专题9.1 复数及其四则运算（四大题型）（高效培优专项训练）数学沪教版高一必修第二册

专题9.1 复数及其四则运算 题型一：复数的加减法 题型二：复数的乘除法 题型三：复数的概念（实部、虚部及共轭复数） 题型四：复数的综合运算 题型一：复数的加减法 1．（25-26高三下·青海西宁·月考）（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的加减法运算，即可求解. 【详解】． 2．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知复数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的加法运算法则求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：B 3．（2025高二上·河南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的运算即可求解. 【详解】， 故选：D. 4．（25-26高三上·湖南·月考）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的四则运算即可求解. 【详解】由已知，，，则， 故选：C. 5．___________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】利用复数加减法的定义及运算性质即可求解 【详解】 ． 故答案为： 6．（25-26高三上·天津·开学考试）是虚数单位，复数满足，则___________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、求复数的模 【分析】设出对应复数，结合题意建立方程求解参数，再利用模长公式求解模长即可. 【详解】设，则， 因为，所以， 可得，得到，解得， 则，由模长公式得. 故答案为： 7．（2025高三·全国·专题练习）计算：______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的加法运算计算即可. 【详解】, 故答案为：. 8．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若复数满足，则________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】根据复数运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为：. 题型二：复数的乘除法 1．（25-26高三上·浙江·期末）设复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算 【分析】根据复数的四则运算计算即可. 【详解】由题意得， 故. 故选：A. 2．（25-26高三上·河北·期中）若 则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘法运算即可. 【详解】由题可得：， 故选：B 3．（2025·广东广州·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算 【分析】根据复数除法计算得，再根据复数模长公式计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：B 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则z的虚部是（    ） A．i B． C． D．1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出即可得解. 【详解】依题意，， 所以z的虚部是1. 故选：D 5．若复数为纯虚数，则实数_______. 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的除法运算及纯虚数的概念求解. 【详解】由为纯虚数， 可得且，解得. 故答案为：5 6．（2024·上海静安·二模）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数 【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果. 【详解】因为， 所以复数是纯虚数，则满足，则， 故答案为：. 7．若为纯虚数，则复数的虚部为__________. 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、已知复数的类型求参数 【分析】利用复数的除法运算化简，再由纯虚数的定义可得，再代入计算可得答案. 【详解】， 因为纯虚数，所以，且，解得， 得，所以虚部为1. 故答案为：1. 8．已知i是虚数单位，则的值为___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、求复数的模 【分析】先求，再求模. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 9．____________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的四则运算直接求解. 【详解】. 故答案为： 10．已知是虚数单位，若（，），则的值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘法及复数相等的概念求得结果. 【详解】， ， 则，可得 ． 故答案为：. 题型三：复数的概念（实部、虚部及共轭复数） 1．（25-26高三下·安徽·开学考试）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的除法运算化简可得，再由共轭复数的概念可解. 【详解】因为， 所以． 故选：C 2．（四川省字节精准教育联盟2026届高三二模数学试题）已知，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算法则，将化成的形式，即可得到其虚部. 【详解】因为，所以. 所以的虚部为. 3．（25-26高三上·安徽淮北·期中）若，则复数的共轭复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数除法运算法则结合共轭复数的概念、复数的概念计算即可. 【详解】由题得，， ，其虚部为，D正确. 4．（2026·广西·模拟预测）若（，i为虚数单位）为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【详解】根据题意，， 由题意，得. 5．（25-26高二下·湖南长沙·开学考试）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【详解】若复数满足， 则， 故复数的虚部为. 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数乘方和除法的运算，求得，再利用共轭复数的定义求得，最后复数的数乘和加法运算计算即可. 【详解】，， 故选：D 7．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知复数满足，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解． 【详解】由，可得, 所以的虚部为， 故选：C 8．若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、已知复数的类型求参数 【详解】试题分析：因为，所以 考点：复数概念 9．复数的实部与虚部之和为______ 【答案】－1 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【详解】试题分析：． 考点：复数的基本概念及运算． 10．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，为虚数单位，则的共轭复数__________． 【答案】 【难度】0.77 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】法一：根据已知化简分子约分得出，即可求解共轭复数；法二：应用分母实数化结合复数的乘法得出，即可求解共轭复数. 【详解】法一，所以的共轭复数为． 法二，所以的共轭复数为． 故答案为：. 11．若复数是纯虚数，则实数___________． 【答案】2 【难度】0.87 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】首先根据复数乘法公式化简复数，再根据纯虚数的特征列式求解. 【详解】因， 要使其为纯虚数，需使且，解得． 故答案为：2 12．（25-26高一上·北京·期末）已知复数是纯虚数，则___________，复数的虚部为___________. 【答案】 10 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的运算，结合纯虚数的概念及虚部的概念即可求解. 【详解】依题意，， 由是纯虚数，得， 解得， 因此，所以复数的虚部为10. 故答案为：；. 13．（25-26高二上·江苏扬州·期末）若复数满足，则__________. 【答案】i 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的除法及乘法运算化简，再应用共轭复数定义计算求解. 【详解】复数满足，则， 所以. 故答案为： 14．（25-26高三上·天津河西·月考）复数（i是虚数单位），则复数的虚部为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的四则运算求出复数z，再得出共轭复数即得其虚部. 【详解】由， 则，故复数的虚部为. 故答案为：. 15．实数取何值时，复数是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据复数为实数的性质进行求解即可； （2）根据虚数的定义进行求解即可； （3）根据纯虚数的定义进行求解即可. 【详解】（1）的实部为，虚部为． （1）复数是实数的充要条件是：， 所以当时复数为实数． （2）复数是虚数的充要条件是：且， 所以当且时复数为虚数 （3）复数是纯虚数的充要条件是：， 所以当时复数为纯虚数． 16．（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2)4，13 【难度】0.65 【知识点】复数的相等、已知复数的类型求参数、复数范围内方程的根 【分析】（1）根据纯虚数的概念，建立不等式以及方程，可得答案； （2）将复数代入方程，利用复数相等，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由题可得，，且， 由得或，由，得， 故． （2）当时，， 代入关于的方程，得， 整理得，， 因为为实数，所以， 解得，故实数的值分别为4，13. 题型四：复数的综合运算 1．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】由复数的乘法、除法运算结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】， 所以， 所以， 故选：A 2．（2025高三·全国·专题练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的乘方 【分析】由，得到，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·天津武清·月考）若，则_______. 【答案】0 【难度】0.65 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据复数的运算法则计算，再利用的整数次幂的周期性求解. 【详解】已知， 所以 . 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）设i是虚数单位，___________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据给定条件，利用复数除法及乘方运算求解. 【详解】原式. 故答案为： 5．（2026·山西晋中·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点为，则__________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】复数的乘方 【分析】结合，利用周期性即可求解． 【详解】由题意可知，又因为， 所以． 6．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数的乘法、除法运算求得，再结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由， 得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为： 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，则z的虚部为______． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部 【分析】由复数的乘方、虚部的概念即可得解. 【详解】因为，所以z的虚部为1. 故答案为：1. 8．（24-25高一下·广西桂林·月考）若是关于的方程的根，则__________． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、复数的相等 【分析】先化简，再将代入方程，根据复数为零列式可求，即可得 【详解】化简． 因为是方程的根， 将代入方程得． 展开， 则，即． 所以，解得，， 则． 故答案为：4. 9．（24-25高一下·吉林松原·期中）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数，求复数的模. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、求复数的模、已知复数的类型求参数 【分析】（1）把代入，利用复数的乘法运算化简，得，再根据纯虚数的概念，得，，求得，即可得复数； （2）把代入，利用复数的除法运算化简，得，进而可求得，再根据复数模的计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，， ∵是纯虚数， ∴，， ∴， ∴； （2）由（1）得，代入得 ， ∴， ∴， ∴. 10．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数（，i为虚数单位），是纯虚数. (1)求复数z； (2)若复数是关于x的方程的根，求实数m和n的值. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、复数范围内方程的根、已知复数的类型求参数 【分析】（1）由复数除法运算先化简，再由纯虚数定义即可求解； （2）先由（1）求出复数，法一：由题意将复数代入方程即可求解参数；法二：由复数根与系数关系得到方程的另一根，再由韦达定理即可求参数. 【详解】（1）因为， 所以， 又由是纯虚数，可得，解得，所以． （2）法一：因为是方程的根， 所以，即， 可得解得． 法二：是方程的根， 所以另一根为 由韦达定理可得：． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1 复数及其四则运算 题型一：复数的加减法 题型二：复数的乘除法 题型三：复数的概念（实部、虚部及共轭复数） 题型四：复数的综合运算 题型一：复数的加减法 1．（25-26高三下·青海西宁·月考）（    ） A．0 B． C． D． 2．（25-26高一上·福建厦门·期末）已知复数，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·河南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖南·月考）已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 5．___________． 6．（25-26高三上·天津·开学考试）是虚数单位，复数满足，则___________． 7．（2025高三·全国·专题练习）计算：______． 8．（23-24高一下·上海嘉定·期中）若复数满足，则________. 题型二：复数的乘除法 1．（25-26高三上·浙江·期末）设复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26高三上·河北·期中）若 则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则z的虚部是（    ） A．i B． C． D．1 5．若复数为纯虚数，则实数_______. 6．（2024·上海静安·二模）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为________． 7．（22-23高三上·湖南株洲·期末）若为纯虚数，则复数的虚部为__________. 8．已知i是虚数单位，则的值为___________. 9．____________. 10．已知是虚数单位，若（，），则的值为______． 题型三：复数的概念（实部、虚部及共轭复数） 1．（25-26高三下·安徽·开学考试）设，则（   ） A． B． C． D． 2．（四川省字节精准教育联盟2026届高三二模数学试题）已知，则的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽淮北·期中）若，则复数的共轭复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广西·模拟预测）若（，i为虚数单位）为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·湖南长沙·开学考试）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若复数，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知复数满足，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 8．若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数_____． 9．复数的实部与虚部之和为______ 10．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，为虚数单位，则的共轭复数__________． 11．若复数是纯虚数，则实数___________． 12．（25-26高一上·北京·期末）已知复数是纯虚数，则___________，复数的虚部为___________. 13．（25-26高二上·江苏扬州·期末）若复数满足，则__________. 14．（25-26高三上·天津河西·月考）复数（i是虚数单位），则复数的虚部为_____. 15．实数取何值时，复数是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 16．（24-25高一下·福建南平·期末）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值． 题型四：复数的综合运算 1．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津武清·月考）若，则_______. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）设i是虚数单位，___________． 5．（2026·山西晋中·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点为，则__________． 6．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为____. 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，则z的虚部为______． 8．（24-25高一下·广西桂林·月考）若是关于的方程的根，则__________． 9．（24-25高一下·吉林松原·期中）已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若复数，求复数的模. 10．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数（，i为虚数单位），是纯虚数. (1)求复数z； (2)若复数是关于x的方程的根，求实数m和n的值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $