第03讲 图形的旋转（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本讲义聚焦初中数学“图形的旋转”核心知识点，系统梳理旋转的定义（三要素：中心、方向、角度）、性质（对应点到中心距离相等、连线夹角为旋转角、图形全等）及作图，进而延伸至中心对称与中心对称图形的概念、性质、作图及辨析，构建从基础旋转到特殊旋转的递进式学习支架。 资料以生活实例（如摩天轮、钟摆）引导学生用数学眼光观察旋转现象，通过“找旋转中心”“求角度线段”“综合证明”等题型设计，培养几何直观与推理意识，结合规律性问题（如多次旋转坐标变化）提升空间观念。课中辅助教师分层教学，课后练习题助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第03讲 图形的旋转 考点1：旋转的定义 考点2：旋转的性质和作图 考点3：中心对称和中心对称图形 重点：（1）图形旋转的概念、性质及旋转作图； （2）中心对称与中心对称图形的概念、性质，中心对称作图及概念辨析。 难点★：（1）旋转性质的理解与复杂图形的旋转作图； （2）准确区分中心对称与中心对称图形的概念，灵活运用性质解决几何问题。 1.理解图形旋转的概念，掌握旋转三要素（旋转中心、方向、角度）及旋转性质，能作简单图形旋转后的图形。 2.理解中心对称（两个图形的关系）和中心对称图形（一个图形的性质）的概念，掌握其性质，能作中心对称图形，区分二者的联系与区别。 3.掌握关于原点对称的点的坐标特征，能识别生活中的中心对称图形。 知识点1 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转，点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫作对应点。 注意 ：（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 【题型1 生活中的旋转现象】 【典例1】下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的定义， 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义。 【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动， ∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象； 选项A中汽车飞驰主要是平移运动； 选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主； 选项D中升降电梯是垂直平移运动。 故选：B． 【变式1】下列运动属于旋转的是（   ） A．踢毽子 B．钟摆的摆动 C．气球升空的运动 D．传送带上物体的运动 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解答关键是根据相关定义进行判定。 根据旋转的定义，判断各选项的运动类型。 【详解】解：A． 踢毽子：毽子运动轨迹为抛物线，整体以平移为主，虽有翻转但非绕固定点旋转，不符合题意。 B． 钟摆的摆动：钟摆绕悬挂点做圆弧运动，符合绕固定点的旋转定义，符合题意。 C． 气球升空：气球垂直上升，属于平移运动，无旋转，不符合题意。 D． 传送带上的物体：物体随传送带水平移动，各点运动方向、距离相同，属于平移，不符合题意。 综上，只有选项B是旋转。 故选：B． 【变式2】北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的。在下面右侧的四个图中，能由图经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的意义“在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转”，求解即可。 【详解】解：根据旋转的定义可知，能由图经过旋转得到的是 故选：D 【点睛】此题考查了旋转的定义，解题的关键是掌握旋转的定义。 【题型2 找旋转中心、旋转角、对应点】 【典例2】如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，掌握旋转角的定义是解题的关键。 由旋转的性质可得旋转角为或，据此即可解答。 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转至，点的对应点是． ∴旋转角为或． 故选：B． 【变式1】如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角。 首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解。 【详解】解：，， , 是由绕点旋转得到的， , , 旋转角的度数为． 故选：B． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点的横、纵坐标都是整数。若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中A，B，C分别与D，E，F对应，则旋转中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的性质是解题关键。分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就是旋转中心，根据其在平面直角坐标系中的位置即可得旋转中心的坐标。 【详解】解：如图，与的垂直平分线相交于点，则点即为旋转中心。 故选：C． 【变式3】如图，与都是等腰直角三角形而且全等，，点E在边上，下列说法正确的是（    ） A．绕点A顺时针旋转与重合 B．绕点A顺时针旋转与重合 C．绕点A顺时针旋转与重合 D．绕点A顺时针旋转与重合 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形、旋转角，找准旋转角是解题关键。 先根据等腰直角三角形的定义可得，再根据旋转角的定义即可得。 【详解】解：与都是等腰直角三角形，， , ∴绕点A顺时针旋转与45°重合 和都是旋转角，旋转角度是， 故选：D． 知识点2 旋转的性质与作图 1.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键。 （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础。 （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 2.旋转作图 （1）旋转图形的做法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独有的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等。 【题型3 利用旋转的性质求角度】 【典例3】如图，是由绕点旋转得到的，，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求旋转角，三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再结合图形可知，旋转角即为的度数，据此可得答案。 【详解】解：∵，， ∴, ∵是由绕点旋转得到的， ∴旋转角的度数是， 故选：A． 【变式1】如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可知，对应边 与 的夹角即为旋转角，从而可以得到 的度数，由 结合角的和差关系可以得到 的度数。 【详解】解： 绕点 按逆时针方向旋转 后得到 ， , , ． 【变式2】如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据角的和差关系得出，根据三角形外角性质即可得答案。 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转（），得到，， ∴，，，， ∴, ∵, ∴, ∴． 【变式3】如图，将绕着点C按顺时针方向旋转，B点落在位置，点A落在位置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转可知，根据可得，由此即可求解。 【详解】解：∵将绕着点按顺时针方向旋转， ∴, ∵， ∴, ∴, 由旋转知，， ∴． 【题型4 利用旋转的性质求线段长度】 【典例4】如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（   ） A．64° B．58° C．68° D．116° 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理。先根据旋转的性质，结合已知条件得到且，再由等腰三角形性质可得 ，最后在中，运用三角形内角和定理求出的度数。 【详解】解：∵秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点， ∴且， ∴， 在中， ∵, ∴, ∴． 【变式1】如图，在中，，将绕点B顺时针旋转，得到，连接交于点F，则与的周长之和为（   ） A．34 B．32 C．24 D．14 【答案】B 【分析】勾股定理求出的长，根据旋转的性质，推出为等边三角形，进而得到，再根据三角形的周长公式进行计算即可。 【详解】解：∵， ∴, ∵将绕点B顺时针旋转，得到， ∴,, ∴为等边三角形， ∴, ∴与的周长之和． 【变式2】如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，连接，则的长为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转和全等的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键。 根据旋转和全等的性质可得，，再根据勾股定理可得． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，， ∴,, ∴, ∴, 故选：C． 【变式3】如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为（   ） A．10 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，由勾股定理得，再通过旋转性质，得，，，所以，，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键。 【详解】解：∵，，， ∴, 由旋转性质，得，，， ∴,, ∴, 故选：． 【题型5 旋转中的规律性问题】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知：点在以为圆心，以为半径的圆上运动，再由旋转可知：将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于将线段绕点逆时针旋转，可得对应点的坐标，然后发现规律是8次一循环，进而得出答案。本题考查了旋转的性质、正方形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是数形结合并学会从特殊到一般的探究规律的方法。 【详解】解：∵点的坐标为（，四边形是正方形， ∴点的坐标为（， ∵四边形是正方形， 连接，如图：    由勾股定理得：， 由旋转的性质得：， ∵将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形， 相当于将线段绕点逆时针旋转，依次得到， 则8次为一循环， ∵余1， ∴是第253组的最后一个点，是第254组的第一个点， ∴点的坐标为， 故选：B． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点的坐标分别为，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2026次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，平行四边形、矩形的判定和性质，图形规律等知识，根据题意得到，结合图形找出旋转规律即可求解。 【详解】解：∵风车图案的中心为正方形， ∴, 如图所示，作于点， ∴, ∵风车图案的四片叶片为全等的平行四边形， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴四边形是矩形，则， ∴, ∵每次旋转， ∴旋转第一次时，点对应点为，点对应点为，则， 旋转第二次时，点对应点为，点对应点为，则， 旋转第三次时，点对应点为，点对应点为，则， 旋转第四次时，点对应点为，点对应点为，则， ∵, ∴经过第2026次旋转后，点的坐标为 ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、图形旋转的性质和坐标规律探究，掌握通过多次旋转操作归纳坐标周期规律，再利用规律求解是解题的关键。 先利用勾股定理求出的长度，再通过前几次旋转找到点​的坐标规律，最后根据规律计算的坐标。 【详解】解：∵点的坐标为（，点的坐标为（，点为坐标原点（ ∴, ∴在中，根据勾股定理可得： ∵ 将绕点顺时针旋转到​，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将 绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点在的正上方，点的坐标为（ ∵将绕点顺时针旋转到，点在轴上 ∴，点的坐标为，点的坐标为 ∵ 将绕点顺时针旋转到​ ，点在轴上 ∴，点的坐标为 ∵ 将绕点顺时针旋转到 ∴ ，点在的正上方，所以点的坐标为（ 通过观察点和 的坐标，可以发现规律： 对于偶数下标点，其坐标恒为，坐标为 即点的坐标为（ ∵的下标为，是偶数 ∴令，解得 ∴点的坐标为（ ∴点的坐标为（． 故选：B． 【变式3】如图，将矩形放在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上，点O与原点重合，点，将对角线按下列步骤进行变换：第一次：将线段OB绕原点O逆时针旋转得到线段；第二次：作线段，关于x轴对称的线段；第三次：将线段绕原点O逆时针旋转得到线段；第四次：作线段关于x轴对称的线段…按照这样的规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：过点作轴于点E，证明，可得，从而得到点，根据关于x轴对称的坐标特征可得，同理，，……，可得到每4个点的坐标为一周期循环，再由，即可求解。 【详解】解：如图：过点作轴于点E， 由旋转的性质得：，， ∴, ∵四边形为矩形， ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵点， ∴, ∴点， ∵作线段，关于x轴对称的线段， ∴, 同理，，……， ∴每4个点的坐标为一周期循环， ∵, ∴点的坐标与点的坐标一致，即． 【题型6 旋转综合题】 【典例6】如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． (1）求证：； （2）求的度数。 【答案】(1）证明见解析 (2) 【分析】本题考查旋转，全等三角形，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，进行解答，即可。 （1）根据旋转的性质，可得，根据全等三角形的判定，即可； （2）根据全等三角形的性质，则，根据等边对等角，三角形的外角，即可。 【详解】（1）解：证明如下： ∵边绕点旋转到的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, ∴． （2）解：∵， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∴． 【变式1】如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接． (1）求证：； (2）若，求的度数。 【答案】(1）见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键。 （）由旋转性质可得，，求得，然后证明，最后由全等三角形的性质即可求证； （）先由等腰三角形的性质得，又，则，最后通过角度和差即可求解。 【详解】（1）解：由旋转性质可知，，， ∴, ∴， ∵， ∴, ∴； （2）解：∵，， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴的度数为． 【变式2】如图，在中，，将绕点B顺时针旋转，得到、点A、C旋转后的对应点分别为点D、E，连接． (1）若，求的长； （2）求的度数。 【答案】(1)2 (2) 【分析】该题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质。 （1）根据旋转得出，证出是等边三角形，即可得． （2）在中，根据等腰三角形的性质得出，根据旋转可得，即可求解。 【详解】（1）解：∵将绕点B顺时针旋转，得到， ∴, ∴是等边三角形， ∴． （2）解：∵在中，， ∴, 根据旋转可得， ∴． 3如图，点O是等边内一点，，．将绕点C按顺时针方向旋转得，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断与的位置关系，并说明理由； 【答案】(1）见详解 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和平行线的判定定理，正确掌握相关知识是解题的关键。 （1）根据旋转的性质得和，从而得到，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可求证； （2）从（1）可知，则，根据，得，利用“同旁内角互补，两直线平行”，可说明． 【详解】（1）证明： 绕点C按顺时针方向旋转得， ,, ， 是等边三角形； （2）解：，理由如下， ,, , , , ． 知识点3 中心对称和中心对称图形 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【题型7 中心对称图形的识别】 【典例7】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形，轴对称图形的定义，逐一判断即可解答。 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意； B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意。 【变式1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合。根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可。 【详解】解：A选项是轴对称图形而不是中心对称图形； B选项既是轴对称图形也是中心对称图形； C选项是轴对称图形而不是中心对称图形； D选项是轴对称图形而不是中心对称图形。 【变式2】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对各选项图形进行逐一判断即可。 【详解】解：A．选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B．选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意。 【变式3】中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥。下图中的图样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫作中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫作轴对称图形。 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意。 【题型8 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【典例8】如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键。 根据等边三角形的性质和勾股定理求得，再根据中心对称的性质，即可得． 【详解】解：∵等边中，为的中点， ∴,,, , ∵, ∴, 解得（负值已经舍去）， ∵与关于点成中心对称， ∴． 【变式1】如图，与成中心对称，点是它们的对称中心，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称的性质。由中心对称的性质得，然后根据勾股定理即可求解。 【详解】解：∵该图是一个中心对称图形， ∴, ∵,,, ∴, ∴, 故选：A． 【变式2】在平面直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称，设点P关于A的对称点为点Q，过点Q作轴于点B，则有，即可得到，，进而求出点Q的坐标。 【详解】解：设点P关于A的对称点为点Q，过点Q作轴于点B， 则，， 又∵， ∴， ∴,, ∴, ∴点Q的坐标为（， 故选：C． 【变式3】如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A．点与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称的性质判断即可。 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与是一组对称点，，， ，，都不合题意。 与不是对应角， 不成立。 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键。 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】 【典例9】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用关于原点对称的点的坐标性质求解，关于原点对称的点，横纵坐标均为原坐标的相反数，直接得到对称点坐标即可选出答案。 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为， 又∵点的坐标为，即， ∴对称点的坐标为． 【变式1】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数， ∴点关于原点对称的点的坐标是． 【变式2】点与关于原点对称，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D．5 【答案】C 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴,, ∴． 【变式3】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，正确掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键。 根据平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标均互为相反数，求出m、n的值，再代入计算即可。 【详解】解：点与点关于原点对称， ,, ． 故选：A． 【题型10 作图－旋转、中心对称图形】 【典例10】如图，三个顶点的坐标分别为， （1）请画出将向左平移6个单位长度后得到的图形； （2）请画出绕原点O顺时针旋转的图形； 【答案】(1）见解析 （2）见解析 【分析】（1）根据平移的性质画图； （2）根据旋转的性质画图。 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求。 【变式1】如图，平面直角坐标系中，，，，． （1）若与成中心对称（点A、B分别与、对应），试在图中画出； （2）将（1）中的绕点顺时针旋转，得到，试在图中画出； （3）若可由绕点G旋转得到，则点G的坐标为________。 【答案】(1）见解析 （2）见解析 (3) 【分析】（1）根据中心对称的定义分别作出点A、B、C变换后的对应点，再顺次连接可得； （2）分别作出点绕点顺时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得； （3）连接，分别作出其中垂线，交点即为点G． 【详解】（1）解：如图，即为所求。 （2）解：如图，即为所求。 （3）解：如图所示点G坐标为． 【变式2】在平面直角坐标系中的位置如图所示。 （1）作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； （2）作出将绕点O顺时针旋转后的，并写出的坐标。 【答案】(1）作图见解析， （2）作图见解析， 【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点位置，再连接即可； （2）首先确定A、B、C三点关于原点的对称点位置，再连接即可。 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：如图，即为所求，． 【变式3】如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出，并写出坐标； （2）作出关于点成中心对称的． 【答案】(1）见解析，， （2）见解析 【分析】本题主要考查了旋转变换作图、中心对称作图等知识点，根据题意确定对应点成为解题的关键。 （1）先根据旋转的性质确定的对应点，然后顺次连接即可画出，进而写出坐标； （2）先根据中心对称的性质确定的对应点，然后顺次连接即可。 【详解】（1）解：如图即为所求作的图形； ; （2）解：如图即为所求作的图形； 1.下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，据此逐一判断即可。 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意。 2.如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接、，根据网格的特点分别作、的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求。 【详解】解：如图所示，连接，，分别作、的垂直平分线， 故点B为其旋转中心。 3.点关于原点的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于原点的对称点的坐标为． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 4.如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转可得，即得是等边三角形，得到，进而即可求解。 【详解】解：由旋转可得，， ∵, ∴是等边三角形， ∴, ∵, ∴． 5.如图，把绕着点C按顺时针旋转，得到，点落在边上，若，交于点D，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得，，再结合求出即可。 【详解】解：由旋转可知，， 又， ,, ． 6.如图，在平面直角坐标系中，已知、，把绕点A逆时针旋转后得到，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质。 根据旋转的性质得出相等的边和角，然后根据点的坐标得出线段的长度，即可求解。 【详解】解：根据旋转的性质得，，， ∵、, ∴, 则， ∴点C坐标为， 又∵， ∴点D坐标为， 故选：A． 7.如图，在中，，将边绕点B逆时针旋转得到，连接，若的面积为4，则的长为（   ） A． B． C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；分别过点A、作的垂线，垂足分别为，由旋转的性质：，则有，然后可得，则有，由的面积为4可得，进而根据勾股定理可进行求解。 【详解】解：分别过点A、作的垂线，垂足分别为，如图所示： 由旋转的性质：， ∵,, ∴, ∴, ∴， ∴, ∴,, ∵的面积为4， ∴, ∴,, ∴, ∴, ∴; 故选A． 8.如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____。 【答案】G 【分析】分别连接两组对应点作它们的垂直平分线，确定两条垂直平分线的交点，该交点即为旋转中心。 【详解】解：如图：分别作线段和的垂直平分线， ， 由图可得，旋转中心为点． 9.如图，在直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点，若旋转角为，则的大小是_____。 【答案】 【分析】由旋转得，再根据可得答案。 【详解】解：将绕点B顺时针旋转得到，旋转角为， , ． 10.如图，旋转后到达的位置，，若，，，则的长度是________． 【答案】2 【分析】根据旋转的性质得出，再由求出即可。 【详解】解：∵旋转后到达的位置，， ∴, ∴． 11.若点与点关于原点对称，则______。 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质。直接利用关于原点对称点的性质（横坐标、纵坐标均互为相反数）得出m，n的值，进而得出答案。 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴, ∴, ∴． 故答案为：． 12.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出绕原点顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标。 （2）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标。 【答案】(1）见解析，点的坐标为； （2）见解析，点的坐标为． 【分析】本题考查作图旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键。 （1）根据旋转的性质作图即可。 （2）根据中心对称的性质作图即可。 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∴点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求； ∴点的坐标为． 13.如图，在中，，将绕点O逆时针旋转得到，求线段的长。 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理和旋转的性质。根据勾股定理和旋转的性质即可得到结论。 【详解】解：在中，， ∴, ∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴． 14.如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到．    （1）求证：为等边三角形； （2）求线段的长。 【答案】(1）见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质， 正确掌握相关性质内容是解题的关键。 （1）结合旋转得，故，，运用等边三角形的性质得，即，证明为等边三角形； （2）根据，得，因为为等边三角形，得，结合，得，在中，运用勾股定理列式计算，即可作答。 【详解】（1）解：∵在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到． ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴, ∴, ∵， ∴为等边三角形； （2）解：∵在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到． ∴， ∴, ∵，为等边三角形； ∴, ∵, ∴, 在中，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 图形的旋转 考点1：旋转的定义 考点2：旋转的性质和作图 考点3：中心对称和中心对称图形 重点：（1）图形旋转的概念、性质及旋转作图； （2）中心对称与中心对称图形的概念、性质，中心对称作图及概念辨析。 难点★：（1）旋转性质的理解与复杂图形的旋转作图； （2）准确区分中心对称与中心对称图形的概念，灵活运用性质解决几何问题。 1.理解图形旋转的概念，掌握旋转三要素（旋转中心、方向、角度）及旋转性质，能作简单图形旋转后的图形。 2.理解中心对称（两个图形的关系）和中心对称图形（一个图形的性质）的概念，掌握其性质，能作中心对称图形，区分二者的联系与区别。 3.掌握关于原点对称的点的坐标特征，能识别生活中的中心对称图形。 知识点1 旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 【题型1 生活中的旋转现象】 【典例1】下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【变式1】下列运动属于旋转的是（   ） A．踢毽子 B．钟摆的摆动 C．气球升空的运动 D．传送带上物体的运动 【变式2】北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面右侧的四个图中，能由图经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 找旋转中心、旋转角、对应点】 【典例2】如图，将绕点顺时针旋转至，点的对应点是．下列角中，是旋转角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中A，B，C分别与D，E，F对应，则旋转中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，与都是等腰直角三角形而且全等，，点E在边上，下列说法正确的是（    ） A．绕点A顺时针旋转与重合 B．绕点A顺时针旋转与重合 C．绕点A顺时针旋转与重合 D．绕点A顺时针旋转与重合 知识点2 旋转的性质与作图 1.旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 2.旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【题型3 利用旋转的性质求角度】 【典例3】如图，是由绕点旋转得到的，，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，将绕着点C按顺时针方向旋转，B点落在位置，点A落在位置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用旋转的性质求线段长度】 【典例4】如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（   ） A．64° B．58° C．68° D．116° 【变式1】如图，在中，，将绕点B顺时针旋转，得到，连接交于点F，则与的周长之和为（   ） A．34 B．32 C．24 D．14 【变式2】如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，连接，则的长为（   ） A．3 B．6 C． D． 【变式3】如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为（   ） A．10 B．8 C． D． 【题型5 旋转中的规律性问题】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2025次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点的坐标分别为，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2026次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，……依次进行下去，若点，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，将矩形放在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上，点O与原点重合，点，将对角线按下列步骤进行变换：第一次：将线段OB绕原点O逆时针旋转得到线段；第二次：作线段，关于x轴对称的线段；第三次：将线段绕原点O逆时针旋转得到线段；第四次：作线段关于x轴对称的线段…，按照这样的规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型6 旋转综合题】 【典例6】如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式1】如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2】如图，在中，，将绕点B顺时针旋转，得到、点A、C旋转后的对应点分别为点D、E，连接． (1)若，求的长； (2)求的度数． 【变式3】如图，点O是等边内一点，，．将绕点C按顺时针方向旋转得，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断与的位置关系，并说明理由； 知识点3 中心对称和中心对称图形 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【题型7 中心对称图形的识别】 【典例7】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥．下图中的图样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型8 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【典例8】如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D． 【变式1】如图，与成中心对称，点是它们的对称中心，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，点关于点对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A．点与点是对称点 B． C． D． 【题型9 求关于原点对称的点的坐标】 【典例9】在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】点与关于原点对称，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D．5 【变式3】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则（   ） A． B． C．1 D．5 【题型10 作图-旋转、中心对称图形】 【典例10】如图，三个顶点的坐标分别为， (1)请画出将向左平移6个单位长度后得到的图形； (2)请画出绕原点O顺时针旋转的图形； 【变式1】如图，平面直角坐标系中，，，，． (1)若与成中心对称（点A、B分别与、对应），试在图中画出； (2)将（1）中的绕点顺时针旋转，得到，试在图中画出； (3)若可由绕点G旋转得到，则点G的坐标为________． 【变式2】在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)作出将绕点O顺时针旋转后的，并写出的坐标． 【变式3】如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出，并写出坐标； (2)作出关于点成中心对称的． 1．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．点关于原点的对称点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，把绕着点C按顺时针旋转，得到，点落在边上，若，交于点D，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知、，把绕点A逆时针旋转后得到，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 7.如图，在中，，将边绕点B逆时针旋转得到，连接，若的面积为4，则的长为（   ） A． B． C．10 D．8 8．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____． 9．如图，在直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点，若旋转角为，则的大小是_____． 置，，若，，，则的长度是________． 10．若点与点关于原点对称，则______． 11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出绕原点顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标． (2)画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标． 12．如图，在中，，将绕点O逆时针旋转得到，求线段的长． 13．如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将在平面内绕点A按顺时针方向旋转得到．    (1)求证：为等边三角形； (2)求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $