，长为多少？ (3)如图2，点在延长线上，，另一动点从点处出发沿着与垂直的射线移动，点与点同时同速移动，连接．当点移动到某一位置，使得，此时长为_________． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：如图所示，当时，的值最小， ∵，，， ∴由勾股定理得， ∴由等面积得， ∴的最小值是； （2）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）可得， 由勾股定理得， ∴； （3）解：如图2所示，射线相交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 即， 解得， 由勾股定理得， 假设，则， ∴，， 由勾股定理得， 即， 解得或， ∴长为或． 59．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．    (1)请你利用图1验证勾股定理； (2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值； (3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积． 【答案】(1)验证见解析 (2)， (3) 【详解】（1）解：∵大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ∴ ∴； （2）解：由题意得， ∴， ， ∴， ∴，是方程的两根， 解得， ∵， ∴，； （3）解：作于点， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：． ∴ ． 60．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图①，直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，利用图①可以拼出图②和图③． (1)“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图②所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．根据图形，我们可以得到等式：___________，___________，___________． (2)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，已知， ①求出的值； ②求证：关于的方程必有两个不相等的实根； ③若第②问中的方程有一根是4，求出方程的另一个根． 【答案】(1)，， (2)①41；②见解析；③5 【详解】（1）解∶根据题意得：大正方形的面积为，小正方形的面积为，每一个三角形的面积为， ∴图2得到的等式为∶，即， 或，或， 故答案为∶ ，，； （2）解∶①设直角三角形的长直角边为x，短直角边为y， 则，，， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根； ③把代入， 得， 又，， ∴， 化简得， 解得或（舍去）， ∴， ∴原方程为， 解得，， ∴方程的另一根为5． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $