第16讲 复数的三角形式（核心考点讲与练）-2021-2022学年高一数学下学期考试满分全攻略（沪教版2020必修第二册）

第16讲 复数的三角形式(核心考点讲与练) 1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角主值 一般地，如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝， 根据任意角余弦、正弦的定义可知 cos θ＝，sin θ＝. 因此a＝rcos θ，b＝rsin θ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(rcos θ)＋(rsin θ)i＝r(cos θ＋isin θ)， 上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角． 显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z 2．复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)×r2(cos θ2＋isin θ2) ＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． (3)[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)]. 一.代数形式化为三角形式 例1．（2021·浙江高一单元测试）把下列复数的代数形式化成三角形式. （1）； （2）. 二.三角形式化为代数形式 例1．（2020·河北冀州中学（衡水市冀州区第一中学）高三月考）任意复数（，为虚数单位）都可以的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（ ） A． B． C． D． 例2．（2020·全国高三专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． （1）4； （2）2 三.复数三角形式的乘、除运算 例1．（2020·全国高一课时练习）计算： （1）； （2）. 例2．计算： (1)； (2)(cos 75°＋isin 75°)×； (3)÷. 四.复数三角形式乘、除运算的几何意义 例1．（2020·全国高一课时练习）将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是 A． B． C． D． 例2．（2020·全国高一课时练习）将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是 A．2i B． C． D． 例3．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，求与所得向量对应的复数（用代数形式表示）. 例4．（2020·全国高一课时练习）在复平面内，设为坐标原点，点所对应的复数分别为，且的辐角主值分别为，模长均为1.若的重心对应的复数为，求. 例5．（2020·全国高一课时练习）设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点O按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则（ ） A． B． C． D． 五.三角形式下复数的乘方与开方 例1．（2020·全国）复数（ ） A． B． C． D． 例2．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式： （1）； （2）. 例3．（2020·全国高一课时练习）计算的值. 分层提分 题组A 基础过关练 一、单选题 1．（2021·上海·高一课时练习）如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（       ） A．辐角唯一 B．辐角主值唯一 C．辐角主值为 D．辐角主值为 2．（2021·上海·高一课时练习）复数的三角形式为（       ） A． B． C． D． 3．（2021·上海·高一单元测试）复数的三角形式为（       ） A． B． C． D． 4．（2021·上海·高一单元测试）已知复数（为虚数单位），若，则（       ） A． B． C． D． 5．（2021·上海市建平中学高一期末）设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2021·上海市延安中学高一期末）的三角形式是（       ） A． B． C． D． 7．（2021·上海·高一课时练习）已知复数的辐角为，的辐角为，则复数等于（       ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2021·上海·高一课时练习）复数的辐角主值为__________． 9．（2021·上海·高一课时练习）复数的三角形式为__________． 10．（2021·上海·高一课时练习）复数的三角形式为__________． 11．（2021·上海·高一单元测试）复数的幅角主值为___________. 12．（2021·上海·高一期末）复平面内向