专题9.3 实系数一元二次方程（二大题型）（高效培优专项训练）数学沪教版高一必修第二册

专题9.3 实系数一元二次方程 题型一：实数的平方根 题型二：实数系一元二次方程 题型一：实数的平方根 1．若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】实数的平方根 【分析】根据实系数方程的虚根成共轭复数求解即可. 【详解】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为. 故选：B． 2．已知关于的方程在复数集中的根为、，则下列结论正确的是（    ） A．、互为共轭复数 B．， C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】若两个根、都为实根，则A不成立，若两个根、 都为虚根，则C D不成立，故只有B恒成立，从而得到结论． 【详解】若两个根、都为实根，则A C不成立，B D成立． 若两个根、 都为虚根，则C D不成立，A B成立． 综上，只有B恒成立. 故选: B 3．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知b，，虚数是方程的根，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】结合题意利用根与系数的关系即可求解. 【详解】是方程的根，则方程另一根为， 故， . 故选：. 4．若，则方程（    ） A．可能有两个实根 B．可能有一个实根一个虚根 C．可能有一对共轭虚根 D．不可能有两个虚根 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求共轭复数的复数特征、复数的相等 【分析】设出方程的根，写出韦达定理，根据韦达定理判断两根是实数还是虚数. 【详解】设是方程的两根， 根据韦达定理，得，， 因为两个实数的乘积仍然是实数，所以不可能是两个实根，选项A错误； 因为两个互为共轭复数的乘积是一个实数，所以也不可能是一对共轭虚根，选项C错误； 这个方程可能有一个实根和一个虚根，也可能是两个虚根，所以选项B正确，选项D错误. 故选：B. 5．（24-25高一下·河南开封·期末）已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝______． 【答案】19 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、实数的平方根、复数代数形式的乘法运算 【分析】由题意可得方程的另一个根为，然后利用根与系数的关系可求出的值，从而可求出 【详解】因为是关于x的方程的一个根， 所以是方程的另一个根， 所以，解得， 所以， 故答案为：19 6．若是实系数一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】将代入方程可得，即可求出. 【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根， 所以，即， 整理得， 所以，解得，则. 故答案为：. 7．复数的平方根是_____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据相等条件求参数、复数的乘方、复数的平方根与立方根 【分析】设复数的平方根是结合复数的乘方运算以及复数相等的条件得，解方程即可求出结果. 【详解】设复数的平方根是，所以，即，由复数相等得，解得或，所以或， 故答案为：. 8．若z满足方程，则的值是______． 【答案】-1 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根、复数的乘方 【分析】根据方程，可得，分别求解当时和时，的值，即可得答案. 【详解】由题意得： ， 当时，， 则， 所以； 当时，， 则， 所以， 综上， 故答案为：-1 题型二：实数系一元二次方程 1．（24-25高一下·山西大同·期中）已知方程（R）的四个根均为虚数，且以这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形面积为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数范围内方程的根、根据复数对应坐标的特点求参数、复数的相等 【分析】利用复数的四则运算法则,复数相等的条件及其几何意义求解即可. 【详解】由已知得或， 当时，此方程的两个虚数根互为共轭复数， 设，，其中R, 将代入方程得， 整理得，则， 解得 ，即， 同理可得，当时，该方程的虚数根为， 由复数的几何意义可知，这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形为等腰梯形， 则该等腰梯形的面积为，解得， 故选：. 2．（2026·湖北黄冈·一模）设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 【答案】A 【难度】0.9 【知识点】复数范围内方程的根 【详解】由复数是关于的方程的一个根， 得复数是该方程的另一个根，则， 所以. 3．（25-26高一上·云南昭通·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】，结合二次函数的图象即可得出答案. 【详解】，二次函数图象开口向下，可知解集为， 故选：D. 4．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）若虚数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数范围内方程的根 【分析】二次方程有虚数根时，则也有其共轭复数作为另一个根，结合韦达定理求解. 【详解】由题意有虚根，则是方程的另一个根， 根据韦达定理，，解得. 故选：D 5．（2025·安徽·模拟预测）若复数，实数满足，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、根据相等条件求参数、复数范围内方程的根 【分析】法一：利用复数运算法则得到，从而得到方程组，求出，得到答案； 法二：变形得到，是的根，故是方程的另一个根，由韦达定理得到，求出答案. 【详解】法一：因为， 所以， 所以，解得，故； 法二：，故， 因为是的根，故是方程的另一个根， 由韦达定理得，， 故，所以. 故选：D 6．已知复数满足（为虚数单位），．则一个以为根的实系数一元二次方程为__________________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、复数范围内方程的根 【分析】根据条件可得，然后得到．由实系数一元二次方程的两根，，即可得结果． 【详解】解：∵复数满足 ∴， 即∴， 故． 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根， ∵，， ∴所求的一个一元二次方程可以是． 故答案为： 7．（2025高三·全国·专题练习）若是关于的方程的两个虚数根，且,则实数的值为_____． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数范围内方程的根、求复数的模 【分析】由题意可得二次方程的判别式，可解的取值范围，对其求虚根可求得，进而可得是共轭复数，，结合，即可求得实数的值. 【详解】若方程有两个虚数根， 则有，即，即， 则的虚根为， 即，显然是共轭复数，且， 因为，所以，解得，满足判别式条件， 故答案为：1. 8．（24-25高一下·上海金山·期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】由复数模求参数、复数范围内方程的根 【分析】根据复数模求出复数，再由根与系数的关系求解即可. 【详解】设， 则，解得， 所以或， 由题意可知，. 故答案为：1 9．（24-25高一下·上海·期末）设， 已知方程的两虚根为、. 若， 则_____ 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算 【分析】根据实系数一元二次方程根的共轭和韦达定理求值. 【详解】因为，方程的两虚根为、， 所以. 可设，则（不妨设）， 则根据韦达定理，得：，又， 所以，，. 故答案为：5 10．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为_________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、复数范围内方程的根 【分析】根据韦达定理即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得， 当时，则、均是实数， 又因为，则， 即，解得，符合题意； 当时，、均为虚数， 又，则，即， 解得，符合题意； 则实数的值为或. 故答案为：或. 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知一元二次方程的两个虚根分别为，且满足，则实数p的值为______. 【答案】2或 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】可设，利用根与系数的关系可解得：，.即可求出p. 【详解】因为一元二次方程的两个虚根为共轭虚根， 所以可设（其中）. 所以由根与系数的关系可得. 而，解得：，. 所以当时，；当时，. 故实数p的值为2或. 故答案为：2或. 12．（2025·上海浦东新·二模）若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为____________． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】由复数模求参数、复数范围内方程的根 【分析】设关于的方程的两根虚根为，则且，即可求出的值，再代入检验. 【详解】设关于的方程的两根虚根为，则且， 所以，又，所以， 当时，，所以关于的方程有两个不相等实数根，不符合题意； 当时，，所以关于的方程有两个虚根，符合题意； 所以. 故答案为： 13．（25-26高一下·重庆·月考）已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． (1)求z； (2)设，若在第二象限，求实数t的取值范围； (3)若复数z是方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.72 【知识点】复数范围内方程的根、根据复数对应坐标的特点求参数、已知复数的类型求参数 【分析】（1）设，利用已知求得，可得z； （2）结合（1），利用在第二象限，可得t所满足的条件，进而求得实数t的取值范围； （3）利用实系数方程的根的性质可得，计算可求得的值． 【详解】（1）设． 因为为实数，所以，故， 又， 因为它是纯虚数，所以其实部为0，即，故． （2）由（1）知，所以其共轭复数为． 因此． 因为在第二象限，所以 由，得． 由，得，得． 综上，． （3）因为方程系数为实数，所以另一个根为． 于是． 故，，所以． 14．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）由实系数方程的虚根成对的特点与韦达定理计算即得； （2）根据复数的几何意义利用（1）的结论数形结合计算即可. 【详解】（1）由实系数方程的虚根成对的特点，可知方程的另一根为， 由韦达定理，. （2）因复数满足，则复数对应的点表示以为圆心、为半径的圆， 而，在复平面内表示点，而表示点与点的距离， 因点与圆心的距离为， 故 15．（25-26高三上·安徽·月考）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根和． (1)若，求，的值； (2)若，，求和． 【答案】(1)， (2)， 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、复数范围内方程的根 【分析】（1）方法一：根据方程的根的概念，结合复数相等列式求值. 方法二：根据实系数一元二次方程虚数根的关系，结合韦达定理求值. （2）利用求根公式求解. 【详解】（1）(方法一)因为是方程的根， 所以，整理得， 因为，所以 (方法二)依题意，，则， 由根与系数的关系，得. （2），， 所以方程化为，. 由求根公式得， 所以，. 16．（24-25高一下·上海·期末）已知是关于的方程的两个虚根； (1)若（为虚数单位），求实数的值； (2)若满足，求实数的值. 【答案】(1)4 (2)5 【难度】0.65 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的根互为共轭复数及根与系数的关系求解. （2）根据实系数一元二次方程的根互为共轭复数及根与系数的关系求解. 【详解】（1）因为是关于的方程的两个虚根， 当时，. 所以. （2）设，则， 由. 又因为，所以， 所以. 所以分别对应复数和. 所以. 18．（24-25高一下·上海·期末）已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根、已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据实系数一元二次方程根的特征结合韦达定理计算求参； （2）应用复数乘法计算结合纯虚数定义计算求参. 【详解】（1）由复数是实系数一元二次方程的一个根， 得该方程的另一个实根为，因此， 所以. （2）依题意，， 由为纯虚数，得，解得 19．（24-25高一下·福建漳州·期中）复数，，．已知为纯虚数． (1)求m和； (2)复数是方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1)， (2)， 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数范围内方程的根、已知复数的类型求参数、复数的乘方 【分析】（1）根据复数减法以及纯虚数的概念，建立方程与不等式，结合模长公式，可得答案； （2）根据复数的除法以及乘方，由方程的解以及复数相等，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由，且为纯虚数，则，解得， 所以，故. （2）由，则， 整理可得，可得，解得. 20．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． (1)求的值； (2)记复数，求复数的模． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、复数范围内方程的根、求复数的模 【分析】（1）根据虚根成对原理可知也是方程的根，利用韦达定理计算出、，即可得解； （2）由（1）可得，利用复数代数形式的除法运算化简，再计算其模. 【详解】（1）因为是关于的方程的一个根， 所以这个方程的另一个根是， 由韦达定理可知：，解得，所以； （2）由（1）可得， 所以， 所以. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.3 实系数一元二次方程 题型一：实数的平方根 题型二：实数系一元二次方程 题型一：实数的平方根 1．若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的方程在复数集中的根为、，则下列结论正确的是（    ） A．、互为共轭复数 B．， C． D． 3．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知b，，虚数是方程的根，则（    ） A． B． C．4 D．2 4．若，则方程（    ） A．可能有两个实根 B．可能有一个实根一个虚根 C．可能有一对共轭虚根 D．不可能有两个虚根 5．（24-25高一下·河南开封·期末）已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝______． 6．若是实系数一元二次方程的一个根，则______． 7．复数的平方根是_____________. 8．若z满足方程，则的值是______． 题型二：实数系一元二次方程 1．（24-25高一下·山西大同·期中）已知方程（R）的四个根均为虚数，且以这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形面积为4，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北黄冈·一模）设复数是关于的方程的一个根，则（   ） A．20 B．15 C．10 D．8 3．（25-26高一上·云南昭通·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）若虚数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A．4 B． C．2 D． 5．（2025·安徽·模拟预测）若复数，实数满足，则（    ） A． B． C．1 D．4 6．已知复数满足（为虚数单位），．则一个以为根的实系数一元二次方程为__________________． 7．（2025高三·全国·专题练习）若是关于的方程的两个虚数根，且,则实数的值为_____． 8．（24-25高一下·上海金山·期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 9．（24-25高一下·上海·期末）设， 已知方程的两虚根为、. 若， 则_____ 10．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为_________． 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知一元二次方程的两个虚根分别为，且满足，则实数p的值为______. 12．（2025·上海浦东新·二模）若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为____________． 13．（25-26高一下·重庆·月考）已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． (1)求z； (2)设，若在第二象限，求实数t的取值范围； (3)若复数z是方程的一个根，求的值． 14．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值． 15．（25-26高三上·安徽·月考）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根和． (1)若，求，的值； (2)若，，求和． 16．（24-25高一下·上海·期末）已知是关于的方程的两个虚根； (1)若（为虚数单位），求实数的值； (2)若满足，求实数的值. 18．（24-25高一下·上海·期末）已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 19．（24-25高一下·福建漳州·期中）复数，，．已知为纯虚数． (1)求m和； (2)复数是方程的一个根，求实数p，q的值． 20．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． (1)求的值； (2)记复数，求复数的模． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $