专题8.3 向量的坐标表示（八大题型）（高效培优专项训练）数学沪教版高一必修第二册

专题8.3 向量的坐标表示 题型一：平面向量的基本定理 题型二：求向量的坐标运算（加法、减法与数乘） 题型三：平面向量的数量积运算 题型四：向量平行的坐标表示 题型五：向量垂直的坐标表示 题型六：求向量的夹角 题型七：求向量的模 题型八：综合应用 题型一：平面向量的基本定理 1．，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】根据给定条件，利用平面向量的基底的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，由向量加法法则知，，及对应的有向线段可围成一个三角形，则和不共线，可作基底，A不是； 对于B，在和中，，则和不共线，可作基底，B不是； 对于C，，和共线，不可作基底，C是； 对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D不是. 故选：C 2．（23-24高一下·重庆渝中·月考）设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】由平面向量基本定理可知，非零、不共线的一组向量可作为平面向量的基底，由此即可选出答案. 【详解】对于A：不存在实数，使得，即它们不共线，故可以作为基底，A正确； 对于B：，即它们共线，故不能作为一组基底，B错误； 对于C：，即它们共线，故不能作为一组基底，C错误； 对于D：，即它们共线，故不能作为一组基底，D错误， 故选：A. 3．（2026高一·全国·专题练习）如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ） A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】基底的概念及辨析、平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【详解】选项A中，由平面向量基本定理知与共面，所以A项不正确； 选项B中，由平面向量基本定理知实数有且仅有一对，所以B项不正确； 选项C中，根据基底的定义知，不共线，若，则，所以C正确； 选项D中，由平面向量基本定理知实数一定存在，所以D项不正确． 4．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 5．（2026·广东广州·模拟预测）在菱形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.8 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据平面向量基本定理计算即可. 【详解】分析可得， 于是． 6．（2026·辽宁大连·模拟预测）在中，点是直线上一点，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则、平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】应用向量的加减法结合数乘运算计算求解. 【详解】由得，所以． 又，而， 则． 故选：D. 7．如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（    ） ①可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量，使的实数对有无穷多个； ③若向量与共线，则 ④若实数λ、μ使得，则. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面向量基本定理的应用 【详解】对于①，④，由平面向量基本定理可知①，④正确． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定， 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②错误； 对于③，当时，变为， 当时，变为， 此时向量与共线，不满足，故③错误. 8．（2026高一·全国·专题练习）设、是同一平面内的两个向量，则有（    ） A．、一定平行 B．、的模相等 C．同一平面内的任一向量，都有 D．若、不共线，则同一平面内的任一向量，都有 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面向量基本定理的应用 【详解】由平面向量基本定理可知，选项D正确． 对于任意向量、，选项A、B不正确， 而只有当与为不共线向量时，选项C才正确． 故选：D 题型二：求向量的坐标运算（加法、减法与数乘） 1．（2026·广东佛山·二模）已知平面上两点，若，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】先设点的坐标，再应用向量的坐标运算求解. 【详解】设的坐标为 且平面上两点，又， 则，且， 所以，即得 则的坐标为. 2．（24-25高一下·山东聊城·期末）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据给定条件，利用坐标表示向量即可. 【详解】由点，，得. 故选：D 3．（2026·河北·一模）已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量有关概念的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由图可得各点坐标，求出，坐标，即可得答案. 【详解】由图可得， 所以，则. 故选：C 4．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知向量，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量的坐标表示代入即可. 【详解】因为，，，所以， ，解得，所以. 故选：A 5．（25-26高二上·辽宁·月考）已知，，若，，则（   ） A．1 B．2 C．或1 D．或2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据题给向量坐标，利用向量平行和模长公式构造关于的方程，联立求出，从而得出答案. 【详解】因为，，若， 所以①. 因为，则②， 联立①②解得或， 所以或. 故选：C. 6．（24-25高一下·江苏南京·月考）若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由向量减法的坐标运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 7．（25-26高二上·全国·课前预习）已知，则________，AB的中点坐标为_______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、求空间两点的中点坐标 【分析】由两点之间距离公式及中点坐标公式得到答案. 【详解】因为，所以， 中点坐标即， 故答案为：；. 8．（24-25高一下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】设点A的坐标为，根据向量坐标等于向量终点坐标减去向量起点坐标列出式子，再利用向量相等列出方程，计算即可求出点A的坐标. 【详解】设点A的坐标为，因为点B的坐标为， 所以向量， 向量，所以，解得， 所以点A的坐标为. 故答案为： 9．已知向量，，那么向量的坐标是_____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量线性运算的坐标进行计算即可. 【详解】已知向量，， 所以. 故答案为：. 10．已知，，则____． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量的线性运算的坐标表示计算即得. 【详解】依题意，． 故答案为：. 题型三：平面向量的数量积运算 1．（25-26高三上·山西大同·月考）已知向量，则（   ） A． 的最大值为 1 B．曲线 关于直线对称 C． 在 上单调递增 D． 在 上有 5 个零点 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求sinx型三角函数的单调性、数量积的坐标表示、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】对于A：化简，根据解析式判断出最大值；对于B：根据的取值进行判断；对于C：采用换元法判断出单调性；对于D：根据条件解得()，然后根据的范围进行判断即可. 【详解】对于A，因为，所以的最大值为，故A错误； 对于B，因为，所以的图象关于点对称，故B错误； 对于C，令，则在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确； 对于D，令，则()，则()， 因为，所以，所以共有个零点，故D错误. 故选：C. 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知向量，且，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的计算、坐标计算向量的模 【分析】根据已知，利用平面向量夹角公式求解. 【详解】， ， ， ， ∴，则. 故选：B 3．（2025·广东揭阳·三模）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量线性运算的坐标表示方法，求出的坐标，再根据向量夹角的坐标计算公式，求出结果. 【详解】由题意可得，故. 故选：A. 4．（24-25高一下·上海·期中）已知平面向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】根据平面向量模长的坐标表示和数量积的运算律求解即可. 【详解】因为平面向量与的夹角为，， 所以，， 所以， 故选：B 5．（24-25高一下·上海·期中）向量在上的投影为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】根据条件，利用数量积的坐标运算及向量的模长公式得，，再利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】因为，，则，， 所以向量在上的投影为， 故选：B. 6．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知向量，，则在方向上的数量投影为________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的坐标表示 【分析】先算数量积及的模长，再代入数量投影公式，用 “点积除以模长” 即可求解. 【详解】因为， ， 所以向量 在 方向上的数量投影为：. 故答案为：. 7．（2026高三·上海·专题练习）已知，，求 ________ 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】由平面向量数量积的坐标运算公式求解. 【详解】因为，， 则 故答案为：4 8．（2025·上海长宁·一模）设，则向量在方向上的投影向量的坐标为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】先利用坐标计算，，再利用公式计算. 【详解】因，则，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为： 9．（25-26高三上·上海·月考）已知向量，，若在上的投影向量为，则实数______. 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】根据投影向量的公式计算即可得到结果. 【详解】因为，所以. 因为向量在上的投影向量为. 所以，解得. 故答案为：1. 10．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知向量和满足，则__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】先根据向量数乘和加法的坐标运算求出的坐标，再根据向量模长公式计算. 【详解】由，得， 根据向量模长公式. 故答案为：. 题型四：向量平行的坐标表示 1．（2025·四川内江·一模）已知向量，若与共线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解. 【详解】，， 由与共线，可得， 解得， 故选：A 2．（2025·福建三明·模拟预测）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出和，再由向量共线的坐标表示列方程求解. 【详解】由，，得，， 若，则，解得. 故选：B. 3．（23-24高三上·上海浦东新·月考）设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由坐标判断向量是否共线 【分析】先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案. 【详解】若，则，即，故，充分性成立， 不妨设，此时，但不满足，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 4．已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】计算出与后，结合向量共线的坐标运算即可得. 【详解】由，，则，， 由与共线，则有， 化简得，即. 故选：A. 5．已知，，且与平行，则______. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由向量平行的坐标关系可得结果. 【详解】由与平行，可得，所以. 故答案为：. 6．（24-25高一下·山东日照·期末）已知向量，若，则的值为___________. 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 7．（24-25高一下·山东淄博·月考）已知，，且，则_______． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据向量平行得到方程，求出，再化弦为切，代入求值. 【详解】，，由，可得， 所以，所以． 故答案为：3． 8．设，若点共线，则的最小值为___________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】由三点共线，利用向量坐标计算可得，再由均值不等式求最小值即可. 【详解】由题意知，与共线， 则 当且仅当为时，即时，等号成立. 故答案为： 题型五：向量垂直的坐标表示 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量的坐标运算先求，最后利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题意有，又因为， 所以， 故选：B. 2．（24-25高二下·浙江·期中）已知向量若则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量垂直的坐标表示、数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】由， 因为所以， 故选：B. 3．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知平面向量，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算结合模长公式计算即可. 【详解】因为，所以，即，即， 则. 故选:D． 4．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）已知，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】向量垂直的坐标表示、向量模的坐标表示、判断命题的充分不必要条件 【分析】分别由与确定x的值，据此可判断选项正误. 【详解】当时，， 当时，. 当时，； 当时，与不垂直. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2025·上海杨浦·一模）已知向量，，且，则实数______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】由向量垂直坐标表示可得答案. 【详解】因，则. 故答案为： 6．（2025·河南·模拟预测）已知向量，若，则__________. 【答案】或3 【难度】0.85 【知识点】利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算得解. 【详解】向量，由，得， 所以或. 故答案为：或3 7．（24-25高二下·上海杨浦·期末）设平面向量满足：，，，，则的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】向量垂直的坐标表示、求cosx(型)函数的值域 【分析】根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解. 【详解】依题意，设，，， 则， 由，则，整理得， 显然，否则，，与已知矛盾， 故，可得， 由，即，故，解得， 故. 故答案为：. 8．（2025·山东菏泽·二模）已知向量，，若与垂直，则实数的值为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】，， 由题意， 可得：， 得， 故答案为： 题型六：求向量的夹角 1．（2025·江西新余·模拟预测）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的坐标表示、向量模的坐标表示、数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由向量线性运算的坐标表示，根据数量积与模长的坐标表示，可得答案. 【详解】由，，得，，所以. 故选：B. 2．已知，，且与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求cosx(型)函数的值域、向量夹角的坐标表示 【分析】由是钝角得，且，解不等式可得答案. 【详解】因为与的夹角是钝角，所以 ，且， 解得且. 故选：D. 3．（2026·湖北黄石·一模）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示 【详解】易知向量，显然， 所以. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解． 【详解】以的中点为原点，如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ，可得. 故选：D． 5．若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】根据与的夹角为钝角，得到，注意排除与反向共线这种情况，进而即可求出答案． 【详解】由，，则， 又与的夹角为钝角， 则，即，解得， 当与反向共线时，，解得，此时夹角不是钝角， 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：． 6．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知向量，则在方向上的数量投影为 _________________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求投影向量、向量夹角的坐标表示 【分析】根据数量投影的定义及计算公式直接可得解. 【详解】由已知，， 则 则在方向上数量投影为， 故答案为：. 7．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知向量满足，则与的夹角为_____ 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】首先求向量和，再代入向量的夹角公式，即可求解. 【详解】，所以， 则，即. 所以与的夹角为. 故答案为： 8．（25-26高三上·江西吉安·期末）在四边形中，，，，若四边形的面积为，则_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】向量在几何中的其他应用、向量夹角的坐标表示 【分析】根据题目条件得出四边形为梯形，利用向量夹角的余弦公式求出梯形的高，再利用梯形的面积计算得出梯形为直角梯形，从而求出的余弦值. 【详解】由题意知，，故， 即，如图，过作，则， 故四边形的面积，解得， 即，所以，故，即，所以. 故答案为： 9．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知向量，，则________. 【答案】 【难度】0.95 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【详解】由，，得， 则. 题型七：求向量的模 1．（2026·陕西咸阳·二模）已知向量，，若，则|（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 2．（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的运算律、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】由可得，由可得，最后应用模长公式即可求解. 【详解】因为，所以，展开整理得， 由得，即， 所以，即 所以. 3．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）向量，且，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】先由向量的平行可得，再由向量的垂直可得，再根据向量的模的计算公式可得. 【详解】因为，所以，得，所以， 因为，所以，得，所以， 所以，故. 故选：B. 4．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】计算的坐标，代入向量夹角余弦公式即得. 【详解】 已知，，因此： ， . 题型八：综合应用 1．（2026·湖南·模拟预测）如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【难度】0.48 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、已知数量积求模、平面向量共线定理的推论 【分析】利用共线向量定理及平面向量基本定理用表示，再利用数量积运算律求解. 【详解】由为边靠近的三等分点，得， 不妨设，由三点共线得， 设，则， 又不共线，则有， 即，解得，即， 由，得，因，， 因此 ， 因， 所以. 2．（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据已知得出边长关系方法一：应用三点共线得出系数和计算求解；方法二：应用数量积公式及运算律计算求解. 【详解】由，则.四边形内接于圆，则四边形为等腰梯形. 设等腰梯形高为，又面积为，则等腰梯形高为， 则. 法一：取中点，直线相交于，在中，， ，则，所以. ，又三点共线， 则，则. 法二：， 所以 所以， 所以. 故选：A. 3．（2026·福建福州·模拟预测）已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、坐标计算向量的模、函数新定义 【详解】因为，所以 ， 当时，，显然不成立； 当时，，显然成立， 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立； 所以，，， ， ， 因为， 所以. 所以的取值范围为. 4．（2026·吉林白山·二模）已知平面向量在方向上的投影向量模长为，则___________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】先求，，再结合定义求向量在方向上投影向量的模长，列方程可求结论. 【详解】因为，，所以 ， 所以 所以向量在方向上投影向量的模长为，又， 所以 ， 因此. 5．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）已知向量，，且，则______． 【答案】 【难度】0.86 【知识点】垂直关系的向量表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【详解】因为，所以，解得， 所以，故． 6．（25-26高一下·北京·月考）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的有_________. ①若，则    ②若，则 ③    ④ 【答案】②④ 【难度】0.4 【知识点】平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示、平面向量综合 【分析】建立平面直角坐标系，求得，，，的坐标，设，根据建立等量关系，然后对4个说法进行分析，结合三角恒等变换、向量数量积运算、三角函数的最值等知识确定正确答案. 【详解】 如图，作，分别以为x，y轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，则 由可得 ，，且， 对于①，若，则， 解得（负值舍去），故，①错误； 对于②，若，则，于是，故②正确； 对于③， 由于，故，故，故③错误； 对于④，由于， 则 ， 而，则，故，故④正确. 7．（2026高一·全国·专题练习）在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、基本不等式求积的最大值 【分析】建立坐标系，设，利用建立关系，再利用向量数量积的坐标表示，结合基本不等式及二次函数的性质求出范围. 【详解】以的中点为坐标原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图， 由正的边长为1，得，， 由分别在边上，设， 则， 由，得，即（*）， 因， 则， 因此 将（*）代入上式，可得， 因，当且仅当时取等号， 即，解得， 则， 则，故， 所以的取值范围是. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 向量的坐标表示 题型一：平面向量的基本定理 题型二：求向量的坐标运算（加法、减法与数乘） 题型三：平面向量的数量积运算 题型四：向量平行的坐标表示 题型五：向量垂直的坐标表示 题型六：求向量的夹角 题型七：求向量的模 题型八：综合应用 题型一：平面向量的基本定理 1．，是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（23-24高一下·重庆渝中·月考）设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026高一·全国·专题练习）如果是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ） A．已知实数，则向量不一定在平面α内 B．对平面α内任一向量，使的实数可以不唯一 C．若有实数使，则 D．对平面α内任一向量，使的实数不一定存在 4．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广东广州·模拟预测）在菱形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁大连·模拟预测）在中，点是直线上一点，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 7．如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（    ） ①可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量，使的实数对有无穷多个； ③若向量与共线，则 ④若实数λ、μ使得，则. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 8．（2026高一·全国·专题练习）设、是同一平面内的两个向量，则有（    ） A．、一定平行 B．、的模相等 C．同一平面内的任一向量，都有 D．若、不共线，则同一平面内的任一向量，都有 题型二：求向量的坐标运算（加法、减法与数乘） 1．（2026·广东佛山·二模）已知平面上两点，若，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东聊城·期末）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北·一模）已知在平面直角坐标系中，点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知向量，，，，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·辽宁·月考）已知，，若，，则（   ） A．1 B．2 C．或1 D．或2 6．（24-25高一下·江苏南京·月考）若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 7．（25-26高二上·全国·课前预习）已知，则________，AB的中点坐标为_______. 8．（24-25高一下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为________． 9．已知向量，，那么向量的坐标是_____________． 10．已知，，则____． 题型三：平面向量的数量积运算 1．（25-26高三上·山西大同·月考）已知向量，则（   ） A． 的最大值为 1 B．曲线 关于直线对称 C． 在 上单调递增 D． 在 上有 5 个零点 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知向量，且，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东揭阳·三模）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海·期中）已知平面向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C．4 D．2 5．（24-25高一下·上海·期中）向量在上的投影为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知向量，，则在方向上的数量投影为________ 7．（2026高三·上海·专题练习）已知，，求 ________ 8．（2025·上海长宁·一模）设，则向量在方向上的投影向量的坐标为___________． 9．（25-26高三上·上海·月考）已知向量，，若在上的投影向量为，则实数______. 10．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知向量和满足，则__________. 题型四：向量平行的坐标表示 1．（2025·四川内江·一模）已知向量，若与共线，则（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（2025·福建三明·模拟预测）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·上海浦东新·月考）设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 4．已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，，且与平行，则______. 6．（24-25高一下·山东日照·期末）已知向量，若，则的值为___________. 7．（24-25高一下·山东淄博·月考）已知，，且，则_______． 8．设，若点共线，则的最小值为___________. 题型五：向量垂直的坐标表示 1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高二下·浙江·期中）已知向量若则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知平面向量，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）已知，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·上海杨浦·一模）已知向量，，且，则实数______. 6．（2025·河南·模拟预测）已知向量，若，则__________. 7．（24-25高二下·上海杨浦·期末）设平面向量满足：，，，，则的取值范围是__________. 8．（2025·山东菏泽·二模）已知向量，，若与垂直，则实数的值为______． 题型六：求向量的夹角 1．（2025·江西新余·模拟预测）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，且与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北黄石·一模）已知向量，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知梯形中，，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 5．若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 6．（24-25高三上·上海奉贤·期中）已知向量，则在方向上的数量投影为 _________________． 7．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知向量满足，则与的夹角为_____ 8．（25-26高三上·江西吉安·期末）在四边形中，，，，若四边形的面积为，则_____. 9．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知向量，，则________. 题型七：求向量的模 1．（2026·陕西咸阳·二模）已知向量，，若，则|（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（2026·山西朔州·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）向量，且，则（    ） A． B．3 C． D． 4．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 题型八：综合应用 1．（2026·湖南·模拟预测）如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，，若，则（   ） A． B．4 C． D．8 2．（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 3．（2026·福建福州·模拟预测）已知向量，，，.若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为______. 4．（2026·吉林白山·二模）已知平面向量在方向上的投影向量模长为，则___________． 5．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）已知向量，，且，则______． 6．（25-26高一下·北京·月考）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的有_________. ①若，则    ②若，则 ③    ④ 7．（2026高一·全国·专题练习）在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是_____. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $