专题9.4 复数的三角形式（三大题型）（高效培优专项训练）数学沪教版高一必修第二册

专题9.4 复数的三角形式 题型一：复数的三角形式 题型二：三角形式下的复数的乘除运算 题型三：三角形式下的复数的乘方与开方 题型一：复数的三角形式 1．（25-26高一下·全国·月考）复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（25-26高一下·全国·课后作业）复数化成三角形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川雅安·月考）复数的三角形式为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）将复数化为代数形式为_________． 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）将复数化为三角形式：___________． 7．（25-26高一下·全国·课后作业）复数化为三角形式为_____________，_____________． 8．的三角形式为_____________（要求辐角为辐角主值）． 9．设复数，则的模和辐角的主值分别为________． 10．（2025·四川成都·一模）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则=______． 题型二：三角形式下的复数的乘除运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 4．（24-25高一下·江苏盐城·期末）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是___________，辐角的主值是________． 6．_________. 7．计算的结果是______. 8．将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是_________. 9．已知复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点为，联结，将向量绕点逆时针旋转角得到一个新的向量，向量的终点在虚轴上，则的最小正角是 ____（用反余弦表示）． 10．计算下列各式： (1)； (2)； (3). 11．计算： (1) (2). 题型三：三角形式下的复数的乘方与开方 1．（25-26高三上·广东·期末）任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·一模）任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东菏泽·期中）（   ） A． B． C．1 D． 4．（25-26高三上·河北·开学考试）已知复数（为虚数单位），则等于（    ） A．1 B． C． D． 5．计算：_________．(用代数形式表示) 6．（24-25高三上·上海·期中）设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为________. 7．（24-25高一上·上海·课后作业）复数的平方根是____________． 8．计算：____________． 9．若，则______________． 10．设，则______． 11．计算：______． 12．（25-26高一下·河南安阳·月考）已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. (1)若，试将复数写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 13．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.4 复数的三角形式 题型一：复数的三角形式 题型二：三角形式下的复数的乘除运算 题型三：三角形式下的复数的乘方与开方 题型一：复数的三角形式 1．（25-26高一下·全国·月考）复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】复数的三角表示 【分析】先将复数化为三角形式，再根据复数的幂运算法则求出，最后根据建立等式求解. 【详解】，则， 由于得：， 故,解得， 因为，所以的值可以是5，11，17，. 故选：C. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）复数化成三角形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.84 【知识点】复数的三角表示、复数的三角形式、诱导公式二、三、四、特殊角的三角函数值 【分析】求出复数的辐角，即可得其三角形式. 【详解】复数对应的点为，. 设复数的辐角为，则. 因为点在第四象限，所以的一个值为. 所以复数化成三角形式为. 故选：C. 3．（24-25高一下·四川雅安·月考）复数的三角形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四、复数的三角表示 【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式即可求解. 【详解】∵，， ∴，，故选项A，C错误； ∵，， ∴，，故选项B正确，选项D错误. 故选：B. 4．（2025高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据欧拉公式写出复数的代数形式，进而确定对应点，即可得答案. 【详解】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）将复数化为代数形式为_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、复数的三角表示 【详解】． 6．（25-26高一下·全国·课堂例题）将复数化为三角形式：___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据复数三角式的形式进行求解即可. 【详解】，设该复数的辐角主值为， 因为复数在复平面上的对应点的坐标为，它在第二象限， 且，所以， 所以. 故答案为： 7．（25-26高一下·全国·课后作业）复数化为三角形式为_____________，_____________． 【答案】 【难度】0.67 【知识点】复数的三角表示、复数的三角形式 【分析】根据复数的形式，由实部和虚部的值直接确定复数的三角形式. 【详解】复数对应的点在第一象限，且，. 因为，所以． 故答案为：；. 8．的三角形式为_____________（要求辐角为辐角主值）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的三角形式、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算得到复数的代数形式，将复数的代数形式求出复数的三角形式. 【详解】由题意得 ， 此复数的辐角为，，则为辐角主值，符合题意， 故的三角形式为. 故答案为：. 9．设复数，则的模和辐角的主值分别为________． 【答案】32； 【难度】0.64 【知识点】复数的三角表示、复数的三角形式 【分析】先将复数化成三角形式，再利用复数的乘方公式化简，即可求得复数的模与辐角主值. 【详解】因为 ， 所以复数的模为32，辐角的主值为． 故答案为：32；． 10．（2025·四川成都·一模）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则=______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示、求复数的模 【分析】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模． 【详解】由欧拉公式得，又， 所以，． 故答案为：． 题型二：三角形式下的复数的乘除运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据复数乘法的三角表示公式计算即可. 【详解】因为，所以 . 故选：C. 2．的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复数的三角形式、复数的除法运算、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】利用复数的除法运算并结合两角和差的正余弦公式化简即可. 【详解】 . 故选：C 3．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示、复数乘、除运算的三角表示、复数的三角形式 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】， 故选：C. 4．（24-25高一下·江苏盐城·期末）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】利用欧拉公式结合复数的指数运算可求得结果. 【详解】. 故选：C. 5．把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是___________，辐角的主值是________． 【答案】 / 【难度】0.85 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角形式 【分析】利用复数旋转的乘法公式，根据与旋转后的结果相等及的代数形式列等式，即可求得的代数形式，再求其辐射角主值即可. 【详解】由题意可知， 又， 则 ， 可知对应的坐标为，则它的辐角主值为. 故答案为：；. 6．_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 【分析】借助复数的三角表示的运算法则计算即可得. 【详解】 . 故答案为：. 7．计算的结果是______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 【分析】先将以及转化成复数的三角形式，利用复数三角形式的运算法则计算即可. 【详解】解：， 同理可得， 原式． 故答案为： 8．将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是_________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示、复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据复数的三角形式运算即可求解. 【详解】复数的三角形式是, 向量对应的复数是. 故答案为： 9．已知复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点为，联结，将向量绕点逆时针旋转角得到一个新的向量，向量的终点在虚轴上，则的最小正角是 ____（用反余弦表示）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算、根据复数对应坐标的特点求参数、复数的向量表示 【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算求出所对复数，进而求出点的坐标，即可推理计算作答. 【详解】依题意，点，则向量所对复数为， 因此向量所对复数为， 于是得点，而点在虚轴上，则， 又，则点在以点为圆心，5为半径的圆上，此圆与y轴交于两点， 因此当取最小正角时，点在虚轴的负半轴上，， 从而得，显然点在直线的上方，即， 所以. 故答案为： 10．计算下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.69 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据复数三角形式的乘法运算直接求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式. （3） . 11．计算： (1) (2). 【答案】(1) (2) 【难度】0.75 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】（1）（2）利用复数三角形式的乘法运算求解. 【详解】（1） （2） 题型三：三角形式下的复数的乘方与开方 1．（25-26高三上·广东·期末）任意一个复数（，）都可以表示成三角形式，即（）（，）.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数：，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】由棣莫弗定理可知，若，则，求出，代入公式化简即可. 【详解】由棣莫弗定理可知，若，则， 因为，所以， 所以， 故选：A. 2．（2026·重庆·一模）任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、复数的三角表示 【分析】根据题意，将化为三角形式，再根据棣莫弗定理化简求值，即得答案. 【详解】 ， 故选：C 3．（25-26高三上·山东菏泽·期中）（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数的乘方、特殊角的三角函数值 【分析】先求出和，再利用完全平方公式求解. 【详解】. 故选：A. 4．（25-26高三上·河北·开学考试）已知复数（为虚数单位），则等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数的乘方、复数的三角表示 【分析】根据复数的三角形式的乘方运算法则进行计算. 【详解】因为复数， 所以. 故选：C 5．计算：_________．(用代数形式表示) 【答案】 【难度】0.94 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】由复数三角形式的除法运算直接求解即可. 【详解】. 故答案为：. 6．（24-25高三上·上海·期中）设为正整数.若存在复数，满足且，则的最小值为________. 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、由复数模求参数 【分析】设，，然后代入中化简可求出，再由结合为正整数可求得答案. 【详解】不妨设，， 因为，所以， 所以， 所以， 整理得，解得， 因为，所以，或 ①当时，则， 或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3， ②当，则， 或时不满足上式，满足上式，即n最小值为3， 综上可知. 故答案为：3 7．（24-25高一上·上海·课后作业）复数的平方根是____________． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】复数的乘方、复数的相等 【分析】设复数的平方根是，结合复数的乘方运算以及复数相等的条件得，解方程组即可求出结果. 【详解】设复数的平方根是， 所以， 所以， 解得或， 所以复数的平方根是和. 故答案为：，. 8．计算：____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即可. 【详解】 ． 故答案为：. 9．若，则______________． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】复数的乘方 【分析】利用复数的三角形式，代入计算可得 【详解】由， 所以， 综上，， 故答案为：1 10．设，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】将复数表示成三角形式，利用复数三角形式的乘方法则可化简. 【详解】因为， 所以，. 故答案为：. 11．计算：______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】由复数三角表示的运算公式计算即可. 【详解】解： 故答案为： 12．（25-26高一下·河南安阳·月考）已知复数可以表示为三角形式：，其中，是以轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角. 已知与的乘积运算公式如下：. (1)若，试将复数写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，. 【答案】(1) (2)最大值为3，最小值为0 (3)答案见解析 【难度】0.52 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、求复数的模、复数的三角表示 【分析】（1）提取复数的模长，将其代数形式转化为标准三角形式； （2）利用，设，代入并通过模长公式、三角恒等变换化简，结合余弦函数值域求最值； （3）设单位复数，分别用乘积运算公式和多项式乘法计算，对比实部、虚部推导三倍角公式. 【详解】（1）设. （2）因为，故设. 故 ， 故，故的最大值为3，最小值为0. （3）设， 则， 但 ， 故，. 【点睛】本题综合考查复数的三角形式及相应运算，核心方法是利用单位复数的三角表示，将复数问题转化为三角运算问题，实现复数与三角学的联动应用. 13．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在复平面内，复数对应的向量为(O为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转所得的角为，则，此为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理: ，，则.由棣莫弗定理导出了复数乘方公式: . (1)将复数表示为三角形式; (2)根据复数乘方公式，化简: 【答案】(1). (2) 【难度】0.54 【知识点】求复数的模、复数的乘方、复数的三角表示、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】（1）求出的值即可得答案； （2）由题意可得，再利用诱导公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，当时， ， 故； （2） ， 故. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $