专题四 微专题1 排列组合与二项式定理 专项训练-2026届高三数学二轮专题复习

专题四 概率与统计 微专题1 排列组合与二项式定理专项训练 一、单选题 1.(2025·重庆市·模拟)“”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当与至中任意个数字相乘时，乘积仍然由，，，，，这个数字组成若从，，，，，这个数字中任选个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于的偶数个数是(    ) A. B. C. D. 2．（25-26高三上·四川成都·月考）已知，，若，，则（    ） A．1 B．13 C．12 D．2 二、多选题 3．（25-26高三上·江西上饶·月考）设函数，且记，则（    ） A．数列的首项为1 B．数列的前8项和为1 C．数列的前8项和为-2187 D．数列的前8项和为0 4．（25-26高三上·山东·开学考试）设 ，则（     ） A． B． C．的最小值为 D．若且当时, 则有 三、填空题 5.(2025·福建省龙岩市·模拟)一组数据按照从小到大的顺序排列为，记这组数据的下四分位数为，则二项式展开式的常数项为          ． 6.(2025·湖北省襄阳市·模拟)如图，有一个触屏感应灯，该灯共有个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻上、下或左、右相邻的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为          ． 7.(2025·湖北省省直辖县级行政区划·模拟)已知的展开式中项的系数为，则实数的值为          ． 8．（2025·广东·模拟预测）数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制.二进制是“逢二进一”的进制，例：二进制转化成十进制数为.若正整数n可以用位二进制数表示，其中，记.已知关于x的多项式，则该多项式中x的奇次项系数和为 . 四、解答题 9．（2025·山东济宁·二模）将所有正整数按照如下规律形成数阵： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… (1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置； (2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为. （i）求，，； （ii）求. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题四 概率与统计 微专题1 排列组合与二项式定理专项训练 一、单选题 1.(2025·重庆市·模拟)“”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当与至中任意个数字相乘时，乘积仍然由，，，，，这个数字组成若从，，，，，这个数字中任选个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于的偶数个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：若千位数字是，则百位数字只能是或，故共有个， 若千位数字是，则共有个， 若千位数字是，则共有个， 故符合条件的四位数共有个． 故选：． 2．（25-26高三上·四川成都·月考）已知，，若，，则（    ） A．1 B．13 C．12 D．2 【答案】B 【详解】由题可得, 所以得， 由于，所以； 故选：B 二、多选题 3．（25-26高三上·江西上饶·月考）设函数，且记，则（    ） A．数列的首项为1 B．数列的前8项和为1 C．数列的前8项和为-2187 D．数列的前8项和为0 【答案】BD 【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A错误； 数列的前8项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前8项和等于， 令，则，而， 则数列的前8项和为2187，故C错误； 数列的前8项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 故选：BD 4．（25-26高三上·山东·开学考试）设 ，则（     ） A． B． C．的最小值为 D．若且当时, 则有 【答案】AC 【详解】因二项式的展开式的通项为， 对于A，由题意，故A正确； 对于B，在中， 取，可得，故B错误； 对于C，， 因，当时，的最小值为，故C正确； 对于D，由二项式的通项， 令，可得， 因且当时， 则当时，， 于是当时， ， 故，故D错误. 故选：AC 三、填空题 5.(2025·福建省龙岩市·模拟)一组数据按照从小到大的顺序排列为，记这组数据的下四分位数为，则二项式展开式的常数项为          ． 【答案】  【解析】解：因为 ，所以这组数据的上四分位数为第个数，故， 所以二项式 展开式的通项为 ， 令，得， 所以展开式的常数项为   ． 故答案为：． 6.(2025·湖北省襄阳市·模拟)如图，有一个触屏感应灯，该灯共有个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻上、下或左、右相邻的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为          ． 【答案】  【解析】解：从个灯区中随机先后按下两个灯区，共有种按法． 与相邻的灯区为；与相邻的灯区为，故将个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区．若要使得灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按两个不同灯区． 若先后按下的是两个灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； 若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； 若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法． 故灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为． 故答案为：． 7.(2025·湖北省省直辖县级行政区划·模拟)已知的展开式中项的系数为，则实数的值为          ． 【答案】  【解析】解：， 的二项展开式的通项为， 令得，， 的展示式中的系数为； 令得，， 的展开式中的系数为， 依题意，解得， 故答案为：． 8．（2025·广东·模拟预测）数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制.二进制是“逢二进一”的进制，例：二进制转化成十进制数为.若正整数n可以用位二进制数表示，其中，记.已知关于x的多项式，则该多项式中x的奇次项系数和为 . 【答案】 【详解】因为，或， 所以表示正整数的二进制表示中的个数， 要计算关于x的多项式中奇数项的系数和， 即为计算时为奇数的个数， 按位数讨论，位二进制数，只有，是奇数，共个； 位二进制数，最高位是，要使所有位加起来是奇数， 则要求其余的位中有偶数个，依据二项式系数的性质得， 所以总个数为， 故答案为：. 四、解答题 9．（2025·山东济宁·二模）将所有正整数按照如下规律形成数阵： 第1行  1  2  3  ……  7  8  9 第2行  10  11  12  ……  97  98  99 第3行  100  101  102  ……  997  998  999 第4行  1000  1001  1002  ……  9997  9998  9999 ………… (1)将数列与数列的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列，试确定在该数阵中的位置； (2)将数阵中所有相邻两位数字（从左到右）出现12的所有正整数去掉并保持顺序不变，得到一个新数阵，记新数阵第行中正整数的个数为. （i）求，，； （ii）求. 【答案】(1)是数阵第4行，第3097个数． (2)（i），，；（ii）. 【详解】（1）设，因为， ， 所以， 所以，当且仅当为偶数时，可以取得正整数， 所以，当且仅当为偶数时，数列有公共项， 所以，，故， 所以，是数阵第4行，第3097个数． （2）（i）当时，显然． 当时，第2行2位数有90个，其中只有12去掉． 故． 当时，第3行3位数有900个，其中有两种情况去掉： 百位和十位分别为12，此时有10个；十位和个位分别为12，此时有9个． 故． （ii）当时，将第行个符合条件的位正整数分为两类： ①个位数字不等于2时，个位数字有9种取法，前面位数有种取法，这时位正整数中有个； ②个位数字等于2时，前面位数有种取法， 但这个位正整数中十位数字等于1的个正整数要去掉． 故个位数字等于2且十位数字不等于1的位正整数有－个． 综上，由加法原理知． 设， 所以，，即， 解得， 所以，是首项为，公比为的等比数列； 是首项为，公比为的等比数列； 所以，， ， 所以，当时，， 经检验，当时，也成立 当时，也成立． 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $