4.3 图形的旋转讲义（知识梳理+题型突破）2025-2026学年八年级数学下册浙教版

本讲义聚焦图形的旋转核心知识，系统梳理旋转的定义、三要素（中心、方向、角度）、性质（全等、对应点距离等）、中心对称及坐标旋转规律，通过技巧总结（如找旋转中心、求旋转角）搭建从概念到应用的学习支架。 该资料特色在于结合生活实例（如荡秋千、钟表旋转）培养数学眼光，通过性质推理（如旋转60°得等边三角形）发展数学思维，坐标规律与网格作图强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后练习题覆盖基础到压轴题，帮助学生查漏补缺。

4.3 图形的旋转 讲义 基础知识梳理 1. 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 旋转中心：定点 旋转角：转动的角 对应点：旋转前后重合的点 2. 旋转三要素（必考） 旋转中心、旋转方向（顺时针 / 逆时针）、旋转角度（通常为 30°、45°、60°、90°、180°） 3. 旋转的性质（核心 5 条） ①旋转前后图形全等 ②对应点到旋转中心距离相等 ③对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角 ④对应线段相等，对应角相等 ⑤旋转不改变图形的形状与大小 4. 旋转角公式 若点 旋转到 ，旋转中心为 ，则 5. 中心对称与中心对称图形 中心对称：一个图形绕某点旋转 能与另一图形重合 中心对称图形：图形绕自身某点旋转 与原图重合 常见：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正六边形 6. 坐标旋转规律（必背） （1）绕原点 旋转 顺时针 ： 逆时针 ： （2）绕原点旋转 技巧总结归纳（解题直接用） 1.找旋转中心：对应点连线的垂直平分线交点 2.求旋转角：找对应点与中心连线的夹角 3.旋转必出等腰三角形：对应点与中心构成等腰 4.旋转 60° ⇒ 等边三角形 5.旋转 90° ⇒ 等腰直角三角形 6.求线段最值：旋转转化为定点到定点距离 7.网格作图：先找对应点，再连图形 8.中心对称：直接用“中点坐标公式” 典例精讲 题型一 识别旋转现象 典例 1有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为数学问题．根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可． 【详解】∵ ①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转； ②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转； ③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转； ④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转． ∴ 属于旋转的是①和④． 故选：D． 技巧点拨：旋转=绕定点+转动；平移=沿直线移动。 变式 1在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，你正确的动作应是以左脚跟为旋转中心，沿着_________（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转_________度． 【答案】逆时针 90 【分析】本题考查旋转的基本概念，解题的关键是结合生活实际理解“向左转”这一旋转动作的旋转方向和旋转角度．根据生活中“向左转”的动作实际情况，确定旋转方向和角度． 【详解】解：在体育课上，“向左转”的动作是以左脚跟为旋转中心，沿着逆时针方向旋转90度． 故答案为：逆时针，90． 题型二 旋转三要素与旋转角计算 典例 2（如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．根据旋转的性质可得． 【详解】解:∵绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．， ∴． 技巧点拨：旋转角 = 对应点与中心连线夹角。 题型三 利用旋转性质求角度、线段 典例 3如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据角的和差关系得出，根据三角形外角性质即可得答案． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转（），得到，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 易错提醒：旋转角是对应边夹角，不是图形内角。 变式 2如图，在中，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，，，连接，若，则的度数为________°． 【答案】/30度 【分析】连接，由旋转的性质可得，可证为等边三角形，由“”可证，可得，由角的数量关系和等腰三角形的性质可求，再由三角形内角和可求解． 【详解】解：连接与交于点 ∵线段绕逆时针旋转得到线段， 则， ∴为等边三角形， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型四 旋转性质证明题 典例 4如图，在等边中，为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转至线段的位置，连接，，已知． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求证：． 【分析】（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出是等边三角形； （2）证明，得到，，得，求出，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 是等边三角形， ． ， ， 即． 根据旋转的性质可得， 是等边三角形． （2）证明：由（1）可知和都是等边三角形， ，，． 在和中， ， ，， ． 又， ， ． 在中，， ， ． 技巧点拨：旋转60° ⇒ 必出等边三角形。 题型五 旋转规律探究（周期/循环） 典例 5如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，小正方形共翻转10次回到起始位置，即可得到它的方向． 【详解】解：根据题意可得：小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复1次，故回到起始位置时它的方向是向下． 故选：C． 技巧点拨：旋转规律题先找周期。 题型六 绕原点旋转的坐标问题 典例 6如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，求其对应点Q的坐标． 【答案】 【分析】根据点P绕原点顺时针旋转，得到，首先求出，利用证明，即可得到，进而求出Q点坐标． 【详解】解：分别过点作轴的垂线，垂足分别为， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵P点坐标为， ∴， ∴， ∴Q点坐标为． 变式 3如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，，，解答下列问题： (1)将线段绕原点顺时针方向旋转得到线段，画出线段； (2)再将线段向下平移2个单位长度得到线段，画出线段； (3)如果线段旋转可以得到线段，则旋转中心的坐标为_____． 【分析】（1）分别连接，，再将，按顺时针旋转后得到，，连接即可； （2）将点向下平移2个单位得到，连接即可； （3）根据旋转中心到对应点的距离相等，找到对应点连线的中垂线的交点即可，注意“分类讨论”思想的运用． 【详解】（1）解：如图1，分别连接，，再将，按顺时针旋转后得到，，连接，线段即为所求； （2）解：如图2，将点向下平移2个单位得到，连接，线段即为所求； （3）解：旋转中心到旋转前后图形的对应点的距离相等，则旋转中心在对应点的中垂线上． ① 如图3，当点的对应点为点，点的对应点为点时，  连接，，分别作其中垂线，交点即为旋转中心， 此时点；   ②如图4，同理可得：当点的对应点为点，点的对应点为点时，此时点． 技巧点拨：旋转坐标只变坐标，不变长度。 题型七 绕非原点旋转的坐标问题 典例 7如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，进而可得点P的坐标． 【详解】解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 技巧点拨：找中心 = 作垂直平分线求交点。 题型八 中心对称图形判断 典例 8在下列LOGO设计图案中，绕着一个固定点旋转后，能和原图形重合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 题型九 中心对称性质应用 典例 9 数轴上，点表示的数分别为、4和，若这三点中，其中两个点关于第3个点成中心对称，则的值不可能为（   ） A． B．3 C．1 D．10 【答案】B 【分析】中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分． 【详解】解：①如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； ②如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； ③如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； 综上，的可能值为、、，不可能为． 题型十 拓展重难题型（压轴） 典例 10如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是______． 【答案】①②③④⑤ 【分析】连接，过点作，垂足为，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点，将的面积转化为计算即可判断⑤． 【详解】解：连接，过点作，垂足为， 由旋转得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； 由旋转得：，， 是等边三角形， ， 点与的距离为4；故②正确； 是等边三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ，故③正确； 在中，， ，故④正确； 如图所示， 将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点． 易知是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形， 则，故结论⑤正确． 技巧点拨：正三角形内点问题必旋转60°构造等边+直角。 题型一．生活中的旋转现象 1．（2025秋•上思县期中）下列现象属于旋转的是（　　） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 【答案】D 【分析】根据旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转可得答案． 【解答】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动不是旋转，故此选项不符合题意； B、火箭冲向空中的时候不是旋转，故此选项不符合题意； C、笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号不是旋转，故此选项不符合题意； D、幸运大转盘转动的过程属于旋转，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（2025春•汨罗市期末）下列说法中，正确的是（　　） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【分析】根据平移、轴对称和旋转的定义解答即可． 【解答】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项说法错误，不符合题意； B、“火箭冲向空中”属于平移、旋转现象，故B选项说法错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项说法正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D说法错误，不符合题意． 故选：C． 3．（2025春•宝安区期末）如图是一个三叶吊扇的图片，吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了（　　）度． A．300 B．240 C．120 D．60 【答案】C 【分析】根据三叶吊扇把周角三等分求解即可． 【解答】解：它转过的度数为120°， 故选：C． 4．（2025春•平陆县期中）打乒乓球作为一项广受欢理的体育运动，能有效提升个人的灵活性与反应速度，如图是一个打乒乓球的图标，该图标通过旋转可以得到图形（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的定义解答即可． 【解答】解：通过旋转可以得到图形． 故选：D． 5．（2025春•市北区期中）如图，时钟的时针从上午8时转动到上午10时，时针绕表盘中心旋转的旋转角为（　　） A．30° B．50° C．60° D．70° 【答案】C 【分析】将圆心角360°分为12份求出2份即可得到答案． 【解答】解：将圆心角360°分为12份求出2份的度数为：360°÷12×2＝60°， 故选：C． 6．（2025•白山模拟）联欢会上，数学李老师表演了一个魔术．她先把4张扑克牌按如图①方式放在桌子上，然后蒙住自己的眼睛，请一位同学上台，把其中一张扑克牌旋转180°．解除蒙具后，看到4张牌如图②所示．可以判断出被旋转过的牌是（　　） A．方块4 B．黑桃5 C．梅花6 D．红桃7 【答案】A 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可． 【解答】解：因为牌中只有方块4是中心对称图形，所以旋转180度后，还是原来的样子． 故选：A． 7．（2025春•诏安县期中）如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'＝　47　 度． 【答案】47． 【分析】根据旋转的性质可得∠AOA′＝86°，OA＝OA′，然后利用等腰三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：由旋转得： ∠AOA′＝86°，OA＝OA′， ∴∠OAA′＝∠OA′A（180°﹣∠AOA′）＝47°， 故答案为：47． 8．（2025春•射阳县校级月考）钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了　120°　 ． 【答案】120° 【分析】钟表的分针匀速旋转一周需要60分，分针旋转了360°；求经过20分，分针的旋转度数，列出算式，解答出即可． 【解答】解：根据题意得，360°＝120°． 故答案为：120°． 题型二．旋转的性质 9．（2026春•东台市月考）如图，将等腰直角三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转60°，则∠BAC′的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 【答案】B 【分析】根据旋转可知，∠BAB′＝60°，∠B′AC′＝∠BAC＝45°，然后根据∠BAC′＝∠BAB′﹣∠B′AC′代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：由题意可知，∠BAC＝∠BCA＝45°， 由旋转可知，∠BAB′＝60°，∠B′AC′＝∠BAC＝45°， ∴∠BAC′＝∠BAB′﹣∠B′AC′＝15°， 故选：B． 10．（2026•和平区模拟）如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，将△ABC绕着点B逆时针旋转n°得到△A′C′B，点A，C的对应点分别为A′，C′，点C′恰好落在边AC上，则下列结论不正确的是（　　） A．n＝72 B．BC′平分∠ABC C．BC′＝BC D．A′B∥AC 【答案】A 【分析】由旋转的性质得到BC'＝BC，∠A'BC'＝∠ABC，由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝72°，进而得出∠CBC'＝∠ABC'＝36°，进而判断即可． 【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C72°， 由旋转的性质得到：BC'＝BC，∠A'BC'＝∠ABC＝72°， ∴∠C＝∠CC'B＝72°， ∴∠CBC'＝180°﹣72°×2＝36°， ∴∠ABC'＝∠ABC﹣∠CBDC'36°，即n＝36， ∴∠CBC'＝∠ABC'， ∴BC'平分∠ABC， ∵∠C+∠CBA'＝72°+36°×3＝180°， ∴A'B∥AC， 综上所述，选项B、C、D说法正确，选项A说法错误． 故选：A． 11．（2025秋•乳山市期末）如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则旋转中心是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接PP1，NN1，分别作出PP1，NN1的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【解答】解：连接PP1，NN1， 根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上， ∴分别作出PP1，NN1的垂直平分线，PP1，NN1的垂直平分线的交点为B， ∴旋转中心是点B， 故选：B． 12．（2026春•浦北县校级月考）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A′B′C，且点刚好落在A'B′上．若∠ACA'＝43°，∠BCA'＝28°，则α等于（　　） A．71° B．15° C．28° D．43° 【答案】D 【分析】根据旋转的性质即可得到结论． 【解答】解：∵将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A′B′C，且点刚好落在A'B′上，∠ACA'＝43°， ∴α＝43°， 故选：D． 13．（2026春•慈溪市月考）两个全等的平行四边形，对角线的交点重合，若旋转其中一个，则两个四边形重叠部分的形状不可能是（　　） A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．八边形 【答案】A 【分析】两个全等平行四边形对称中心重合，重叠部分为中心对称图形，中心对称多边形的边数必为偶数，据此可判断出不可能的形状． 【解答】解：∵两个全等平行四边形对角线交点重合，即对称中心重合， ∴重叠部分关于该交点中心对称， ∵中心对称多边形的边数一定为偶数，三角形边数为奇数，不可能是中心对称图形， ∴重叠部分的形状不可能是三角形， 故选：A． 14．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图，BD是▱ABCD的对角线，将△DCB绕点D旋转一定角度得△DEF（点C、B的对应点分别为点E、F），使得点D、A、E在同一直线上，若EF⊥CD，CD＝3AE＝3，则BD2的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过辅助线构造Rt△BGD和Rt△BGC，然后证明△BGC为等腰直角三角形，再求出BG和DG的长度，进而由勾股定理求出答案． 【解答】解：如图，BG⊥CD，G为垂足，延长FE交BC的延长线于点H． 根据旋转的性质，BC与EF的夹角为旋转角α，且α＝∠CDE＝∠BHF． ∵FE⊥CD，BG⊥CD， ∴EF∥BG， ∴α＝∠CDE＝∠BHF＝∠CBG， 根据平行四边形的性质，AD∥BC，则∠ADC＝∠BCG． ∴△BCG为等腰直角三角形， ∵CD＝DE＝3AE＝3， ∴BC＝AD＝2，BG＝CG． 在Rt△BGD中，BD2＝DG2+BG213+6． 故选：D． 15．（2026春•济南月考）如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】连接BF，判定△ACE≌△BCF，即可得到∠CBF＝∠CAE＝30°，进而得出点F的运动轨迹为直线BF，依据当DF⊥BF时，DF最短，即可得到DF的最小值是2． 【解答】解：如图，连接BF， 由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACE＝∠BCF， ∴△ACE≌△BCF（SAS）， ∴∠CBF＝∠CAE， ∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点， ∴∠CAE＝30°，BD＝4， ∴∠CBF＝30°， 即点F的运动轨迹为直线BF， ∴当DF⊥BF时，DF最短， 此时，DFBD4＝2， ∴DF的最小值是2， 故选：C． 16．（2025秋•河北期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，若点A的对应点D恰好在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（　　） A．顺时针，105° B．逆时针，105° C．顺时针，30° D．逆时针，75° 【答案】A 【分析】根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【解答】解：∵将△ABC绕点C旋转，得到△DEC， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣75°＝105°， ∴当旋转方向为顺时针时，旋转角度为105°； 当旋转方向为逆时针时，旋转角度为360°﹣105°＝255°． 故选：A． 17．（2026春•碑林区校级月考）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是　50°　 ． 【答案】50°． 【分析】根据旋转的性质得AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C＝∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′＝∠CAB＝65，则∠AC′C＝∠ACC′＝65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′＝50°，所以∠B′AB＝50°． 【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置， ∴AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC， ∴∠AC′C＝∠ACC′， ∵CC′∥AB， ∴∠ACC′＝∠CAB＝65°， ∴∠AC′C＝∠ACC′＝65°， ∴∠CAC′＝180°﹣2×65°＝50°， ∴∠B′AB＝50°． 故答案为：50°． 18．（2026春•金水区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 　4　 ． 【答案】4 【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B＝AB＝4，所以△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，然后得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC＝S△A1BA，最终得到阴影部分的面积． 【解答】解：如图，过点A1作A1H⊥AB于H， ∵在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1， ∴A1B＝AB＝4， ∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°， ∴A1HA1B＝2， ∴S△A1BA4×2＝4， 又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC， S△A1BC1＝S△ABC， ∴S阴影＝S△A1BA＝4．故答案为：4． 19．（2026春•西城区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α（0°＜α≤45°），D是线段AC上的动点（不与点A，C重合），将线段CD绕点D顺时针旋转2α得到线段DE，连接BE，CE．过点E作EF⊥BE交AC的延长线于点F． （1）若BE＝CE，求∠ABE的大小（用含α的代数式表示）； （2）求证：AD＝FD． 【分析】（1）根据旋转的性质得∠CDE＝2α，CD＝DE，再根据等腰三角形的性质得到，进而得到∠BCE＝∠ACB﹣∠ECD＝α，再由BE＝CE得∠CBE＝∠BCE＝α，再利用角的和差即可求解； （2）延长FE至H使得HE＝FE，延长AC至G使得GC＝AC，连接BH、AH、BG，根据垂直平分线的性质得到GB＝AB，BF＝BH，由∠BEF＝∠BCF＝90°，得到B，F，C，E四点共圆，则有∠BFE＝∠BCE，通过证明△ABH≌△GBF（SAS），得到∠BAH＝∠G＝α，结合（1）推出DE∥AH，再利用平行线分线段成比例定理即可证明． 【解答】（1）解：∵将线段CD绕点D顺时针旋转2α得到线段DE， ∴∠CDE＝2α，CD＝DE， ∴， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ECD＝90°﹣（90°﹣α）＝α， ∵BE＝CE， ∴∠CBE＝∠BCE＝α， ∵∠A＝α，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣α， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α； （2）证明：如图，∠ACB＝90°，延长FE至H使得HE＝FE，延长AC至G使得GC＝AC，连接BH、AH、BG， ∴BC⊥AG， ∴BC是AG的垂直平分线， ∴GB＝AB， ∴∠G＝∠BAC＝α， ∴∠ABG＝180°﹣2α， ∵HE＝FE，EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°，BE是FH的垂直平分线， ∴BF＝BH， ∴∠BHE＝∠BFE， ∵∠BEF＝∠BCF＝90°， ∴B、F、C、E四点共圆， ∴∠BFE＝∠BCE， 由（1）得，∠BCE＝α， ∴∠BHE＝∠BFE＝α， ∴∠HBF＝180°﹣2α， ∴∠HBF＝∠ABG， ∴∠HBF﹣∠ABF＝∠ABG﹣∠ABF，即∠ABH＝∠GBF， 在△ABH和△GBF中，， ∴△ABH≌△GBF（SAS）， ∴∠BAH＝∠G＝α， ∴∠CAH＝∠BAC+∠BAH＝α+α＝2α， 由（1）得：∠CDE＝2α， ∴∠CAH＝∠CDE， ∴DE∥AH， ∴， ∴AD＝FD． 20．（2026春•沈阳校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．AC与BD交于点M，BD与AE交于点N． （1）求证：AE⊥BD； （2）若AD＝2，CD＝3，求四边形ABCD的对角线BD的长． 【分析】（1）∠BMC与∠AMN互为对顶角．∠AND是△AMN的一个外角； （2）要求BD的长，即求AE的长．在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2． 【解答】（1）证明：由题意知AC＝BC，∠DBC＝∠CAE． 又∵∠ABC＝45°， ∴∠ABC＝∠BAC＝45°， ∴∠ACB＝90°． ∵∠DBC+∠BMC＝90°， ∴∠AMN+∠CAE＝90°， ∴∠AND＝90°， ∴AE⊥BD． （2）解：如图，连接DE， 由题意知：CD＝CE＝3，BD＝AE，∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴DE3，∠CDE＝45°． ∵∠ADC＝45°， ∴∠ADE＝90°， ∴EA， ∴BD． 题型三．旋转对称图形 21．（2025春•连州市期中）有一种平面图形，它绕着中心旋转，不论旋转多少度，所得到的图形与原图形完全重合，你觉得它可能是（　　） A．三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆 【答案】D 【分析】根据旋转对称图形的概念解答即可． 【解答】解：圆它绕着中心旋转，不论旋转多少度，所得到的图形与原图形完全重合， 故选：D． 22．（2025春•双流区校级期中）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出各个选项图形的最小旋转角度，即可做出判断． 【解答】解：A、正三角形的最小旋转角度为120°，故本选项不符合题意； B、正方形的最小旋转角度90°，故本选项不符合题意； C、正五边形的最小旋转角度为72°，故本选项符合题意； D、正六边形的最小旋转角度为60°，故本选项不符合题意； 故选：C． 23．（2025春•榆树市期末）风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A．60 B．120 C．180 D．270 【答案】B 【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合， 故n的最小值为120． 故选：B． 24．（2024秋•乐陵市期末）正方形绕其中心至少旋转 　90　 度能与原图完全重合． 【答案】90． 【分析】根据对于正n边形，绕其中心旋转的最小重合角度为，从而能计算出正方形绕其中心旋转与原图完全重合的最小角度． 【解答】解：绕其中心旋转的最小重合角度为， 故答案为：90． 25．（2025春•宿城区期末）一个正五角星绕着它的中心至少旋转　72　 度能与自身重合． 【答案】72 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．故答案为：72 26．（2025春•三元区期中）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为 　4　 cm2． 【答案】4． 【分析】由于∠AOB为120°，由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，所以图中阴影部分的面积之和等于三个叶片的面积和的三分之一． 【解答】解：∵三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合， 而∠AOB为120°， ∴图中阴影部分的面积之和（4+4+4）＝4（cm2）．故答案为：4． 27．（2026•渠县校级开学）如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． （1）图1的风车绕中心先顺时针旋转90°，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． （2）图1的风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4 B 的位置．（填入A、B、C、D） （3）图1所示风车绕中心逆时针旋转 　270　 度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置． （4）图1所示风车中风叶①最少翻折 　2　 次，也能到达第（2）问中位置． 【分析】（1）利用旋转变换的性质解决问题即可； （2）观察图形可知，旋转360°一次循环，由2610÷360＝7…90可得结论； （3）利用旋转变换的性质判断即可； （4）利用翻折变换作出图形判断即可． 【解答】解；（1•）答案见图2，图3； （2）观察图形可知，旋转360°一次循环， 2610÷360＝7…90， 所以风叶①到达了图4B位置． （3）图1所示风车绕中心逆时针旋转270度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置． 故答案为：270； （4）由如图5可知，最少翻折2次，也能到达第（2）问中位置． 故答案为：2． 题型四．中心对称 28．（2026•西安一模）如图，在等边△ABC中，D为BC的中点，连接AD，AD＝3，△ADB与△FEB关于点B成中心对称，则BF的长为（　　） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据中心对称得出BF＝AB，进而利用等边三角形的性质得出AB即可． 【解答】解：∵△ADB与△FEB关于点B成中心对称， ∴BF＝AB， ∵等边△ABC中，D为BC的中点，AD＝3， ∴AB， ∴BF， 故选：B． 29．（2025春•竞秀区期末）如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别为D、E、F．下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BE B．AO＝DO C．AB∥DE D．△ABC≌△DEF 【答案】A 【分析】结合中心对称的性质可得AO＝DO，BO＝EO，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，进而可证明△AOB≌△DOE，可得∠BAO＝∠EDO，则AB∥DE，进而可得答案． 【解答】解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称， ∴AO＝DO，BO＝EO，△ABC与△DEF关于点O成中心对称． 故B，D选项正确，不符合题意； ∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（SAS）， ∴∠BAO＝∠EDO， ∴AB∥DE， 故C选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出AD⊥BE， 故A选项不正确，符合题意． 故选：A． 30．（2025•望花区二模）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据中心对称的性质AD＝DE及∠D＝90°，由勾股定理即可求得AE的长． 【解答】解：由中心对称图形可知△ABC≌△DEC， ∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°， ∴AD＝2， ∵∠D＝90°， ∴AE2， 故选：D． 31．（2025春•兴宁市期末）如图，在12×6的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，△ABC旋转180°后得到△A′B′C′，则旋转中心是（　　） A．点P B．点C′ C．点O D．点R 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，连接对应点AA′，BB′，CC′，交点即为旋转中心O． 【解答】解：如图所示，连接AA′，BB′，CC′， 则AA′，BB′，CC′的交点为O， ∴旋转中心是O． 故选：C． 32．（2025春•青岛期中）如图，△ABC与△ADE关于点A成中心对称，若AB＝2，CD＝5，∠ADE＝90°，则BC的长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据中心对称的性质可得AD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADE＝90°，据此可得BD＝4，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△ADE关于点A成中心对称， ∴AD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADE＝90°， ∴BD＝AD+AB＝4， ∴BC3． 故选：C． 33．（2025春•江苏校级月考）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，，AC＝1，∠D＝90°，则AB的长是　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据中心对称图形的性质可得△ABC≌△DEC，则CD＝AC＝1，AB＝DE，再利用勾股定理即可得到答案． 【解答】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称， ∴△ABC≌△DEC， ∴CD＝AC＝1，AB＝DE， ∴AD＝CD+AC＝2， ∵∠D＝90°， ∴， ∴AB＝DE＝3， 故答案为：3． 34．（2025春•西湖区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A的坐标是（﹣1，﹣3），则顶点C的坐标是 　（1，3）　 ． 【答案】（1，3）． 【分析】根据关于原点对称时点的坐标特征即可求出． 【解答】解：∵平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，且点A的坐标是（﹣1，﹣3）， ∴点C的坐标是：（1，3）； 故答案为：（1，3）． 35．（2025春•永寿县校级期末）如图，△AB′C′是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转180°后得到的，点B、C的对应点分别为点B′、C′，已知∠B＝90°，AB＝3，∠C＝30°，则CC′的长为　12　 ． 【答案】12． 【分析】根据题意得出AC＝6，进而根据旋转的性质，即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝3，∠C＝30°， ∴AC＝2AB＝6． 又因为△AB′C′是△ABC绕点A旋转180°后得到的， 所以AC′＝AC，且C，A，C′三点共线， 所以CC′＝2AC＝12． 故答案为：12． 36．（2025春•白银区校级期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为　12　 ． 【答案】12． 【分析】过点A′作A′F⊥a于点F，过点A作AE⊥b于点E，证明四边形A′DOF是矩形，则A′F＝OD＝3，同理可知，四边形ABOE是矩形，则AE＝OB＝4，由曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，则AE＝A′D＝OB＝4，AB＝A′F＝3，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【解答】解：如图，过点A′作A′F⊥a于点F，过点A作AE⊥b于点E， ∵A′D⊥b于点D． ∠A′FO＝∠FOD＝∠A′DO＝90°， ∴四边形A′DOF是矩形， ∴A′F＝OD＝3， 同理可知，四边形ABOE是矩形， ∴AE＝OB＝4， ∵曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′， ∴AE＝A′D＝OB＝4，AB＝A′F＝3，图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝3×4＝12． 故答案为：12． 37．（2025春•鹿城区校级期中）如图1，在等边△ABC中，AB＝8，DE，FG相交于点M，并将其分割成四块①，②，③，④．如图2，将①，②，③通过中心对称或平移变换，拼成▱PQMN，则GE＝　4　 ．当A是HI中点时，▱PQMN的周长是 　8　 ． 【答案】4，8． 【分析】连接DF，HD，DG，IF，EF，根据中心对称的性质可以得出△ADH和△BDG全等，从而得到H，D，G共线，同理，I，F，E也共线，根据平移的性质以及平行四边形的性质可以得出△DFM和△EGM全等，从而得到GE和DF相等，而DF是△ABC的中位线，从而求得GE的长；根据A是HI中点，可以推出△BDG和△CFE全等，从而推出四边形PQMN是菱形，根据勾股定理求出FG的长，也就是菱形的边长，从而求得周长． 【解答】解：连接DF，HD，DG，IF，EF，如图： 由中心对称的性质可知， AF＝FC，AD＝BD，∠C＝∠IAC，∠B＝∠HAB，DH＝DG，∠AHD＝∠BGD，QH＝GM，QD＝DM，FM＝FN，IN＝EM， ∴DF为△ABC的中位线，△ADH≌△BDG（SSS）， ∴∠ADH＝∠BDG， ∴H，D，G共线， 同理，I，F，E共线， 由平移的性质可知，PH＝GM， ∴PH＝QH， 同理可得：PI＝IN， ∵四边形PQMN为平行四边形， ∴QM＝PN， ∴DM＝IN＝EM， 同理，FM＝GM， ∴△DMF≌△EMG（SAS）， ∴EG＝DFBC＝4， 当A时HI的中点时，AH＝AI，即CE＝BG， ∴BG＝CE＝2， ∵∠B＝∠C，BD＝CF， ∴△BDG≌△CFE（SAS）， ∴∠BGD＝∠CEF， ∵DF＝GE，DF∥GE， ∴四边形DFEG为平行四边形， ∴∠DGE＝∠FEC， ∴∠BGD＝∠DGE＝90°， ∴四边形DFEG为矩形， ∴DE＝GF，即PN＝MN， ∴四边形PQMN为菱形， ∵∠C＝60°，CF＝4， ∴EF＝2， ∴GF2， ∴四边形PQMN的周长为：8； 故答案为：4，8． 38．（2025春•盐城校级期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC以点O为对称中心的图形△A1B1C1； （2）直接写出点B1的坐标． 【分析】（1）先分别作出点A、B、C关于点O的对称点A1、B1、C1，再顺次连接可得； （2）写出点B1的坐标即可． 【解答】解：（1）△ABC以点O为对称中心的图形△A1B1C1，如图即为所求； （2）如图可知，B1的坐标为（0，﹣4）． 39．（2025春•高碑店市月考）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称． （1）找出它们的对称中心O； （2）若∠ABC＝35°，则∠DEF的度数为 　35°　 ； （3）若AB＝8，AC＝5，BC＝7，△DEF的周长为 　20　 ． 【分析】（1）根据中心对称图形的性质知：对应点的连线交于一点，此点即为对称中心，由此连接AD，CF即可得对称中心O； （2）由中心对称的性质：对应角相等，即可求解； （3）由中心对称的性质：大小不变，则周长与面积不变，即可求解． 【解答】解：（1）连接AD，CF，交于点O，此点即为对称中心； （2）由题意可得：∠DEF＝∠ABC＝35°； 故答案为：35°； （3）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称， ∴△ABC和△DEF的周长相等， ∵△ABC的周长为8+5+7＝20， ∴△DEF的周长为20； 故答案为：20． 题型五．中心对称图形 40．（2026•西安校级模拟）传统纹样是中华文化的瑰宝，具有深厚的底蕴，下列图形为我国出土的几款汉代玉器纹样，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形，据此逐项判断即可． 【解答】解：选项A、C、D找不到一点旋转180度与原图形重合，不是中心对称图形；不符合题意； B中的图形是中心对称图形；符合题意． 故选：B． 41．（2026•万州区一模）绿色环保，人人参与．下列环保标志中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】绕某一点旋转180°后，能与自身完全重合的图形是中心对称图形，据此对选项依次判断即可． 【解答】解：A、不是中心对称图形．故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形．故本选项不符合题意； C、是中心对称图形．故本选项符合题意； D、不是中心对称图形．故本选项不符合题意． 故选：C． 42．（2026•南岗区校级一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【解答】解：A、C中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A、C不符合题意； B、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意； D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 43．（2026•海门区二模）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，以下四个新能源汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【解答】解：A．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B．选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； C．选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 44．（2026•铁岭一模）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【解答】解：A．选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B．选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．选项图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 45．（2026春•新北区校级月考）下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义即可解答． 【解答】解：∵第一、二、四个图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形； 第三个图是轴对称图形，但不是中心对称图形， ∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有3个． 故选：C． 46．（2026•朝阳区校级模拟）下列四个近年来热门的AI（人工智能）相关的图标中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【解答】解：由题意可知，选项A的图形能绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项B、C、D的图形不是中心对称图形． 故选：A． 47．（2025秋•斗门区期末）下列图形中不是轴对称图形，只是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．圆 C．平行四边形 D．线段 【答案】C 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A．等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形；故A错误；B．圆既是中心对称图形，也是轴对称图形；故B错误； C．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；故C正确；D．线段既是中心对称图形，也是轴对称图形；故D错误；故选：C． 48．（2025秋•淄川区期末）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图“说法正确的是（　　） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答即可． 【解答】解：该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形， 故选：B． 49．（2025秋•济宁期末）如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是 　②　 ． 【答案】②． 【分析】根据中心对称图形的定义求解即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【解答】解：由中心对称图形的定义可知选择标有序号②的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形， 故答案为：②． 题型六．利用旋转设计图案 50．（2025春•项城市期中）将图中的五角星图案绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则旋转角的度数最小为（　　） A．36° B．60° C．72° D．144° 【答案】C 【分析】五角星和等边三角形分别有5条和3条对称轴，据此计算即可求解． 【解答】解：∵360°÷5＝72°， ∴将图中的五角星图案绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则旋转角的度数最小为72°． 故选：C． 51．（2025春•碑林区校级期中）风能是一种清洁无公害的可再生能源．图1是风力发电机，它一般由风轮、发电机、调向器、塔架和储能装置等构件组成．图2为风轮叶片的示意图，若叶片图案绕中心旋转n°后能与原图案重合，则n可以取（　　） A．120° B．60 C．180 D．90 【答案】A 【分析】将360°除以转子叶片个数即可求出n的值． 【解答】解：∵360°÷3＝120°， ∴n＝120， 故选：A． 52．（2025春•姑苏区校级期中）下列四幅体育比赛的图案在设计中用到旋转变换方式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角，据此求解即可． 【解答】解：根据旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小判断如下： A、是通过平移得到的，不符合题意； B、是通过旋转得到的，符合题意； C、是通过轴对称得到的，不符合题意， D、是通过轴对称得到的，不符合题意， 故选：B． 53．（2025春•七里河区校级期末）很多优美的图案可以通过旋转得到，下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为360°÷45°＝8，要使图案可以由一个基本图案连续旋转45°得到，则整个图形应由8个基本图形组成． 【解答】解：A、由基本图案连续旋转180°得到，故本项不符合题意； B、由基本图案连续旋转45°得到，故本项符合题意； C、由基本图案连续旋转60°得到，故本项不符合题意； D、由基本图案连续旋转90°得到，故本项不符合题意； 故选：B． 54．（2025春•市南区期末）在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一L型图形正向下运动，为了使L型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（　　） A．顺时针旋转 90°向右平移 B．逆时针旋转 90°，向右平移 C．顺时针旋转 90°，向下平移 D．逆时针旋转 90°，向下平移 【答案】A 【分析】根据平移和旋转的性质即可得到结论． 【解答】解：①先顺时针旋转 90°， ②因为俄罗斯方块会自动向下平移，所以我们无需考虑向下平移， 因此先向右平移， 故选：A． 55．（2024秋•南宁期末）图中的风车图案，绕着它的中心O旋转，旋转角至少为　90　 度，旋转后的风车能与自身重合． 【答案】90． 【分析】图案，可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是90°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合． 【解答】解：该图形被平分成四部分，旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为90°． 故答案为：90． 56．（2025春•银川校级期中）如图所示的图案由形状相同的三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为5cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为 　5　 cm2． 【答案】5 【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答． 【解答】解：每个叶片的面积为5cm2，因而图形的面积是15cm2， 图形中阴影部分的面积是图形的面积的， 因而图中阴影部分的面积之和为5cm2； 故答案为：5． 57．（2025春•东台市月考）下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： （1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成既是一个中心对称图形，又是轴对称图形． 【分析】（1）根据轴对称定义，在最上一行中间一列涂上阴影即可； （2）根据中心对称定义，在最下一行、最右一列涂上阴影即可； （3）在最上一行、中间一列，中间一行、最右一列涂上阴影即可． 【解答】解：（1）如图1所示； （2）如图2所示； （3）如图3所示． 58．（2025春•盐湖区校级期中）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成图案，种植花草部分用阴影表示．请你运用平移、旋转、轴对称等知识，在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案（温馨提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种）． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念即可得到结果． 【解答】解：答案不唯一，如图所示： ． 59．（2025春•大东区期末）“大风车吱呀吱哟哟地转，这里的风景呀真好看，天好看，地好看，还有一起快乐的小伙伴．…．．”这首欢快的歌，把我们拉回到快乐的童年记忆中．如图小默同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以△ABC为基本图形，利用图形的旋转变换绘制风车风轮的平面图形．请根据下列要求解答问题． （1）△ABC绕点A逆时针旋转 　90　 度得到△AB1C1； （2）在图中画出将△ABC绕点A顺时针旋转180°后得到的△AB2C2； （3）完整的风车风轮平面图形的面积 　20　 ． 【分析】（1）根据旋转的性质结合图形即可得到结论； （2）根据旋转的性质作出图形即可； （3）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）△ABC绕点A逆时针旋转90度得到△AB1C1； 故答案为：90； （2）如图所示，△AB2C2即为所求； （3）完整的风车风轮平面图形的面积＝420． 故答案为：20． 同意，不得 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 图形的旋转 讲义 基础知识梳理 1. 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。 旋转中心：定点 旋转角：转动的角 对应点：旋转前后重合的点 2. 旋转三要素（必考） 旋转中心、旋转方向（顺时针 / 逆时针）、旋转角度（通常为 30°、45°、60°、90°、180°） 3. 旋转的性质（核心 5 条） ①旋转前后图形全等 ②对应点到旋转中心距离相等 ③对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角 ④对应线段相等，对应角相等 ⑤旋转不改变图形的形状与大小 4. 旋转角公式 若点 旋转到 ，旋转中心为 ，则 5. 中心对称与中心对称图形 中心对称：一个图形绕某点旋转 能与另一图形重合 中心对称图形：图形绕自身某点旋转 与原图重合 常见：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正六边形 6. 坐标旋转规律（必背） （1）绕原点 旋转 顺时针 ： 逆时针 ： （2）绕原点旋转 技巧总结归纳（解题直接用） 1.找旋转中心：对应点连线的垂直平分线交点 2.求旋转角：找对应点与中心连线的夹角 3.旋转必出等腰三角形：对应点与中心构成等腰 4.旋转 60° ⇒ 等边三角形 5.旋转 90° ⇒ 等腰直角三角形 6.求线段最值：旋转转化为定点到定点距离 7.网格作图：先找对应点，再连图形 8.中心对称：直接用“中点坐标公式” 典例精讲 题型一 识别旋转现象 典例 1有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 变式 1在体育课上，当老师下达口令“向左转”时，你正确的动作应是以左脚跟为旋转中心，沿着_________（填“顺时针”或“逆时针”）方向旋转_________度． 题型二 旋转三要素与旋转角计算 典例 2（如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 题型三 利用旋转性质求角度、线段 典例 3如图，中，，将绕点逆时针旋转（），得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时等于（    ） A． B． C． D． 变式 2如图，在中，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，，，连接，若，则的度数为________°． 题型四 旋转性质证明题 典例 4如图，在等边中，为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转至线段的位置，连接，，已知． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求证：． 题型五 旋转规律探究（周期/循环） 典例 5如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（  ） A． B． C． D． 题型六 绕原点旋转的坐标问题 典例 6如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转，求其对应点Q的坐标． 变式 3如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，，，解答下列问题： (1)将线段绕原点顺时针方向旋转得到线段，画出线段； (2)再将线段向下平移2个单位长度得到线段，画出线段； (3)如果线段旋转可以得到线段，则旋转中心的坐标为_____． 题型七 绕非原点旋转的坐标问题 典例 7如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 题型八 中心对称图形判断 典例 8在下列LOGO设计图案中，绕着一个固定点旋转后，能和原图形重合的是（    ） A． B． C． D． 题型九 中心对称性质应用 典例 9 数轴上，点表示的数分别为、4和，若这三点中，其中两个点关于第3个点成中心对称，则的值不可能为（   ） A． B．3 C．1 D．10 题型十 拓展重难题型（压轴） 典例 10如图，O是正内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是______． 题型一．生活中的旋转现象 1．（2025秋•上思县期中）下列现象属于旋转的是（　　） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．火箭冲向空中的时候 C．笔直的铁轨上飞驰而过的复兴号 D．幸运大转盘转动的过程 2．（2025春•汨罗市期末）下列说法中，正确的是（　　） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 3．（2025春•宝安区期末）如图是一个三叶吊扇的图片，吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了（　　）度． A．300 B．240 C．120 D．60 4．（2025春•平陆县期中）打乒乓球作为一项广受欢理的体育运动，能有效提升个人的灵活性与反应速度，如图是一个打乒乓球的图标，该图标通过旋转可以得到图形（　　） A． B． C． D． 5．（2025春•市北区期中）如图，时钟的时针从上午8时转动到上午10时，时针绕表盘中心旋转的旋转角为（　　） A．30° B．50° C．60° D．70° 6．（2025•白山模拟）联欢会上，数学李老师表演了一个魔术．她先把4张扑克牌按如图①方式放在桌子上，然后蒙住自己的眼睛，请一位同学上台，把其中一张扑克牌旋转180°．解除蒙具后，看到4张牌如图②所示．可以判断出被旋转过的牌是（　　） A．方块4 B．黑桃5 C．梅花6 D．红桃7 7．（2025春•诏安县期中）如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'＝　 　 度． 8．（2025春•射阳县校级月考）钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了　 　 ． 题型二．旋转的性质 9．（2026春•东台市月考）如图，将等腰直角三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转60°，则∠BAC′的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．30° 10．（2026•和平区模拟）如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，将△ABC绕着点B逆时针旋转n°得到△A′C′B，点A，C的对应点分别为A′，C′，点C′恰好落在边AC上，则下列结论不正确的是（　　） A．n＝72 B．BC′平分∠ABC C．BC′＝BC D．A′B∥AC 11．（2025秋•乳山市期末）如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则旋转中心是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 12．（2026春•浦北县校级月考）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A′B′C，且点刚好落在A'B′上．若∠ACA'＝43°，∠BCA'＝28°，则α等于（　　） A．71° B．15° C．28° D．43° 13．（2026春•慈溪市月考）两个全等的平行四边形，对角线的交点重合，若旋转其中一个，则两个四边形重叠部分的形状不可能是（　　） A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．八边形 14．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图，BD是▱ABCD的对角线，将△DCB绕点D旋转一定角度得△DEF（点C、B的对应点分别为点E、F），使得点D、A、E在同一直线上，若EF⊥CD，CD＝3AE＝3，则BD2的值为（　　） A． B． C． D． 15．（2026春•济南月考）如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 16．（2025秋•河北期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，若点A的对应点D恰好在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（　　） A．顺时针，105° B．逆时针，105° C．顺时针，30° D．逆时针，75° 17．（2026春•碑林区校级月考）如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数是　 　 ． 18．（2026春•金水区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 　 　 ． 19．（2026春•西城区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α（0°＜α≤45°），D是线段AC上的动点（不与点A，C重合），将线段CD绕点D顺时针旋转2α得到线段DE，连接BE，CE．过点E作EF⊥BE交AC的延长线于点F． （1）若BE＝CE，求∠ABE的大小（用含α的代数式表示）； （2）求证：AD＝FD． 20．（2026春•沈阳校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．AC与BD交于点M，BD与AE交于点N． （1）求证：AE⊥BD； （2）若AD＝2，CD＝3，求四边形ABCD的对角线BD的长． 题型三．旋转对称图形 21．（2025春•连州市期中）有一种平面图形，它绕着中心旋转，不论旋转多少度，所得到的图形与原图形完全重合，你觉得它可能是（　　） A．三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．圆 22．（2025春•双流区校级期中）下列正多边形，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（　　） A． B． C． D． 23．（2025春•榆树市期末）风力发电机可以在风力作用下发电，如图的转子叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则至少要旋转（　　）度． A．60 B．120 C．180 D．270 24．（2024秋•乐陵市期末）正方形绕其中心至少旋转 　 　 度能与原图完全重合． 25．（2025春•宿城区期末）一个正五角星绕着它的中心至少旋转　 　 度能与自身重合． 26．（2025春•三元区期中）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为 　 　 cm2． 27．（2026•渠县校级开学）如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①、②、③、④”，观察图形，回答以下问题． （1）图1的风车绕中心先顺时针旋转90°，形成图2的状态，再逆时针旋转180°，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①、②、③、④”． （2）图1的风车绕中心顺时针旋转2610度后，风叶①到达了图4 　 　 的位置．（填入A、B、C、D） （3）图1所示风车绕中心逆时针旋转 　 　 度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置． （4）图1所示风车中风叶①最少翻折 　 　 次，也能到达第（2）问中位置． 题型四．中心对称 28．（2026•西安一模）如图，在等边△ABC中，D为BC的中点，连接AD，AD＝3，△ADB与△FEB关于点B成中心对称，则BF的长为（　　） A．4 B．2 C．3 D． 29．（2025春•竞秀区期末）如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别为D、E、F．下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BE B．AO＝DO C．AB∥DE D．△ABC≌△DEF 30．（2025•望花区二模）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，∠BAC＝90°，则AE的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 31．（2025春•兴宁市期末）如图，在12×6的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，△ABC旋转180°后得到△A′B′C′，则旋转中心是（　　） A．点P B．点C′ C．点O D．点R 32．（2025春•青岛期中）如图，△ABC与△ADE关于点A成中心对称，若AB＝2，CD＝5，∠ADE＝90°，则BC的长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 33．（2025春•江苏校级月考）如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，，AC＝1，∠D＝90°，则AB的长是　 　 ． 34．（2025春•西湖区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A的坐标是（﹣1，﹣3），则顶点C的坐标是 　 　 ． 35．（2025春•永寿县校级期末）如图，△AB′C′是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转180°后得到的，点B、C的对应点分别为点B′、C′，已知∠B＝90°，AB＝3，∠C＝30°，则CC′的长为　 　 ． 36．（2025春•白银区校级期末）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为　 　 ． 37．（2025春•鹿城区校级期中）如图1，在等边△ABC中，AB＝8，DE，FG相交于点M，并将其分割成四块①，②，③，④．如图2，将①，②，③通过中心对称或平移变换，拼成▱PQMN，则GE＝　 　 ．当A是HI中点时，▱PQMN的周长是 　 　 ． 38．（2025春•盐城校级期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC以点O为对称中心的图形△A1B1C1； （2）直接写出点B1的坐标． 39．（2025春•高碑店市月考）如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称． （1）找出它们的对称中心O； （2）若∠ABC＝35°，则∠DEF的度数为 　 　 ； （3）若AB＝8，AC＝5，BC＝7，△DEF的周长为 　 　 ． 题型五．中心对称图形 40．（2026•西安校级模拟）传统纹样是中华文化的瑰宝，具有深厚的底蕴，下列图形为我国出土的几款汉代玉器纹样，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 41．（2026•万州区一模）绿色环保，人人参与．下列环保标志中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 42．（2026•南岗区校级一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 43．（2026•海门区二模）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，以下四个新能源汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 44．（2026•铁岭一模）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 45．（2026春•新北区校级月考）下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．（2026•朝阳区校级模拟）下列四个近年来热门的AI（人工智能）相关的图标中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 47．（2025秋•斗门区期末）下列图形中不是轴对称图形，只是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．圆 C．平行四边形 D．线段 48．（2025秋•淄川区期末）我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理．“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案．下列关于“赵爽弦图“说法正确的是（　　） A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．既是轴对称图形又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形 49．（2025秋•济宁期末）如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是 　 　 ． 题型六．利用旋转设计图案 50．（2025春•项城市期中）将图中的五角星图案绕着它的中心O旋转后，能与自身重合，则旋转角的度数最小为（　　） A．36° B．60° C．72° D．144° 51．（2025春•碑林区校级期中）风能是一种清洁无公害的可再生能源．图1是风力发电机，它一般由风轮、发电机、调向器、塔架和储能装置等构件组成．图2为风轮叶片的示意图，若叶片图案绕中心旋转n°后能与原图案重合，则n可以取（　　） A．120° B．60 C．180 D．90 52．（2025春•姑苏区校级期中）下列四幅体育比赛的图案在设计中用到旋转变换方式的是（　　） A． B． C． D． 53．（2025春•七里河区校级期末）很多优美的图案可以通过旋转得到，下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转45°得到的是（　　） A． B． C． D． 54．（2025春•市南区期末）在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一L型图形正向下运动，为了使L型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（　　） A．顺时针旋转 90°向右平移 B．逆时针旋转 90°，向右平移 C．顺时针旋转 90°，向下平移 D．逆时针旋转 90°，向下平移 55．（2024秋•南宁期末）图中的风车图案，绕着它的中心O旋转，旋转角至少为　 　 度，旋转后的风车能与自身重合． 56．（2025春•银川校级期中）如图所示的图案由形状相同的三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为5cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为 　 　 cm2． 57．（2025春•东台市月考）下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： （1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形． （3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成既是一个中心对称图形，又是轴对称图形． 58．（2025春•盐湖区校级期中）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成图案，种植花草部分用阴影表示．请你运用平移、旋转、轴对称等知识，在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案（温馨提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种）． 59．（2025春•大东区期末）“大风车吱呀吱哟哟地转，这里的风景呀真好看，天好看，地好看，还有一起快乐的小伙伴．…．．”这首欢快的歌，把我们拉回到快乐的童年记忆中．如图小默同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以△ABC为基本图形，利用图形的旋转变换绘制风车风轮的平面图形．请根据下列要求解答问题． （1）△ABC绕点A逆时针旋转 　 　 度得到△AB1C1； （2）在图中画出将△ABC绕点A顺时针旋转180°后得到的△AB2C2； （3）完整的风车风轮平面图形的面积 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $