第02讲 平行四边形的性质和判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版）

本初中数学讲义聚焦平行四边形的性质和判定，系统梳理定义、边/角/对角线性质、判定定理及平行线间距离等核心知识点，构建从基础概念到综合应用的学习支架，衔接前后知识逻辑。 资料通过典例与变式分层设计题型，涵盖求边长、角度、坐标及判定证明等，培养几何直观与推理能力，动态几何问题提升应用意识。课中辅助突破重难点，课后练习题助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

第02讲 平行四边形的性质和判定 考点1：平行四边形的定义 考点2：平行四边形的性质 考点3：平行四边形的判定定理 考点4：平行线的间的距离 重点： （1）平行四边形性质的应用 （2）平行四边形的判定 难点： （1）平行四边形性质与判定的综合证明 （2）动态几何中的平行四边形存在性问题 知识点1：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【题型1 根据平行四边形的性质求边长/周长】 【典例1】如图，平行四边形中，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，，推出，结合角平分线的性质可推出，进而得到，即可求解． 【详解】解：平行四边形中，，， ， 平分， ， ， ， . 【变式1】如图，在中，，，，则的长为（   ） A．10 B． C．12 D．2 【答案】B 【分析】先由平行四边形的性质得到，，再根据勾股定理得到的长，从而得到的长，最后再根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ． 【变式2】如图，□的对角线相交于点，且，则的周长是（ ） A．5 B．7 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据平行四边形对角线的性质，可得，，且，可推出，由此计算出的数值．将的数值与的长度相加，即可得到的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴． ∴的周长为． 【变式3】如图，在中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线定义，推导出和均为等腰三角形，从而求出和的长，最后利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ． 【题型2 根据平行四边形的性质求角度】 【典例2】如图，在中，平分，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质可得，又根据角平分线的定义可得，最后利用平行四边形的性质求出即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵平行四边形中， ∴. 【变式1】如图，在平行四边形中，点E为边上一点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边对等角得到，再由平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】解： ，， ， 平行四边形， ． 【变式2】如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质和三角形的内角和定理等知识，属于基础题型，熟练掌握等腰三角形和平行四边形的性质是解题关键． 根据平行四边形的性质可求，根据等腰三角形的性质可求，再根据三角形内角和求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， 在中，， ， ， 故选：B． 【变式3】如图，在中，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及三角形内角和．注意掌握平行四边形的对角相等定理的应用是解此题的关键． 由在中，，可求得的度数，又由，可求得答案． 【详解】解：在中，， ， ， ． 故选：B． 【题型3 根据平行四边形的性质求点坐标】 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，的对角线的中点为原点O，轴，若点A的坐标为，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质及中点坐标公式，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分这一性质．先由是中点求出的坐标，再由轴且求出的坐标，最后由是中点求出的坐标． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，交点为原点， 是的中点， 设， ， ， ， 轴，， 的纵坐标为-1，横坐标为， ， 是的中点， ， ， ， 故选：A． 【变式1】如图所示，在平行四边形中，点O为坐标原点，点C的坐标为，点A的坐标为，则顶点B的坐标是________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且点C的坐标为， ∴， ∵点A的坐标为， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴顶点B的坐标是． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，若▱的三个顶点的坐标分别是、、，则顶点的坐标是______ ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，平移的性质，以及坐标与图形的关系，正确建立坐标系画出平行四边形是解题关键．根据图形，得出C点横纵坐标即可得出答案． 【详解】解：设， 四边形是平行四边形， ，且． ，即． ，即． ，， ． 故答案为：． 【变式3】如图，平面直角坐标系中，的顶点、在轴上，已知点，则点的坐标是_________． 【答案】 【分析】本题重点考查​平面直角坐标系中平行四边形的性质​，​理解平行四边形对角线互相平分且利用对称求解点是解题的关键． 根据平行四边形性质，得点是的中点，根据关于原点对称求出坐标即可． 【详解】 平行四边形的对角线和互相平分， 已知点和点在轴上，且，因此点是的中点，也是的中点， 所以关于原点对称， 因为，所以， 故答案为：． 知识点2：平行线之间的距离与平行四边形的综合 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 间的距离. 性质：平行线之间距离处处相等 【题型4 利用平行线间距离的性质求解】 【典例4】如图，，和的夹角，且，于点，则与之间的距离为___________． 【答案】50 【分析】先根据平行线性质及三角形内角和定理说明，可得，再结合已知条件得出答案． 【详解】解：，， ． ， ， ， ， ． ， ， 与之间的距离为． 【变式1】如图，，为，平分线的交点，交于，且，则与之间的距离等于________． 【答案】 【分析】过点作，则就是与之间的距离，然后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴就是与之间的距离． ∵为，平分线的交点，交于， ∴ ∴与之间的距离． 【变式2】已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是______． 【答案】或 【分析】此题考查了平行线间的距离，分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：如图1，直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 如图2，直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 综上所述，a与c的距离为或． 故答案为：或． 【变式3】如图，，如果，，的面积为18，那么的面积为 ___________． 【答案】27 【分析】本题考查了三角形的面积，平行线间距离相等，求出的长是解题的关键．过点作，求出的长，再利用面积公式解答即可． 【详解】解：过点作， ，的面积， ， ， ， 点到的距离等于的长度， 的面积． 故答案为：27． 知识点3：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【题型5 添一个条件成为平行四边形】 【典例5】如图，在四边形中，，则添加下列条件，可使四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， 不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、由，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】如图，四边形中，，对角线、相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A． 由，可知，四边形的一组对边平行且相等，能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． D． 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D 【变式2】下面是嘉淇不完整的推理过程，小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是（    ） ∵， ∴， ∵（    ）， ∴四边形是平行四边形    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．根据推理过程及平行四边形的判定定理即可解答． 【详解】解：A、添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； B、添加后，结合，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； C、添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； D、添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 故选：B． 【变式3】如图，的对角线，相交于点，点，在上，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了添加一个条件判定四边形是平行四边形．熟练掌握平行四边形的定义和判定定理，是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一判断即得． 【详解】A. ， 添加， 又， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形； B. ， 添加， 无法判定， 则无法判定四边形是平行四边形； C. ， 添加， ∵， ∴， 又， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证得是平行四边形； D. ， 添加， 可得， ∵， ∴， ∴，且， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得是平行四边形． 故选：B． 【题型6 平行四边形的判定】 【典例6】如图，在中，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质推出，再结合即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【变式1】如图所示，在四边形中，于点E，于点F，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，平行线的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能证出和是证此题的关键．题型较好． （1）由，，根据垂直的定义得到，和已知，，推出； （2）根据全等三角形的性质得到，，进一步推出，根据平行四边形的判定即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，再利用证明即可得证； （2）由，得出，再结合，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，，，， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式3】如图，点B，E，C，F在一条直线上，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】证明，得到，继而得到平行线，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【题型7 利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例7】如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； （1）首先证明，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）分别在，中，利用勾股定理求出、即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：平分，， ， ， ，， ， ， ， 在中，，即的长是． 【变式1】如图，在四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，点是的中点，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形为平行四边形是解题的关键． （1）根据，可证明，再由得出，确定，即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理求出的长，进而求出的长，再由平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 【变式2】如图，在四边形中，对角线、相交于点．点是对角线的中点，连接、．已知，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由点是对角线的中点，，得到，又，是公共边，即可证明全等． （2）延长交于，证出垂直平分，又，得到，又，证出四边形是平行四边形，得到，利用勾股定理求出，从而得到的长． 【详解】（1）证明：∵点是对角线的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴． （2）解：如图，延长交于E， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识，适当添加辅助线，把所学知识融会贯通是解题的关键． 【变式3】如图，在平行四边形中，平分，已知，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理； （1）先求出的长，继而根据勾股定理的逆定理进行证明即可得； （2）连接，根据平行四边形的性质可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 又，， ， 为直角三角形， ； （2）解：连接，    ∵，，， 又， ∴． 1．中，，则的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用性质直接得到的度数即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 2．下列物体应用了四边形的不稳定性的是（   ） A．木质梯子 B．学校门口的伸缩门 C．矩形门框 D．正方形地砖 【答案】B 【详解】解：四边形的不稳定性是指四边形边长固定时形状容易改变，只有需要灵活改变形状的场景才会利用该性质． A选项木质梯子需要保持固定形状保障安全，利用的是结构稳定性，不符合要求； B选项学校门口的伸缩门需要改变形状实现伸缩开合，正是利用了四边形的不稳定性，符合要求； C选项矩形门框和D选项正方形地砖都需要保持固定形状，不符合要求． 3．如图，在平行四边形中，下列说法一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，对角线，互相平分． 4．控下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形等等，结合平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； B、由，，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、由，，可以根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，符合题意； D、由，，不能判定四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：C． 5．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质求出，结合勾股定理解题即可． 【详解】解：由题意知，， 在中，， ∴． 故选：C ． 6．如图，已知直线，，，，都垂直于，垂足分别为，．下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键； 根据题目描述和图形利用平行四边形和平行线的性质来判断选项的正确性． 【详解】解：A、由题可知：，，∴四边形ABCD是平行四边形，∴，一定成立，符合题意； B、题目所给信息无法证明；不符合题意； C、题目所给信息无法证明；不符合题意； D、题目所给信息无法比较四边形ABCD与四边形DEGF的；面积大小，不符合题意； 故选：A ． 7．如图，平行四边形中阴影部分的面积是，这个平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵平行四边形中阴影部分的面积是平行四边形面积的一半， ∴这个平行四边形的面积是． 故选：B． 8．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质及三角形内角和定理等知识，由平行四边形的性质和折叠的性质得，再由三角形的外角性质得到，然后根据三角形内角和定理解答即可求解，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， 由折叠的性质得，， ， ， ， ， 故选：． 9．如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，，，，，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质解题即可． 【详解】解：∵，，， ∴（平行线之间的距离处处相等）， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为： 6． 10．如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了尺规基本作图-作线段等于已知线段，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形的判定方法可直接求解． 【详解】解：分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点， ，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 11．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间______时，四边形为平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而根据平行四边形的判定列出方程解答即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得， 故答案为：． 12．如图，在梯形中，，，．，，点是边上一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即之间的距离为． 13．如图，在平行四边形中，、分别是，边上的中点，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，然后得到，即可得结论； （2）利用角平分线的定义、平行线的性质可得到，进而，再利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 、分别是，边上的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，角平分线的定义，平行线的性质， 等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平行四边形的性质和判定 考点1：平行四边形的定义 考点2：平行四边形的性质 考点3：平行四边形的判定定理 考点4：平行线的间的距离 重点： （1）平行四边形性质的应用 （2）平行四边形的判定 难点： （1）平行四边形性质与判定的综合证明 （2）动态几何中的平行四边形存在性问题 知识点1：平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 【题型1 根据平行四边形的性质求边长/周长】 【典例1】如图，平行四边形中，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，，则的长为（   ） A．10 B． C．12 D．2 【变式2】如图，□的对角线相交于点，且，则的周长是（ ） A．5 B．7 C．10 D．11 【变式3】如图，在中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【题型2 根据平行四边形的性质求角度】 【典例2】如图，在中，平分，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平行四边形中，点E为边上一点，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在中，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型3 根据平行四边形的性质求点坐标】 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，的对角线的中点为原点O，轴，若点A的坐标为，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，在平行四边形中，点O为坐标原点，点C的坐标为，点A的坐标为，则顶点B的坐标是________． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，若▱的三个顶点的坐标分别是、、，则顶点的坐标是______ ． 【变式3】如图，平面直角坐标系中，的顶点、在轴上，已知点，则点的坐标是_________． 知识点2：平行线之间的距离与平行四边形的综合 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 间的距离. 性质：平行线之间距离处处相等 【题型4 利用平行线间距离的性质求解】 【典例4】如图，，和的夹角，且，于点，则与之间的距离为___________． 【变式1】如图，，为，平分线的交点，交于，且，则与之间的距离等于________． 【变式2】已知直线在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是______． 【答案】或 【变式3】如图，，如果，，的面积为18，那么的面积为 ___________． 知识点3：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【题型5 添一个条件成为平行四边形】 【典例5】如图，在四边形中，，则添加下列条件，可使四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形中，，对角线、相交于点，添加下列条件仍不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下面是嘉淇不完整的推理过程，小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列正确的是（    ） ∵， ∴， ∵（    ）， ∴四边形是平行四边形    A． B． C． D． 【变式3】如图，的对角线，相交于点，点，在上，请你添加一个条件，使四边形是平行四边形，以下添加条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型6 平行四边形的判定】 【典例6】如图，在中，点E，F分别在，上，且，求证：四边形是平行四边形． 【变式1】如图所示，在四边形中，于点E，于点F，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【变式2】如图，在平行四边形中，E，F分别是边和上的点，且，连接，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【变式3】如图，点B，E，C，F在一条直线上，．求证：四边形是平行四边形． 【题型7 利用平行四边形的判定与性质求解】 【典例7】如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，求线段的长． 【变式1】如图，在四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，点是的中点，求平行四边形的面积． 【变式2】如图，在四边形中，对角线、相交于点．点是对角线的中点，连接、．已知，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3】如图，在平行四边形中，平分，已知，，． (1)求证：； (2)求的面积． 1．中，，则的大小为（ ） A． B． C． D． 2．下列物体应用了四边形的不稳定性的是（   ） A．木质梯子 B．学校门口的伸缩门 C．矩形门框 D．正方形地砖 3．如图，在平行四边形中，下列说法一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．控下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，若，，则的长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 6．如图，已知直线，，，，都垂直于，垂足分别为，．下列选项中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，平行四边形中阴影部分的面积是，这个平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D．无法确定 8．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在处．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，，，，，则______． 10．如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 11．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间______时，四边形为平行四边形． 12．如图，在梯形中，，，．，，点是边上一点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求之间的距离． 13．如图，在平行四边形中，、分别是，边上的中点，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $