专题02 函数的图像与性质（复习讲义）（湖南专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 函数的图像与性质 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 函数的图像与性质（基础篇）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：函数自变量取值范围求解 题型二：直接/间接代入求函数值/自变量 题型三：待定系数法求函数解析式 题型四：根据函数解析式判断其性质 题型五：比较函数值的大小 题型六：一次函数k、b符号与图像象限判断 题型七：从函数图像上获取信息 题型八：反比例函数k的几何意义应用 题型九：二次函数a、b、c及判别式符号判断 题型十：函数图像平移规律应用 必备知识 知识1 一次函数的图像与性质 知识2 反比例函数的图像与性质 知识3 二次函数的图像与性质 知识4 二次函数的图像特征与各项系数之间的关系 知识5 函数的平移 命题预测 考点二 函数的图像与性质（压轴篇）（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：动点问题 题型三：线段最值问题 题型四：周长最值问题 题型五：特殊三角形存在性问题 题型六：特殊四边形存在性问题 题型七：线段、面积存在性问题 题型八：角度存在性问题 题型九：函数新定义问题 题型十：函数与几何图形综合 命题预测 命题透视 命题形式：呈现 “数形结合、多函交汇、情境创新” 的特点，以函数图像、表格数据、实际场景为载体，兼顾选择填空的基础考查与解答题的综合探究，突出对运算求解、逻辑推理及数形转化能力的考查。 命题内容：侧重基础性质的灵活应用与综合压轴的分层突破，基础层聚焦三类函数的解析式、图像特征及与方程不等式的关联，压轴层深挖面积最值、特殊图形存在性、动点动态分析、含参分类讨论及新定义创新应用。 热考角度 考点 2025年 2024年 函数定义与自变量取值范围 T10（长沙市卷·函数概念） T24（长沙市卷·新定义函数） T10（长沙市卷·整点定义） T24（长沙市卷·新定义函数） 点与函数图像的关系 T24（长沙市卷·点与图像关系） T25（湖南省卷·点坐标代入） T25（湖南省卷·点与函数关系） T24（长沙市卷·点坐标判断） 一次函数解析式与图像性质 T24（长沙市卷·点与图像关系） T25（湖南省卷·点坐标代入） T7（长沙市卷·一次函数图像） T22（湖南省卷·一次函数应用） 反比例函数解析式与k的几何意义 T9（湖南省卷·反比例函数性质） T16（湖南省卷·反比例应用） T9（湖南省卷·反比例图像） T10（湖南省卷·反比例性质） 二次函数的图像特征与性质 T26（湖南省卷·二次函数图像） T25（长沙市卷·二次函数性质） T25（湖南省卷·二次函数图像） T25（长沙市卷·二次函数性质） 函数综合应用 T22（湖南省卷·利润问题） T22（长沙市卷·销售问题） T22（湖南省卷·费用问题） T22（长沙市卷·购买问题） 二次函数与几何综合 T26（湖南省卷·二次函数与动点） T25（长沙市卷·二次函数与几何） T25（湖南省卷·二次函数与几何） T25（长沙市卷·二次函数与圆） 函数动点与最值 T26（湖南省卷·动点最值） T25（长沙市卷·动点轨迹） T25（湖南省卷·动点最值） T26（湖南省卷·动点轨迹） 函数含参与新定义 T24（长沙市卷·对偶函数） T24（湖南省卷·函数新定义） T24（长沙市卷·完美型双圆） T24（湖南省卷·函数新定义） 命题预测 .函数图像与性质（核心模块） · 核心考点： · 一次函数：k、b符号与图像象限、增减性、与坐标轴围成三角形面积； · 反比例函数：k的几何意义、双曲线上点的坐标特征； · 二次函数：a、b、c及Δ符号判断、对称轴与顶点坐标、最值计算、与x轴交点及根的分布。 · 综合趋势： · 函数（一次/二次/反比例）+方程/不等式+几何图形（三角形、四边形）的方案设计与最值问题将成为小压轴主流，强调建模与分析能力； · 函数动点问题、特殊图形存在性问题（等腰三角形、平行四边形等）是高频压轴方向。 备考建议（函数图像与性质） · 夯实基础：熟练掌握三类函数的图像特征、性质及解析式求解方法，确保基础题不丢分； · 突破中档：重点训练数形结合思想、参数讨论、整数解问题，总结函数与面积、线段长的解题模板； · 强化综合：针对“函数+方程/不等式+几何”综合题，提炼建模步骤，提升分析与表达能力； · 关注创新：熟悉新定义函数、函数图像变换、动点探究题型，培养迁移与推理能力。 考点一 函数的图像与性质（基础篇） 题型一 函数自变量取值范围求解 1．（2022·湖南娄底·中考真题）函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 2．（2021·湖南怀化·中考真题）函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由得， 解得：且， 故答案为：且． 题型二 直接/间接代入求函数值/自变量 1．（2024·湖南·中考真题）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________． 【答案】180 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把，代入求解即可． 【详解】解：把，代入，得， 解得， 故答案为：180． 2．（2023·湖南郴州·中考真题）抛物线与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则 依题意， 解得：． 故答案为：． 题型三 待定系数法求函数解析式 设：根据函数类型，设出含未知系数的解析式 列：把已知条件（点坐标、交点、最值等）代入，得到方程 / 方程组 解：解出所有未知系数 回代：把系数代回原式，写出最终解析式 1．（2023·湖南岳阳·中考真题）如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点．    (1)求反比例函数和正比例函数的表达式； (2)若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）把分别代入函数的解析式，计算即可． （2）根据反比例函数的中对称性质，得到，设，根据，列式计算即可． 【详解】（1）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点， ∴， 解得， 故反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式． （2）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点， 根据反比例函数图象的中心对称性质， ∴，设， 根据题意，得， ∴， 解得或， 故点C的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形面积的特殊坐标表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性是解题的关键． 2．（2023·湖南·中考真题）如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到．    (1)反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式； (2)一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点B的坐标是，点C为中点，可得，，由旋转可得：，，可得，可得，从而可得答案； （2）如图，过作于，则，而，，证明，可得，，，设直线为，再建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标是，点C为中点， ∴，， 由旋转可得：，， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）如图，过作于， 则，而，，    ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练的求解是解本题的关键． 3.（2023·湖南怀化·中考真题）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点 ∴ ∴ 设直线的解析式为， ∴， 解得：, ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 设， ∵， 解得：或， ∴的坐标为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键． 题型四 根据函数解析式判断其性质 详见讲义部分 1．（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 2．（2023·湖南郴州·中考真题）在一次函数中，随的增大而增大，则的值可以是___________（任写一个符合条件的数即可）． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的性质可知“当时，变量y的值随x的值增大而增大”，由此可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中，y随x的值增大而增大， ∴． 解得：， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据函数的单调性确定k的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数的增减性，得出k的取值范围是关键． 3.（2023·湖南·中考真题）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数、正比例函数的增减性与系数的关系判断即可． 【详解】解：由一次函数、正比例函数增减性知，x系数小于0时，y随x的增大而减小， ， 故只有D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 题型五 比较函数值的大小 代入求值法：直接算 y，再比大小（最稳） 图像法：画草图，看高低 作差法：y1−y2>0⇒y1>y2 1.（2023·湖南娄底·中考真题）一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是，如果分别按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为、、（压强的计算公式为），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据长方体的性质，得出相对面的面积相等，再根据物体的压力不变，结合反比例函数的性质进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是， ∴长方体物体的A、B、C三面所对的与水平地面接触的面积比也为， ∵，，且一定， ∴随的增大而减小， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的性质． 2.（2023·湖南常德·中考真题）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．    (1)求m的值和反比例函数解析式； (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点可得的值，进而可求反比例函数的表达式； （2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）将点代入得： 解得： 将代入得： ∴ （2）由得：，解得 所以的坐标分别为 由图形可得：当或时， 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质． 题型六 一次函数k、b符号与图像象限判断 1.（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 2．（2023·湖南益阳·中考真题）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点 C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴一次函数经过一、二、三象限，函数值y随自变量x的增大而增大，故A、C错； 当时，， ∴图象与y轴交于点，故B正确； 当时，， ∵函数值y随自变量x的增大而增大， ∴当时，，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 题型七 从函数图像上获取信息 1.（2025·湖南·中考真题）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填______（“甲”或“乙”）先到终点： 【答案】甲 【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案． 【详解】解：根据图象可得甲到达终点用时秒，乙到达终点用时秒， ∴甲先到达终点， 故答案为：甲． 2.（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家，图书馆离小明家．小明从家出发，匀速步行了去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了回到家图（）反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息解答下列问题： (1)填空： ①食堂离图书馆的距离为__________； ②小明从图书馆回家的平均速度是__________； ③小明读报所用的时间为__________． ④小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为__________． (2)当时，请直接写出关于的函数解析式． 【答案】(1)①；②；③；④或． (2) 【分析】（1）①由图象中的数据，可以直接写出食堂离小明家的距离和小明从家到食堂用的时间；②根据图象中的数据，用路程除以时间即可得解；③用减去即可得解；④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为，分小明去时和小明返回时两种情况构造一元一次方程求解即可； （2）根据图象中的数据，利用待定系数法分别求出当、和时三段对应的函数解析式即可． 【详解】（1）解：①， ∴小食堂离图书馆的距离为， 故答案为∶； ②根据题意， ∴小明从图书馆回家的平均速度是， 故答案为：； ③， 故答案为：； ④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为， 当去时，小明离开家的距离为时， ∵， ∴小明到食堂时，小明离开家的距离为不足， 由题意得， 解得， 当返回时，离家的距离为时，根据题意，得， 解得； 故答案为：或． （2）解：设时， ∵过， ∴， 解得， ∴时， 由图可知，当时， 设时，， ∵过，， ∴， 解得， ∴， 综上所述，当时，关于的函数解析式为． 【点睛】本题考查函数的图象、一元一次方程的应用以及待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3.（2023·湖南郴州·中考真题）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（　　）    A．途中修车花了 B．修车之前的平均速度是/ C．车修好后的平均速度是/ D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍 【答案】D 【分析】根据图象信息以及速度路程÷时间的关系即可解决问题． 【详解】解：由图象可知途中修车花了， 修车之前的平均速度是÷/， 车修好后的平均速度是÷/, ∴ 故A、B、C错误，D正确． 故选∶ D． 【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间和路程是解题关键． 题型八 反比例函数k的几何意义应用 1.（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点，    ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于； 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 2.（2023·湖南张家界·中考真题）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点B，，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心M， ∴延长恰好经过点B，，    ∵点D在上，且， ∴， ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 3.（2023·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则___________________．    【答案】/ 【分析】由的几何意义可得，从而可求出的值． 【详解】解：的面积为， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了k的几何意义．用k表示三角形AOB的面积是本题的解题关键． 题型九 二次函数a、b、c及判别式符号判断 1.（2023·湖南娄底·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（    ）    A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得，， ，故①不符合题意；当与时的函数值相等，可得，故②符合题意；当时函数值最大，可得，故③不符合题意；由点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边， ∴，，， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴当与时的函数值相等， ∴，故②符合题意； ∵当时函数值最大， ∴， ∴；故③不符合题意； ∵点和点在该图象上， 而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小， ∴．故④符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点坐标，对称轴方程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键． 2.（2023·湖南·中考真题）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④． 【详解】解：∵抛物线（a是常数，， ∴， 故①正确； 当时，， ∴点在抛物线上， 故②正确； 当时，， 当时，， 故③错误； 根据对称点的坐标得到， ， 故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 3.（2023·湖南·中考真题）如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（    ）    A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】先写出抛物线的对称轴方程，再列不等式，再分，两种情况讨论即可． 【详解】解：∵直线l为二次函数的图像的对称轴， ∴对称轴为直线， 当时，则， 当时，则， ∴a，b异号， 故选C． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在y轴的右侧列不等式是解本题的关键． 题型十 函数图像平移规律应用 1.（2023·湖南娄底·中考真题）将直线向右平移2个单位所得直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据“左加右减，上加下减” 的平移规律求解即可. 【详解】解：将直线向右平移2个单位， 所得直线的解析式为， 即， 故选：B. 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”. 2.（2023·湖南益阳·中考真题）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象；将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象．若将反比例函数的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是______．    【答案】 【分析】函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减，根据平移规则可得答案． 【详解】解：将反比例函数的图象向下平移3个单位可得平移后的解析式为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是函数图象的平移，解题的关键是理解并熟记函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减． 知识1 一次函数的图像与性质 k＞0 k＜0 图像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 拓展 1）直线与直线平行 2）直线与直线垂直 【补充说明】一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关. 知识2 反比例函数的图像与性质 k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限（x、y同号） 图像分别位于第二、第四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1）图像是关于直线y=x和y= -x对称的双曲线； 2）图像是关于原点对称的双曲线； 3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 知识3 二次函数的图像与性质 基本形式 图像 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识4 二次函数的图像特征与各项系数之间的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)． a＜0 开口向下 b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0 a，b同号 对称轴在y轴左侧，即 a，b异号 对称轴在y轴右侧，即 c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 与x轴有两个不同的交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 知识5 函数的平移 1. 一次函数的平移变换 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 2. 二次函数图像的平移 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移口诀：左加右减（只改变x），上加下减（只改变y）. 1.（2026·湖南·模拟预测）函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】根据二次根式以及分式有意义的情况进行求解不等式即可． 【详解】解：该函数含二次根式、以及分式， 故需同时满足且， 解得． 2.（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 【答案】/ 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 3.（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数表达式中的值、值进行判断函数图象的大致趋势． 【详解】解：∵随的增大而增大， ∴函数图象呈上升趋势， 又∵当时，， 即函数与轴交点位于轴负半轴， 故选项A满足函数图象． 4.（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点都在直线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一次函数的增减性求解，先根据一次项系数判断y随x的变化趋势，再比较三个点横坐标的大小，即可推出y值的大小关系. 【详解】解：∵直线的一次项系数. ∴随的增大而减小. ∵，可得. ∴， 即. 5.（2026·湖南·一模）已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解是解题的关键． 两条直线的交点坐标即为对应方程组的解． 【详解】解：∵ 方程组 的解为 ， 方程组的解表示两条直线的交点坐标， ∴ 直线 与 的交点坐标为 ． 故选：A． 6.（2026·湖南岳阳·一模）如图，点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A，交y轴于点B．则四边形的面积是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据值的几何意义，得到，证明四边形为平行四边形，即可得出结果. 【详解】解：∵点C是反比例函数（）的图象上的一个动点，且轴于点A， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积. 7.（2026·湖南湘潭·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由点A与点C关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点， ∴点A与点C关于原点对称， ∴， ∵作轴于点， ∴， ∴的面积． 8.（2025·四川·中考真题）对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 9.（2025·湖南郴州·一模）把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解答即可，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向右平移个单位再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 10.（2026·湖南邵阳·二模）如图，已知直线与反比例函数的图象交于两点，与两坐标轴分别交于两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C．-3 D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，，由，点，得，列出式子，求得的值，根据点在上，求出点的坐标，进而求得的值即可． 【详解】如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 设， ，点， ，即， 解得：， 又点在上， 的坐标为， 由在上，得， 故选A． 11.（2026·湖南邵阳·模拟）二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论： ①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则 其中正确的结论序号有______． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数与x轴的交点可设解析式为，从而得到，，由与y轴交点范围可得的范围，进而求出的范围，再结合开口方向、对称轴及函数性质判断各结论即可． 【详解】解：二次函数图象与x轴交于点，， 设解析式为， 则，， 由于二次函数图象与y轴的交点在与之间， 则，即， 解得，故结论④正确； 对于结论①：，，，则，故①错误； 对于结论②：当时， 由得，当时，， 则，故②正确； 对于结论③：对称轴为直线，抛物线开口向上， 由且，得，点离对称轴比点更远， 则，故③正确； 对于结论⑤：考虑函数， 由于，为开口向上的抛物线， 顶点在， 则，当时取等号， 故，不一定大于，故⑤错误； 综上，正确结论为②、③、④． 故答案为：②③④． 12.（2026·湖南衡阳·模拟）如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：）与弹簧被压缩的长度（单位：）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知为该抛物线的顶点，有一条平行于轴的直线，且．当小球的速度不小于时，弹簧被压缩的长度的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得该抛物线的解析式，再联立求得直线与抛物线的交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：∵为该抛物线的顶点， ∴设该抛物线的解析式为， 由图象知，抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 联立得， 解得， 结合函数图象知弹簧被压缩的长度的取值范围是． 13.（2026·湖南怀化·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图象经过一种变换后过点的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】逐一分析每种变换后，函数的图象是否经过点． 【详解】解：①函数沿轴翻折后的解析式为， ∴， 当时，代入得，， ∴函数的图象沿x轴翻折后不过点； ②对于，当时，， ∴直线与轴的交点的坐标为； 设点关于直线的对称点Q为，则线段的中点坐标为， ∴， ∴ ∴， ∵点关于直线对称， ∴， ∴， 解得或（舍去） ∴, 当时，， ∴点在函数的图象， ∴函数的图象沿函数的图象翻折后过点； ③∵点 ∴ ∴将点绕原点按逆时针方向旋转得到， 当时，， ∴函数的图象绕原点按顺时针方向旋转后不过点P(2,2)； ④如图，将点绕点按逆时针方向旋转得到， 当时，， ∴函数的图象绕点按顺时针方向旋转过点 所以，正确的结论有2个． 14.（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或； (2)一次函数和反比例函数的表达式分别为，； (3)的面积为． 【分析】（1）结合题意可知，时的取值范围即为直线与反比例函数上方时交点的横坐标的取值范围； （2）先将点、点的横坐标代入反比例函数解析式求出，，再代入一次函数解析式求解即可； （3）先求出平移后的一次函数解析式为，然后求出交点，过点作轴交于点，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和， 当时，或； （2）解：点、点的横坐标分别是和，且点、点在反比例函数与一次函数上， ，， ，， 将，代入， 则 解得， 一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 点在第一象限， ， ， ， 过点作轴交于点， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题、解分式方程（化为一元二次）、反比例函数与几何综合，解题关键是将求的面积转化为求和的和． 15.（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】 （1） （2）①           ② 【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标． （2）由题意平移后的函数解析式为，则， ①若，则，利用二次函数的增减性即可求解； ②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． （2）解：平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为， 则平移后得到的顶点为， 平移后的函数解析式为， 当时，与轴交点的纵坐标， ①若，则， 是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线， 时，，时，， 当时，的取值范围是； ②函数的图象与轴、轴的交点分别为，， ，， ∵点在线段上， 当时，， ， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 随的增大而减小， ∵点在线段上， 当时，， ， 对称轴为直线， ， 随的增大而增大， 故可能的序号是． 16.（2026·湖南郴州·一模）已知抛物线（a，h为常数且）． (1)抛物线的对称轴为，且经过点． ①求抛物线的表达式； ②如图1，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上一动点，且在直线的下方，过点P作于点Q．请问线段的长度是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由； (2)如图2，在二次函数（h为常数）中，当时，函数y有最大值为，求h的值． 【答案】(1)①，② (2)或 【分析】（1）①根据抛物线对称轴得，再将点A代入抛物线解析式，即可求得抛物线得表达式； ②过点P作轴交于点M，过点A作轴交y轴于点N，先证得是等腰直角三角形，进而证得是等腰直角三角形，推出，利用待定系数法求得直线的解析式，设，，表示出的长度表达式，此时该表达式为开口向下的二次函数，有最大值，通过最后代入即可求得结果； （2）先得出二次函数的对称轴和顶点坐标，再分情况进行讨论h的变化，从而求得结果． 【详解】（1）解：①∵抛物线的对称轴为， ∴， 又∵抛物线经过点， ∴将点A代入抛物线解析式，得：， 解得， ∴抛物线表达式为； ②如图，过点P作轴交于点M，过点A作轴交y轴于点N， 令，则， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将点A，B代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，其中， ∴， 当时，， ∴． （2）解：∵二次函数的对称轴为，顶点坐标为， 此时分情况讨论： ①如图， 若，则当时，y随x的增大而减小， ∴当时函数取得最大值，即， 解得，（舍去）； ②如图， 若，则函数y的最大值为0， ∴与函数y的最大值为矛盾， ∴此情况不符合题意； ③如图， 若，则当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数取得最大值，即， 解得或（舍去）， 综上所述，或． 考点二 函数的图像与性质（压轴篇） 题型一 动点问题 1.（2025·湖南·中考真题）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当时，求证：； ②当时，求证：； (3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)时，的最大值为 【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，，，①当时，，因式分解得出，根据得出；②当时，，因式分解得出，根据，得出； （3）延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，，得出，进而证明，得出，结合已知可得，勾股定理求得，进而证明，可得，则，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得： ∴ （2）证明：设直线的解析式为，代入得， ∴ ∴直线为， ∵，，过点作轴交线段于点．直线、都平行于轴，在上， ∴，，， ①当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②当时，， ∴， ∵，即， ∴，即， （3）解：如图，延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为 ∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时，即 又∵ ∴ ∵的解析式为 ∴， 又∵ ∴ ∴，即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型二 线段最值问题 1.（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； (3)如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)为定值3，证明见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴； （2）当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，． ∴， ∴的值为定值； （3）设，则， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴当时，线段长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 题型三 周长最值问题 1.（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可； （2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可； （3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， 所以抛物线的表达式为； （2）作点O关于直线的对称点E，连接， ∵，，， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，由对称性， 此时有最小值为的长， ∵的周长为， ，的最小值为10， ∴的周长的最小值为； （3）由已知点，，， 设直线的表达式为， 将，代入中，，解得， ∴直线的表达式为， 同理可得：直线的表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， 由（1）设，代入直线的表达式 得：， ∴直线的表达式为：， 由，得， ∴， ∵P，D都在第一象限， ∴ ， ∴当时，此时P点为. ． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键． 2.（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； (3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解； （3）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴，解得：， ∴； （2）∵，当时，， ∴，抛物线的对称轴为直线 ∵的周长等于，为定长， ∴当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∴； （3）解：存在， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ①当点在点上方时： 过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2， 设点横坐标为， 则：， 解得：， ∴或； ②当点在点下方时：设与轴交于点， 则：， 设， 则：，， ∴，解得：， ∴， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题． 题型四 特殊三角形存在性问题 1.（2024·湖南长沙·中考真题）已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上． (1)当A，B两点的坐标分别为，时，求代数式的值； (2)当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； (3)当时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于的m倍的线段）． 【答案】(1) (2)此函数图象与x轴的公共点个数为两个，理由见解析 (3)存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为；当时，此时该函数的最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与x轴交点问题、直角三角形存在性问题等，熟练掌握相关知识和分类讨论是解题关键. （1）将代入得到关于、的关系式，再整体代入求解即可; （2）解方程求解，再根据的正负分类讨论即可； （3）由内角之比可得出这是一个的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的边角关系建立方程即可. 【详解】（1）将，代入得 ， ②-①得，即． 所以． （2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个． 方法1：由，得． 可得或． 当时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点； 当时，，此抛物线开口下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点． 方法2：由，得． 可得或． 所以抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解． 所以该方程根的判别式，即． 因为，所以． 所以原函数图象与x轴必有两个公共点． 方法3：由，可得或． 当时，有，即， 所以． 此时该函数图象与x轴有两个公共点． 当时，同理可得，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点． （3）因为，所以该函数图象开口向上． 由，得，可得． 由，得，可得． 所以直线均与x轴平行． 由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设，． 由图象可知，即． 所以的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 由于，结合图象与计算可得，． 若存在实数，使得，这三条线段组成一个三角形， 且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段不可能是该直角三角形的斜边． ①当以线段为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为， 所以必须同时满足：，． 将上述各式代入化简可得，且， 联立解之得，，解得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． ②当以线段为斜边时，必有，同理代入化简可得 ，解得． 因为以线段为斜边，且有一个内角为60°，而， 所以，即， 化简得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． 综上所述，存在两个m的值符合题意； 当时，此时该函数的最小值为； 当时，此时该函数的最小值为． 2.（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．    (1)求b，c的值． (2)点是抛物线上的动点 ①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； ②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，的面积由最大值，最大值为； ②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形 【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解； （2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解； ②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线中， 可得：，解得：， 即：，； （2）①由（1）可知：， 当时，，即， 设的解析式为：， 将，代入中， 可得，解得：， ∴的解析式为：， 过点P作轴，交于点E，交轴于点，    ∵，则， ∴点E的横坐标也为，则纵坐标为， ∴， 的面积 ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； ②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 理由如下：由①可知， 由题意可知抛物线的对称轴为直线， ∵轴， ∴，，则， 当点在对称轴左侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时，即点； 当点在对称轴右侧时，即时，   ，当时，为等腰直角三角形， 即：，整理得：， 解得：（，不符合题意，舍去） 此时：，即点； 综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形． 【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论． 题型五 特殊四边形存在性问题 1.（2023·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．    (1)求抛物线的解析式． (2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值． (3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点为或或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点的横坐标，表示出的长，根据二次函数的性质求得的最大值，根据即可求解； （3）根据题意，分别求得，①当为对角线时，，②当为边时，分，，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧） 联立， 解得：或， ∴， ∴， ∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为． 则，， ∴，当时，取得最大值为， ∵， ∴当取得最大值时，最大， ∴， ∴面积的最大值； （3）∵抛物线与轴交于点， ∴，当时，，即， ∵， ∴, ，， ①当为对角线时，，    ∴， 解得：， ∴， ∵的中点重合， ∴， 解得：， ∴， ②当为边时， 当四边形为菱形，    ∴， 解得：或， ∴或， ∴或， 由的中点重合， ∴或， 解得：或， ∴或， 当时； 如图所示，即四边形是菱形，    点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标， ∴点为或， 综上所述，点为或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，细心的计算是解题的关键． 2.（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．    (1)请求出抛物线的表达式． (2)如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)点的坐标为或 【分析】（1）把代入，求出即可； （2）假设存在这样的正方形，过点E作于点R，过点F作轴于点I，证明可得故可得，； （3）先求得抛物线的解析式为，得出，，运用待定系数法可得直线的解析式为，过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图2，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得，进而可求得点的坐标． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于两点，交轴于点， ∴把代入，得， 解得， ∴解析式为：； （2）假设存在这样的正方形，如图，过点E作于点R，过点F作轴于点I，    ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 同理可证明： ∴ ∴ ∴； （3）解：抛物线上存在点，使得． ， 抛物线的顶点坐标为， 将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点， ，， 设直线的解析式为，把，代入得， 解得：， 直线的解析式为， 过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图2，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接， 则，，，    ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 即点与点重合时，， ； ，， ， ， 点与点关于直线对称， ； 综上所述，抛物线上存在点，使得，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键． 题型六 线段、面积存在性问题 1.（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式和的值． (2)在二次函数位于轴上方的图像上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图（2），作点关于原点的对称点，连接，作以为直径的圆．点是圆在轴上方圆弧上的动点（点不与圆弧的端点重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为，连接，，的延长线交直线于点，求的值． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）将点，的坐标代入得到二元一次方程组求解可得，的值，可确定二次函数的解析式，再令，解关于的一元二次方程可得点的坐标，从而确定的值； （2）不存在．设，根据，可得，根据，可确定方程无实数根，即可作出判断； （3）根据对称的性质和点的坐标可得，根据等腰三角形的性质及判定可得，，再根据为圆的直径，可得，然后分两种情况：①当点与点不重合时，由平移的性质可得四边形是平行四边形，从而得到，，再证明，可得，可得的值；②当点与点重合时，此时点与点重合，可得，，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∴二次函数的解析式为，； （2）不存在．理由如下： 如图，设， ∵，，， ∴，，， ∵点在二次函数位于轴上方的图像上，且， ∴， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在符合条件的点；    （3）如图，设交轴于点， ∵，， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∵平移线段，使点移动到点，线段的对应线段为， ①当点与点不重合时， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点与点重合时，此时点与点重合， ∴，， ∴， 综上所述，的值为．      【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图像上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键． 2.（2023·湖南怀化·中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)见解析 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）如图所示，过点作轴于点，交于点，得出直线的解析式为，设，则，得出，当取得最大值时，面积取得最大值，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）设、，的中点坐标为，联立，消去，整理得：，得出，则，设点到的距离为，则，依题意，，，得出，则，，点总在上，为直径，且与相切，即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，    由，令， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， 当时，的最大值为 ∵ ∴当取得最大值时，面积取得最大值 ∴面积的最大值为， 此时， ∴ （3）解：设、，的中点坐标为， 联立，消去，整理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为，则， ∵、， ∴， ∴ ∴， ∴    ∴， ∴点总在上，为直径，且与相切， ∴为直角． ∴无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程根与系数的关系，切线的性质与判定，直角所对的弦是直径，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型七 角度存在性问题 1.（2023·湖南·中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．    (1)求a的值． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，理由见详解 (3)存在点P，直线的解析式为或． 【分析】（1）根据待定系数法即可得出结果； （2）设与轴交于点，设，过点作轴交于点，作于点，先证明是等腰直角三角形，再表示出的长度，根据二次函数的性质即可得出结果； （3）分两种情况讨论，当点在直线下方时，与当点在直线上方时． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点， 得， 解得：； （2）解：存在，理由如下： 设与轴交于点，由（1）中结论，得抛物线的解析式为， 当时，，即， ，，即是等腰直角三角形， ， ， ， 设，过点作轴交于点，作于点，   ，即是等腰直角三角形， 设直线的解析式为，代入， 得，解得， 故直线的解析式为， 将直线向下平移个单位长度，得直线的解析式为， ， ， 当时，有最大值， 此时也有最大值，； （3）解：存在点P，理由如下： 当点在直线下方时， 在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，    由（2）中结论，得， ， ， ， ， 设直线的解析式为，代入点， 得，解得， 故直线的解析式为； 当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作交抛物线于点，      ∴， ∴， ， ， ， 设直线的解析式为，代入点， 得，解得， 故设直线的解析式为， ，且过点, 故设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 综上所述：直线的解析式为或． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 题型八 函数新定义问题 1.（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①（√）；②（√）；③（×） (2) (3) 【分析】（1）根据题目中给出的“对偶点”， “对偶函数”的定义结合反比例函数，一次函数，二次函数的性质进行分析得出结果； （2）由题意可得，，得出从而求出，，得出两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，画出图形得出结果； （3）由题意可得，且时，有，整理得到，利用关于的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可． 【详解】（1）解：，且，， ，， ，， ①函数（k是非零常数）的图象上，， 满足，，故①正确； ②由题意可得，， 则点与点且是一对“对偶点”， 函数的图像如下图： 函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确； 函数的图象如下图， 由题意可得，，则 ∴“对偶点”在反比例函数图象上， ∴函数的图象上存在一对“对偶点”， 至少存在两对“对偶点”说法错误，故③错误； 故答案为：①（√）；②（√）；③（×） （2）由题意可得，，点与点且是一对 “对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”． 从而有，两式相减可得，同理可得． 两个一次函数为，，由于，都是常数，且， 两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示 求得其面积之和； （3）由题意可得，且时，有， 以上两式相减可得， 从而将， 代入①整理可得， 此关于的一元二次方程必有实数根， 由于时，（不符合题意）． 从而必有，解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数，反比例函数，二次函数的图形与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 2.（2023·湖南·中考真题）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值； (2)对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数． ①求函数的图像的对称轴； ②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由． 【答案】(1)k的值为，m的值为3，n的值为2； (2)①函数y2的图像的对称轴为；②函数的图像过两个定点，，理由见解析； (3)能构成正方形，此时． 【分析】（1）根据题意得到即可解答； （2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可； （3）由题意可知，得到A、B的坐标，表示出，根据且，得到，分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴． 答：k的值为，m的值为3，n的值为2． （2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴对称轴为． 答：函数的图像的对称轴为． ②，令，解得， ∴过定点，． 答：函数y2的图像过定点，． （3）解：由题意可知，， ∴， ∴， ， ∵且， ∴； ①若，则， 要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；    ②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形， 综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题． 题型九 函数与几何图形综合 1.（2023·湖南·中考真题）已知二次函数． (1)若，且该二次函数的图像过点，求的值； (2)如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图像与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．    ①求证：． ②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）依题意得出二次函数解析式为，该二次函数的图像过点，代入即可求解； （2）①证明，根据相似三角形的性质即可求解； ②根据题意可得，，由①可得，进而得出，由已知可得，根据一元二次方程根与系数的关系，可得，将代入，解关于的方程，进而得出，可得对称轴为直线，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数解析式为， ∵该二次函数的图像过点， ∴ 解得：； （2）①∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴； ②∵该二次函数的图像与轴交于点，且， ∴，， ∵． ∴， ∵的半径长为线段的长度的倍 ∴， ∵， ∴， ∴， 即①， ∵该二次函数的图像与轴交于点， ∴是方程的两个根， ∴， ∵，， ∴， 即②， ①代入②，即， 即， 整理得， ∴， 解得：（正值舍去） ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2.（2023·湖南永州·中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，直线交于点，求的最大值； (3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出，，值，即可求出抛物线解析式． （2）利用抛物线的解析式可知道点坐标，从而求出直线的解析式，从而设，根据直线的解析式可推出，从而可以用表达长度，在观察图形可知，将其和长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出的最大值． （3）根据正方形的性质和可求出，再利用相似和可推出，设，即可求出直线的解析式，用表达点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，求出的值即可求出点横坐标． 【详解】（1）解：抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为， ，，， ， ， 抛物线的解析式为：． 故答案为：． （2）解：过点作轴于点，如图所示，     抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点， ， ， 设直线的解析式为：，则， ， 直线的解析式为：． 在直线上，， 在直线上，的解析式为：， ， ．   ， ． ， ． ，， 当时， 有最大值，且最大值为： ． 故答案为：． （3）解:∵＋， ， ， ， ， ， ， 设，， ， 抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点， ． 设直线的解析式为：，则， ， 直线的解析式为：．   ，在直线上， ， ， ， ， （十字相乘法）， 由，得：， ， ， ，即， 解得：，， ， ， 点横坐标为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合． 1．（2026·湖南岳阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与抛物线L：交于点和点． (1)求证：点Q为抛物线L的顶点； (2)将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线，若抛物线经过点，且点D在抛物线的对称轴左侧，求抛物线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线l，作点关于直线l的对称点B，连接，在直线上是否存在点P，满足？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，点或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法，求得二次函数解析式即可解答； （2）表示出平移后的抛物线解析式，将代入求解，再两种情况讨论即可； （3）过点作于点，作交于点，可得，求得点，再将沿翻折得到，延长交与点，求出另一个点即可． 【详解】（1）证明：把点代入，得， ， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点为，即点Q为抛物线L的顶点； （2）解：∵将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r（）个单位，得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得或， 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， 则点D在抛物线的对称轴左侧，符合题意； 当时，抛物线的解析式为，对称轴为直线， 则点D在抛物线的对称轴右侧，不符合题意； ∴抛物线的解析式为； （3）解：存在， 令， 解得， ， ， ∴直线l为直线， 作点关于直线l的对称点B， ， 如图，当点在轴上方时，过点作于点，作交于点， ， ， ， ， ， ， ， 此时， 如图，当点在轴下方时，将沿翻折得到，延长交与点， 根据翻折可得， 过点作于点，延长交于点， 根据翻折可得，，， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则，，，， 可得， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 综上，点或时，． 2．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． (1)直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； (2)对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 【答案】(1)；， (2)①对称轴为；②过定点， (3)6 【分析】（1）根据题意写出方程，然后用因式分解法解方程即可； （2）①根据点P、Q的坐标先求得的对称轴，得到m、n的关系，然后写出表达式，进而根据对称轴公式，即可解答；②根据①中求得的m、n的关系，把的表达式化为，令，据此解答即可； （3）根据题意先求得，设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，根据已知推出，从而得到，进而根据根与系数的关系和二次函数的顶点坐标公式得到，然后化简，根据二次函数的最值问题解答即可． 【详解】（1）解：由题可知，的“轮转对称方程”是， 即， 解得，； （2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动， 对称轴为， ， ∵函数与互为“轮转对称函数”， ， 函数的图象的对称轴为； ②， 令， 解得，， 函数的图象过定点，． （3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限， 且， ， 同号， 又且， ， 设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 令， ， ， ， 当时，， 即的最大值为6． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 4．（2026·湖南湘潭·一模）已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值； (3)如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，． ①求与的函数关系式，并写出的取值范围； ②当的值取最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线转化线段比是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，由点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，则，过作于，此时线段的长就是的最小值，利用即可求解； （3）①由等高三角形面积比等于底边之比可得，过点作轴交直线于点，可得，由此求解即可，②根据二次函数的解析式可得当取值最大时，，进而可求点坐标. 【详解】（1）解：依题意得 解得 这个二次函数的表达式为 （2）解：， ， ∴， 点，关于抛物线对称轴对称，连接，则， 要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件． 过作于， 点、均为动点 此时线段的长就是的最小值． ∵， ， ∴ （3）解：①， ∴， 令，则， 点， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 过点作轴交直线于点，如图， 设，则， ， 又， 轴，， ， ， ， ②， 当取值最大时，， ， ∴. 5．（2026·湖南长沙·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数，）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)设抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C， ①当为等腰直角三角形时，求的面积； ②当为等边三角形时，求a的值； (3)已知，将抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线，若当（）时，y1的最大值与最小值之差为4，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①1；②或 (3) 【分析】（1）化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）①当时，，求得，由（1）可知，顶点C的坐标为，根据抛物线的对称性和等腰直角三角形的性质可求出边上的高，最后根据三角形面积公式求解即可； ②当时，根据题意，画出图形，．根据为等边三角形，可得，即可求解；当时，同理求解即可； （3）将平移后抛物线化为顶点式，得到对称轴，结合，，，可得到抛物线的最值情况，根据最大值与最小值之差为4列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线的顶点坐标为； （2）解：①当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 由（1）可知，顶点C的坐标为， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 设对称轴与x轴的交点为D， 则， ∴的面积为； ②当时，依照题意，画出图形，如图所示． ∵， ∴． ∵为等边三角形，， ∴ ∴点C的坐标为， ∴， ∴； 当时，同理可求， 综上，a的值为或； （3）解：∵抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，， ∴当时，取到最大值为， 当时，取到最小值，最小值为， ∵的最大值与最小值之差为4， ∴， 化简得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·湖南株洲·一模）已知抛物线（，为常数）经过点． (1)若抛物线与轴交于点． ①求该抛物线的函数表达式； ②已知点和点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． (2)若，且对于任意实数，都有，将直线向上平移个单位长度，与抛物线交于点，（在的右侧），若有直线，在这条直线上一定存在点，使得是直角，请求出的最大值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①待定系数法求解析式，即可求解； ②根据解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，在对称轴的左侧，随的增大而减小，则点关于对称的点的坐标为，根据点和点在该抛物线上，得出当时，，结合题意，得出关于的不等式组，解不等式组，即可求解； （2）对于任意实数，都有，联立解析式，进而可得判别式小于或等于0，得出，进而根据直线的平移得出的坐标，根据是直角，结合直径所对的圆周角是直角，得出点在以为直径的圆上，进而求得最大值． 【详解】（1）解：①∵经过点，与轴交于点， ∴ 解得： ∴； ②∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，在对称轴的左侧，随的增大而减小， ∴点关于对称的点的坐标为， 又∵点和点在该抛物线上， ∴当时， 又∵对于，都有， 解得： （2）解：∵经过点， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 联立 消去得， 即 ∵对于任意实数，都有 ∴ 即 ∴ ∴抛物线解析式为 ∵将直线向上平移个单位长度，与抛物线交于点，（在的右侧）， ∴直线与抛物线交于点，（在的右侧）， 联立 解得： ∴ ∴ 设的中点为，则的纵坐标为 ∵在这条直线上一定存在点，使得是直角 ∴在以为直径的圆上， 当最大时，在点的正上方，轴且 ∴的最大值为 7．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作 轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，直线解析式为 (2) (3)存在，或或或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：， ∴； （2）∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； （3）存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 8．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 函数的图像与性质 目录 01析·考情目标 02筑·专题框架 03攻·重难考点 考点一函数的图像与性质（基础篇）(C1并单击鼠标可跟踪链接) 题型一：函数自变量取值范围求解 题型二：直接/间接代入求函数值/自变量 题型三：待定系数法求函数解析式 题型四：根据函数解析式判断其性质 题型五：比较函数值的大小 真题动向 题型六：一次函数k、b符号与图像象限判断 题型七：从函数图像上获取信息 题型八：反比例函数k的几何意义应用 题型九：二次函数a、b、c及判别式符号判断 题型十：函数图像平移规律应用 知识1一次函数的图像与性质 知识2反比例函数的图像与性质 必备知识 知识3二次函数的图像与性质 知识4 二次函数的图像特征与各项系数之间的关系 知识5函数的平移 命题预测 考点二 函数的图像与性质（压轴篇） (Ctrl并单击鼠标可跟踪链接) 题型一：动点问题 题型三：线段最值问题 题型四：周长最值问题 题型五：特殊三角形存在性问题 真题动向 题型六：特殊四边形存在性问题 题型七：线段、面积存在性问题 题型八：角度存在性问题 题型九：函数新定义问题 题型十： 函数与几何图形综合 命题预测 1/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 析考情目标 命题形式：呈现“数形结合、多函交汇、情境创新”的特点，以函数图像、表格数据、实际场景为 载体，兼顾选择填空的基础考查与解答题的综合探究，突出对运算求解、逻辑推理及数形转化能 命题 力的考查。 透视 命题内容：侧重基础性质的灵活应用与综合压轴的分层突破，基础层聚焦三类函数的解析式、图 像特征及与方程不等式的关联，压轴层深挖面积最值、特殊图形存在性、动点动态分析、含参分 类讨论及新定义创新应用。 考点 2025年 2024年 函数定义与自变量 T10(长沙市卷函数概念) T10(长沙市卷整点定义) 取值范围 T24(长沙市卷新定义函数) T24(长沙市卷新定义函数) 点与函数图像的关 T24(长沙市卷点与图像关系) T25(湖南省卷点与函数关系) 系 T25(湖南省卷点坐标代入) T24(长沙市卷点坐标判断) 一次函数解析式与 T24（长沙市卷点与图像关系) 7(长沙市卷一次函数图像) 图像性质 T25(湖南省卷点坐标代入) T22(湖南省卷一次函数应用) 热考 反比例函数解析式 T9(湖南省卷反比例函数性质) T9(湖南省卷反比例图像) 与k的几何意义 T16(湖南省卷反比例应用) T10(湖南省卷反比例性质) 角度 二次函数的图像特 T26(湖南省卷二次函数图像) T25(湖南省卷.二次函数图像》 征与性质 T25(长沙市卷二次函数性质) T25(长沙市卷二次函数性质) T22(湖南省卷利润问题) 函数综合应用 T22(湖南省卷费用问题) T22(长沙市卷销售问题) T22(长沙市卷购买问题) 二次函数与几何综 T26(湖南省卷.二次函数与动点) T25(湖南省卷二次函数与几何) 合 T25(长沙市卷.二次函数与几何) T25(长沙市卷.二次函数与圆) T26(湖南省卷动点最值) 函数动点与最值 T25(湖南省卷动点最值) T25(长沙市卷动点轨迹) T26(湖南省卷动点轨迹) 函数含参与新定义 T24(长沙市卷对偶函数) T24(长沙市卷完美型双圆) T24(湖南省卷函数新定义) T24(湖南省卷函数新定义) 函数图像与性质（核心模块） 。核心考点： ©一次函数：k、b符号与图像象限、增减性、与坐标轴围成三角形面积； 。反比例函数：k的几何意义、双曲线上点的坐标特征； o二次函数：a、b、c及△符号判断、对称轴与顶点坐标、最值计算、与x轴交点及 命题 根的分布。 预测 综合趋势： 。函数（一次/二次/反比例）+方程/不等式+几何图形（三角形、四边形)的方案设计 与最值问题将成为小压轴主流，强调建模与分析能力； 。函数动点问题、特殊图形存在性问题（等腰三角形、平行四边形等)是高频压轴方 向。 备考建议（函数图像与性质） 2/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·夯实基础：熟练掌握三类函数的图像特征、性质及解析式求解方法，确保基础题不丢分； 。突破中档：重点训练数形结合思想、参数讨论、整数解问题，总结函数与面积、线段长的 解题模板； 强化综合：针对“函数+方程不等式+几何”综合题，提炼建模步骤，提升分析与表达能力； 关注创新：熟悉新定义函数、函数图像变换、动点探究题型，培养迁移与推理能力。 02 筑•专题框架 3/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 b 与x轴交于(-) 图像 一条直线 与y轴交于(o.b) 热门考点 一次函数 y随x的增大而增大 k>0 b>o 图像经过第一、二、 三象限 b<0 图像经过第一、三、四象限 性质 y隨x的增大而减小 k<O b>0 图像经过第一、二、四象限 b<0 图像经过第二、三、四象限 形状 双曲线 一关于原点中心对称的两条分支组成 反比例函数 双曲线位于第一、三象限一X,y同号 函数的图像与性 k>0 在每个象限内，y随x的增大而减小 性质 双曲线位于第二、四象限一×，y异号 k<0 在每个象限内，y随x的增大而增大 高频考点 图像 一开口向上的抛物线 b 对称轴一 直线=-2a 顶点式x=h) a>0 顶点坐标一（一 b 4ac-b2 2a' )项点式为(h,) 6 对称轴左侧仁<一云)一y随x的增大而减小 增减性 b 二次函数 对称轴右侧(x>- 2a )一y随x的增大而增大 图像一 A a<0 一开口向下的抛物线 a<0 b 对称轴左侧(：<-a)一y随x的增大而增大 增减性 对称轴右侧(：>- 会)一y随×的增大而减小 03 攻·重难考点 4/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点一 函数的图像与性质（基础篇) 题 动 向 ●●● ◆题型一函数自变量取值范围求解 类型 取值范围 整式型 全体实数 分式型 分母不能为零和 二次根式型 被开方式大于或等于零 负整数零)指数磊型 底数不能为零和 分式+根式型 开方式大于零 点方法 注意：分母不能为0 1. （202:湖南娄底中考真题)函数y=一 的自变量x的取值范围是 2.(2021湖南怀化：中考真题)函数y=-2中，自变量x的取值范围是 x-3 ◆题型二直接/间接代入求函数值/自变量 1。(2024,湖南中考真题)在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长1成反比例关系，即∫=(k为 常数.k≠0)，若某乐器的弦长1为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 2.(2023湖南郴州.中考真题)抛物线y=x2-6x+c与x轴只有一个交点，则C= ◆题型三待定系数法求函数解析式 点方法 设：根据函数类型，设出含未知系数的解析式 列：把已知条件（点坐标、交点、最值等）代入，得到方程/方程组 解：解出所有未知系数 回代：把系数代回原式，写出最终解析式 1.(2023湖南岳阳-中考真题)如图，反比例函数y=k(k为常数，k≠0)与正比例函数y=mx(m为 常数，m≠0)的图像交于A1,2),B两点. 5/29 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求反比例函数和正比例函数的表达式： (2)若y轴上有一点C(0,n),△ABC的面积为4，求点C的坐标. 2.(2023湖南中考真题)如图，点A的坐标是(-3,0)，点B的坐标是(0,4)，点C为OB中点，将ABC绕 着点B逆时针旋转90°得到△A'BC'. B 2 (1)反比例函数y=k的图像经过点C,求该反比例函数的表达式： (2)一次函数图像经过A、A两点，求该一次函数的表达式， 3.(2023湖南怀化中考真题)如图，反比例函数y=依>0)的图象与过点(1,0)的直线4B相交于A、B两 点.已知点A的坐标为(L,3),点C为x轴上任意一点.如果S4Bc=9,那么点C的坐标为() A.(-3,0) B.(5,0) C.(-3,0)或(5,0) D.(3,0)或(-5,0) ◆题型四根据函数解析式判断其性质 皮方法 详见讲义部分 1.（2025湖南中考真题)对于反比例函数y=÷,下列结论正确的是() 6/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.点(2,2)在该函数的图象上 B.该函数的图象分别位于第二、第四象限 C.当x<0时，y随x的增大而增大 D.当x>0时，y随x的增大而减小 2.(2023湖南郴州中考真题)在一次函数y=(k-2)x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是 (任写，个符合条件的数即可)· 3.(2023湖南中考真题)下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是() A.y=2x+1 B.y=x-4 C.y=2x D.y=-x+1 ◆题型五比较函数值的大小 点方法 代入求值法：直接算y,再比大小（最稳） 图像法：画草图，看高低 作差法：y1-y2>0→y1>y2 1.(2023湖南娄底中考真题)一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是3：2：1，如果分别 按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为P、、(压强的计算 公式为P=),则P,:RP=（) A.2:3:6 B.6:3:2 C.1:2:3 D.3:2:1 2.(2023潮南常德申考真题)如图所示，一次函数1=-x+m与反比例函数为=相交于点A和点B3,-) (1)求m的值和反比例函数解析式： (2)当y>y2时，求x的取值范围. 题型六一次函数k、b符号与图像象限判断 1.(2024湖南长沙.中考真题)对于一次函数y=2x-1,下列结论正确的是() A.它的图象与y轴交于点(0，-1) B.y随x的增大而减小 C.当x>二时，y<0 D.它的图象经过第一、二、三象限 2 7/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2023湖南益阳中考真题)关于一次函数y=x+1,下列说法正确的是() A.图象经过第一、三、四象限 B.图象与y轴交于点(0,1) C.函数值y随自变量x的增大而减小D.当x>-1时，y<0 ◆题型七从函数图像上获取信息 1.(2025湖南中考真题)甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程，（米）与时间t(秒)的函数关系如 图所示，填 (“甲”或“乙”)先到终点： s(米)个 甲乙 100 1214 t(秒》 2.(2023湖南湘西.中考真题)如图(1)所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家0.6km ,图书馆离小明家0.8km.小明从家出发，匀速步行了8mi去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了 3min去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了10min回到家图(2)反映了这个过程中，小明离家的距 离y与时间x之间的对应关系！ y/km个 0.8 0.6 小明家 食堂 图书馆 0 8 2528 5868 x/min 图(1) 图(2) 请根据相关信息解答下列问题： (1)填空： ①食堂离图书馆的距离为】 km ②小明从图书馆回家的平均速度是 km/min ③小明读报所用的时间为 _min ④小明离开家的距离为km时，小明离开家的时间为 .min (2)当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式. 3.(2023湖南郴州中考真题)第11届中国（湖南)矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开 车前往会展中心参观.途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间，车修好后，他们继续开车赶往会展中心 以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象.分析图中信息，下列说法正确的是() 8/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y离家的距离s/m 13200 6000 X 09:00 9:10 9:309:38 时间 A.途中修车花了30min B.修车之前的平均速度是500m/mim c.车修好后的平均速度是80m/min D.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍 ◆题型八反比例函数k的几何意义应用 1.(2023湖南湘西中考真题)如图，点A在函数y=2(x>0)的图象上，点B在函数y=3(x>0)的图象上， 1 且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C,则四边形ABCO的面积为() B A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2023湖南张家界.中考真题)如图，矩形0ABC的顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上， 且AD=:AB,反比例函数y=k>0)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M,连接OD,OM,DM.若 △ODM的面积为3，则k的值为() 9/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A B M A.2 B.3 C.4 D.5 3.(2023湖南中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y=《(k为常数，k>0,x>0)的 19 图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B,连接01.若a0AB的面积为2，则k= ◆题型九二次函数a、b、c及判别式符号判断 1.(2023·湖南娄底.中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc<0; ②4a-2b+c>0;③a-b>mam+b)(m为任意实数)；④若点(-3，y)和点(3，y2)在该图象上，则y>2 ,其中正确的结论是() A.①② B.①④ C.②③ D.②④ 2.(2023湖南中考真题)己知P(x,y,),Px2,y2)是抛物线y=ax2+4ax+3(a是常数，a≠0)上的点，现 有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=-2;②点(0,3)在抛物线上：③若x>x2>-2,则y>y2; ④若片=y2,则x+x2=-2其中，正确结论的个数为（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2023湖南.中考真题)如图所示，直线1为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的对称轴，则下列说法 10/29 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 正确的是() V : A.b恒大于0 B.a,b同号 C.a,b异号 D.以上说法都不对 题型十函数图像平移规律应用 1.(2023湖南娄底.中考真题)将直线y=2x+1向右平移2个单位所得直线的表达式为() A.y=2x-1 B.y=2r-3 C.y=2x+3 D.y=2x+5 2.(2023湖南益阳中考真题)我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y=2x的图 象向上平移1个单位得到y=2x+1的图象；将二次函数y=x2+1的图象向左平移2个单位得到 y=(x+2+1的图象，若将反比例函数y=6的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函 数表达式是 6 V= 核 提 炼 《。知识1一次函数的图像与性质 k>0 k<0 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 图像 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 11/29 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴 交点的 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 位置 经过 第一、二、 第一、三、 第一、二、 第二、三、 第一、三象限 第二、四象限 的象限 三象限 四象限 四象限 四象限 1)直线y=kx+b(k≠0)与直线y=kx+b,(k2≠0)平行 无1=3.6≠b2 拓展 2)直线y=kx+h(k≠0)与直线y=k,x+b,(k≠0)垂直元=-1 【补充说明】一次函数y=kx+(k≠O)的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k 的符号有关，与b的符号无关. 《家知识2 反比例函数的图像与性质 k的符号 k>0 k<0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限(x、y同号)图像分别位于第二、第四象限(x、y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1) 图像是关于直线y=x和y=-x对称的双曲线： 2) 图像是关于原点对称的双曲线： 3)图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交， 【易错易混】 1.反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个 前提.当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随 ×的增大而减小.同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大. 2.反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函 数的增减性，也可以推断出k的符号。 3.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两 个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）， 《。知识3二次函数的图像与性质 12/29 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c a>0 图 像 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h X=- 顶点坐标 (0,0) (0,k h,0) (h,k) (-岛，) 4a a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值： 最 a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 值 【小结】二次函数最小值（或最大值）为0k或). 增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. 减 性 a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小 令知识4 二次函数的图像特征与各项系数之间的关系 字母 字母的符号 图像特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的 大小(a越大，开口越小). a<0 开口向下 b=0 对称轴是y轴，即一会0 6 a,b同号 对称轴在y轴左侧，即一会<0 左同右异中间0 13/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a,b异号 对称轴在y轴右侧，即一会>0 c=0 图像过原点 c c>0 与y轴正半轴相交 c决定了抛物线与y轴交点的位置. c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac>0 与x轴有两个不同的交点 b2-4ac b2-4ac的正负决定抛物线与x轴交点个数 《知识5 函数的平移 1.一次函数的平移变换 平移变换 平移方式(m>0) 函数解析式 向上平移m个单位 y=kx+b+m 向下平移m个单位 y=kx+b-m y=kx+b 向左平移m个单位 y=k(x+m)+b 向右平移m个单位 y=k(x-m)+b 【总结】一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用 待定系数法即可求出平移后的解析式 2.二次函数图像的平移 平移方式(n>0) 般式y=ax2+bx+c 顶点式y=a(x-h)2+k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移口诀：左加右减（只改变x),上加下减（只改变y)· 命 题 测 1.(2026湖南·模拟预测)函数y= 2一中，自变量x的取值范围是 3 2.(2025山东济南.中考真题)A,B两地相距100km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假 设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离s(km)与骑车时间th)的关系如图所示，则他们相 14/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 遇时距离A地 km. ◆s/km 100 甲 20 123 3.(2026湖南·模拟预测)已知一次函数y=x-1(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则该函数图象大致 是() 4.(2026湖南长沙模拟预测)已知点(5，，1，.(-2，，都在直线y=-2x+b上，则，，y,的大小关 3 系是() A.y2<y3<y1 B.y2<y<y3 C.y<3<y2 D.y3<y2<yi 5.(2026湖南·一模)已知方程组 y=2x-3的解为 y=x+1 =5则直线yx1与直线，2x3的交点坐标是() x=4 A.4,5 B.(5,4 C.(4,0) D.5,0 6.(2026湖南岳阳一模)如图，点C是反比例函数y=-6(x<0)的图象上的一个动点，且C41x轴于 点A,ABIIOC交y轴于点B.则四边形ABOC的面积是() B A.12 B.9 C.6 D.3 7.(2026湖南湘潭.一模)如图，正比例函数y=x与反比例函数y=二的图象相交于A、C两点，过A作 AB⊥x轴于点B,连接BC,则ABC的面积为( 15/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 A.2 B.1 c.3 D.2 8.(2025四川中考真题)对于抛物线y=2(x-1)2+3,下列说法正确的是() A.抛物线的开口向下 B.抛物线的顶点坐标为1,3) C.抛物线的对称轴为直线x=-1 D.当x>-3时，y随x的增大而增大 9.(2025·湖南郴州.一模)把抛物线y=(x-2)-3向右平移3个单位再向下平移2个单位，得到的抛物线的 表达式为 10.(2026湖南邵阳.二模)如图，已知直线，=2x+4与反比例函数y=《(k≠0)的图象交于4，B两点，与两 坐标轴分别交于C,D两点.若AB=2BC,则k的值为() y=2x+4 y= D B -4-3为-1012习号 A.、3 B.3 C.3 0.3 2 11.(2026湖南邵阳·模拟)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-1,0)，(3,0)，与y轴的交点在 (0,-2)与(0，-3之间（不包括这两点）下列结论： 240-2b+c>0;③若x<5,+x,<2,则y>2:④<a<1;⑤若m为 am2+bm>a+b 16/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 其中正确的结论序号有 12.(2026湖南衡阳·模拟)如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧.从 小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：cm/s)与弹簧被压缩的长度x(单位： cm)之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示.已知P(2,n为该抛物线的顶点，有一条平行 于x轴的直线v=b,且b=3+”.当小球的速度不小于b时，弹簧被压缩的长度x的取值范围是() 2 Ol v/(cm/s) P 1- -v=b 77777iT777 7777 02 6 m 图1 图2 A.2-√2<x<2+V2 B.0≤x≤2-V2或2+V2≤x≤6 C.2-V2≤x≤6 D.2-√2≤x≤2+V2 13.(2026·湖南怀化一模)如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿x轴翻折；②沿函数y=x+2 的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转45°；④绕点(1，-1)按顺时针方向旋转90°.其中，能使函数 y=2x+4的图象经过一种变换后过点P(2,2)的个数是() % /1=2x+4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.(2025·四川雅安中考真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b与反比例函数片，=的图象 交于A,B两点，其中点A、点B的横坐标分别是-4和3. (1)当y>y2时，直接写出x的取值范围： 17/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求出一次函数和反比例函数的表达式： (3)将直线AB向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C,求△PBC的面积. 15.(2025江苏南京中考真题)(1)将函数y=-x2+2的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象 与y轴交点的纵坐标是 (2)平移函数y=-x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y=kx+2的图象上.设平移后的 函数图象的顶点P的横坐标为m,与y轴交点的纵坐标为n,n随m的变化而变化 ①若k=2,当0≤m≤3时，求的取值范围. ②设函数y=x+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A,B,点P在线段AB上.当k取不同值时，下列关 于的变化趋势的描述：(a)n随m的增大而增大；(b)n随m的增大而减小；(c)n随m的增大先增 大后减小；(d)n随m的增大先减小后增大.其中，所有可能出现的序号是 ·(说明：全部填 对的得满分，有填错的不得分》 16.(2026湖南郴州.一模)已知抛物线y=ax-h)2(a,h为常数且a≠0). 图1 图2 备用图 (1)抛物线的对称轴为x=1,且经过点A(3,4). ①求抛物线的表达式： ②如图1，抛物线与y轴交于点B,点P是抛物线上一动点，且在直线AB的下方，过点P作PQAB于点 Q.请问线段四的长度是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由： (2)如图2，在二次函数y=-(x-h2(h为常数)中，当1≤x≤4时，函数y有最大值为-4，求h的值. 考点二 函数的图像与性质（压轴篇) 题 可 ● ◆题型一动点问题 1.(2025湖南中考真题)如图，己知二次函数y=axx-4)a≠0)的图象过点A2,2),连接0A点P(x,y) ,Q(x2,2),R(x),是此二次函数图象上的三个动点，且0<x<x<x2<2,过点P作PB∥y轴交线 段OA于点B 18/29 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 修 19/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B,点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C, 交AB于点D,连接4C,D0,PO.若5=5+3，求证m的值为定值， SAADC (3)如图2，点P在第二象限，x,=-2x,若点M在直线P9上，且横坐标为x-1,过点M作MN⊥x轴于 点N,求线段MW长度的最大值. ◆题型三周长最值问题 1.(2023湖南张家界.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交 于点A(-2,0)和点B(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6).点D为线段BC上的一动点. y y年 D B 图1 图2 (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，求△A0D周长的最小值： (3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P,连接PA,PB,记△PAD与△PBD的面积和 为S,当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值 2.(2023·湖南郴州.中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0,B(4,0),与y轴相交于点 C. 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式： 20/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1，点P是地物线的对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的 ®如图2，取线段0C的中点D,在抛物线上是否有在点Q,使an∠QD08=?若存在，求出点Q的坐标： 若不存在，请说明理由， ◆题型四特殊三角形存在性问题 1.(2024湖南长沙.中考真题)己知四个不同的点A(x,y),B(x2,2),C(x3,乃)，D(x4,y4)都在关于x的函 数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的图象上. 1当4，B两点的坐标分别为-1，-4)，(3,4时，求代数式2024a+1012b+的值： (2)当A,B两点的坐标满足a2+2(y+y2)a+4yy2=0时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并 说明理由； (3)当a>0时，该函数图象与x轴交于E,F两点，且A,B,C,D四点的坐标满足： 2a2+2(y,+y2)a+y+y=0,2a2-2(y+y)a+y+y=0.请问是否存在实数(m>),使得AB,CD, m·EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出m的值和此 时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m·EF表示一条长度等于EF的m倍的线段）， 2.(2023湖南娄底.中考真题)如图，抛物线y=x2+bx+c过点A-1,0)、点B(5,0),交y轴于点C. (1)求b,c的值. (2)点P(x,y)(0<x。<5)是抛物线上的动点 ①当x,取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值： ②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E,再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F,连接EF,问：是否存在点 P,使PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 ◆题型五特殊四边形存在性问题 1.(2023湖南中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过点A-2,0)和点B(4,0), 且与直线：y=-x-1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标 21/29 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为t. y=-x-1 =-x-1 y=-x-1 A B M 备用图 备用图 (1)求抛物线的解析式. (2)过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N,若0<t<4,求△NED面积的最大值. (3)抛物线与y轴交于点C,点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请 求出所有满足条件的点R的坐标. 2.(2023湖南岳阳.中考真题)已知抛物线Q:y=-x2+bx+C与x轴交于A(-3,0),B两点，交y轴于点 C(0,3. y个 y个 y K B A B H H D 图1 图2 备用图 (1)请求出抛物线2的表达式， (2)如图1，在y轴上有一点D(0,-1,点E在抛物线g上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得 四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由。 (3)如图2，将抛物线Q向右平移2个单位，得到抛物线2，抛物线2的顶点为K,与x轴正半轴交于点H ,抛物线g上是否存在点P,使得∠CPK=∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. ◆题型六线段、面积存在性问题 1.(2023·湖南湘西.中考真题)如图(1)，二次函数y=ax2-5x+c的图像与x轴交于A-4,0),Bb,0两 点，与y轴交于点C(0,-4. 22/29 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图(1) 图(2) (1)求二次函数的解析式和b的值 2在二次函数位于x轴上方的图像上是否存在点M,使SM-Sc?若存在，请求出点M的坐标；若 3 不存在，请说明理由. 3)如图(2)，作点A关于原点O的对称点E,连接CE,作以CE为直径的圆，点E是圆在x轴上方圆弧上 的动点（点E不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE,使点E移动到点 E,线段E的对应线段为AE,连接EC,AA,AA的延长线交直线EC于点V,求 Cv的值。 2.(2023湖南怀化中考真题)如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于 A(-4,0八B(2,0)两点，与y轴交于点C. 图一 备用图 (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC,连接PA、PC,求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标； 包设直线y=+- 交撒物线于点M、N,求证：无论为何值，平行于X轴的直线：y=一3上泡 存在一点E,使得∠MEN为直角 ◆题型七角度存在性问题 1.(2023湖南.中考真题)如图，已知抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A-1,0)和点B,与y轴交于点C, 连接AC,过B、C两点作直线. 23/29 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求a的值 (2)将直线BC向下平移mm>0)个单位长度，交抛物线于B、C两点.在直线B'C'上方的抛物线上是否存 在定点D,无论m取何值时，都是点D到直线B'C'的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在， 请说明理由， (3)抛物线上是否存在点P,使∠PBC+LAC0=45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明 理由. ◆题型八函数新定义问题 1.(2025·湖南长沙.中考真题)我们约定：当x,,2,2满足(x+y2)+(x2+y)=0,且x+片≠0时，称点 (x,y)与点(X2,y2为一对“对偶点”.若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”.请 你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打”，错误的打“×”）： ①函数y=冬(k是非零常数)的图象上存在无数对“对偶点”；() ②函数y=-2x+1一定不是“对偶函数”"；() ③函数y=x2+x-1的图象上至少存在两对“对偶点”.() (2)若关于x的一次函数y=kx+b与y=kx+b(b,b都是常数，且bb2<0)均是“对偶函数”，求这两个 函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数y=2ar2-1是“对偶函数”，求实数a的取值范围. 2.(2023湖南中考真题)我们约定：若关于x的二次函数为1=ax2+b,x+G与y2=a2x2+b2x+c2同时满足 Va,-G+(b,+h)+6-a4=0,(-b,)22≠0，则称函数片与函数5互为“美美与共"函数.根据该约定，解 答下列问题： (1)若关于x的二次函数y=2x2+kx+3与y,=mx2+x+n互为“美美与共"”函数，求k,m,n的值： (2)对于任意非零实数r,s点P(,t)与点Q(s,t)(r≠s)始终在关于x的函数y,=x2+2x+s的图像上运动， 函数乃与%互为“美美与共”函数. ①求函数的图像的对称轴； 24/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由： 3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y,=ax2+bx+c与它的“美美与共”函数⅓的图像顶点分别 为点A,点B,函数y的图像与x轴交于不同两点C,D,函数y的图像与x轴交于不同两点E,F.当 CD=EF时，以A,B,C,D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围：若不 请说明理由， ◆题型九函数与几何图形综合 1.（2023湖南.中考真题)已知二次函数y=ax2+bx+ca>0). (1)若a=1,c=-1,且该二次函数的图像过点(2,0)，求b的值： (2)如图所示，在平面直角坐标系Oy中，该二次函数的图像与x轴交于点Ax,0,B(x2,0),且x<0<x2, 点D在OO上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE,且线段DE交y轴正半轴于点F, ∠DOF=∠DEO,OF=3DF. 2 ①求证： D02 E031 ②当点E在线段OB上，且BE=1.⊙0的半径长为线段0A的长度的2倍，若4ac=-a2-b2,求2a+b的值， 2.(2023湖南永州.中考真题)如图1，抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)经过点F(0,5),顶点坐 标为2,9)，点P(,)为抛物线上的动点，PH1x轴于H,且x≥ 2 y y F B 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式： 25/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2如图1，直线OP:y=上x交BF于点G,求的最大值： SABOG (3)如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E,BC交FM的延长线于C,且BC⊥BE,PH=FC, 求点P的横坐标. 命 题 预 ●●● 1. (2026湖南岳阳.一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-2与x轴交于点4，与y轴交于点C, 1 与抛物线L:y=- 2+bx+c交于点T3s,到和点Q6,1. (1)求证：点Q为抛物线L的顶点； (2)将抛物线L先向上平移1个单位，再向左平移r(r>0)个单位，得到抛物线L,若抛物线L经过点 且点D在抛物线L的对称轴左侧，求抛物线L的函数表达式： (3)在(2)的条件下，记抛物线L的对称轴为直线1，作点C(0,-2)关于直线1的对称点B,连接AB,在直 线AB上是否存在点P,满足∠ADP=∠CAO?若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 2.(2026湖南长沙.一模)我们约定：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与一元二次方程 cx2+bx+a=0(c≠0)互为“轮转对称方程”.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与二次函数 26/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y2=cx2+bx+ac≠0)互为“轮转对称函数". (1)直接写出3x2-2x-1=0的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； (2)对于任意非零实数m,n,点P(m,t与点Q(n,t)(m≠n始终在关于x的函数y,=x2+mx+n的图象上运动， 函数与片互为“轮转对称函数” ①求函数⅓的图象的对称轴： ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由： 3)若关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过平面直角坐标系中三个象限，a+c>0且c≥a,其“轮转 对称函数"”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D,与y轴交于点C,点M是AB的中点，点O是坐标 原点已如00g0试球：之伯最大能 C2 3.(2025四川绵阳中考真题)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=mxm≠0)的图象与反比例函 数y=《(k≠0)的图象交于A-2,m-9),B两点，点C在反比例函数的图象上，且在第一象限内点B的右侧， 连接BC,OC,aB0C的面积为5. (1)求点A,B的坐标及反比例函数的解析式： (2)探究在x轴上是否存在点M,使得以点O,C,M,N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点N的坐标： 若不存在，请说明理由. 4.(2026湖南湘潭.一模)己知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点（点A在 点B的左边)，与y轴交于点C, 27/29 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 图1 图2 (1)求这个二次函数的表达式： (2)如图1，设抛物线的顶点为D点，连接DB,点E是线段DB上的动点，点F为抛物线对称轴上一动点， 连接BF、FE,求BF+EF的最小值； (3)如图2，连接BC,点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接PC、OP,OP交BC于点Q.设点P的横 坐标为1，Sac0=S,Sxco0=S2,y= ①求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围： ②当y的值取最大时，求点P的坐标. 5.(2026湖南长沙.二模)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2-4ar+3a(a为常数，a≠0). (1)当a=-1时，求抛物线的顶点坐标； (2)设抛物线与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），顶点为C, ①当ABC为等腰直角三角形时，求ABC的面积； ②当ABC为等边三角形时，求a的值： (3)已知a<0,将抛物线向上平移1个单位长度得到新抛物线y,=ax2+bx+c,若当t≤x≤t+2(0≤1≤1) 时，y,的最大值与最小值之差为4，求a的取值范围. 6.（2026湖南株洲.一模)己知抛物线y=x2+(2m-1)x+4n(m,n为常数)经过点(2,6). (1)若抛物线与y轴交于点(0，-4). ①求该抛物线的函数表达式； ②己知点A(a,b)和点B(3,b)在该抛物线上，若对于21-5<a<31+2,都有b<b2,求t的取值范围， (2)若2=x+4,且对于任意实数x,都有y≥y2,将直线2=x+4向上平移3个单位长度，与抛物线交于 点C,D(C在D的右侧)，若有直线y=b,在这条直线上一定存在点E,使得∠CED是直角，请求出b的 最大值 7.(2025湖北襄阳.一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=一x2+2x+3与x轴交于点A,C (点A在点C的右边)，与y轴交于点B,直线y=kx十b经过点A,B 28/29 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求A,B,C三点的坐标及直线AB的函数解析式 (2P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PQ‖x轴交直线AB于点Q,设点P的横坐标为m (m<0),PQ的长为L,求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围； (3)设抛物线的顶点为M,问在y轴上是否存在一点N,使得NAM为直角三角形？若存在，直接写出点N的 坐标；若不存在，请说明理由. 8.(2025·青海西宁.中考真题)如图，在平面直角坐标系x0y中，以P为顶点的抛物线的解析式为 y=ax2-4axa<0),点A的坐标是(-1,0)，以原点为中心，把点A顺时针旋转90°，得到点A. (1)直接写出A点的坐标和抛物线的对称轴： (2)当3≤x≤5时，y有最大值为1-2a,求抛物线的解析式： (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A',P,M,N为顶点的四边形是 矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由， 29/29