排列组合涂色问题讲义-2026届高三数学二轮专题复习

涂色问题 一、回归教材 2019 人教 A 版高中数学选择性必修第三册第 27 页习题 6.2 第 17 题: 17. 如图, 现要用 5 种不同的颜色对某市的 4 个县地图进行着色, 要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法? 二、挖掘考点 涂色问题的处理策略 1. 按区域分步计数 以区域为主, 按照顺序依次为每个区域涂色, 使用分步乘法计数原理。例如, 若相邻区域颜色不同，先为第一个区域选择颜色，再为后续区域选择与已涂区域不同的颜色。 若过程中某一步受前一步影响 (如颜色选择受限), 需先分类再分步。 2. 以颜色分类讨论 根据使用的颜色数量或颜色组合进行分类, 适用于区域、点、线段等涂色问题。例如,计算使用 2 种、 3 种或更多颜色的涂色方法,再用分类加法计数原理求和。 3. 将空间问题平面化 对于复杂的立体图形(如正方体、棱柱等)，通过展开或投影转化为平面区域涂色问题, 再按平面规则求解。 考点 1 : 环形涂色 将圆分为 个扇形,每个扇形用 种不同颜色之一染色,要求相邻扇形所染的颜色不同,则染色方法数为 . 例 1 如图,在一个环形的图上,用 种不同的颜色给图中的 个区域染色, 每个区域染一种颜色，要求任意相邻的区域颜色不同，则共有多少种不同的染色方法? 考点 2 直线型涂色 如 5 块试验田种 3 种作物，相邻不同，先计算总方法数再减去只用 2 种作物的情况. 例 2 将 3 种作物全部种植在如图所示的 5 块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有_____种. A B C D E 考点3 空间区域涂色 如四棱锥染色，可按颜色数量分类(用 3 种或 4 种颜色)，分别计算再相加. 例 3 将一个四棱锥的每个面染上一种颜色, 并且使相邻两个面异色, 若只有四种颜色可供选用，则不同的染色方案有多少种? 三、面向高考 例 1如图，一环形花坛分成 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数 为( ) A. 96 B. 84 C. 60 D. 48 2.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____种. (以数字作答) 3.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有_____种(用数字作答). 4.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有_____种 (用数字作答). 5.如图，用四种不同颜色给图中的 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( ) A. 288 种 B. 264 种 C. 240 种 D. 168 种 学科网（北京）股份有限公司 $ 涂色问题 一、回归教材 2019 人教 A 版高中数学选择性必修第三册第 27 页习题 6.2 第 17 题: 17. 如图, 现要用 5 种不同的颜色对某市的 4 个县地图进行着色, 要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法? 【解析】 方法一:对于区域 ，有 5 种颜色可选，即有 5 种情况； 对于区域 II, 与区域 I 相邻, 有 4 种颜色可选，即有 4 种情况； 对于区域 III，与区域 I 和 II 相邻，有 3 种颜色可选，即有 3 种情况； 对于区域 IV,与区域 II 和 III 相邻,有 3 种颜色可选,即有 3 种情况; 根据分步乘法计数原理,不同的着色方案有 种. 方法二:当区域 I, IV 同色时, 区域 I 有 5 种涂色方法, 区域 II 有 4 种涂色方法, 区域 III 有 3 种涂色方法,此时共有 种涂色方法; 当区域 I, IV 不同色时, 则区域 I 有 5 种涂色方法, 区域 IV 有 4 种涂色方法, 区域 II 有 3 种涂色方法,区域 III 有 2 种涂色方法,此时共有 种涂色方法; 根据分类加法计数原理,共有 种不同的着色方法. 二、挖掘考点 涂色问题的处理策略 1. 按区域分步计数 以区域为主, 按照顺序依次为每个区域涂色, 使用分步乘法计数原理。例如, 若相邻区域颜色不同，先为第一个区域选择颜色，再为后续区域选择与已涂区域不同的颜色。 若过程中某一步受前一步影响 (如颜色选择受限), 需先分类再分步。 2. 以颜色分类讨论 根据使用的颜色数量或颜色组合进行分类, 适用于区域、点、线段等涂色问题。例如,计算使用 2 种、 3 种或更多颜色的涂色方法,再用分类加法计数原理求和。 3. 将空间问题平面化 对于复杂的立体图形(如正方体、棱柱等)，通过展开或投影转化为平面区域涂色问题, 再按平面规则求解。 考点 1 : 环形涂色 将圆分为 个扇形,每个扇形用 种不同颜色之一染色,要求相邻扇形所染的颜色不同,则染色方法数为 . 例 1 如图,在一个环形的图上,用 种不同的颜色给图中的 个区域染色, 每个区域染一种颜色，要求任意相邻的区域颜色不同，则共有多少种不同的染色方法? 【解析】设在一个环形的图上,用 种不同的颜色给图中的 个区域染色,相邻的区域颜色不同共有 种不同的染色方法,则 给区域 1 染色有 种方法,给区域 2 染色有 种方法,给区域 3 染色有 种方法, ,给区域 染色有 种方法,由分步乘法计数原理知,共有 种方法,但这种方法只保证区域 与区域 的颜色不同,不能保证区域 与区域 1 的颜色不同，所以可分为两类: 第一类:区域 与区域 1 的颜色不同，有 种方法； 第二类:区域n与区域1的颜色相同时，可将区域n和区域1视为同一个区域，有 种方法，故 方法一: ， 令 ,则 两式对照比较得 , 故 , 故数列 是公比为 -1 的等比数列 , 又 , 所以 , 所以 . 方法二: . 考点 2 直线型涂色 如 5 块试验田种 3 种作物，相邻不同，先计算总方法数再减去只用 2 种作物的情况. 例 2 将 3 种作物全部种植在如图所示的 5 块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有_____种. A B C D E 【答案】 42 【解析】 方法一:分别用 代表 3 种作物，先安排 A 试验田，有 3 种方法，不妨设放入 ，再安排B试验田,有两种方法 或 ,不妨设放入 , C试验田也有 2 种方法 或 . (1)若C试验田放 : D、E 试验田分别有 2 种方法,共有 种方法. (2)若C试验田放 : D 试验田有 或 两种方法, ①若D 试验田放 : E 试验田有 2 种方法; ②若 D 试验田放 b : E 试验田只能种作物 ，共 1 种方法. 综上，共有 种方法. 方法二: 相邻试验田种不同作物的情况减去只种两种作物的情况，本质上还是按颜色进行分类讨论: (1)5 块试验田种 3 种作物:A试验田有 3 种方法，B试验田有 2 种方法，C试验田有 2 种方法, D 试验田有 2 种方法, E 试验田有 2 种方法,共有 种方法; (2)5块试验田只种 2 种作物，有 种方法； 故满足题意得不同的种植方法共有 种方法. 考点3 空间区域涂色 如四棱锥染色，可按颜色数量分类(用 3 种或 4 种颜色)，分别计算再相加. 例 3 将一个四棱锥的每个面染上一种颜色, 并且使相邻两个面异色, 若只有四种颜色可供选用，则不同的染色方案有多少种? 【答案】72 【解析】将四棱锥投影转化为平面区域涂色问题. 方法一:按颜色分类 依题意至少要用 3 种颜色 (1)用 4 种颜色时，若 2,4 同色，则 3,5 不同色，有 A、 4 和；若 3,5 同色，则 2,4 不同色，有 种，故共有 (种)； (2)用3种颜色时，2,4 同色且 3,5 同色，只需涂 1,2,3,，故共有 种； 由分类加法计数原理知,满足题意的染色方案共有 种. 方法二: 按区域分步 (1)区域 1 涂色有 4 种方法； (2)区域 2 涂色有 3 种方法； (3)区域 3 涂色有 2 种方法； (4)区域4涂色:若区域4与区域2同色，区域4涂色有1种方法，区域5涂色有2种方法; 若若区域 4 与区域 2 不同色, 区域 4 涂色有 1 种方法, 区域 5 涂色有 1 种方法; 由分步乘法计数原理知,满足题意的方法共有 种. 方法三:公式法 (1)先涂区域1，有 种方法； (2)再用剩下的 3 种颜色涂区域2,3,4,5，由环形涂色公式得，有 (( ) ( ) 种方法; 由分步乘法计数原理知,满足题意的方法共有 种. 【注意】(1)特殊区域(如相邻区域多的区域)优先涂色；(2)分类时确保“不重不漏”， 分步时保证步骤独立；(3)复杂问题可结合公式、分类讨论和空间转化等方法综合求解。 三、面向高考 例 1如图，一环形花坛分成 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数 为( ) A. 96 B. 84 C. 60 D. 48 【答案】B 【解析】 方法一: 分三类: 种两种花有 种种法; 种三种花有 种种法; 种四种花有 种种法. 共有 种种法,故选 B. 方法二:由环形涂色公式得 不同的种法总数为 ,故选 B. 2.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____种. (以数字作答) 【答案】 72 【解析】 方法一:按颜色分类 依题意至少要用 3 种颜色 (1)用 4 种颜色时，若 2，4 同色，则 3,5 不同色，有 A，4 种；若 3，5 同色，则 2,4 不同色，有 种，故共有 (种)； (2)用3种颜色时，2,4 同色且 3,5 同色，只需涂 1,2,3 ，，故共有 种； 由分类加法计数原理知,满足题意的方法共有 种. 故答案为: 72 方法二:按区域分步 (1)区域 1 涂色有 4 种方法； (2)区域 2 涂色有 3 种方法； (3)区域3涂色有2种方法； (4)区域4涂色:若区域4与区域2同色，区域4涂色有1种方法，区域5涂色有2种方法; 若若区域 4 与区域 2 不同色, 区域 4 涂色有 1 种方法, 区域 5 涂色有 1 种方法; 由分步乘法计数原理知,满足题意的方法共有 种. 故答案为: 72 方法三:公式法 (1)先涂区域1，有 种方法； (2)再用剩下的 3 种颜色涂区域 2,3,4,5 ，由环形涂色公式得，有 (( ) . 种方法; 由分步乘法计数原理知,满足题意的方法共有 种. 故答案为: 72 3.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有_____种(用数字作答). 【答案】630. 【分析】分别计算第三个格子与第一个格子同色，以及第三个格子与第一个格子不同色，所对应的不同涂色方法，即可求出结果. 【详解】 方法一: 用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色，若第三个格子与第一个格子同色，则有 种涂色方法; 若第三个格子与第一个格子不同色,则有 480 种涂色方法; 综上,共有 种涂色方法,故答案为 630 . 方法二: 分为三类:第一类是只用两种颜色有 种涂法；第二类是用三种颜色有 种涂法;第三类是用四种颜色有 种涂法; 故共有 种涂法,故答案为 630 . 4.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有_____种 (用数字作答). 【答案】390 【详解】用 2 色涂格子有 种方法; 用 3 色涂格子,第一步选色有 种,第二步涂色共有 种,所以涂色方法有 种方法; 故总共有 390 种方法. 故答案为 390. 5.如图，用四种不同颜色给图中的 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( ) A. 288 种 B. 264 种 C. 240 种 D. 168 种 【答案】B 【解析】 方法一: 先分步再排列 先涂点 ，有 4 种涂法，再涂点 ，有两种可能: (1) 与 相同时，依次涂点 ，涂法分别有3,2,2,2种； (2) 与 不相同时有 3 种涂法，再依次涂 、 、 、 点，涂 有 2 种涂法，涂 点时又有两种可能: (2.1) 与 相同，有 1 种涂法，再涂点 ，有两种可能: ① 与 相同，有 1 种涂法，最后涂 有 2 种涂法； ② 与 不相同，有 2 种涂法，最后涂 有 1 种涂法. (2.2) 与 不相同，有 1 种涂法，再涂点 ，有两种可能: ① 与 相同，有 1 种涂法，最后涂 有 2 种涂法； ② 与 不相同，有 2 种涂法，最后涂 有 1 种涂法. 所以不同的涂色方法有 . 方法二:根据所涂颜色的种数来分类 (1)若 四点涂 4 种颜色，则有 种涂色方法； (2)若 四点涂 3 种颜色，则必有 涂色相同或 涂色相同. 如果 ， 涂色相同，则有 种涂色方法；同理，如果 涂色相同，则有 种涂色方法; (3)若 四点涂 2 种颜色，则必有 涂色相同且 涂色相同，则有 种涂色方法; 所以共有 种不同的涂色方法,故选 B. 学科网（北京）股份有限公司 $