微专题 排列组合讲义-2026届高三数学二轮专题复习

微专题： 排列组合重点问题 考情分析：近三年全国卷中，排列组合以选填题考查，分值5分，难度中等偏易，属中低档题型。排列组合聚焦分类加法、分步乘法计数原理，考查排列、组合的基础概念与计算；核心考查两大计数原理的灵活运用，要求学生准确区分排列与组合，能结合题意考虑特殊元素/位置，规避易混易错点。同时侧重检验逻辑分类、分步推理能力和代数运算的准确性，注重基础方法的直接应用。 必备知识： 1．排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合的定义 合成一组 2.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝C，C＋C＝C 常用结论 1．“排列”与“组合”的辨析 排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合． 2．解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排．(4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化． 类型一：特殊元素、特殊位置法 对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 1．某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五的课程表，要求数学排在上午（前四节）体育排在下午（后两节），则不同的排法总数是（   ） A．720 B．120 C．144 D．192 【答案】D 【分析】先排数学，再排体育，最后排剩下的4科，即可得答案. 【详解】由题意可得数学一共有种排法， 体育一共有种排法， 剩下的4科共有种排法， 所以一共有种排法. 故选：D. 2．有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 【答案】D 【分析】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论，结合排列数和组合数的计算公式，以及分类计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论： 当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法； 当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法； 再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法， 所以共有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排列情况. 3．现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分类计数原理和分步计数原理可求答案. 【详解】若甲跑第1棒，剩余3棒需要从5人中选3人安排，分为三种情况： 乙，丙均不参加，此时有种安排方案； 乙，丙有且仅有一人参加，此时有种安排方案； 乙，丙均参加，此时有种安排方案； 若甲跑第4棒，第1棒只能从去除乙，丙，丁后的2人中选择，第2,3棒从剩余的4人中安排即可，此时有种安排方案； 由分类计数原理可得，共有种安排方案. 故选：B 类型二、捆绑法 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. 1．甲、乙、丙、丁4人站成一排拍合照，要求甲和乙站在一起，则不同站法共有（   ） A．6种 B．12种 C．24种 D．36种 【答案】B 【分析】对于相邻问题，考虑用“捆绑法”即可. 【详解】将甲与乙看成一个元素，与其他2人共3人进行全排，再考虑甲与乙的顺序，则方法数共有种. 故选：B. 2．有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（   ） A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 【答案】D 【分析】将2位老师捆绑在一起，看成一个人，此时有种排列法，再求2位老师的内部排列，最后由分步计数原理即可得答案. 【详解】因为2位老师不能分开， 故将2位老师捆绑在一起，看成一个人， 则共有4人排成一排，其中不排首尾， 所以共有种排列法， 又因为2位老师的排列法共有种， 所以共有种排法. 故选：D 3.含甲、乙、丙在内的6人站成一排，其中甲只能站在头尾两端，且乙丙两人相邻，则不同站法的结果数为（   ） A．24 B．48 C．96 D．192 【答案】C 【分析】先将乙丙看作一个整体，再考虑5个元素，甲站两端的情况，即可求解. 【详解】将乙丙看作一个整体，内部有种排列， 此时可看作5个元素排成一排，甲站两端， 先排甲，有，剩下4个元素全排列有， 故由乘法原理可得， 即甲只能站在头尾两端，且乙丙两人相邻，则不同站法的结果数为， 故选：C 类型三、插空法 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求. 1．若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（    ） A．120 B．72 C．48 D．12 【答案】B 【分析】先排男生，再把女生排进男生间的空隙，结合分步计数原理可得结果． 【详解】先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙， 再把2个女生排进去共有种排法， 所以符合条件的共有种排法． 故选：B. 2．三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．144 B．72 C．36 D．12 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式求解. 【详解】排3名学生有种方法，再将3名老师插入3名学生每个排列形成的间隙中， 由任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，得3名学生每个排列形成的中间两个间隙必排，有种方法，所以不同的排法总数为种. 故选：B 3．某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【分析】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【详解】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 类型四、捆绑法结合插空法 1．五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（    ）种. A．24种 B．36种 C．72种 D．120种 【答案】A 【分析】根据相邻问题捆绑以及不相邻问题插空法，即可求解. 【详解】由题意，设五种商品编号分别为， 其中两种必须连排，两种不能连排， 将两种看作一种商品与进行排列，共有（种）， 共形成3个空，选择2个空，将插入，共有（种）， 则不同的排法共有：（种）， 故选：A 2．甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（   ） A． 种 B． 种 C． 种 D．种 【答案】D 【分析】根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解. 【详解】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法， 接着和除丙、丁外的2人一起进行排列有种排列方法， 最后上述排列种形成的4个空中选出两个空给丙、丁插入排列有种方法， 所以总的不同的安排方法有种. 故选：D 3．高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有（   ） A．1152种 B．384种 C．288种 D．144种 【答案】A 【分析】先将4名女同学捆绑在一起看成一个整体并内部排序，再用插空法安排教师和男同学的位置. 【详解】第一步：先将3名教师全排，共有种排法；第二步：将4名女同学＂捆绑＂在一起，共有种排法；第三步：将＂捆绑＂在一起的4名女同学作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插人，有种排法；第四步：首先将2名男同学之中的一人，插人第三步后相邻的两名教师中间，然后将另一个男同学插入由女同学与教师形成的2个空中的其中1个，共有种排法，所以不同的排法种数有：种． 故选：A 4．已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 【答案】D 【分析】利用捆绑法和插空法来求个数即可. 【详解】第一步：把1、2、3、4、7、8奇偶数相间而排，共有种， 第二步：再把5、6两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶， 所以插入后奇数旁边放6，偶数旁边放5，则这7个空共有种排法， 根据分步计数乘法原理可得：这样的八位数有个， 故选：D. 类型五、间接法 1.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．42种 D．60种 【答案】D 【分析】利用分步计数原理，结合间接法，即可求解. 【详解】把3个项目分配到4个体育馆，所有方案共有（种）， 其中，3个项目被分配到同一体育馆进行的有4种方法， 故满足条件的分配方案有（种）． 故选：D 2． 只用0，1，2这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．28个 B．24个 C．22个 D．18个 【答案】A 【分析】利用间接法，先保证首位不为0且同一数字不能相邻出现，再排除只有2个数字组成的5位数即可. 【详解】先保证首位不为0且同一数字不能相邻出现， 则首位不为0，其余各位均有2种选择，可得不同排法的种数为； 下面考虑只有2个数字组成的5位数，有，只有4种可能； 所以不同排法的种数为种. 故选：A. 3．从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出选出的三个点能构成三角形的选法种数，并求出等边三角形的个数，结合间接法可得结果. 【详解】在正六边形中，为其中心，如下图所示： 从这七个点中任选三个点，共有种，其中三点共线的情形有种， 所以，能构成的三角形的个数为个， 其中，构成的等边三角形分别为、、、、、 、、，共个， 所以，构成的三角形不是等边三角形的个数是个. 故选：A. 4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（    ） A．44 B．46 C．48 D．54 【答案】B 【分析】解法一：分析可知甲的排位有可能是第二、三、四3种情况，分类讨论结合组合数分析求解；解法二：利用间接法，根据题意先排甲不排首尾，再排除不符合题意的情况，结合组合数分析求解. 【详解】解法一：多重限制的排列问题： 甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数， 甲的排位有可能是第二、三、四3种情况： ①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有种排法，则有； ②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有种排法，则有； ③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有种排法，则有； 综上，该5名同学可能的名次排情况种数为种. 解法二：间接法： 甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有种排法，共有种不同的情况； 但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有种排法，故共有种不同的情况； 从而该5名同学可能的名次排情况种数为种. 故选：B. 类型六、倍缩法（定序问题） 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法. 1．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 【答案】D 【分析】利用排列中的定序问题的处理方法进行处理. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法，故A，B，C错误. 故选：D. 2．小明参加“江南六地游”旅行，其中，，三地游览的先后顺序一定（游，，三地的顺序可以相邻也可以不相邻），则小明“江南六地游”旅行的不同的出游方法有（   ） A．120种 B．180种 C．240种 D．480种 【答案】A 【分析】由题意，小明参加“江南六地游”旅行，共有种，，，三地游览的顺序有种，利用除法可得结论. 【详解】由题意，小明参加“江南六地游”旅行，共有种，，，三地游览的顺序有种， 所以，，三地游览的先后顺序一定，小明“江南六地游”旅行共有种不同的出游方法． 故选：A. 3．某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（    ） A．150 B．300 C．900 D．450 【答案】D 【分析】先从后排6人中抽出两名同学，再根据定序问题求解即可. 【详解】首先从后排的6人中选出2人，有种结果， 然后与前排4人排列，有种排法， 因为同学的相对顺序不变，则前排4人不要再排， 所以共有种调整方法. 故选：D. 4.如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 【答案】A 【分析】根据排列即可求解. 【详解】如下图所示，对集装箱编号，则可知排列相对顺序为1,2,3（即1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走）4,5,故不同取法的种数是 ， 故选：A 5．四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．12600 B．6000 C．8200 D．12000 【答案】A 【分析】由题意，转化为排列中部分元素定序排列即可. 【详解】根据题意，如图， 将10个气球进行编号1-10，原问题可以转化为将编号为1～10的10个气球排列， 其中2，3号，4，5，6号，7，8，9，10号气球必须是从下到上的顺序，按小球从下到上的编号顺序打破气球即可， 则有（种）排列方法，则有12600（种）不同打法， 故选：A． 类型七、排数问题 对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位. 1．从0，1，2，3，4五个数字组成没有重复数字的四位数，则该数为偶数有多少个？（    ） A．66 B．60 C．90 D．96 【答案】B 【分析】首先以个位数是否为0区分两种情况，其次对每种情况，都按照分步乘法原理即可求解． 【详解】若个位数为0，此时一定为偶数，没有重复数字的偶数有个； 若个位数不为0，则第一步先确定个位数，必须为2或4，共种， 其次确定千位数，千位数不能为0，则必须从剩余的一个偶数以及1、3中选，共种， 最后从剩余的三个数字中选两个组成有顺序的十位数和百位数，共种，一共有个， 所以没有重复数字的四位数为偶数的情况共有个． 故选：B． 2．从中任取个数字，从中任取个数字，用这个数字组成的没有重复数字的五位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分五位数中有和没有两种情况，利用排列、组合，直接求解即可. 【详解】若组成的位数中没有，则有个； 若组成的位数中有，则有个， 所以用这个数字组成的没有重复数字的五位数有个. 故选：C 3．将1，2，3，4，5，6，7这7个数字排成一排，则相邻数字互质的排法有（    ）． A．576种 B．720种 C．864种 D．900种 【答案】C 【分析】先排列1，3，5，7，再分类排6结合排列数公式列式计算求解. 【详解】 先排1，3，5，7，有种排法； 再排6，根据题意，6不能排在3的两侧，则6有种排法； 最后排2和4，这两个数不能排在6的两侧，则有种排法. 故相邻数字互质的排法共有（种）． 故选：C. 4．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是，为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某数学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的位数字进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到大于的不同数字有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】先计算这位数字随机排列（整数部分不变）的总排列数，因为有两个会产生重复情况，所以要除以消除重复。再找出小于的排列数，最后用总排列数减去小于的排列数，即可得到大于的不同数字个数. 【详解】由于这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有， 而只有小数点后前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有， 故得到的数字大于3.14的不同情况有； 故选：C． 5．如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为7”的不同的排法有（    ） A．16种 B．32种 C．64种 D．96种 【答案】D 【分析】根据题意按照分步计数原理对表格中的数据分步填写并保证符合题意即可得出结果. 【详解】根据题意，分三步进行； 第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为7”，则中间的数字为三组数1，6或2，5或3，4中的一组，共有种排法； 第二步，排第一步中剩余的两组数，且这两数字之和不为7，共有种排法； 第三步，排剩下的两个数字，共有种排法. 由分步计数原理知，共有不同的排法种数为. 故选：D. 类型八、常规分组分配问题 （1）整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． （2）局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． （3）不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 1．某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（    ） A．72 B．54 C．48 D．36 【答案】D 【分析】根据分组分配及分步计算原理，先将4人分成3组，再分配到3个实验室可解. 【详解】将4名研究生助理分成3组，有种方法，再将3个组分配到3个实验室有种方法. 故选：D. 2.某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 【答案】B 【分析】分类讨论人数的配比，结合捆绑法和部分平均分组法运算求解. 【详解】若3所学校分配1名师范生的人数为时，先取3人看成一个整体，再进行排列， 所以不同的跟岗分配方案有种； 若3所学校分配1名师范生的人数为时，注意到有2个学校均分配2名师范生， 所以不同的跟岗分配方案有种； 综上所述：不同的跟岗分配方案共有种. 故选：B 3．在《红楼梦》第三十八回“林潇湘魁夺菊花诗，薛蘅芜讽和螃蟹咏”中，史湘云做东，邀众姐妹和贾宝玉一起作诗．诗会以菊花为主题，共编拟了十首不同的咏菊诗名，假设分配贾宝玉作《访菊》､《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》､《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉､史湘云､探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（    ） A．150种 B．360种 C．450种 D．540种 【答案】C 【分析】结合两类计数原理，将6首诗按和两种情况求解即可. 【详解】第一类，将6首诗按的数量分给3人，有种； 第二类，将6首诗按的数量分给3人，有种， 所以不同的分工方案共有种． 故选：C. 类型九、有条件的分组分配问题 1．某校安排高一年级（1）~（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．60 D．240 【答案】C 【分析】根据只有高一（1）班被安排到A基地与还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地两种情况，结合排列组合知识求解即可. 【详解】由题得，若只有高一（1）班被安排到A基地，则有（种）安排方法， 若还有1个班和高一（1）班一起被安排到A基地，则有（种）安排方法， 故高一（1）班被安排到A基地的安排方法种数为种. 故选：C. 2．某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有（   ）种 A．150 B．180 C．360 D．540 【答案】A 【分析】视甲乙为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区，再按分组分配列式求解. 【详解】甲乙必须在一起，可把甲乙视为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区， 按分配时，共有种方案；按分配时，共有种方案， 所以共有种不同的分配方案. 故选：A 3．如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共（   ）    A．32种 B．24种 C．·20种 D．16种 【答案】D 【分析】按照元素甲、乙所在舱位进行讨论，特殊元素优先考虑即可求解. 【详解】按照甲、乙两人同时在天和核心舱或问天实验舱两种情况讨论： ①若甲、乙两人同时在天和核心舱，则需要从剩余4人中再选1人， 剩下的3人去剩下的两个舱位，则有种可能； ②若甲、乙两人同时在问天实验舱，则剩下的4人选3人去天和核心舱即可， 共有种可能， 根据分类加法计算原理，共有种可能. 故选：D. 4．某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 【答案】B 【分析】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解. 【详解】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素， 则有种分配方法； 所以不同的安排方式有种； 故选：B. 5．现将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《史记》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（   ） A．150 B．100 C．25 D．50 【答案】D 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本， 若分为1、1、3的三组，有种分组方法， 若分为1，2，2的三组，有种分组方法， 共有种分组方法， ②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况， 则有种分发方式. 故选：D. 6．县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数，然后考虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村的派遣方案种数，结合间接法可求得结果. 【详解】先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数， 则五个贫困村分派的村官人数分别为、、、、， 不同的派遣方案种数为； 接下来考虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村，则不同的派遣方案种数为种， 由间接法可知，甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有种. 故选：B. 7．（25-26高二上·福建漳州·期末）2025年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【分析】分类讨论，漆扇绘梦有甲、乙两人体验，丙、丁、戊有一人体验漆扇绘梦，剩下两人分别体验另外两个项目，第二类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，糖画塑形、剪纸生花任选一个有两人体验，剩下一人体验剩余的项目根据分类原理即可计算. 【详解】根据题意可知第一类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，丙、丁、戊有一人体验漆扇绘梦， 剩下两人分别体验另外两个项目，则有种方案， 第二类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，糖画塑形、剪纸生花任选一个有两人体验， 则有种方案，综上总共有种方案. 故选： 类型十、分组分配问题（隔板法） 1．（2025·河南驻马店·三模）把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ） A．10种 B．种 C．种 D．45种 【答案】B 【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球， 问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种. 故选：B. 2．（2025·湖南湘潭·一模）如果一个四位数的各位数字之和为9，则称A是一个“好数”，则“好数”的个数为__________. 【答案】 【详解】设这个四位数的各位数字从最高位到最低位依次是， 则，均为整数， 设，，，， ，，， 对于方程 可将其看作是把个相同的元素分成组，每组元素个数分别对应的值， 为了使用隔板法，我们可以想象在个元素和个隔板的排列中， 隔板将元素分成组，总共有个位置，从中选个位置放隔板， 其余位置放元素，其组合数为. 故答案为：. 3．（2024·河北廊坊·一模）有10块糖，每天至少吃1块，不同的吃法有______种. 【答案】512 【详解】按吃糖的天数分类，并用隔板法，可得不同的吃法有（种）. 故答案为：512. 4．（2025·河北沧州·模拟预测）把1，2，3，…，20这20个数分成四组，若组内的数不少于两个时必须是连续自然数，则有______种分组方法．（用数字作答） 【答案】969 【详解】由于要求的组内的数是连续的，因此不改变这20个数由小到大的顺序， 只需在19个间隙中不相邻地插入3块挡板，把20个数分隔成4段，即分成了四组， 共有种分组法. 故答案为：. 类型十一、染色问题 解决染色问题的一般思路 （1）按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． （2）以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． （3）将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题 1．用种不同颜色给正三角形的个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条边的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，三个顶点要涂三个不同的颜色，则不同的涂色方法共有种 【详解】依题意，三个顶点要涂三个不同的颜色，则不同的涂色方法共有种 故选：A 2．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 【答案】D 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选， ，均有4种颜色可选，故共有涂色方法（种）． 故选：D. 3．将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【分析】由分步乘法计数原理求解即可. 【详解】如图，若先染有5种色可选，有4种色可选，有3种色可选，有2种色可选， 则不同染色方法共有（种）． 故选：D. 4．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为，，，的个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为，，的小正方形涂相同的颜色，则共有（    ）种涂法， A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分类加法与分步乘法计数原理直接计算. 【详解】把区域分成三部分，第一部分为，，，有种涂法. 第二部分为，，.当，同色时，，各有2种涂法；当，异色时，有种涂法，，均只有种涂法. 故第二部分共有种涂法. 第三部分为，，，与第二部分一样，共有种涂法. 因此根据分步乘法计数原理，共有种涂法， 故选：D. 5．现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 【答案】B 【分析】根据题意，分只用3种颜色涂色，只用4种颜色涂色和只用5种颜色涂色，三种情况分类讨论，结合排列数和组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得按使用的颜色数分类： 若只用3种颜色涂色，则①③同色且②④同色，不同的涂色方案有种； 若只用4种颜色涂色，则①③同色或②④同色，不同的涂色方案有种； 若用5种颜色涂色，则不同的涂色方案有种， 故不同的涂色方案共有种． 故选：B. 6．用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（    ）    A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】C 【分析】根据分类相加计数原理，先分四种颜色都用和只有三种颜色两种情况，再根据分步乘法计数原理，将涂色过程分成若干步，每一步确定一个区域的颜色，再根据相邻区域不同色的条件，确定每一步的涂色方案数，最后将各步方法数相乘得到总的涂色方案数. 【详解】设四种颜色分别为1、2、3、4， （1）四种颜色都用： 先涂区域，有4种填涂方案，不妨设涂颜色1， 再涂区域，有3种填涂方案，不妨设涂颜色2， 再涂区域，有2种填涂方案，不妨设涂颜色3， 若区域填涂颜色2，则区域填涂颜色1、4或4、3， 若区域填涂颜色4，则区域填涂颜色1、3或4、3， 共4种不同的填涂方法.由分步乘法计数原理可得，共有种不同的涂法. （2）四种颜色只用其中的三种颜色： 即当同色，同色，同色，共有种不同的涂法. 综上所述，根据分类相加计数原理可得，共有种不同涂法. 故选：C 类型十一、环排问题 1．（2025·河北唐山·一模）甲､乙等6人围成一圈，且甲､乙两人相邻，则不同的排法共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【答案】D 【详解】因为由于环状排列没有首尾之分，将个不同元素围成的环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有种排法， 由于个不同元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法. 甲､乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲､乙2人可换位，有种坐法，故所求坐法为种. 故选：D 2．（2025·四川眉山·三模）（多选）定义“圆排列”：从个不同元素中选个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为．圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以．现有个女生个男生共名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（   ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若男生甲位置固定，则有种排法 D．若两名女生不相邻，共有种排法 【答案】ABD 【详解】对于A，根据圆排列公式可知名学生围坐成一圈，共有种排法，A正确； 对于B，将两名女生看作一个整体，有种排列方式；与名男生一起围成圆圈，则共有种排法，B正确； 对于C，若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺逆时针排列，则有种排法，C错误； 对于D，先将名男生围坐成一圈，再在个空位中任选个，安排两名女生，则共有种排法，D正确. 故选：ABD. 3．（2025·海南儋州·二模）圆排列最早出现在《易经》里．当A，B，C三位同学围成一个圆时，排列ABC与该排列旋转一个或几个位置得到的排列BCA或CAB是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为______． 【答案】120 【详解】A，B，C三位同学围成一个圆，ABC、BCA或CAB是同一排列， 其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个． 三位同学围成一个圆的排列总数为， 由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为， 故答案为：120. 类型十二、多面手问题 1．（2025·吉林四平·三模）有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．1860种 B．2174种 C．2354种 D．2651种 【答案】B 【详解】设集合只会划左舷的3人，只会划右舷的4人}，既会划左舷又会划右舷的5人． 先分类，以集合为基准，被选出划左舷的3个人中，有以下几类情况： ①中有3人；②中有2人，中有1人；③中有1人，中有2人；④中有3人． 第①类情况中，从集合中选3人划左舷，从集合，中选3人划右舷，有种选法； 第②类情况中，从集合中选2人划左舷，从集合中选1人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法； 第③类情况中，从集合中选1人划左舷，从集合中选2人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法； 第④类情况中，从集合中选0人划左舷，从集合中选3人划左舷，从集合与集合剩下的人中选3人划右舷，有种选法． 故不同的选法共有（种）． 故选：B． 2．（2025·山东菏泽·模拟预测）已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有_________种．（用数字作答）． 【答案】 【详解】若从只会韩语中选3人，则种， 若从只会韩语中选2人，则种， 故不同的选人方案共有种． 故答案为： 3．（2025·河北秦皇岛·二模）在名工人中,有人只当钳工, 人只当车工,另外人既会钳工又会车工，现从人中选出人当钳工, 人当车工,则共有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】按即会钳工又会车工的2人分类： 2人都不选的情况有种， 只选1人且当钳工的情况有种， 只选1人且当车工的情况有种， 选2人其中1人钳工1人车工的情况有种， 选2人都当钳工的情况有种， 选2人都当车工的情况有种， 由分类加法原理得选法有种. 故选：D. 类型十三、最短路径问题 1.（2024·河北张家口·三模）平面直角坐标系上将横、纵坐标都为整数的点记为格点，点从格点出发，每次运动到另一格点时，沿水平或竖直方向移动一个单位，则点经过6次移动回到格点的移动路径总数为（    ） A．81 B．200 C．400 D．480 【答案】C 【详解】根据题意可知点从格点出发，可沿上、下、左、右四个方向移动； 若点经过6次移动回到格点可分为以下四种情况： 第一种：在六步移动过程中选择3步向上，另外3步向下，共有种； 第二种：选择3步向左，另外3步向右，共有种； 第三种：选择2步向上，另外2步向下，1步向左，1步向右，共有种； 第四种：选择1步向上，另外1步向下，2步向左，2步向右，共有种； 因此共有种. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于可将回到出发点的问题转化为在六步移动过程中，向左右、上下的相反方向的移动步数相等，再利用组合计数问题计算可得结果. 2．（2025·山西大同·二模）在黑猫警长的森林街区行动中，黑猫警长从起点S沿最短路径前往终点T抓捕逃犯；白鸽侦探从T出发，沿最短路径前往S支援.两人随机选择路径，且速度完全相同.其中，，，，是森林道路网络中位于一条对角线上的5个交汇点.（   ） A．黑猫警长从S到T的最短路径方法有100种 B．黑猫警长从S必须经过到达T的方法有36种 C．黑猫警长与白鸽侦探在处相遇的概率为 D．黑猫警长与白鸽侦探相遇的概率为 【答案】C 【详解】对于A，如图所示，从S到T的最短路径共需走8步，其中4步向右4步向上， 由黑猫警长从S到T的最短路径方法有种，故A错误； 对于B，黑猫警长从S必须经过到达T， 则需前4步有1步向右，3步向上，后4步有3步向右，1步向上， 故黑猫警长从S必须经过到达T的方法有种，故B错误； 对于C，黑猫警长与白鸽侦探在处相遇， 则黑猫警长前4步有2步向右，2步向上，白鸽侦探前4步有2步向左，2步向下， 则黑猫警长与白鸽侦探在处相遇总的走法有种， 所以黑猫警长与白鸽侦探在处相遇的概率为，故C正确； 对于D，同C可知黑猫警长与白鸽侦探在相遇的走法有种， 黑猫警长与白鸽侦探在相遇时走法有种， 黑猫警长与白鸽侦探在处相遇时的走法有种， 黑猫警长与白鸽侦探在相遇时走法有种， 黑猫警长与白鸽侦探在相遇时走法有种， 所以黑猫警长与白鸽侦探能相遇的走法有种， 所以黑猫警长与白鸽侦探相遇的概率为，故D错误. 故选：C. 3．（2024·陕西安康·模拟预测）2022年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（    ） A．小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条 B．小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条 C．小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为 D．小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F，事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外）（多选），则 【答案】BCD 【详解】由图可知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动， 对于A，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即共走3步，其中1步向上，所以最短路径的条数为条，所以A错误， 对于B，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即共走7步，其中3步向上，最短路径的条数为条，所以B正确， 对于C，小明到的最短路径走法有条，再从处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有35条，所以到处和小华会合一起到老年公寓的概率为，所以C正确， 对于D，由题意知：事件的走法有18条，即，事件，所以，所以D正确. 故选:BCD 4．（2025·广东茂名·二模）（多选）如图所示，各小矩形都全等，各条线段均表示道路.某销售公司王经理从单位处出发到达处和处两个市场调查了解销售情况，行走顺序可以是，也可以是，王经理选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可以选择的最近不同路线共有（    ） A．31条 B．36条 C．210条 D．315条 【答案】CD 【详解】设小矩形的长为，宽为，则从的最近路线为，从的最近路线为， 若，则选择行走顺序为，先从，最近路线需要走3个长，2个宽，则不同路线有种，从，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有种，所以从的不同路线有种； 若，则选择行走顺序为，先从，最近路线需要走2个长，4个宽，则不同路线有种，从，最近路线需要走5个长，2个宽，则不同路线有种，所以从的不同路线有种. 综上，王经理可以选择的最近不同路线共有210条或315条. 故选：CD. 类型十四、错位重排问题 1.（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）错位重排是一种数学模型.通常表述为：编号为的封信，装入编号为的个信封，若每封信和所装入的信封的编号不同，问有多少种装法？这种问题就是错位重排问题.上述问题中，设封信均被装错有种装法，其中. (1)求； (2)推导之间的递推关系，并证明：是等比数列； (3)请问封信均被装错的概率是否大于？并说明理由.（参考公式：） 【答案】(1) (2)；证明见解析； (3)答案见解析； 【难度】0.15 【知识点】计算古典概型问题的概率、分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）结合题意，由分步计数原理可得； （2）先将封信分为两步，再将第二步分为两类，最后由分步乘法和分类加法计数原理表示出，最后用等比数列的基本量法即可证明； （3）将（2）的结果同时除以后变形，再结合所给展开式分为奇数和偶数时分别求出概率即可； 【详解】（1）由题意可得， （2）若有封信时，其装法可分为两个步骤： 第一步：编号为的信，有种装法； 第二步：重装其余的封信，根据第一步装法可分为两类， 第一类，若编号为的信，装入编号为的信封，，但编号为的信装入编号为的信封，这样有种装法； 第二类，若编号为的信，装入编号为的信封，，但编号为的信不装入编号为的信封，这样有种装法； 由分步乘法和分类加法计数原理， 所以， 证明：， 因为， 所以是以首项，公比为的等比数列， （3）由（2）知：， 所以， 所以， 又因为封信全装错的概率为， ， 所以， 当为奇数时：， 当为偶数时：， 所以当为奇数时，封信均被装错的概率小于， 当为偶数时，封信均被装错的概率大于. 【点睛】关键点点睛： （1）本题第一问关键是对题意的理解后结合分步计数原理求解； （2）本题第二问关键是利用分步乘法和分类加法将封信分为两步，其中第二步又分（3）为编号为的信装入与不装入编号为的信封的两种情况； 本题第三问关键在于对等比数列公式的变形，利用阶乘的性质和所给展开式求解 2.（23-24高三下·天津·月考）著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种 【答案】 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据数列递推公式求出项，再结合分步计数原理求解. 【详解】第一步，先选出两位同学位置不变，则有种， 第二步，剩下5名同学都不在原位，则有种， 由数列满足，， 则，， ， 则不同的做法有种. 故答案为：. 类型十五：综合问题 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题，14，5分）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 【答案】 24 112 【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：24；112 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果. 课后作业 基础巩固练 1.某单位计划举行庆祝活动,共有4个节目,要求A节目不排在第一个,则节目安排的方法数为(　　) A.9 B.18 C.24 D.27 答案 ：B 解析：由题意,先从后面3个位置中选择一个安排A节目,然后其他3个节目任意排在剩下的3个位置,共有=18种方法. 2.(2024·江苏宿迁三模)甲、乙、丙等5人站成一排,甲、乙相邻,且乙、丙不相邻,则不同排法共有(　　) A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 答案 ：B 解析：甲、乙捆绑在一起看成一个整体,与丙以外的2人全排列,有=12(种)排法,又因为乙、丙不相邻,所以把丙放入一共有3种,所以一共有12×3=36(种)排法. 3.(2020·新高考Ⅱ,6)3名学生假期到2个乡村做志愿者,每名学生只能选择去1个村,每个村至少去1名志愿者,则不同的安排方法共有(　　) A.2种 B.3种 C.6种 D.8种 答案 ：C 解析：先将3名学生分成两个组,有=3(种)方法;再将分好的两组学生安排到2个村,有=2(种)方法.根据分步乘法计数原理,得不同的安排方法共有3×2=6(种). 4.(2024·山东滨州二模)某单位安排5名同志在5月1日至5日值班,每天安排1人,每人值班1天.若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天,丙不安排在5月3日,则不同的安排方案共有(　　) A.42种 B.40种 C.36种 D.30种 答案 ：B 解析：甲、乙相邻的排列数是,其中甲、乙相邻且丙排在5月3日的排列数为2,所以不同的安排方案共有-2=40(种). 5.(2025·上海青浦模拟)已知a1,a2,…,an是1,2,…,n(n≥2,n∈N)满足下列性质T的一个排列,性质T:排列a1,a2,…,an中有且仅有一个a1>ai+1(i∈{1,2,…,n-1}),当n=5时,满足性质T的数列的个数是(　　) A.6 B.24 C.5 D.120 答案 ：B 解析：当n=5时,a1,a2,…,a5是1,2,3,4,5的一个排列,由排列a1,a2,…,a5中有且仅有一个a1>ai+1(i∈{1,2,3,4}),可得a1=2,a2,a3,a4,a5是1,3,4,5的任意一个排列,则满足性质的数列一共有=24(个). 6.(2024·河南新乡二模)老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人,其中甲分得2本,乙、丙每人至少分得一本,则不同的分法有(　　) A.248种 B.168种 C.360种 D.210种 答案 ：D 解析：第一类:甲、乙、丙每人分得2本,有=90(种)分法; 第二类:甲分得2本,乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3本,有=120(种)分法.所以由分类加法计数原理可得共有90+120=210(种)不同的分法. 7.(2024·山东青岛二模)甲、乙、丙、丁、戊5名调查员分别去城东、城南、城西、城北四个区域进行数据采集,每个区域至少去一名调查员,若甲不去城东,则不同的安排方法共有(　　) A.36种 B.60种 C.96种 D.180种 答案 ：D 解析：城东去1人,不同安排方法有=144(种); 城东去2人,不同安排方法有=36(种), 所以不同的安排方法共有144+36=180(种). 8.(多选题)(2024·新疆克孜勒苏模拟)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照留念,下列结论正确的是(　　) A.站成一排不同的站法共有120种 B.若甲和乙不相邻,则不同的站法共有36种 C.若甲站在最中间,则不同的站法共有24种 D.若甲不站排头,则不同的站法共有96种 答案 ：ACD 解析：甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排,不同的站队方式共有=120(种),故A正确;甲和乙不相邻的站队方式有=72(种),故B不正确;甲在最中间的不同的站队方式有=24(种),故C正确;甲不站排头,则先从其余四人中选一人站排头,再将其余三人与甲任意排,故不同的站队方式有=96(种),故D正确.故选ACD. 9.(多选题)(2024·安徽六安模拟)有6本不同的书,按下列方式进行分配,其中分配种数正确的是(　　) A.分给甲、乙、丙三人,每人各2本,有15种分法 B.分给甲、乙、丙三人,一人4本,另两人各1本,有180种分法 C.分给甲、乙每人各2本,分给丙、丁每人各1本,有180种分法 D.分给甲、乙、丙、丁四人,两人各2本,另两人各1本,有1 080种分法 10.(2024·山东聊城三模)2本相同的图画书和2本不同的音乐书全部分给3个小朋友,每人至少1本,且2本图画书不分给同一个小朋友,则不同的分法共有　　　　　种.  答案 ：15 解析：由题可知,1个小朋友分得2本书,且此2本均为音乐书,或者1本图画书、1本音乐书,其他小朋友各分得1本书. 若2本均为音乐书,有=3(种)分法; 若1本图画书、1本音乐书,有=12(种)分法.故共有3+12=15(种)不同的分法. 综合提升练 11.(2024·河南九师联盟联考)有除颜色外大小相同的9个小球,其中有2个红球,3个白球,4个黑球,同色球不加区分,将这9个球排成一列,要求2个红球相邻,3个白球两两互不相邻,不同的排列种数为(　　) A.100 B.120 C.10 800 D.21 600 答案 ：A 解析：将4个黑球放好有一种,形成5个空,从中选一个空将2个红球作为一个整体排上,有种排法,如此就形成6个空,将3个白球插空到6个空中,有种排法,故共有=100(种)不同排法. 12.(2025·重庆九龙坡模拟)在某次竞赛活动的组织过程中,有甲、乙等5名教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目,每名教师只参加一个服务项目,每个服务项目至少有一名教师参加.若甲、乙两名教师不参加同一个服务项目,则不同的安排方案有(　　) A.108种 B.114种 C.150种 D.240种 答案 ：B 解析：5名教师按3∶1∶1分组有种方法,按2∶2∶1分组有种分法,因此5名教师的安排方案有种,当甲、乙在同一组时,甲乙可视为1个人,即相当于4名教师的安排方案,有种,所以所求不同的安排方案有=25×6-6×6=114(种). 13.(2024·浙江金华模拟)将1至8这8个整数排成一列,要求任意相邻两项互质,则不同的排列方法有　　　　　种.  答案 ：1 728 解析：由于任意相邻两项互质,所以偶数必须隔开,所以先把四个奇数排成一列有种方法,然后把偶数插空进去,四个偶数中只有6不能与3相邻,其他偶数可以随意插空,所以先考虑把6插空,有种选择,剩下的3个偶数在剩下的4个空中随意插空,所以共有=1 728(种)排列方法. 14.(2024·福建厦门模拟)有10名演员,其中8人会唱歌,5人会跳舞,现要表演一个2人唱歌2人伴舞的节目,则不同的选派方法共有　　　　　种.  答案 ：199 解析：由题意,易知10名演员中有5人只会唱歌,2人只会跳舞,3人既会唱歌又会跳舞,以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究: ①只会唱歌的5人中没有人选上唱歌人员,有种选派方法; ②只会唱歌的5人中只有1人选上唱歌人员,有种选派方法; ③只会唱歌的5人中有2人选上唱歌人员,有种选派方法. 由分类加法计数原理知,选派方法共有=199(种). 15．现有6人坐成一排，任选其中3人相互调整座位(这3人中任何一人都不能坐回原来的位置)，其余3人座位不变，则不同的调整方案的种数有(　　) A．30 B．40 C．60 D．90 答案 ：选B． 解析：根据题意，分2步进行分析：①从6人中选出3人，相互调整座位，有C＝20种选法；②记选出相互调整座位的3人分别为A，B，C，则A有2种坐法，B，C只有1种坐法，A，B，C相互调整座位有2种情况．则不同的调整方案有20×2＝40种，故选B． 16.(多选题)(2024·江苏镇江模拟)定义“圆排列”:从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形,称为圆排列,所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种,区别于通常的“直线排列”,既无“头”也无“尾”,所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈,做击鼓传花的游戏,则(　　) A.共有种排法 B.若两名女生相邻,则有2种排法 C.若两名女生不相邻,共有4种排法 D.若男生甲位置固定,则有5种排法 答案 ：ABD 解析：2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈,共有种排法,故A选项正确;若两名女生相邻,则有=2种排法,故B选项正确;若两名女生不相邻,共有=12种排法,故C选项错误;若男生甲位置固定,考虑以甲为基准的顺(逆)时针排列,则有=5种排法,故D选项正确. 故选ABD. 17.某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（   ） A．105种 B．455种 C．120种 D．560种 【答案】A 【详解】取16个元素排成一排，在相邻的每两个元素形成的15个间隙中选取2个插入隔板， 这样就把16个元素分成3个区间，这3个区间的元素个数分别对应这3个年级的学生名额， 则名额的分配方案的种数与隔板插入方法的种数相等． 因为隔板插入方法共有种，所以名额的分配方案共有105种． 故选：A. 18.20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】A 【详解】先往2号，3号盒内分别放入1个球和2个球，此时每个盒子至少还需放入1个球， 将剩下的17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可， 共有（种）方法． 故选：A 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题： 排列组合重点问题 考情分析：近三年全国卷中，排列组合以选填题考查，分值5分，难度中等偏易，属中低档题型。排列组合聚焦分类加法、分步乘法计数原理，考查排列、组合的基础概念与计算；核心考查两大计数原理的灵活运用，要求学生准确区分排列与组合，能结合题意考虑特殊元素/位置，规避易混易错点。同时侧重检验逻辑分类、分步推理能力和代数运算的准确性，注重基础方法的直接应用。 必备知识： 1．排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合的定义 合成一组 2.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝C，C＋C＝C 常用结论 1．“排列”与“组合”的辨析 排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合． 2．解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排．(4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化． 类型一：特殊元素、特殊位置法 对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 1．某班要排出语文、数学、政治、英语、体育、艺术这六节课在周五的课程表，要求数学排在上午（前四节）体育排在下午（后两节），则不同的排法总数是（   ） A．720 B．120 C．144 D．192 2．有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（    ） A．42 B．50 C．54 D．60 3．现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（    ） A． B． C． D． 类型二、捆绑法 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. 1．甲、乙、丙、丁4人站成一排拍合照，要求甲和乙站在一起，则不同站法共有（   ） A．6种 B．12种 C．24种 D．36种 2．有2位老师和3名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（   ） A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 3.含甲、乙、丙在内的6人站成一排，其中甲只能站在头尾两端，且乙丙两人相邻，则不同站法的结果数为（   ） A．24 B．48 C．96 D．192 类型三、插空法 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求. 1．若3个男生和2个女生排成一排，则女生不相邻的排法数为（    ） A．120 B．72 C．48 D．12 2．三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．144 B．72 C．36 D．12 3．某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 类型四、捆绑法结合插空法 1．五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（    ）种. A．24种 B．36种 C．72种 D．120种 2．甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（   ） A． 种 B． 种 C． 种 D．种 3．高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有（   ） A．1152种 B．384种 C．288种 D．144种 4．已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（   ）个. A．432 B．257 C．282 D．504 类型五、间接法 1.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．42种 D．60种 2． 只用0，1，2这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（    ） A．28个 B．24个 C．22个 D．18个 3．从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（    ） A．44 B．46 C．48 D．54 类型六、倍缩法（定序问题） 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法. 1．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 2．小明参加“江南六地游”旅行，其中，，三地游览的先后顺序一定（游，，三地的顺序可以相邻也可以不相邻），则小明“江南六地游”旅行的不同的出游方法有（   ） A．120种 B．180种 C．240种 D．480种 3．某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（    ） A．150 B．300 C．900 D．450 4.如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 5．四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．12600 B．6000 C．8200 D．12000 类型七、排数问题 对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位. 1．从0，1，2，3，4五个数字组成没有重复数字的四位数，则该数为偶数有多少个？（    ） A．66 B．60 C．90 D．96 2．从中任取个数字，从中任取个数字，用这个数字组成的没有重复数字的五位数的个数为（    ） A． B． C． D． 3．将1，2，3，4，5，6，7这7个数字排成一排，则相邻数字互质的排法有（    ）． A．576种 B．720种 C．864种 D．900种 4．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是，为纪念祖冲之在圆周率上的成就，把称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某数学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的位数字进行随机排列，整数部分不变，那么可以得到大于的不同数字有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为7”的不同的排法有（    ） A．16种 B．32种 C．64种 D．96种 类型八、常规分组分配问题 （1）整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． （2）局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． （3）不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 1．某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（    ） A．72 B．54 C．48 D．36 2.某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 3．在《红楼梦》第三十八回“林潇湘魁夺菊花诗，薛蘅芜讽和螃蟹咏”中，史湘云做东，邀众姐妹和贾宝玉一起作诗．诗会以菊花为主题，共编拟了十首不同的咏菊诗名，假设分配贾宝玉作《访菊》､《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》､《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉､史湘云､探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有（    ） A．150种 B．360种 C．450种 D．540种 类型九、有条件的分组分配问题 1．某校安排高一年级（1）~（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A基地的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．60 D．240 2．某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有（   ）种 A．150 B．180 C．360 D．540 3．如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共（   ）    A．32种 B．24种 C．·20种 D．16种 4．某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．24种 C．36种 D．30种 5．现将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《史记》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（   ） A．150 B．100 C．25 D．50 6．县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．2025年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 类型十、相同元素分组分配问题（隔板法） 1．（2025·河南驻马店·三模）把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ） A．10种 B．种 C．种 D．45种 2．（2025·湖南湘潭·一模）如果一个四位数的各位数字之和为9，则称A是一个“好数”，则“好数”的个数为__________. 3．（2024·河北廊坊·一模）有10块糖，每天至少吃1块，不同的吃法有______种. 4．（2025·河北沧州·模拟预测）把1，2，3，…，20这20个数分成四组，若组内的数不少于两个时必须是连续自然数，则有______种分组方法．（用数字作答） 类型十一、染色问题 解决染色问题的一般思路 （1）按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． （2）以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． （3）将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题 1．用种不同颜色给正三角形的个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条边的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（    ）种 A． B． C． D． 2．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 3．将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为（   ） A．80 B．100 C．110 D．120 4．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为，，，的个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为，，的小正方形涂相同的颜色，则共有（    ）种涂法， A． B． C． D． 5．现提供5种不同的颜色给图中①②③④⑤这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同1种颜色，每个区域只涂1种颜色，则不同的涂色方案共有（   ）    A．360种 B．420种 C．120种 D．480种 6．用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，共有多少种不同的涂法（    ）    A．72 B．96 C．120 D．144 类型十一、环排问题 1．（2025·河北唐山·一模）甲､乙等6人围成一圈，且甲､乙两人相邻，则不同的排法共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 2．（2025·四川眉山·三模）（多选）定义“圆排列”：从个不同元素中选个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为．圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以．现有个女生个男生共名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（   ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若男生甲位置固定，则有种排法 D．若两名女生不相邻，共有种排法 3．（2025·海南儋州·二模）圆排列最早出现在《易经》里．当A，B，C三位同学围成一个圆时，排列ABC与该排列旋转一个或几个位置得到的排列BCA或CAB是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为______． 类型十二、多面手问题 1．（2025·吉林四平·三模）有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（   ） A．1860种 B．2174种 C．2354种 D．2651种 2．（2025·山东菏泽·模拟预测）已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有_________种．（用数字作答）． 3．（2025·河北秦皇岛·二模）在名工人中,有人只当钳工, 人只当车工,另外人既会钳工又会车工，现从人中选出人当钳工, 人当车工,则共有（    ）种不同的选法. A． B． C． D． 类型十三、最短路径问题 1.（2024·河北张家口·三模）平面直角坐标系上将横、纵坐标都为整数的点记为格点，点从格点出发，每次运动到另一格点时，沿水平或竖直方向移动一个单位，则点经过6次移动回到格点的移动路径总数为（    ） A．81 B．200 C．400 D．480 2．（2025·山西大同·二模）在黑猫警长的森林街区行动中，黑猫警长从起点S沿最短路径前往终点T抓捕逃犯；白鸽侦探从T出发，沿最短路径前往S支援.两人随机选择路径，且速度完全相同.其中，，，，是森林道路网络中位于一条对角线上的5个交汇点.（   ） A．黑猫警长从S到T的最短路径方法有100种B．黑猫警长从S必须经过到达T的方法有36种 C．黑猫警长与白鸽侦探在处相遇的概率为 D．黑猫警长与白鸽侦探相遇的概率为 3．（2024·陕西安康·模拟预测）2022年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（    ） A．小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条 B．小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条 C．小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为 D．小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F，事件B：从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外）（多选），则 4．（2025·广东茂名·二模）（多选）如图所示，各小矩形都全等，各条线段均表示道路.某销售公司王经理从单位处出发到达处和处两个市场调查了解销售情况，行走顺序可以是，也可以是，王经理选择了最近路径进行两个市场的调查工作.则王经理可以选择的最近不同路线共有（    ） A．31条 B．36条 C．210条 D．315条 类型十四、错位重排问题 1.（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）错位重排是一种数学模型.通常表述为：编号为的封信，装入编号为的个信封，若每封信和所装入的信封的编号不同，问有多少种装法？这种问题就是错位重排问题.上述问题中，设封信均被装错有种装法，其中. (1)求； (2)推导之间的递推关系，并证明：是等比数列； (3)请问封信均被装错的概率是否大于？并说明理由.（参考公式：） 2.（23-24高三下·天津·月考）著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有_________种 类型十五：综合问题 （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 课后作业 基础巩固练 1.某单位计划举行庆祝活动,共有4个节目,要求A节目不排在第一个,则节目安排的方法数为(　　) A.9 B.18 C.24 D.27 2.(2024·江苏宿迁三模)甲、乙、丙等5人站成一排,甲、乙相邻,且乙、丙不相邻,则不同排法共有(　　) A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 3.(2020·新高考Ⅱ,6)3名学生假期到2个乡村做志愿者,每名学生只能选择去1个村,每个村至少去1名志愿者,则不同的安排方法共有(　　) A.2种 B.3种 C.6种 D.8种 4.(2024·山东滨州二模)某单位安排5名同志在5月1日至5日值班,每天安排1人,每人值班1天.若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天,丙不安排在5月3日,则不同的安排方案共有(　　) A.42种 B.40种 C.36种 D.30种 5.(2025·上海青浦模拟)已知a1,a2,…,an是1,2,…,n(n≥2,n∈N)满足下列性质T的一个排列,性质T:排列a1,a2,…,an中有且仅有一个a1>ai+1(i∈{1,2,…,n-1}),当n=5时,满足性质T的数列的个数是(　　) A.6 B.24 C.5 D.120 6.(2024·河南新乡二模)老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人,其中甲分得2本,乙、丙每人至少分得一本,则不同的分法有(　　) A.248种 B.168种 C.360种 D.210种 7.(2024·山东青岛二模)甲、乙、丙、丁、戊5名调查员分别去城东、城南、城西、城北四个区域进行数据采集,每个区域至少去一名调查员,若甲不去城东,则不同的安排方法共有(　　) A.36种 B.60种 C.96种 D.180种 8.(多选题)(2024·新疆克孜勒苏模拟)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照留念,下列结论正确的是(　　) A.站成一排不同的站法共有120种 B.若甲和乙不相邻,则不同的站法共有36种 C.若甲站在最中间,则不同的站法共有24种 D.若甲不站排头,则不同的站法共有96种 9.(多选题)(2024·安徽六安模拟)有6本不同的书,按下列方式进行分配,其中分配种数正确的是(　　) A.分给甲、乙、丙三人,每人各2本,有15种分法 B.分给甲、乙、丙三人,一人4本,另两人各1本,有180种分法 C.分给甲、乙每人各2本,分给丙、丁每人各1本,有180种分法 D.分给甲、乙、丙、丁四人,两人各2本,另两人各1本,有1 080种分法 10.(2024·山东聊城三模)2本相同的图画书和2本不同的音乐书全部分给3个小朋友,每人至少1本,且2本图画书不分给同一个小朋友,则不同的分法共有　　　　　种.  综合提升练 11.(2024·河南九师联盟联考)有除颜色外大小相同的9个小球,其中有2个红球,3个白球,4个黑球,同色球不加区分,将这9个球排成一列,要求2个红球相邻,3个白球两两互不相邻,不同的排列种数为(　　) A.100 B.120 C.10 800 D.21 600 12.(2025·重庆九龙坡模拟)在某次竞赛活动的组织过程中,有甲、乙等5名教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目,每名教师只参加一个服务项目,每个服务项目至少有一名教师参加.若甲、乙两名教师不参加同一个服务项目,则不同的安排方案有(　　) A.108种 B.114种 C.150种 D.240种 13.(2024·浙江金华模拟)将1至8这8个整数排成一列,要求任意相邻两项互质,则不同的 排列方法有　　　　　种.  14.(2024·福建厦门模拟)有10名演员,其中8人会唱歌,5人会跳舞,现要表演一个2人唱歌2人伴舞的节目,则不同的选派方法共有　　　　　种.  15．现有6人坐成一排，任选其中3人相互调整座位(这3人中任何一人都不能坐回原来的位置)，其余3人座位不变，则不同的调整方案的种数有(　　) A．30 B．40 C．60 D．90 16.(多选题)(2024·江苏镇江模拟)定义“圆排列”:从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形,称为圆排列,所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种,区别于通常的“直线排列”,既无“头”也无“尾”,所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈,做击鼓传花的游戏,则(　　) A.共有种排法 B.若两名女生相邻,则有2种排法 C.若两名女生不相邻,共有4种排法 D.若男生甲位置固定,则有5种排法 17.某校庆典活动开场舞安排高中三个年级的16名学生共同完成，要求每个年级至少安排1名学生，则名额的分配方案共有（   ） A．105种 B．455种 C．120种 D．560种 18. 20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120 B．240 C．300 D．360 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $