第09讲 平行四边形的判定定理（知识详解+08典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版八年级数学下册同步讲义与测试

第09讲 平行四边形的判定定理（知识详解+08典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行四边形的判定 判定平行四边形可以从边和对角线两个方面进行,具体如下表所示： 判定方法 符号语言 图示 边 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 因为𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐵//𝐶𝐷 ,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐶，𝐵𝐷 相交于点𝑂 。_____ 定理：一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。 因为 或( ),所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 因为𝐴𝐷=𝐵𝐶,𝐴𝐵=𝐶𝐷 ,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 对角线 定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 因为𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝑂𝐵=𝑂𝐷 ,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 注意：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如图所示的四边形ABCD，满足AD//BC，AB=CD ， 但四边形ABCD 不是平行四边形。 【题型一】证明四边形是平行四边形 例1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）根据图中所给的条件，能判定四边形是平行四边形的依据是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 变式1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是 _______ ．（填序号） 变式2．（22-23八年级下·浙江衢州·期中）如图，四边形的对角线交于点O，则不能判断四边形是平行四边形的是（    ）    A． B． C． D． 【题型二】判断能否构成平行四边形 例2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．∥，∥ C．， D．∥， 例3．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为__________． 变式1．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）下面有四个命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； ③一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； ④一组对角相等，连结这组对角的顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题是（    ） A．④ B．③ C．②③ D．①④ 变式2．（24-25八年级下·浙江台州·月考）小吴和小李一起研究一个尺规作图问题： 如图1，在中，以，为边作． 小吴：如图2，以点A为圆心，长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，，四边形即为所求． 小李：如图3，分别以点A，点C为圆心，相同长度（大于）为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，连接交于点O，作射线，并截取，连接，，四边形即为所求． (1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”） ①小吴的作法______；②小李的作法______． (2)请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程） 变式3．（22-23八年级下·浙江·单元测试）已知四边形的对角线、相交于点，给出下列条件：①，②，③，④，⑤． (1)从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形是平行四边形的有（用序号表示） ；（至少写出三种情况） (2)从（1）中选出推理在两步以上的一种情况进行证明．（要求画出图形，写出证明过程即可） 【题型三】添一个条件成为平行四边形 例4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在四边形中，，添加下列条件后，能使四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则可添加的条件为______．（不添加任何辅助线，写出一个即可） 【题型四】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例5．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 变式1．（2023八年级下·浙江·专题练习）在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 变式2．（22-23八年级下·浙江金华·期中）已知平面直角坐标系中，点，点 (1)直线AB的解析式：__________ (2)AB的中点C的坐标是__________ (3)点D是平面内的任意一点，若以O，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是__________. 【题型五】全等三角形拼平行四边形问题 例6．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 变式1．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 变式2．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 【题型六】利用平行四边形的判定与性质求解 例7．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，E为的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，过点F作交于点M，连结，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 例8．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当_________ 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 例9．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图是由的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都是格点，E是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图. (1)直接写出边的长=_______； (2)在图中画格点，使四边形是平行四边形；再在线段上画点，使得. 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，点在线段上，射线，连结，以为邻边作，连结，记的长为的长为．若，，，则在点的运动过程中，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，已知四边形和四边形都是平行四边形，，连接并延长交于，若，，，，连接，则的长为______________，的长为__________________． 变式3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，，，．是线段上的动点，是射线上的动点，且．设． (1)当在线段上时，用含的代数式表示线段的长． (2)如图2，是的中点，以，为邻边构造． ①当点与点重合时，连结，求的长． ②当点落在的边上时，求的长． 【题型七】利用平行四边形性质和判定证明 例10．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，点E是边上一点（不包含A，D），连接，要求用尺规作，F是边上一点．甲作法：以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．乙作法：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．在甲、乙两种作法中，一定正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．只有甲 C．只有乙 D．甲、乙都不正确 例11．（23-24八年级下·浙江温州·期中）图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 变式2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，E是上一点，连结，作，交于点F． (1)求证：． (2)连结，已知，，当时，求的长． 变式3．已知，如图，在中，过中点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．求证：四边形为平行四边形． 【题型八】平行四边形性质和判定的应用 例12．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，点、、、分别在、、、上，且，，点是直线、之间任意一点，连接、、、，则图中阴影面积和的面积和）等于（    ） A．7 B．8 C．12 D．14 例13．（2023·浙江·一模）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 变式1．（22-23八年级下·浙江金华·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm．    变式2．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知格点线段，请按要求画出格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个等腰三角形． (2)在图2中画一个，使得恰好平分的面积． 一、单选题 1．将线段向左平移，连接对应点得到的图形是（   ） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形 2．下列不能判断一个四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形 B．两组对边分别相等的四边形 C．对角线互相平分的四边形 D．一组对边相等，且另一组对边平行的四边形 3．四边形的对角线、相交于点，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C．且 D．， 4．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，已知与关于点成中心对称，过点作直线分别交，于点，，给出下列结论：①点与点、点与点分别是关于点的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与关于点成中心对称．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，是等边三角形，是内一点，，，，，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在四边形ABFD中，E，C是边BF上的两点．若，则图中的平行四边形是_____________．    9．如图所示，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形．可添加的条件是________．（只填一个即可） 10．等边△ABC的边长为4，点D是BC边上的任意一点（不与点B，C 重合），过点D分别作，，交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF的周长是______． 11．在四边形中，，请再添加一个条件，使四边形是平行四边形．添加的条件是_____． 12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且∠B＋∠C＝90°，分别以AB、AD、DC为边向形外作正方形ABEF、正方形ADHG、正方形DCJI，且其面积依次记为S1、S2、S3，若S1＋S3＝4S2，则＝___． 13．如图，将平行四边形纸片折叠，使顶点D恰好落在边上的点E处，折痕为．若，，则的长为______． 14．如图，在中，为锐角，，，四边形的面积为，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，同时，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点的运动时间为秒．    （1）点在上运动时，____；点在上运动时，____；（用含的式子表示） （2）当点在上，且时，的值为____． 三、解答题 15．如图，在四边形ABCD中，ABCD，∠A＝∠C，四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？ 16．如图，在四边形中，，，，求的长和四边形的面积．    17．在学习平行四边形后，小函进行了拓展性研究，她发现，平行四边形中，在边上截，连接，作的角平分线交于点E，则．她的解决思路是通过证明两条线段所在的四边形是平行四边形得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空； （1）用直尺和圆规，在边上截，连接，作的角平分线，交于点E（只保留作图痕迹）． （2）已知：如图，四边形是平行四边形，，平分，交于点E．求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴___①___， ∵平分， ∴___②___， ∴， ∴， ∵， ∴___③___， ∴___④___， ∴， ∴四边形是平行四边形（___⑤___）， ∴． 18．【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 19．如图，是的中线． (1)尺规作图：延长到点，使，连接、；（保留作图痕迹，不写作法，不需证明） (2)证明：四边形是平行四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 平行四边形的判定定理（知识详解+08典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行四边形的判定 判定平行四边形可以从边和对角线两个方面进行,具体如下表所示： 判定方法 符号语言 图示 边 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 因为𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐴𝐵//𝐶𝐷 ,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐶，𝐵𝐷 相交于点𝑂 。_____ 定理：一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。 因为 或( ),所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 因为𝐴𝐷=𝐵𝐶,𝐴𝐵=𝐶𝐷 ,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 对角线 定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 因为𝑂𝐴=𝑂𝐶,𝑂𝐵=𝑂𝐷 ,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形。 注意：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如图所示的四边形ABCD，满足AD//BC，AB=CD ， 但四边形ABCD 不是平行四边形。 【题型一】证明四边形是平行四边形 例1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）根据图中所给的条件，能判定四边形是平行四边形的依据是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【答案】C 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据题意得AD与BC平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出结论．解题的关键是掌握平行四边形的判定定理并能根据具体情况选用合适的判定方法解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是 _______ ．（填序号） 【答案】③ 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，由平行四边形的判定方法，即可判断． 【详解】解：①、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故①不符合题意； ②、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故②不符合题意； ③、由同旁内角互补，两直线平行，判定四边形的上下一组对边平行，并且上下一组对边相等，判定四边形是平行四边形，故③符合题意． ∴判定四边形一定是平行四边形的只有③． 故答案为：③． 变式2．（22-23八年级下·浙江衢州·期中）如图，四边形的对角线交于点O，则不能判断四边形是平行四边形的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由不能判断四边形是平行四边形，符合题意； B、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； D、由，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断四边形是平行四边形，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【题型二】判断能否构成平行四边形 例2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．∥，∥ C．， D．∥， 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】解：、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； B、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； C、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； D、，， 四边形是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 例3．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，直线，，．若的面积是，则四边形的面积为__________． 【答案】 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与面积公式，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与面积公式是解答本题的关键． 过点作于点，根据的面积是，得到，再根据题意证明四边形是平行四边形，求出四边形的面积即可． 【详解】解：过点作于点，如图： 的面积是， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的面积为：， 故答案为：． 变式1．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）下面有四个命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； ③一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； ④一组对角相等，连结这组对角的顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题是（    ） A．④ B．③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解决本题的关键． 根据平行四边形的判定求解即可． 【详解】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不是平行四边形，故是假命题； ②一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，故是假命题； ③一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形不是平行四边形，故是假命题； ④一组对角相等，连结这组对角的顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形，真命题． 理由：如图，在四边形中，，． 假设四边形不是平行四边形，则， 不妨设，则在上取点E，使得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，这与矛盾， ∴假设的四边形不是平行四边形不成立，即四边形是平行四边形． 综上：正确的命题是④． 故选：A． 变式2．（24-25八年级下·浙江台州·月考）小吴和小李一起研究一个尺规作图问题： 如图1，在中，以，为边作． 小吴：如图2，以点A为圆心，长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，，四边形即为所求． 小李：如图3，分别以点A，点C为圆心，相同长度（大于）为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，连接交于点O，作射线，并截取，连接，，四边形即为所求． (1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”） ①小吴的作法______；②小李的作法______． (2)请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程） 【答案】(1)正确；正确 (2)见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查基本尺规作图、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解答的关键． （1）根据基本作图信息，以及平行四边形的判定定理可得结论①和②； （2）选择①：根据两组对边相等的四边形是平行四边形可判断； 选择②：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断． 【详解】（1）解：①小吴的作法正确；②小李的作法正确． 故答案为：正确；正确． （2）解：选择①： 由作图知，， ∴四边形为平行四边形． 故小吴的作法正确； 选择②： 由作图知，，垂直平分， ∴， ∴四边形为平行四边形． 故小李的作法正确． 变式3．（22-23八年级下·浙江·单元测试）已知四边形的对角线、相交于点，给出下列条件：①，②，③，④，⑤． (1)从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形是平行四边形的有（用序号表示） ；（至少写出三种情况） (2)从（1）中选出推理在两步以上的一种情况进行证明．（要求画出图形，写出证明过程即可） 【答案】(1)①③，①⑤，①④，①②，②⑤，④⑤（写出三种情况即可） (2)选①②或①④，见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法，能推出四边形是平行四边形的有①③，①⑤，①④，①②，②⑤，④⑤； （2）可选①②或①④，加以证明即可． 【详解】（1）解：根据平行四边形的判定方法，能推出四边形是平行四边形的有①③，①⑤，①④，①②，②⑤，④⑤（写出三种情况即可）； （2）解法一：若选①②， 如图， ， ． 又，， ． ． 四边形是平行四边形． 解法二：若选①④． 如图， ， 度． 又， 度． ． 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论． 【题型三】添一个条件成为平行四边形 例4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在四边形中，，添加下列条件后，能使四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， A选项：已知，添加， 一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形， 故A选项不符合题意； B选项：， ， 添加， 只有一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形， 故B选项不符合题意； C选项：已知，添加， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四形，可知四边形是平行四边形， 故C选项符合题意； D选项：， ， ， ， 只有一组对边平行，不能说明四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判方法逐项分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故A正确； B．添加不能证明四边形为平行四边形，故B不正确； C．添加不能证明四边形为平行四边形，故C不正确； D．添加不能证明四边形为平行四边形，故D不正确； 故选A． 变式2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则可添加的条件为______．（不添加任何辅助线，写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行求解即可． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型四】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 例5．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解. 【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形. 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线. 变式1．（2023八年级下·浙江·专题练习）在一个平面上有不在同一直线上的三点，则这些点为顶点的平行四边形的个数是______个． 【答案】3/三 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【分析】在同一直线上的三点为，连接，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：设已知三点为，连接， 分别以为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及分类讨论的数学思想，熟练掌握判定定理是解题的关键． 变式2．（22-23八年级下·浙江金华·期中）已知平面直角坐标系中，点，点 (1)直线AB的解析式：__________ (2)AB的中点C的坐标是__________ (3)点D是平面内的任意一点，若以O，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是__________. 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】求与已知三点组成平行四边形的点的个数、利用平行四边形的性质求解、求一次函数解析式 【分析】（1）设直线的解析式为，把点，点代入，得到二元一次方程组，解方程组即得； （2）根据，，运用中点坐标公式得到线段的中点； （3）设，当为平行四边形的边时，，根据，得到，根据，得到，或，得到，；当为平行四边形的对角线时，根据，，得到线段的中点为，根据，得到． 【详解】（1）设直线的解析式为：， 把点，点代入， 得，， 解得，， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴，， ∴； 故答案为：； （3）设， ∵， ∴， 当为平行四边形的边时，也为平行四边形的边，，， ∵， ∴，或， ∴，； 当为平行四边形的对角线时，也为对角线，且互相平分， ∵，， ∴的中点为， ∵， ∴，， ∴． 综上，，． 故答案为：、、． 【点睛】本题主要考查了一次函数，线段的中点，平行四边形的存在性，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，线段的中点坐标公式，平行四边形的性质，分类讨论． 【题型五】全等三角形拼平行四边形问题 例6．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【知识点】判断能否构成平行四边形、全等三角形拼平行四边形问题 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 变式1．将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是______个． 【答案】3 【知识点】全等三角形拼平行四边形问题、判断能否构成平行四边形 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 变式2．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？ 【答案】6个，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【知识点】证明四边形是平行四边形、全等三角形拼平行四边形问题 【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵六个三角形是全等的正三角形， ∴OA=EF，AF=OE， ∵两组对边分别相等， ∴四边形AOEF为平行四边形； 同理可证，四边形ABOF，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形DEFO均为平行四边形， ∴共有6个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，理解并熟练运用平行四边形的判定方法是解题关键． 【题型六】利用平行四边形的判定与性质求解 例7．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，E为的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，过点F作交于点M，连结，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：B． 例8．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动，如果点同时出发，设运动时间为．当_________ 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【答案】或5 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的判定．分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，当时，以为顶点的四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案 【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点F在C的右侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形 即， 解得：； 综上所述：当或时，以为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或5． 例9．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图是由的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都是格点，E是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图. (1)直接写出边的长=_______； (2)在图中画格点，使四边形是平行四边形；再在线段上画点，使得. 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识． （1）过点作于点，构造直角，利用勾股定理可以求出答案； （2）作格点使且，连接，四边形是平行四边形；连接、交于点，连接并延长，交于点即可． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 由网格图可知，，， ， 故答案为：； （2）如图，格点，点即为所求， 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，点在线段上，射线，连结，以为邻边作，连结，记的长为的长为．若，，，则在点的运动过程中，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理． 先根据题意求出，，再分别代入四个选项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴在线段上，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即 ∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则，值随着改变； ，值随着改变； ，值随着改变； ，值不变； 故选：D． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，已知四边形和四边形都是平行四边形，，连接并延长交于，若，，，，连接，则的长为______________，的长为__________________． 【答案】 1 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是平行四边形的性质和勾股定理，过点D作，交的延长线于点H，连接，先根据平行四边形的性质得出，在中求出和，再用勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质求出且，然后用勾股定理求即可． 【详解】解：过点D作，交的延长线于点H，连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1；． 变式3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，，，．是线段上的动点，是射线上的动点，且．设． (1)当在线段上时，用含的代数式表示线段的长． (2)如图2，是的中点，以，为邻边构造． ①当点与点重合时，连结，求的长． ②当点落在的边上时，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据勾股定理得，由已知得，再代入即可； （2）①根据平行四边形的性质得，，进一步推出，证明四边形是平行四边形，得，继而得到，代入计算即可； ②分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即线段的长为； （2）①∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵与重合，， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点在边上时， 延长至点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在边上时， 延长至点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【题型七】利用平行四边形性质和判定证明 例10．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，点E是边上一点（不包含A，D），连接，要求用尺规作，F是边上一点．甲作法：以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．乙作法：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则．在甲、乙两种作法中，一定正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．只有甲 C．只有乙 D．甲、乙都不正确 【答案】B 【知识点】作线段(尺规作图)、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，尺规作图，掌握知识点的应用是解题的关键． 通过平行四边形的判定与性质即可判断甲正确；根据以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则有两种情况，或，可排除乙． 【详解】解：甲正确，乙不正确 理由： 如图1，∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故甲正确． 如图，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则有两种情况，或， ∴乙不一定正确， 故选B． 例11．（23-24八年级下·浙江温州·期中）图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 【答案】 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 设，，则，判定四边形是平行四边形，得到．当时，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．当时，过点作于点，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．根据O，E两点的距离减小了，得到，求得，进而点C的竖直高度上升即可求解． 【详解】解：设，， 则，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，如图， 则， 过点C作于点H， ∴，则， ∴在中，， ， ∵，， ∴． 当时，如图， 则， 过点作于点， ∴，则， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴． ∵O，E两点的距离减小了， 即， ∴， ∴， ∴点C的竖直高度上升． 故答案为： 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；证，得，，则，得，再证出四边形是平行四边形，得，故②③正确，不一定等于，故①不正确，不一定成立，故④不正确，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 又E、F分别是、的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，，，故②正确 ， ， 四边形是平行四边形，故③正确 ， 而不一定成立，故④不正确． 不一定等于， 不正确，故①不正确， 故选：B． 变式2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，E是上一点，连结，作，交于点F． (1)求证：． (2)连结，已知，，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）证明四边形是平行四边形，得到，由中，，即可根据线段的和差得证结论； （2）设，则，根据勾股定理得到，，从而，代入数值即可求出，从而根据平行四边形的对边相等即可解得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，， ∴， 即． （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴在中，． 变式3．已知，如图，在中，过中点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解答关键．先利用四边形是平行四边形，易证，进而得到，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【题型八】平行四边形性质和判定的应用 例12．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，点、、、分别在、、、上，且，，点是直线、之间任意一点，连接、、、，则图中阴影面积和的面积和）等于（    ） A．7 B．8 C．12 D．14 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、平行四边形性质和判定的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，作出辅助线并证明出四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题目数据可以证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，同理可得，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，所以和的面积和等于平行四边形的面积的一半，再利用平行四边形的面积等于矩形的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解． 【详解】解：连接，， 在矩形中，，，，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 同理可得，， ， 四边形是平行四边形， 和的高的和等于点到直线的距离， 和的面积和平行四边形的面积， 平行四边形的面积 ， ， ， 和的面积和． 故选：A． 例13．（2023·浙江·一模）某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（  ）    A．红花、绿花种植面积一定相等 B．紫花、橙花种植面积一定相等 C．红花、蓝花种植面积一定相等 D．蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：   ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确 四边形的面积四边形的面积，故B选项正确 ∴A、B、D正确，C不正确； 故选：C． 【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便． 变式1．（22-23八年级下·浙江金华·期中）图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm．    【答案】 12 【知识点】平行四边形性质和判定的应用、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1），， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型． 变式2．（23-24八年级上·浙江温州·期末）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，已知格点线段，请按要求画出格点三角形（顶点在格点上）． (1)在图1中画一个等腰三角形． (2)在图2中画一个，使得恰好平分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】格点图中画等腰三角形、平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的判定画出图形（答案不唯一）； （2）以为对角线，构造平行四边形，即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）解：如图2中，即为所求（答案不唯一）． 一、单选题 1．将线段向左平移，连接对应点得到的图形是（   ） A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．三角形 【答案】C 【分析】根据平移的性质：不改变形状只改变位置可知，根据平行四边形的判定定理：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到答案． 【详解】解：如图，根据平移性质可知，则连接对应点得到的图形是平行四边形． 2．下列不能判断一个四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形 B．两组对边分别相等的四边形 C．对角线互相平分的四边形 D．一组对边相等，且另一组对边平行的四边形 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，说法正确，故本选项不符合题意； B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，说法正确，故本选项不符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，说法正确，故本选项不符合题意； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键，平行四边形的判定； （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义判定法)； （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形(两组对边平行判定)； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 3．四边形的对角线、相交于点，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C．且 D．， 【答案】D 【详解】解：A、仅，一组对边平行的四边形可能是梯形，不能判定为平行四边形 B、，仅表明与垂直，无法判定四边形为平行四边形 C、且，这样的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形； D、，，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即四边形的对角线互相平分，所以四边形是平行四边形． 4．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 5．如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、由可得，又，根据一组对边平行且相等能判断四边形是平行四边形，该选项符合题意； 、，，只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、，，根据一组对边及一组对角相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 故选：． 6．如图，已知与关于点成中心对称，过点作直线分别交，于点，，给出下列结论：①点与点、点与点分别是关于点的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与关于点成中心对称．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据与关于点中心对称得到，，，即可得到，即可得到答案； 【详解】解：∵与关于点中心对称， ∴，，， 在与中， ∵， ∴， ∴点和点是关于中心的对称点， ∴与成中心对称， ∵点和点是关于中心的对称点， ∴直线必经过点， ∴四边形与四边形也关于点对称， ∴， 综上，正确的是①②③④． 7．如图，是等边三角形，是内一点，，，，，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于，延长交于，由条件推出四边形，四边形是平行四边形，，是等边三角形，得到，即可求出的周长． 【详解】解：延长交于，延长交于， ∵，，， ∴四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 同理：是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长为：， 即的周长是． 故选：B．    【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是由等边三角形的性质，平行四边形的性质证明． 二、填空题 8．如图，在四边形ABFD中，E，C是边BF上的两点．若，则图中的平行四边形是_____________．    【答案】， 【解析】略 9．如图所示，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形．可添加的条件是________．（只填一个即可） 【答案】AB=CD 【分析】根据平行四边形的判定定理进行解答． 【详解】解：添加AB=CD， ∵∠1=∠2， ∴AB∥CD， 又∵AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：AB=CD（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 10．等边△ABC的边长为4，点D是BC边上的任意一点（不与点B，C 重合），过点D分别作，，交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF的周长是______． 【答案】8 【分析】由为等边三角形，得到三条边相等，三个角相等都为60°，再由两直线平行同位角相等及等边三角形的判定得到与为等边三角形，表示出四边形AEDF周长，等量代换即可求出所求． 【详解】解：为等边三角形， 四边形AEDF为平行四边形， 和为等边三角形， ∴四边形AEDF周长为： 故答案为：8． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 11．在四边形中，，请再添加一个条件，使四边形是平行四边形．添加的条件是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据对角线互相平分的四边形为平行四边形解题即可． 【详解】解：由于对角线互相平分的四边形为平行四边形， ， 故添加条件为：． 故答案为：． 12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且∠B＋∠C＝90°，分别以AB、AD、DC为边向形外作正方形ABEF、正方形ADHG、正方形DCJI，且其面积依次记为S1、S2、S3，若S1＋S3＝4S2，则＝___． 【答案】3 【分析】过点A作AE∥BC交CD于点E，得到平行四边形ABCE和Rt△ADE，根据平行四边形的性质和勾股定理，不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边． 【详解】解：过点A作AE∥DC交CB于点E， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴AD＝CE，DC＝AE，∠BCD＝∠AEB， ∵∠ABC+∠BCD＝90°， ∴∠ABC+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°， 在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2， ∵S1＝AB2，S2＝AD2＝BE2，S3＝DC2＝AE2， ∵S1+S3＝4S2， ∴AB2+DC2＝AB2+AE2＝4AD2＝BE2， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理，准确计算是解题的关键． 13．如图，将平行四边形纸片折叠，使顶点D恰好落在边上的点E处，折痕为．若，，则的长为______． 【答案】2 【分析】先证明，，再证明四边形AEFD为菱形，再根据菱形的性质结合线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D， ∵根据折叠可得∠D=∠FEA， ∴∠B=∠FEA， ∴； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形AEFD是平行四边形， 根据折叠可得AE=DA， ∴四边形AEFD为菱形， 所以 故答案为2 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，证明“四边形AEFD为菱形”是解本题的关键． 14．如图，在中，为锐角，，，四边形的面积为，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，同时，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点的运动时间为秒．    （1）点在上运动时，____；点在上运动时，____；（用含的式子表示） （2）当点在上，且时，的值为____． 【答案】 / / ． 【分析】（1）当点在上运动时，可得，当点在上时，； （2）当点在上，点在上时，可得四边形是平行四边形，从而，从而，从而得出结果． 【详解】（1）如图，    ∵，， ∴， 如图，    ∵，， ∴， 故答案为：，； （2）如图，    由(1)得：，同理可得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是弄清运动的过程，找出符合条件的点的位置． 三、解答题 15．如图，在四边形ABCD中，ABCD，∠A＝∠C，四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？ 【答案】四边形ABCD是平行四边形，理由见解析 【分析】通过两直线平行同旁内角互补及等角的补角相等可以得出∠B＝∠D，再通过两组对角相等的四边形是平行四边形得出结论． 【详解】 解：四边形ABCD是平行四边形， 理由：∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】本题考查平行线同旁内角互补的性质及平行四边形的判定方法，熟记性质及定理并能简单运用是解题关键． 16．如图，在四边形中，，，，求的长和四边形的面积．    【答案】，面积为 【分析】先求解，可得，证明四边形是平行四边形，从而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，证明四边形是平行四边形是解本题的关键． 17．在学习平行四边形后，小函进行了拓展性研究，她发现，平行四边形中，在边上截，连接，作的角平分线交于点E，则．她的解决思路是通过证明两条线段所在的四边形是平行四边形得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空； （1）用直尺和圆规，在边上截，连接，作的角平分线，交于点E（只保留作图痕迹）． （2）已知：如图，四边形是平行四边形，，平分，交于点E．求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴___①___， ∵平分， ∴___②___， ∴， ∴， ∵， ∴___③___， ∴___④___， ∴， ∴四边形是平行四边形（___⑤___）， ∴． 【答案】（1）见详解（2），，，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）按照要求画图即可； （2）根据平行四边形的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据角平分线的得到，求得，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图所示； （2）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ． 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ． 故答案为：，，，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 18．【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查的是平行四边形的判定和性质，全等三角形的应用． （1）证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到结论； （2）在大山外取一点O，连接，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：如图，在大山外取一点O，连接， 延长到D，使，延长到E，使，测量D、E两点之间线段的长度，即为A、B两点的距离． 在和中，， ∴， ∴． 19．如图，是的中线． (1)尺规作图：延长到点，使，连接、；（保留作图痕迹，不写作法，不需证明） (2)证明：四边形是平行四边形． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题目要求画出图形即可； （2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABEC是平行四边形． 【详解】（1）解：如图所示，以D为圆心，AD长为半径画弧，与AD延长线的交点即为E，然后连接BE、CE即可； （2）证明： AD是△ABC的中线， BD = CD， ED= AD， 四边形ABEC是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了尺规作图画等长线段，平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． （5） 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $